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Learning Forced Multibody Dynamics on Lie Groups

本文提出了一种几何深度学习架构，该架构利用李群上的离散强制欧拉-拉格朗日方程，从仅包含位置的数据中学习机械系统动力学，从而在适应多体系统和外部控制的同时，保持固有的几何结构和守恒定律。

原作者： Martine Dyring Hansen, Marta Ghirardelli, Elena Celledoni, David Martin de Diego, Brynjulf Owren

发布于 2026-07-15

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原作者： Martine Dyring Hansen, Marta Ghirardelli, Elena Celledoni, David Martin de Diego, Brynjulf Owren

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下，你正在试图教一个机器人跳舞。你有一段舞蹈视频，但你只能每隔几帧才看到机器人的姿态（即它身体各部分的位置）。你没有速度计，也绝对无法感知推动机器人的那些看不见的力。你的目标是构建一个计算机程序，能够预测下一个动作，以及再下一个动作，永远如此，且不让机器人摔倒或出现故障。

这正是研究人员提出的一种学习机械系统运动的新方法所应对的挑战。他们将这一成果命名为 LieDFLNN。

问题所在：“万向节死锁”陷阱

大多数计算机模型尝试使用一组三个数字来描述旋转，比如 欧拉角（想想看，就是“偏航、俯仰和横滚”）。这就像试图仅用经度和纬度来描述地球上的一个位置。这在正常情况下运行良好，直到你到达北极。突然间，数学逻辑崩溃了。在机器人领域，这被称为 万向节死锁（gimbal lock）。

如果一个机器人旋转 360 度，使用欧拉角的模型可能会为了保持数字较小而突然从“179 度”跳到“-179 度”。对计算机而言，机器人并没有平滑旋转，而是发生了“瞬间移动”。这会导致学习模型产生混乱，试图将一段平滑的舞蹈强行拟合到一个破碎、跳跃的地图上。

论文明确反对使用这些标准的“平坦”地图（欧几里得空间）或欧拉角来处理旋转或进行复杂运动的系统。他们表明，强行将旋转数据放入这些平坦坐标系中，会引入人为的跳跃和误差，且随着物体旋转程度的增加，这些误差会变得越来越严重。

解决方案：在球面上跳舞

作者建议，不要把世界压平，而是保持世界的曲率。他们将机器人的朝向视为一个 旋转矩阵（Rotation Matrix）——一个特殊的数字网格，它始终保持“完美正交”（就像一个完美立方体的棱角一样）。

可以这样想：如果你在平坦的地板上行走，你可以直接用尺子测量距离。但如果你是在一个巨大的海滩球表面行走，尺子就不管用了；你需要沿着球的曲线行进。作者的方法直接生活在那个“海滩球”之上（在数学上称为 李群（Lie group），具体到旋转是 SO(3)，旋转加位移则是 SE(3)）。

通过这种方式，模型永远不必担心“瞬间移动”或遇到奇异点。它始终停留在球面上，就像真实的机器人一样。

魔法技巧：无需速度的学习

通常，为了弄清楚某物是如何运动的，你需要知道它的速度（velocity）。但在现实世界中，传感器通常只提供位置信息（事物在哪里），而通过位置来计算速度既麻烦又充满噪声。

作者使用了物理学中一个巧妙的技巧，称为 离散强迫欧拉-拉格朗日方程（Discrete Forced Euler-Lagrange equations）。

类比： 想象你在看一部球滚下山的电影。你不需要知道球在每一毫秒的确切速度，就可以预测它下一步会出现在哪里。你只需要知道它两帧前在哪里，以及现在在哪里。物理定律（特别是“最小作用量原理”）将这些点连接了起来。
方法： 他们的模型学习的是一个“离散拉格朗日量（Discrete Lagrangian）”。你可以把它看作是一个秘密规则手册，它告诉系统如何仅根据前两个姿态，就实现从一个姿态到下一个姿态的跳转。它不需要显式地计算速度，它只是观察位置的模式，并学习连接它们的“力”。

