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Construction of self-orthogonal codes over a commutative non-unitary ring of order 25

यह शोध पत्र क्रमविनिमेय गैर-इकाई वलय (commutative non-unitary ring) $I_5$ पर रैखिक कूटों (linear codes) को प्रस्तुत करता है, अवशेष और टॉर्सन कूटों (residue and torsion codes) के साथ उनके संरचनात्मक संबंधों को स्थापित करता है, लंबाई 4 तक के स्व-लंबवत (self-orthogonal), अर्ध स्व-द्वैत (quasi self-dual), और स्व-द्वैत (self-dual) कूटों का पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है, और पूर्ववर्ती साहित्य में इन कूटों के वर्गीकरण और द्रव्य सूत्र (mass formulas) में पाई गई पिछली त्रुटियों को सुधारता है।

मूल लेखक: Jon-Lark Kim, Marvin Olavides, Young Gun Roe

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jon-Lark Kim, Marvin Olavides, Young Gun Roe

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कोडिंग थ्योरी की दुनिया की कल्पना एक विशाल, अंतर-आकाशगंगा पुस्तकालय के रूप में करें जहाँ संदेशों को विशेष बक्सों में संग्रहित किया जाता है। लंबे समय तक, पुस्तकालयाध्यक्ष केवल "पूर्ण" नियमों (जैसे मानक गणितीय क्षेत्र) का उपयोग करके इन बक्सों को पैक करना जानते थे। लेकिन हाल ही में, एक नया, विचित्र प्रकार का बक्सा दिखाई दिया है: गैर-इकाई वलय (non-unitary ring)। इन बक्सों को एक अजीब, टूटे हुए हैंडल वाले बॉक्स के रूप में सोचें—उनमें गुणा करने के लिए "1" नहीं है, जो उन्हें जटिल बनाता है, लेकिन वे छिपे हुए रहस्यों से भी भरे हुए हैं।

यह शोध पत्र इन विचित्र बक्सों के एक विशिष्ट प्रकार, जिसे $I_5$ कहा जाता है, की एक गहरी पड़ताल है। यह एक ऐसा बॉक्स है जो 25 अद्वितीय सामग्रियों से बना है और जिसका आधार संख्या 5 पर आधारित है। लेखकों ने, जो गणित अन्वेषकों की एक टीम है, यह देखने का निर्णय लिया कि क्या होता है जब आप इन $I_5$ बक्सों के भीतर स्व-लंबवत कोड (self-orthogonal codes) (ऐसे संदेश जो अपनी ही छाया हैं) और अर्ध-स्व-द्वैत कोड (quasi self-dual codes) (ऐसे संदेश जो लगभग अपने ही दर्पण प्रतिबिंब हैं) बनाने का प्रयास करते हैं।

बड़ी खोज: मानचित्र को ठीक करना

इस साहसिक कार्य का सबसे रोमांचक हिस्सा यह है कि टीम ने एक पुराने मानचित्र में कुछ त्रुटियाँ पाईं। अन्य शोधकर्ताओं ने पहले लंबाई 2 और लंबाई 3 के लिए इन कोडों के परिदृश्य को चित्रित करने का प्रयास किया था, लेकिन वे कुछ विवरणों को भूल गए। उन्हें लगा कि कुछ कोड अद्वितीय थे जबकि वे वास्तव में जुड़वां (मोनोमिअल रूप से समतुल्य) थे, और उन्होंने कुछ के लिए "क्रू का आकार" (ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप ऑर्डर) भी गलत बताया था।

लेखकों ने केवल गलतियों की ओर इशारा नहीं किया; उन्होंने मानचित्र को फिर से बनाया। उन्होंने सिद्ध किया कि लंबाई 2 और 3 के कोडों के लिए, पिछले गणनाएँ गलत थीं। उन्होंने रिकॉर्ड को सुधारा, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक कोड को ठीक एक बार गिना जाए और प्रत्येक कोड के लिए "क्रू का आकार" सटीक हो। यह ऐसा ही है जैसे यह महसूस करना कि आपने दो अलग-अलग खोजकर्ताओं को चार अलग-अलग लोगों के रूप में गिना था, और फिर रोस्टर को ठीक करना।

