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Negative $K$ -theory and Hodge theory

यह शोध पत्र मिश्रित हॉज सिद्धांत (mixed Hodge theory), उच्च विलक्षणताओं (higher singularities) के सिद्धांतों, चाउ समूहों (Chow groups) और न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम (Minimal Model Program) को एकीकृत करके जटिल किस्मों (complex varieties) के ऋणात्मक $K$ -समूहों की जांच करता है।

मूल लेखक: Andrew Burke, Mihnea Popa, Wanchun Shen

प्रकाशित 2026-07-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Andrew Burke, Mihnea Popa, Wanchun Shen

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास कांच से बनी एक सुंदर, जटिल मूर्ति है। यदि कांच पूरी तरह से चिकना है, तो इसे समझना आसान है: प्रकाश इसके माध्यम से गुजरता है, और आप सटीक रूप से अनुमान लगा सकते हैं कि यह कैसे व्यवहार करेगा। गणित की दुनिया में, इन चिकनी आकृतियों को "स्मूथ वैरायटीज़" (smooth varieties) कहा जाता है, और लंबे समय तक गणितज्ञों को उनके बारे में एक गुप्त नियम पता था: यदि आप उनके द्वारा डाली गई एक निश्चित प्रकार की "परछाई" (जिसे नेगेटिव K-थ्योरी कहा जाता है) को देखते हैं जब संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं, तो वह परछाई पूरी तरह से खाली होती है। वह शून्य होती है। वहां कुछ भी नहीं होता।

लेकिन क्या होता है जब मूर्ति टूट जाती है? क्या होगा यदि इसमें दरारें, टेढ़े-मेढ़े किनारे या नुकीले बिंदु हों जहाँ टुकड़े आपस में जुड़ गए हों? ये "सिंगुलैरिटीज़" (singularities) हैं। दशकों से, इन टूटी हुई आकृतियों की नेगेटिव K-थ्योरी गणित का एक रहस्यमय, अंधेरा कोना रही है। यह एक टूटे हुए फूलदान की परछाई को समझने की कोशिश करने जैसा है बिना यह जाने कि उसके टुकड़े आपस में कैसे जुड़े हुए हैं। परछाई अब शून्य नहीं है; यह अव्यवस्थित है, छिपे हुए टोरशन (twisted loops जो पूरी तरह से बंद नहीं होते) से भरी है, और अनुमान लगाना कठिन है।

यह शोध पत्र, जिसे एंड्रयू बर्क, मिन्हा पोपा और वानचुन शेन ने लिखा है, एक नए हाई-टेक चश्मे की तरह है जो हमें ठीक से देखने देता है कि उस अव्यवस्थित परछाई के अंदर क्या है। वे केवल अनुमान नहीं लगाते; वे तीन उपकरणों के एक शक्तिशाली संयोजन का उपयोग करते हैं: मिक्सड Hodge थ्योरी (एक तरीका जिससे हम आकृति के छेदों के "वजन" और संरचना को मापते हैं), हायर सिंगुलैरिटीज़ (दरारों की गंभीरता को वर्गीकृत करने का एक तरीका), और मिनिमल मॉडल प्रोग्राम (जटिल आकृतियों को सरल बनाने की एक विधि)।

बड़ी खोज: दरार का "वजन"

लेखक एक शानदार विचार प्रस्तावित करते हैं: नेगेटिव K-थ्योरी की परछाई गायब होना (शून्य होना) या छोटी रहना पूरी तरह से आकृति की आंतरिक संरचना के "वजन" पर निर्भर करता है।

सोचिए कि आकृति के छेदों के अलग-अलग "वजन" हैं, जैसे भारी पत्थर बनाम हल्के पंख।

नियम: यदि आकृति में "रेशनल सिंगुलैरिटीज़" (एक विशिष्ट, सुव्यवस्थित प्रकार की दरार) हैं, तो भारी पत्थरों को नीचे धकेल दिया जाता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि इन आकृतियों के लिए, जब आप उन्हें परिमेय संख्याओं (rational numbers) के साथ देखते हैं, तो नेगेटिव K-थ्योरी समूह $K_{-n}$ और $K_{-n+1}$ (जहाँ $n$ आकृति का आयाम है) पूरी तरह से खाली (शून्य) होते हैं।
प्रमाण: उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "ऐसा लगता है।" उन्होंने इसे सिद्ध किया। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक 3D वस्तु (थ्रीफोल्ड) है जिसमें इस प्रकार की विशिष्ट दरारें हैं, तो $K_{-3}$ और $K_{-2}$ समूह निश्चित रूप से शून्य हैं।