他们的证明（以及未竟之处）

研究人员不仅是凭直觉猜测这行得通，他们还通过模拟和真实数据进行了测试。

“大旋转”测试： 他们模拟了一个刚体旋转的过程。当使用旧的欧拉角方法时，随着旋转幅度变大，模型表现得一团糟，产生了锯齿状的错误路径。而当使用他们新的李群方法时，即使面对巨大的 360 度旋转，模型依然保持精确。误差保持在低位且稳定，而旧方法的误差则呈爆炸式增长。
“长途跋涉”测试： 他们尝试预测一个旋转物体在 500 个步骤后的未来（这比训练数据长得多）。新方法在整个过程中都保持在“球面”上（正确的数学形状）。旧方法即使起步正确，也会慢慢漂移出球面，变成物理上不可能实现的形态（比如一个不再是完美正方形的旋转矩阵）。
“人类侧手翻”测试： 他们使用了人类做侧手翻的真实数据（以 120 Hz 记录）。这是一个拥有许多运动部件的复杂系统（多体系统）。他们仅用两次相同动作的录像对进行训练。模型成功学习并高保真地重现了该动作。其预测误差实际上比两次真实录像之间的自然差异还要小（这意味着模型的表现与人类自身的连贯性一样好）。
“秘密控制器”测试： 在一个实验中，他们已知机器人的物理特性（重量和形状），但不知道指挥它的“大脑”（控制信号）。他们仅向模型输入位置数据。模型成功破解了隐藏的控制信号，证明它能够分离“身体”与“大脑”。

核心结论

论文表明，通过尊重旋转的几何曲率（使用李群）并使用离散的、逐步的物理规则手册，我们可以构建出满足以下特征的学习模型：

对于大角度旋转更加精确。
在长时间运行中更加稳定（不会发生漂移）。
能够 仅从位置数据中学习，从而忽略嘈杂的速度测量。

他们并未声称解决了机器人领域的所有问题，但他们展示了对于像无人机、机器人或人体肢体这类旋转和运动的刚体系统，这种方法明显优于标准的“平坦”方法。这是一种教计算机理解真实世界的方式：世界是弯曲的、相互连接的，并且是连续的。

技术摘要：在李群上学习强制多体动力学

问题陈述
从观测数据中学习动力学系统通常涉及在非线性构型空间（如旋转群 $SO(3) $或特殊欧几里得群$ SE(3)$）上演化的状态。现有的方法经常在欧几里得嵌入（例如使用欧拉角或广义坐标）中对这些系统进行建模，这会引入坐标奇异性（如万向节死锁）、不连续性和表示歧义。此外，标准的学习方法通常需要速度数据，而速度数据可能无法获得、存在噪声，或者难以从离散的位置测量中获取。此外，未能固有尊重构型空间流形结构的模型可能会遭受几何漂移，即预测的轨迹随时间推移违反物理约束（例如旋转矩阵的正交性）。