LEGO के साथ निर्माण: "बिल्डिंग-अप" विधि

उन्होंने इन सभी कोडों को कैसे खोजा? उन्होंने "बिल्डिंग-अप" निर्माण नामक एक चतुर तकनीक का उपयोग किया। कल्पना करें कि आपके पास एक छोटा, मजबूत LEGO टावर (एक छोटा कोड) है। लेखकों ने विशिष्ट नियम खोजे—जैसे कि नए ब्लॉक लगाने के लिए विशेष निर्देश—जो आपको उस टावर को एक बड़े टावर (एक लंबे कोड) में विकसित करने की अनुमति देते हैं बिना उसे गिराए।

उन्होंने एक बार में 2 ब्लॉक, 4 ब्लॉक, और यहाँ तक कि 5 ब्लॉक जोड़ने के नियम खोजे।

2-ब्लॉक नियम: यदि आपके पास एक कोड है और आप सही विशेष ब्लॉक (एक विशिष्ट सेट से जिसे $J$ कहा जाता है) चुनते हैं, तो आप कोड को 2 इकाइयों तक बढ़ा सकते हैं जबकि इसे "स्व-लंबवत" (सुरक्षित और सुदृढ़) बनाए रखते हैं।
4-ब्लॉक और 5-ब्लॉक नियम: उन्होंने 4 या 5 इकाइयों की छलांग लगाने के लिए और भी जटिल रेसिपी खोजी, बशर्ते कि नए ब्लॉक कुछ गणितीय शर्तों (जैसे कि उनके वर्गों का योग शून्य होना) को पूरा करते हों।

ये नियम एक रेसिपी बुक की तरह कार्य करते हैं। यदि आप इनका पालन करते हैं, तो आप एक वैध, स्व-लंबवत कोड बनाने की गारंटी के साथ निर्मित करेंगे।

महान जनगणना: कोडों की गिनती

टीम ने केवल कुछ टावर ही नहीं बनाए; वे एक जनगणना मिशन पर निकले। वे जानना चाहते थे कि लंबाई 4 तक कितने अलग-अलग प्रकार के कोड मौजूद हैं।

उन्होंने एक "मास फॉर्मूला" (mass formula) का उपयोग किया—एक गणितीय कैलकुलेटर जो संभावित कोडों की कुल संख्या बताता है। उन्होंने अपने LEGO नियमों का उपयोग करके कोड बनाए और तब तक चलते रहे जब तक कि उनकी गणना कैलकुलेटर के कुल योग से मेल नहीं खा गई। जब संख्याएँ मेल खा गईं, तो उन्हें पता चल गया कि उन्होंने उन लंबाई के लिए प्रत्येक अद्वितीय कोड को खोज लिया है।

यहाँ उन्होंने छोटी लंबाई के लिए क्या पाया:

लंबाई 1: उन्हें 1 प्रकार का कोड मिला।
लंबाई 2: उन्हें कई प्रकार के कोड मिले, जिनमें से कुछ "अर्ध-स्व-द्वैत" (QSD) हैं और कुछ केवल "स्व-लंबवत" (SO) हैं।
लंबाई 3: सूची बढ़ती गई। उन्होंने विभिन्न "प्रकारों" (जैसे $\{0, 1\}$ , $\{1, 1\}$ आदि संख्याओं द्वारा वर्णित) के कोड पाए।
लंबाई 4: उन्होंने लंबाई 4 के लिए भी सूची पूरी की।

प्रत्येक कोड के लिए जो उन्होंने पाया, उन्होंने दर्ज किया:

कितने अलग-अलग संस्करण मौजूद हैं (जैसे, लंबाई 2 के एक प्रकार के लिए, केवल 1 विशिष्ट कोड था)।
कोड के "ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप" का आकार (कितने तरीकों से आप कोड के हिस्सों को बिना उसके स्वरूप बदले बदल सकते हैं)। उदाहरण के लिए, एक कोड का समूह आकार 48 था, जिसका अर्थ है कि इसमें 48 अलग-अलग समरूपताएं हैं।
वेट डिस्ट्रीब्यूशन (weight distribution): एक सूची जो दिखाती है कि कितने संदेशों में 1 त्रुटि, 2 त्रुटियाँ, 3 त्रुटियाँ और इसी तरह की त्रुटियाँ हैं।

