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Learning Forced Multibody Dynamics on Lie Groups

यह शोध पत्र एक ज्यामितीय गहन शिक्षण (geometric deep learning) आर्किटेक्चर प्रस्तावित करता है जो केवल स्थिति-आधारित डेटा (position-only data) से यांत्रिक प्रणाली की गतिशीलता को सीखने के लिए ली समूह (Lie groups) पर विविक्त फोर्स्ड यूलर-लैग्रेंज समीकरणों (discrete forced Euler-Lagrange equations) का उपयोग करता है, जिससे बहु-पिंड प्रणालियों (multibody systems) और बाहरी नियंत्रणों को समायोजित करते हुए अंतर्निहित ज्यामितीय संरचनाओं और संरक्षण नियमों को संरक्षित किया जा सके।

मूल लेखक: Martine Dyring Hansen, Marta Ghirardelli, Elena Celledoni, David Martin de Diego, Brynjulf Owren

प्रकाशित 2026-07-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Martine Dyring Hansen, Marta Ghirardelli, Elena Celledoni, David Martin de Diego, Brynjulf Owren

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को डांस करना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास उस डांस का एक वीडियो है, लेकिन आप केवल कुछ ही फ्रेम्स में रोबोट की मुद्रा (यानी उसके शरीर के अंगों की स्थिति) देख पाते हैं। आपके पास कोई स्पीडोमीटर नहीं है, और न ही आपके पास उन अदृश्य बलों का कोई नक्शा है जो रोबोट को धकेल रहे हैं। आपका लक्ष्य एक ऐसा कंप्यूटर प्रोग्राम बनाना है जो अगले कदम की भविष्यवाणी कर सके, और फिर उसके बाद वाले कदम की, हमेशा के लिए, बिना रोबोट के गिरे या खराब हुए।

यह ठीक वही चुनौती है जिसे एक टीम के शोधकर्ताओं ने हल किया है जो एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं जिससे यह सीखा जा सके कि यांत्रिक प्रणालियाँ (mechanical systems) कैसे चलती हैं। वे अपनी इस रचना को LieDFLNN कहते हैं।

समस्या: "गिमबल लॉक" का जाल

अधिकांश कंप्यूटर मॉडल रोटेशन (घूर्णन) को तीन संख्याओं के सेट का उपयोग करके वर्णित करने की कोशिश करते हैं, जैसे कि यूलर एंगल्स (सोचिए जैसे "yaw, pitch, and roll")। यह पृथ्वी पर किसी स्थान को केवल अक्षांश (latitude) और देशांतर (longitude) का उपयोग करके वर्णित करने जैसा है। यह तब तक ठीक काम करता है जब तक आप उत्तरी ध्रुव पर नहीं पहुँच जाते। अचानक, गणित टूट जाता है। रोबोटिक्स की दुनिया में, इसे गिमबल लॉक कहा जाता है।

यदि एक रोबोट 360 डिग्री घूमता है, तो यूलर एंगल्स का उपयोग करने वाला मॉडल संख्याओं को छोटा रखने के लिए अचानक "179 डिग्री" से "-179 डिग्री" पर कूद सकता है। कंप्यूटर के लिए, रोबोट सुचारू रूप से नहीं घूमा; बल्कि वह टेलीपोर्ट हो गया। इससे सीखने वाला मॉडल भ्रमित हो जाता है, क्योंकि वह एक चिकनी गति को एक ऊबड़-खाबड़, टूटे हुए मानचित्र पर फिट करने की कोशिश करता है।

यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से उन मानक "सपाट" मानचित्रों (यूक्लिडियन स्पेस) या यूलर एंगल्स के उपयोग के खिलाफ तर्क देता है जो घूमने या जटिल रूप से चलने वाली प्रणालियों के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे दिखाते हैं कि रोटेशन डेटा को इन सपाट निर्देशांकों में जबरदस्ती डालने से कृत्रिम उछाल और त्रुटियां आती हैं जो वस्तु के घूमने के साथ और भी बढ़ जाती हैं।