"बॉर्डरलाइन" रहस्य: जब चीजें भारी हो जाती हैं

लेकिन अगली कतार वाले समूह, $K_{-n+2}$ के बारे में क्या? यह "बॉर्डरलाइन" मामला है। यह एक चट्टान के किनारे पर खड़े होने जैसा है।

शोध पत्र सुझाव देता है कि 3D आकृतियों के लिए जिनमें आइसोलेटेड दरारें (klt type) हैं, यह समूह शून्य नहीं है, लेकिन यह यादृच्छिक (random) भी नहीं है। यह आकृति के कोहोमोलॉजी के एक विशिष्ट भाग के आइसोमोर्फिक (isomorphic) है जिसे $gr^W_2 H^n(X, \mathbb{Q})$ कहा जाता है।

इसका अर्थ क्या है: इस K-ग्रुप का आकार आकृति के छेदों के "वेट 2" (weight 2) भाग द्वारा सटीक रूप से निर्धारित होता है।
पकड़ (The Catch): यह परिणाम परिमेय संख्याओं (fractions) के लिए सिद्ध किया गया है। यदि आप पूर्ण संख्याओं (integers) को देखने की कोशिश करते हैं, तो चीजें जटिल हो जाती हैं। शोध पत्र एक "कुमर वैरायटी" (एक आकृति जिसे टॉरस को आधा मोड़कर बनाया गया है) का उपयोग करके एक काउंटर-एग्जांपल दिखाता है। इस मामले में, समूह शून्य नहीं है; यह टोरशन का एक छोटा सा लूप है (विशेष रूप से, यह $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ से संबंधित है)। इसलिए, लेखक बहुत सावधान हैं: वे कहते हैं कि सूत्र भिन्नों (fractions) के लिए पूरी तरह से काम करता है, लेकिन पूर्ण संख्याओं (whole numbers) के लिए, वहां जानकारी का एक छोटा, घुमावदार गांठ छिपा हो सकता है।

परछाई की भविष्यवाणी करने की "रेसिपी"

लेखक केवल विशिष्ट मामलों को सिद्ध करने तक ही सीमित नहीं रहते। वे एक सामान्य "रेसिपी" (Conjecture G) प्रदान करते है जो सटीक रूप से भविष्यवाणी करती है कि आकृति के कोहोमोलॉजी के "वजन" के आधार पर ये परछाइयाँ कब गायब होंगी।

कन्जेक्चर (Conjecture): यदि आकृति के कोहोमोलॉजी समूहों में "कम वजन" वाले हिस्से नहीं हैं (विशेष रूप से, यदि कुछ वेट स्पेस शून्य हैं), तो संगत cdh-मोटिविक कोहोमोलॉजी (K-थ्योरी का एक फैंसी चचेरा भाई) भी शून्य होगा।
विश्वास: वे सिद्ध करते हैं कि यह रेसिपी सबसे सरल मामलों (वजन 0 और 1) के लिए बिना किसी संदेह के काम करती है। कठिन मामलों (वजन 2 और उससे अधिक) के लिए, वे "ब्लोक-बीलिनसन कन्जेक्चर" (बीजगणितीय चक्रों से छेदों के संबंध के बारे में एक विशाल, अनसुलझी समस्या) के गहरे, अप्रमाणित विचारों पर भरोसा करते हैं। वे कहते हैं, "यदि आप इस बड़े कन्जेक्चर पर विश्वास करते हैं, तो हमारी रेसिपी पूरी तरह से काम करती है।"