उन्होंने क्या नहीं पाया (और क्यों)

यह शोध पत्र इस बात के प्रति बहुत सावधान है कि वह क्या दावा नहीं करता है।

उन्होंने इस विशिष्ट अध्ययन में लंबाई 4 से अधिक के लिए कोड नहीं खोजे। वे 4 पर रुक गए क्योंकि इस शोध पत्र के लिए "पूर्ण वर्गीकरण" यहीं तक संभव था।
उन्होंने यह नहीं कहा कि ये कोड वास्तविक दुनिया के उपयोग के लिए "सर्वश्रेष्ठ" हैं। वे केवल जो मौजूद है उसका दस्तावेजीकरण कर रहे हैं।
उन्होंने सभी संभावित रिंग आकारों के लिए समस्या को हल नहीं किया। वे सख्ती से रिंग $I_5$ (क्रम 25) पर केंद्रित रहे। हालांकि उन्होंने उल्लेख किया कि $p=3$ का पहले अध्ययन किया गया था, वे तर्क देते हैं कि $p=5$ पहली बार है जब संरचना इतनी "समृद्ध" होती है कि विविध प्रकार के अद्वितीय, गैर-तुल्य कोड उत्पन्न कर सके।

निचोड़

यह शोध पत्र एक सूक्ष्म दस्तावेजीकरण का कार्य है। लेखकों ने:

$I_5$ रिंग पर कोडों के पिछले वर्गीकरण की त्रुटियों को सुधार दिया है।
विशिष्ट नियम (प्रोपगेशन नियम) सिद्ध किए हैं जो आपको छोटे कोड से लंबे कोड बनाने की अनुमति देते हैं।
"मोनोमिअल इक्विवेलेंस" (अर्थात उन्होंने सरल रोटेशन या फ्लिप को अनदेखा करते हुए अद्वितीय आकृतियों को गिना) तक, लंबाई 4 तक के सभी स्व-लंबवत, अर्ध-स्व-द्वैत और स्व-द्वैत कोडों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया है।

उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने यह सुनिश्चित करने के लिए कि उन्होंने हर एक संभावना को खोज लिया है, निर्माण नियमों और एक गणितीय "मास फॉर्मूला" के संयोजन का उपयोग किया। यह कोडिंग ब्रह्मांड के एक छोटे लेकिन आकर्षक कोने का एक ठोस, सत्यापित मानचित्र है, जो भविष्य के खोजकर्ताओं के लिए लंबे, अधिक जटिल कोडों के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में उपयोग करने हेतु तैयार है।

समस्या विवरण
यह शोध पत्र क्रम 25 के क्रमविनिमेय गैर-इकाई (non-unitary) वलय $I_5$ पर रैखिक कोडों के वर्गीकरण को संबोधित करता है। $\mathbb{Z}_4$ और गैर-रैखिक बाइनरी कोडों के बीच संबंधों की खोज के बाद वलयों पर कोडिंग सिद्धांत का विस्तार काफी हुआ है, फिर भी गैर-इकाई वलयों पर कोडों का अध्ययन एक विकसित होता क्षेत्र बना हुआ है। विशेष रूप से, लेखक फाइन (Fine) के वर्गीकरण से $I_p$ (जहाँ $p$ एक अभाज्य संख्या है) पर ध्यान केंद्रित करते हैं। पूर्व कार्य में अलहमादी (Alahmadi) आदि द्वारा लघु लंबाई के लिए $I_3, I_5,$ और $I_7$ के लिए मास फॉर्मूला (mass formulas) और वर्गीकरण स्थापित किया गया था। हालाँकि, लेखक $I_5$ पर क्वासी सेल्फ-डुअल (quasi self-dual) कोडों के मौजूदा वर्गीकरण में, विशेष रूप से ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप (automorphism group) के क्रम और लंबाई $n=2$ और $n=3$ के लिए मास फॉर्मूला के साथ संगति के संबंध में विशिष्ट त्रुटियों की पहचान करते हैं। प्राथमिक लक्ष्य लंबाई 4 तक के सेल्फ-ऑर्थोगोनल (self-orthogonal), क्वासी सेल्फ-डुअल, और सेल्फ-डुअल कोडों का एक सुधारा गया और पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करना है।