समाधान: एक गोले पर नृत्य करना

दुनिया को चपटा करने के बजाय, लेखक सुझाव देते हैं कि हमें दुनिया को वैसा ही रखने दें जैसा वह घुमावदार है। वे रोबोट के ओरिएंटेशन (अभिविन्यास) को तीन संख्याओं के रूप में नहीं, बल्कि एक रोटेशन मैट्रिक्स के रूप में देखते हैं—जो संख्याओं का एक विशेष ग्रिड है जो हमेशा "पूरी तरह से ऑर्थोगोनल" (एक आदर्श बॉक्स के कोनों की तरह) रहता है।

इसे इस तरह सोचें: यदि आप एक सपाट फर्श पर चल रहे हैं, तो आप दूरी मापने के लिए बस एक रूलर का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन यदि आप एक विशाल बीच बॉल (beach ball) की सतह पर चल रहे हैं, तो रूलर ठीक से काम नहीं करेगा; आपको बॉल के वक्र (curve) का अनुसरण करने की आवश्यकता होगी। लेखकों की विधि सीधे उस "बीच बॉल" पर रहती है (गणितीय रूप से जिसे Lie group कहा जाता है, विशेष रूप से रोटेशन के लिए SO(3) और रोटेशन प्लस मूवमेंट के लिए SE(3))।

ऐसा करके, मॉडल को कभी भी "टेलीपोर्ट" होने या सिंगुलैरिटी (singularity) से टकराने की चिंता नहीं करनी पड़ती। यह गोले की सतह पर बना रहता है, ठीक वैसे ही जैसे वास्तविक रोबोट करता है।

जादू का नुस्खा: बिना गति के सीखना

आमतौर पर, यह जानने के लिए कि कोई चीज़ कैसे चलती है, आपको उसकी गति (वेलोसिटी) जानने की आवश्यकता होती है। लेकिन वास्तविक दुनिया में, सेंसर अक्सर केवल स्थिति (चीजें कहाँ हैं) देते हैं, और स्थिति से गति की गणना करना अव्यवस्थित और शोर भरा (noisy) होता है।

लेखक भौतिकी के एक चतुर तरीके का उपयोग करते हैं जिसे डिस्क्रीट फोर्स्ड यूलर-लैग्रेंज समीकरण (Discrete Forced Euler-Lagrange equations) कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक पहाड़ी से लुढ़कती हुई गेंद का मूवी देख रहे हैं। आपको यह जानने की ज़रूरत नहीं है कि हर मिलीसेकंड में गेंद की सटीक गति क्या है। आपको बस यह जानने की आवश्यकता है कि वह दो फ्रेम पहले कहाँ थी और अब वह कहाँ है। भौतिकी के नियम (विशेष रूप से "न्यूनतम क्रिया" या "least action" का सिद्धांत) इन बिंदुओं को जोड़ते हैं।
विधि: उनका मॉडल एक "डिस्क्रीट लैग्रेंजियन" सीखता है। इसे एक गुप्त नियम पुस्तिका के रूप में समझें जो सिस्टम को यह बताती है कि पिछले दो पोज के आधार पर एक पोज से दूसरे पोज में कैसे कूदना है। इसे स्पष्ट रूप से गति की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। यह केवल स्थितियों के पैटर्न को देखता है और उस "बल" (force) को सीखता है जो उन्हें जोड़ता है।

उन्होंने क्या सिद्ध किया (और क्या नहीं)

शोधकर्ताओं ने केवल यह अनुमान नहीं लगाया कि यह काम करेगा; उन्होंने सिमुलेशन और वास्तविक डेटा के साथ इसका परीक्षण किया।