वे स्पष्ट रूप से किसे खारिज करते हैं

यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या काम नहीं करता है।

पूर्ण संख्याओं के लिए कोई "जादू" नहीं: लेखक स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि आप सभी मामलों में पूर्ण संख्याओं (integers) के लिए यह नहीं कह सकते कि "K-ग्रुप शून्य हैं।" कुमर वैरायटी का उदाहरण सिद्ध करता है कि बहुत अच्छी आकृतियों के लिए भी, नेगेटिव K-ग्रोप्स में गैर-शून्य टोरशन (घुमावदार लूप) हो सकता है। इसलिए, कोई भी विचार कि "अच्छी आकृतियों के लिए नेगेटिव K-थ्योरी हमेशा शून्य होती है" गलत है यदि आप पूर्ण संख्याओं की गिनती कर रहे हैं।
चिकनापन (Smoothness) आवश्यक नहीं: वे इस विचार को खारिज करते हैं कि इन समूहों को समझने के लिए आकृति का चिकना होना आवश्यक है। वास्तव में, इन समूहों के अस्तित्व और रोचक होने का मुख्य कारण ही यह है कि आकृति टूटी हुई (सिंगुलर) है।
उच्च आयामों के लिए "वन-साइज़-फिट्स-ऑल" नहीं: हालांकि उनके पास 2D और 3D आकृतियों के लिए अच्छी पकड़ है, लेकिन 4D आकृतियों (फोरफोल्ड्स) के लिए, $K_{-1}$ समूह अभी भी थोड़ा रहस्यमय है। वे इसे तभी गायब होने की भविष्यवाणी कर सकते हैं जब आकृति में बहुत विशिष्ट "प्री-1-रेशनल" दरारें हों, लेकिन उस विशिष्ट शर्त के बिना, यह अभी भी एक खुला प्रश्न है।

वे कितने आश्वस्त हैं?

सिद्ध (Proven): उनके पास रेशनल सिंगुलैरिटीज़ वाली आकृतियों के लिए $K_{-n}$ और $K_{-n+1}$ के गायब होने के ठोस प्रमाण हैं। उन्होंने cdh कोहोमोलॉजी में वजन 0 और 1 के लिए सूत्र सिद्ध किए हैं।
सशर्त (Conditional): "बॉर्डरलाइन" समूह $K_{-n+2}$ के लिए, उनके पास परिमेय संख्याओं के लिए एक प्रमाण है, लेकिन पूर्ण संख्याओं के लिए, उन्हें निश्चित होने के लिए आकृति का "लोकल कम्प्लीट इंटरसेक्शन" (एक विशिष्ट ज्यामितीय स्थिति) होना आवश्यक है।
सुझाव (Suggested): महान एकीकृत सिद्धांत (Conjecture G) और उच्च वजन के परिणाम ब्लॉक-बीलिनसन कन्जेक्चर पर आधारित हैं। लेखक आश्वस्त हैं कि यह सही रास्ता है, लेकिन जब तक इस बड़े कन्जेक्चर को सिद्ध नहीं किया जाता, तब तक ये विशिष्ट भविष्यवाणियाँ "अत्यधिक संभावित सुझाव" बनी रहेंगी, न कि पूर्ण तथ्य।

निष्कर्ष (The Takeaway)

यह शोध पत्र पहले से अज्ञात, धुंधले द्वीप के लिए एक मानचित्र की तरह है। लेखकों ने तटरेखा को पूर्ण सटीकता के साथ खींचा है (सिद्ध गायब होने के परिणाम) और उन गहरे, खतरनाक पानी को चिह्नित किया है जहाँ अभी भी धुंध घनी है (इंटीजर टोरशन और उच्च आयाम)। उन्होंने हमें दिखाया है कि आकृति की आंतरिक संरचना का "वजन" ही वह दिशा-सूचक यंत्र (compass) है जो हमें बताता है कि नेगेटिव K-थ्योरी की परछाई गायब हो जाएगी या एक घुमावदार, रहस्यमय गांठ के रूप में बनी रहेगी। उन्होंने अभी पूरा द्वीप हल नहीं किया है, लेकिन उन्होंने हमें सबसे खतरनाक हिस्सों को आत्मविश्वास के साथ नेविगेट करने के उपकरण दे दिए हैं।