कार्यप्रणाली
यह अध्ययन बीजगणितीय लक्षण वर्णन (algebraic characterization), पुनरावर्ती निर्माण (recursive construction), और गणनात्मक गणना (computational enumeration) के संयोजन का उपयोग करता है:

बीजगणितीय ढांचा: लेखक $I_5$ पर रैखिक कोडों को $I_5^n$ के $I_5$ -सबमॉड्यूल (submodules) के रूप में परिभाषित करते हैं। वे अद्वितीय अधिकतम आदर्श $J = \{0, b, d, i, n\}$ के तहत मॉड्यूलो रिडक्शन मैप से जुड़े अवशेष कोड ( $\text{res}(C)$ ) और टोरशन कोड ( $\text{tor}(C)$ ) का उपयोग करते हैं। प्रकार $\{k_1, k_2\}$ के एक कोड का आकार इन संबद्ध $\mathbb{F}_5$ कोडों के आयामों द्वारा निर्धारित होता है।
प्रसार नियम (बिल्डिंग-अप निर्माण): शोध पत्र लंबाई $n$ $n$ के कोडों से लंबाई $n+h$ $n + h$ के कोडों का निर्माण करने के लिए विशिष्ट प्रसार नियमों को व्युत्पन्न करता है।
- सेल्फ-ऑर्थोगोनल कोड: क्रम 2, 4, और 5 के नियम स्थापित किए गए हैं। इनमें जनरेटर मैट्रिसेस (generator matrices) को नए पंक्तियों के साथ विस्तारित करना शामिल है, जो $\mathbb{F}_5^n$ के वेक्टर्स और $I_5$ के गुणांकों से निर्मित होते हैं जो विशिष्ट ऑर्थोगोनैलिटी शर्तों (जैसे, $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = 0$ ) को संतुष्ट करते हैं।
- क्वासी सेल्फ-डुअल कोड: क्रम 2, 4, और 5 के प्रसार नियम व्युत्पन्न किए गए हैं, जो यह सुनिश्चित करते हैं कि परिणामी कोड आकार $5^n$ को बनाए रखते हुए सेल्फ-ऑर्थोगोनैलिटी को संरक्षित करता है।
- सेल्फ-डुअल कोड: एक क्रम 6 का प्रसार नियम प्रस्तुत किया गया है, जो यह दर्शाता है कि $I_5$ पर एक सेल्फ-डुअल कोड केवल सम लंबाई के लिए ही अस्तित्व में होता है और इसे $\mathbb{F}_5$ पर एक सेल्फ-डुअल अवशेष कोड से निर्मित किया जाता है।
मास फॉर्मूला: लेखक (अलहमादी आदि से अनुकूलित) मास फॉर्मूला का उपयोग स्टॉपिंग क्राइटेरिया (stopping criteria) के रूप में करते हैं। ये फॉर्मूले दिए गए लंबाई और प्रकार के कुल विशिष्ट कोडों की संख्या की गणना करते हैं, जिससे लेखक अपने वर्गीकरण की पूर्णता को सत्यापित कर पाते हैं।
गणनात्मक वर्गीकरण: MAGMA कंप्यूटर अलजेब्रा सिस्टम का उपयोग करके, लेखक प्राप्त प्रसार नियमों का उपयोग करके कोड उत्पन्न करते हैं। वे लंबाई $n \le 4$ के लिए मोनोमियल इक्विवेलेंस (क्रमपरिवर्तन और इकाइयों $\{1, -1\}$ द्वारा स्केलिंग) तक कोडों को वर्गीकृत करते हैं।