"बड़ा स्पिन" टेस्ट: उन्होंने एक कठोर पिंड (rigid body) को घूमते हुए सिम्युलेट किया। जब उन्होंने पुराने यूलर एंगल मेथड का उपयोग किया, तो स्पिन बड़ा होने पर मॉडल बुरी तरह विफल हो गया, जिससे टेढ़े-मेढ़े, गलत पथ बने। जब उन्होंने अपने नए ली ग्रुप (Lie group) मेथड का उपयोग किया, तो मॉडल बड़े, 360-डिग्री स्पिन के लिए भी सटीक रहा। पुराना मेथड जहाँ त्रुटिपूर्ण था, वहीं उनका मॉडल स्थिर और सटीक रहा।
"लंबी यात्रा" टेस्ट: उन्होंने घूमने वाली वस्तु की भविष्य की भविष्यवाणी 500 स्टेप्स के लिए करने की कोशिश की (जो ट्रेनिंग डेटा से बहुत लंबा है)। नया मेथड पूरे समय उस "गोले" (सही गणितीय आकार) पर बना रहा। पुराने मेथड्स, भले ही वे सही शुरुआत करें, धीरे-धीरे गोले से भटक गए और भौतिक रूप से असंभव हो गए (जैसे कि एक रोटेशन मैट्रिक्स जो अब एक परफेक्ट स्क्वायर नहीं रह गया)।
"मानव कार्टव्हील" टेस्ट: उन्होंने एक मानव द्वारा कार्टव्हील करने के वास्तविक डेटा (120 Hz पर रिकॉर्ड किया गया) का उपयोग किया। यह कई चलते हुए हिस्सों वाला एक जटिल सिस्टम है ("मल्टीबॉडी सिस्टम")। उन्होंने मॉडल को एक ही व्यक्ति द्वारा एक ही मूव को करने की केवल दो रिकॉर्डिंग पर प्रशिक्षित किया। मॉडल ने उच्च सटीकता के साथ गति को पुनरुत्पादित करना सीख लिया। उनकी भविष्यवाणी में त्रुटि वास्तव में दो वास्तविक रिकॉर्डिंग के बीच के प्राकृतिक अंतर से भी कम थी (इसका मतलब है कि मॉडल मानव की अपनी निरंतरता जितना ही अच्छा था)।
"सीक्रेट कंट्रोलर" टेस्ट: एक प्रयोग में, वे रोबोट की भौतिकी (उसका वजन और आकार) जानते थे लेकिन उस "मस्तिष्क" (कंट्रोल सिग्नल) को नहीं जानते थे जो उसे क्या करना है यह बता रहा था। उन्होंने मॉडल को केवल स्थिति (position) का डेटा दिया। मॉडल ने सफलतापूर्वक छिपे हुए कंट्रोल सिग्नल का पता लगा लिया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि यह "शरीर" को "मस्तिष्क" से अलग कर सकता है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र सुझाव देता है कि रोटेशन के घुमावदार ज्यामिति (Lie groups का उपयोग करके) का सम्मान करके और एक डिस्क्रीट, स्टेप-बाय-स्टेप भौतिकी नियम पुस्तिका का उपयोग करके, हम ऐसे लर्निंग मॉडल बना सकते हैं जो:

बड़े रोटेशन के लिए अधिक सटीक हैं।
लंबे समय तक चलने के लिए अधिक स्थिर हैं (वे भटकते नहीं हैं)।
केवल स्थिति वाले डेटा से सीखने में सक्षम हैं, जो शोर भरे गति मापन को अनदेखा करता है।

उन्होंने यह दावा नहीं किया कि यह रोबोटिक्स की हर समस्या को हल करता है, लेकिन उन्होंने दिखाया कि कठोर पिंडों (ड्रोन, रोबोट, मानव अंग) की तरह घूमने और चलने वाली प्रणालियों के लिए, यह दृष्टिकोण मानक "सपाट" तरीकों की तुलना में काफी बेहतर है। यह कंप्यूटर को दुनिया को उसके वास्तविक रूप में समझने का एक तरीका है: घुमावदार, जुड़ी हुई और निरंतर।