方法论
本文提出了 LieDFLNN（李群离散强制欧拉-拉格朗日神经网络），该架构直接在李群上利用仅有的位置数据学习机械系统的动力学。该方法基于离散变分力学：

离散强制欧拉-拉格朗日方程： 该方法的核心是利用李群上的离散强制欧拉-拉格朗日方程。该方法不是近似连续时间导数，而是使用离散拉格朗日量 $L_d: G \times G \to \mathbb{R}$ 和离散外力来构建动力学。这种公式化依赖于仅有的连续构型对 $(g_k, g_{k+1})$ 及其群增量 $W_k = g_k^{-1}g_{k+1}$ ，从而消除了对显式速度测量的需求。
平凡化（Trivialization）： 方程通过左平凡化进行表达，将切丛 $TG $映射到$ G \times \mathfrak{g} $（其中$ \mathfrak{g}$ 是李代数）。这使得动力学可以完全基于群元素和代数元素进行计算，从而保持了几何结构。
神经参数化： 离散拉格朗日量和外力由神经网络（ $L_\theta$ $L_{θ}$ 和 $F_\theta$ $F_{θ}$ ）进行参数化。该架构支持：
- 刚体： 针对 $SO(3) $和$ SE(3)$ 的特定公式，包括惯性矩阵和势能。
- 多体系统： 向乘积流形（例如 $SE(3) \times SO(3)^{N}$ ）的扩展，用于模拟如人体骨架等关节系统。
- 控制输入： 该框架可以将未知的控制律（例如反馈控制器）作为外力项的一部分纳入其中。
正则化： 为了防止退化解（例如常数拉格朗日量），我们在损失函数中添加了一个正则化项。该项通过惩罚趋于奇异的黑塞矩阵（Hessian）来强制要求离散拉格朗日的正则性，确保系统保持良定。
推理： 通过迭代求解离散强制欧拉-拉格朗日方程来预测群增量，从而进行预测，这确保了生成的轨迹严格保持在构型流形上，而无需采用启发式的投影步骤。

核心贡献

流形一致性学习： 该方法直接作用于群值观测数据，保证了学习到的状态始终保持在构型流形（如 $SO(n), SE(n)$）上，从而避免了几何漂移和重新正交化的需求。
无速度动力学： 通过利用离散变分公式，该方法仅从位置测量中恢复物理结构，避免了与数值微分相关的噪声和复杂性。
模块化与灵活性： 该框架具有模块化特征，能够联合学习完整的动力学（拉格朗日量和力），或者隔离特定组件（例如在机械特性已知的情况下识别未知的控制律）。
向多体系统的泛化： 该方法自然地扩展到具有耦合相互作用的复杂多体系统，处理 $SO(3) $和$ SE(3)$ 的乘积流形。

实验结果
作者通过五种实验设置验证了该方法：

坐标表示： 在 $SO(3)$ 上，LieDFLNN 显著优于基于欧拉角的基准模型，特别是在欧拉角存在奇异性和不连续性的大幅度旋转情况下。李群表示在所有旋转幅度下均保持平滑、低误差的轨迹。
离散 vs. 连续： 离散变分公式表现出比连续时间基准（包括使用李群积分器的模型）更优的样本效率和准确性。即使在极短的训练窗口（连续 3 个姿态）下，离散模型也能实现高精度，而连续模型需要更长的轨迹才能提升性能，且表现仍然落后。
流形约束： 当应用于 $SE(3)$ 时，所提模型通过构造维持了几何一致性（正交性和单位行列式）。相比之下，将矩阵元素视为独立欧几里得坐标的基准模型（即使是具有变分结构的模型）在长时间展开过程中会积累漂移并违反物理约束。
现实世界多体系统： 在应用于人体侧手翻动作捕捉数据（$SE(3) $和$ SO(3)$ 的乘积流形）时，该模型成功重现了复杂的、高维耦合的动力学以及大幅度旋转。其预测误差保持在重复地面真值记录之间的固有变异性之内。
控制识别： 在拉格朗日量已知的设定下，该框架仅通过单条位置数据轨迹，就成功识别了未知的 PD 控制转矩，准确地恢复了控制信号并使系统稳定。

意义与主张
本文声称，将李群的几何结构直接嵌入变分积分器中，消除了欧几里得基准模型中常见的坐标奇异性和几何漂移。作者断言，离散变分结构是有效从离散观测中学习的关键，因为它允许模型从极小的时域上下文中提取最大的动力学信息。该框架被呈现为一种鲁棒的系统辨识工具，适用于速度数据不可用或不可靠的场景，在处理涉及大幅度旋转或复杂多体相互作用的系统时，提供了改进的物理一致性、泛化能力和长期预测准确性。这项工作符合几何深度学习的广泛趋势，即将群和流形结构整合进学习算法中，特别是通过离散变分公式专注于机械系统。