प्रमुख योगदान

पूर्व परिणामों का सुधार: यह शोध पत्र अलहमादी आदि [5] द्वारा $I_5$ पर क्वासी सेल्फ-डुअल कोडों के वर्गीकरण में पाई गई त्रुटियों को स्पष्ट रूप से सुधारता है। विशेष रूप से, यह लंबाई $n=2$ (प्रकार $\{1, 0\}$ ) के लिए गलत ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप ऑर्डर को ठीक करता है और लंबाई $n=3$ (प्रकार $\{1, 1\}$ ) के लिए मास फॉर्मूला में विसंगतियों को हल करता है।
पूर्ण वर्गीकरण: लेखक सभी लंबाई $n \le 4$ और सभी प्रकार $\{k_1, k_2\}$ के लिए $I_5$ पर सेल्फ-ऑर्थोगोनल, क्वासी सेल्फ-डुअल, और सेल्फ-डुअल कोडों का पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करते हैं।
संरचनात्मक लक्षण वर्णन: शोध पत्र यह स्थापित करता है कि $I_5$ पर एक रैखिक कोड सेल्फ-ऑर्थोगोनल है यदि और केवल यदि उसका $\mathbb{F}_5$ पर अवशेष कोड सेल्फ-ऑर्थोगोनल है। यह यह भी स्पष्ट करता है कि सेल्फ-डुअल कोड $I_5$ पर वे हैं जहाँ अवशेष कोड $\mathbb{F}_5$ पर सेल्फ-डुअल है और टोरशन कोड पूर्ण स्थान $\mathbb{F}_5^n$ है।
स्पष्ट निर्माण: शोध पत्र वर्गीकृत कोडों के लिए स्पष्ट जनरेटर मैट्रिसेस और वेट डिस्ट्रीब्यूशन (weight distributions) प्रदान करता है, जो प्रत्येक इक्विलवेंस क्लास (equivalence class) के लिए ठोस प्रतिनिधि प्रदान करते हैं।

परिणाम
गणनात्मक परिणामों को शोध पत्र की तालिका 3 में सारांशित किया गया है, जिसमें लंबाई 1 से 4 तक के विभिन्न विशिष्ट असमान (inequivalent) कोडों की संख्या, उनके ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप ऑर्डर, न्यूनतम दूरी और वेट डिस्ट्रीब्यूशन सूचीबद्ध हैं।

लंबाई 1 के लिए, शोध पत्र प्रकार $\{0, 1\}$ का एक क्वासी सेल्फ-डुअल कोड पहचानता है।
लंबाई 2 के लिए, यह प्रकार $\{0, 1\}, \{0, 2\}, \{1, 0\},$ और $\{1, 1\}$ के कोडों को वर्गीकृत करता है, और पिछले साहित्य की तुलना में $\{1, 0\}$ और $\{1, 1\}$ प्रकारों के लिए सुधारों को नोट करता है।
लंबाई 3 और लंबाई 4 के लिए, शोध पत्र विभिन्न प्रकारों के कई असमान कोडों को सूचीबद्ध करता है, जिसमें फ्री कोड (प्रकार $\{k, 0\}$ ) और नॉन-फ्री कोड शामिल हैं।
अध्ययन पुष्टि करता है कि $I_5$ पर सेल्फ-डुअल कोड केवल सम लंबाई के लिए ही मौजूद होते हैं, जो व्युत्पन्न सैद्धांतिक बाधाओं के अनुरूप है।

महत्व
शोध पत्र का दावा है कि $p=5$ का मामला एक महत्वपूर्ण दहलीज (threshold) का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ $I_p$ -कोड की बीजगणितीय और कॉम्बिनेटरियल संरचना इतनी समृद्ध हो जाती है कि वह $p=3$ के मामले की तुलना में व्यापक रेंज के मोनोमियली इन-इक्विवेलेंट (monomially inequivalent) कोड उत्पन्न कर सके। यह कार्य मौजूदा साहित्य के लिए एक आवश्यक सुधार प्रदान करता है, जिससे मास फॉर्मूला और ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप गणनाओं की सटीकता सुनिश्चित होती है। लघु लंबाई के लिए कठोर प्रसार नियमों और पूर्ण वर्गीकरण को स्थापित करके, यह शोध पत्र इन तकनीकों को लंबी लंबाई और अन्य गैर-इकाई वलयों तक विस्तारित करने के लिए आधार तैयार करता है। लेखक सुझाव देते हैं कि यहाँ विकसित विधियों को $I_p$ के रूप में वलयों पर साइक्लिक कोड जैसे अन्य श्रेणियों के कोड के अध्ययन के लिए लागू किया जा सकता है।

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