तकनीकी सारांश: ली ग्रुप्स (Lie Groups) पर फोर्स्ड मल्टीबॉडी डायनेमिक्स सीखना

समस्या विवरण
अवलोकनात्मक डेटा से गतिशील प्रणालियों (dynamical systems) को सीखने में अक्सर ऐसी अवस्थाएँ शामिल होती हैं जो नॉनलीन कॉन्फ़िगरेशन स्पेस पर विकसित होती हैं, जैसे कि रोटेशन ग्रुप $SO(3) $या स्पेशल यूक्लिडियन ग्रुप$ SE(3)$। मौजूदा दृष्टिकोण अक्सर इन प्रणालियों को यूक्लिडियन एम्बेडिंग (जैसे यूलर कोण या जनरलाइज्ड कोऑर्डिनेट्स) का उपयोग करके मॉडल करते हैं, जिससे कोऑर्डिनेट सिंगुलैरिटी (जैसे गिम्बल लॉक), विच्छिन्नता (discontinuities) और प्रतिनिधित्व संबंधी अस्पष्टताएँ उत्पन्न होती हैं। इसके अतिरिक्त, मानक शिक्षण विधियों के लिए वेग (velocity) डेटा की आवश्यकता होती है, जो अनुपलब्ध, शोर युक्त (noisy), या डिस्क्रीट पोजीशन मेजरमेंट्स से प्राप्त करना कठिन हो सकता है। वे मॉडल जो कॉन्फ़िगरेशन स्पेस के मैनिफोल्ड स्ट्रक्चर का स्वाभाविक रूप से सम्मान नहीं करते हैं, वे ज्यामितीय विचलन (geometric drift) से ग्रस्त हो सकते हैं, जहाँ अनुमानित प्रक्षेपवक्र (trajectories) समय के साथ भौतिक बाधाओं (जैसे रोटेशन मैट्रिसेस की ऑर्थोगोनैलिटी) का उल्लंघन करते हैं।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र LieDFLNN (ली ग्रुप डिस्क्रीट फोर्स्ड यूलर-लैग्रेंज न्यूरल नेटवर्क) प्रस्तावित करता है, जो केवल पोजीशन डेटा का उपयोग करके ली ग्रुप्स पर सीधे मैकेनिकल सिस्टम की डायनेमिक्स को सीखता है। यह कार्यप्रणाली डिस्क्रीट वेरिएशनल मैकेनिक्स पर आधारित है:

डिस्क्रीट फोर्स्ड यूलर-लैग्रेंज समीकरण: यह दृष्टिकोण ली ग्रुप्स पर डिस्क्रीट फोर्स्ड यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करता है। निरंतर-समय डेरिवेटिव का अनुमान लगाने के बजाय, यह विधि डिस्क्रीट लैग्रेंजियन्स $L_d: G \times G \to \mathbb{R}$ और डिस्क्रीट बाहरी बलों (external forces) का उपयोग करके डायनेमिक्स को फॉर्म्युलेट करती है। यह विधि पूरी तरह से क्रमिक कॉन्फ़िगरेशन युग्मों $(g_k, g_{k+1})$ और उनके ग्रुप इंक्रीमेंट्स $W_k = g_k^{-1}g_{k+1}$ पर निर्भर करती है, जिससे स्पष्ट वेग मापन की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
ट्रिवियलाइजेशन (Trivialization): समीकरणों को लेफ्ट-ट्रिवियलाइजेशन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है, जो टेंजेंट बंडल $TG $को$ G \times \mathfrak{g} $(जहाँ$ \mathfrak{g}$ ली अल्जेब्रा है) में मैप करता है। इससे डायनेमिक्स की गणना पूरी तरह से ग्रुप एलिमेंट्स और अल्जेब्रा एलिमेंट्स के संदर्भ में की जा सकती है, जिससे ज्यामितीय संरचना सुरक्षित रहती है।
न्यूरल पैरामीटराइजेशन: डिस्क्रीट लैग्रेंजियन और बाहरी बलों को न्यूरल नेटवर्क ( $L_\theta$ $L_{θ}$ और $F_\theta$ $F_{θ}$ ) द्वारा पैरामीटराइज किया जाता है। आर्किटेक्चर निम्नलिखित का समर्थन करता है:
- रिजिड बॉडीज: $SO(3) $और$ SE(3)$ के लिए विशिष्ट फॉर्मुलेशन, जिसमें इनरशिया मैट्रिसेस और पोटेंशियल एनर्जी शामिल हैं।
- मल्टीबॉडी सिस्टम्स: मानव कंकालों जैसे आर्टिकुलेटेड सिस्टम्स को मॉडल करने के लिए प्रोडक्ट मैनिफोल्ड्स (जैसे $SE(3) \times SO(3)^{N}$ ) तक विस्तार।
- कंट्रोल इनपुट्स: फ्रेमवर्क अज्ञात कंट्रोल लॉज़ (जैसे फीडबैक कंट्रोलर्स) को बाहरी फोर्स टर्म के रूप में शामिल कर सकता है।
रेगुलराइजेशन: डिजेनरेट समाधानों (जैसे स्थिर लैग्रेंजियन्स) को रोकने के लिए, लॉस फंक्शन में एक रेगुलराइजेशन टर्म जोड़ा गया है। यह टर्म हेसियन (Hessians) को सिंगुलैरिटी के करीब पहुँचने से दंडित करके डिस्क्रीट लैग्रेंजियन की रेगुलैरिटी को लागू करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि सिस्टम सुव्यवस्थित (well-posed) बना रहे।
इन्फरेंस (Inference): प्रेडिक्शन, ग्रुप इंक्रीमेंट्स के लिए डिस्क्रीट फोर्स्ड यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को पुनरावृत्ति से हल करके किया जाता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि उत्पन्न प्रक्षेपवक्र बिना किसी एड-हॉक प्रोजेक्शन स्टेप के, कॉन्फ़िगरेशन मैनिफोल्ड पर ही बना रहे।

प्रमुख योगदान

मैनिफोल्ड-कंसिस्टेंट लर्निंग: यह विधि सीधे ग्रुप-वैल्यूड ऑब्जर्वेशन्स पर कार्य करती है, जो गारंटी देती है कि सीखे गए स्टेट्स कॉन्फ़िगरेशन मैनिफोल्ड (जैसे $SO(n), SE(n)$) पर बने रहें, जिससे ज्यामितीय विचलन और री-ऑर्थोगोनलाइजेशन की आवश्यकता से बचा जा सके।
वेलोसिटी-फ्री डायनेमिक्स: डिस्क्रीट वेरिएशनल फॉर्मुलेशन का उपयोग करके, यह दृष्टिकोण केवल पोजीशन मेजरमेंट्स से भौतिक संरचना को रिकवर करता है, जिससे न्यूमेरिकल डिफरेंशिएशन से जुड़े शोर और जटिलता से बचा जा रहा है।
मॉड्यूलरिटी और फ्लेक्सिबिलिटी: यह फ्रेमवर्क मॉड्यूलर है, जो पूर्ण डायनेमिक्स (लैग्रेंजियन और फोर्सेज) को संयुक्त रूप से या विशिष्ट घटकों को अलग करने (जैसे ज्ञात मैकेनिकल प्रॉपर्टीज के साथ अज्ञात कंट्रोल लॉ को पहचानना) में सक्षम है।
मल्टीबॉडी सिस्टम्स में सामान्यीकरण: यह दृष्टिकोण जटिल मल्टीबॉडी सिस्टम्स के साथ स्वाभाविक रूप से जुड़ता है, जो $SO(3) $और$ SE(3)$ के प्रोडक्ट मैनिफोल्ड्स को संभालता है।

प्रायोगिक परिणाम
लेखक पाँच प्रायोगिक सेटिंग्स के माध्यम से दृष्टिकोण को मान्य करते हैं:

कोऑर्डिनेट रिप्रेजेंटेशन: $SO(3)$ पर, LieDFLNN यूलर-एंगल-आधारित बेसलाइन्स की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करता है, विशेष रूप से बड़े रोटेशन के लिए जहाँ यूलर कोण सिंगुलैरिटी और विच्छिन्नता से ग्रस्त होते हैं। ली ग्रुप रिप्रेजेंटेशन सभी रोटेशन मैग्नीट्यूड्स में स्मूथ, कम-त्रुटि वाले प्रक्षेपवत्व बनाए रखता है।
डिस्क्रीट बनाम कंटीन्यूअस: डिस्क्रीट वेरिएशनल फॉर्मुलेशन, कंटीन्यूअस-टाइम बेसलाइन्स (ली ग्रुप इंटीग्रेटर्स सहित) की तुलना में बेहतर डेटा दक्षता और सटीकता प्रदर्शित करता है। डिस्क्रीट मॉडल बहुत छोटे ट्रेनिंग विंडो (3 क्रमिक पोज़) के साथ भी उच्च सटीकता प्राप्त करता है, जबकि कंटीन्यूअस मॉडल्स को सुधार के लिए लंबे प्रक्षेपवक्रों की आवश्यकता होती है और वे प्रदर्शन में पीछे रह जाते हैं।
मैनिफोल्ड कंस्ट्रेंट्स: जब $SE(3)$ पर लागू किया जाता है, तो प्रस्तावित मॉडल निर्माण के माध्यम से ज्यामितीय निरंतरता (ऑर्थोगोनैलिटी और यूनिट डिटर्मिनेंट) बनाए रखता है। इसके विपरीत, बेसलाइन जो मैट्रिक्स एंट्रीज को स्वतंत्र यूक्लिडियन कोऑर्डिनेट्स के रूप में मानती हैं (भले ही उनमें वेरिएशनल स्ट्रक्चर हो), वे लंबे रोलआउट के दौरान विचलन जमा करती हैं और भौतिक बाधाओं का उल्लंघन करती हैं।
रियल-वर्ल्ड मल्टीबॉडी सिस्टम्स: मानव कार्टव्हील मोशन कैप्चर डेटा (जो $SE(3) $और$ SO(3)$ का एक प्रोडक्ट मैनिफोल्ड है) पर लागू होने पर, मॉडल जटिल, उच्च-आयामी कपल्ड डायनेमिक्स को सफलतापूर्वक पुनरुत्पादित करता है। प्रेडिक्शन एरर बार-बार होने वाले ग्राउंड-ट्रुथ रिकॉर्डिंग्स के बीच की अंतर्निहित परिवर्तनशीलता से नीचे रहता है।
कंट्रोल आइडेंटिफिकेशन: एक सेटिंग में जहाँ लैग्रेंजियन ज्ञात है, फ्रेमवर्क केवल पोजीशन डेटा के एक सिंगल प्रक्षेपवक्र से अज्ञात PD कंट्रोल टॉर्क को सफलतापूर्वक पहचान लेता है, कंट्रोल सिग्नल को सटीक रूप से रिकवर करता है और सिस्टम को स्थिर करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि ली ग्रुप्स के ज्यामितीय स्ट्रक्चर को सीधे वेरिएशनल इंटीग्रेटर में एम्बेड करने से कोऑर्डिनेट सिंगुलैरिटी और ज्यामितीय विचलन समाप्त हो जाता है जो यूक्लिडियन बेसलाइन्स में सामान्य है। लेखक का तर्क है कि डिस्क्रीट वेरिएशनल स्ट्रक्चर ही डिस्क्रीट ऑब्जर्वेशन्स से प्रभावी ढंग से सीखने की कुंजी है, क्योंकि यह मॉडल को न्यूनतम टेम्पोरल कॉन्टेक्स्ट से अधिकतम डायनेमिकल जानकारी निकालने की अनुमति देता है। इस फ्रेमवर्क को सिस्टम आइडेंटिफिकेशन के लिए एक मजबूत उपकरण के रूप में प्रस्तुत किया गया है जहाँ वेलोसिटी डेटा अनुपलब्ध या अविश्वसनीय है, जो बेहतर भौतिक निरंतरता, सामान्यीकरण और दीर्घकालिक भविष्य कहने वाली सटीकता प्रदान करता है, विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए जिनमें बड़े रोटेशन या जटिल मल्टीबॉडी इंटरैक्शन शामिल हैं। यह कार्य ज्योमेट्रिक डीप लर्निंग के व्यापक प्रयास के अनुरूप है जो ली ग्रुप्स और मैनिफोल्ड स्ट्रक्चर को लर्निंग एल्गोरिदम में शामिल करने पर केंद्रित है, विशेष रूप से डिस्क्रीट वेरिएशनल फॉर्मुलेशन के माध्यम से मैकेनिकल सिस्टम्स पर।

समस्या: "गिमबल लॉक" का जाल

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निष्कर्ष

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