समस्या विवरण
यह शोध पत्र जटिल बीजगणितीय किस्मों (complex algebraic varieties) $X$ के ऋणात्मक K-समूहों, $K_j(X)$ ( $j < 0$ ) की जांच करता है। जबकि चिकनी किस्मों (smooth varieties) के लिए ऋणात्मक K-सिद्धांत लुप्त हो जाता है (ग्रोथेंडिक द्वारा प्रमाणित एक परिणाम), यह विलक्षण किस्मों (singular varieties) के लिए एक गैर-तुच्छ (non-trivial) इनवेरिएंट के रूप में कार्य करता है, जो अक्सर वेक्टर बंडलों के लिफ्टिंग समस्याओं में बाधा उत्पन्न करता है। केंद्रीय समस्या इन समूहों के लुप्त होने (vanishing) या टोरशन (torsion) व्यवहार को हॉडज-सैद्धांतिक (Hodge-theoretic) और विलक्षणता-सैद्धांतिक (singularity-theoretic) परिप्रेक्ष्य से समझना है। विशेष रूप से, लेखक उन अनुमानों (conjectures) को प्रतिपादित करने और सिद्ध करने का लक्ष्य रखते हैं जो ऋणात्मक K-समूहों के लुप्त होने को विलक्षण समाहुति (singular cohomology) पर मिश्रित हॉडज संरचना (mixed Hodge structure) के भार (weights) और उच्च विलक्षणताओं (विशेष रूप से $m$ -rational और $m$ -Du Bois विलक्षणताओं) के सिद्धांत से जोड़ते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक कई उन्नत गणितीय ढांचों का संश्लेषण उपयोग करते हैं:

होमोटॉपी K-सिद्धांत (Homotopy K-theory - $KH$): वे वीबेल (Weibel) के होमोटॉपी K-सिद्धांत का उपयोग करते हैं, जो $\mathbb{A}^1$ -इनवेरिएंट है, एक मानक K-सिद्धांत के विकल्प के रूप में। $K$ और $KH $के बीच का संबंध किस्म की$ K$-रेगुलरिटी (K-regularity) द्वारा नियंत्रित होता है, जो विलक्षणता के प्रकार (जैसे, Du Bois विलक्षणताएं) द्वारा निर्धारित होती है।
Cdh-मोटिविक समाहुति (Cdh-motivic Cohomology): $KH$-समूहों की गणना को एक एटीया-हिरज़ब्रश (Atiyah-Hirzebruch) प्रकार के स्पेक्ट्रल अनुक्रम के माध्यम से cdh-मोटिविक समाहुति समूहों, $H^k_{cdh}(X, \mathbb{Q}(j))$ के अध्ययन तक कम किया जाता है।
मिश्रित हॉडज सिद्धांत (Mixed Hodge Theory): मुख्य रणनीति $X$ की विलक्षण समाहुति पर वेट फिल्ट्रेशन (weight filtration) $W_\bullet$ के माध्यम से cdh-समाहुति के लुप्त होने से संबंधित है। लेखक भारों पर सीमाएं (bounds) स्थापित करने के लिए उच्च विलक्षणताओं के सिद्धांत का लाभ उठाते हैं।
मिनिमल मॉडल प्रोग्राम (MMP) और चाव समूह (Chow Groups): उच्च भारों (विशेष रूप से भार 2) और कोडिमेंशन 2 चक्रों (codimension 2 cycles) के लिए, लेखक लॉग रेजोल्यूशन के स्ट्रेटा (strata) के चाव समूहों पर प्रतिबंध मानचित्रों (restriction maps) का विश्लेषण करते हैं। इसमें स्ट्रेटा को क्रमबद्ध करने के लिए MMP का उपयोग करना और स्ट्रेटा के 0-चक्रों पर ब्लॉच के अनुमान (Bloch's conjecture) को लागू करके इन मानचित्रों की सर्जेक्टिविटी (surjectivity) स्थापित करना शामिल है।
हाइपर-रेजोल्यूशन (Hyperresolutions): क्यूबिकल हाइपर-रेजोल्यूशन का उपयोग विलक्षण किस्मों की समस्याओं को चिकने घटकों तक कम करने की अनुमति देता है, जिससे स्पेक्ट्रल अनुक्रमों और भार तर्कों का अनुप्रयोग सुगम हो जाता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

अनुमानों का प्रतिपादन (Conjectures Formulation):
- अनुमान B: यह भविष्यवाणी करता है कि यदि $H^j(X, \mathbb{Q})$ पर मिश्रित हॉडज संरचना के भार इस प्रकार हैं कि $W_{j-i}H^j(X, \mathbb{Q}) = 0$ सभी $j \le 2n-i$ के लिए, तो $KH_{-i}(X)_{\mathbb{Q}} = 0$ होगा।
- अनुमान C: विलक्षणता प्रकारों पर आधारित एक अधिक सशक्त संस्करण। यदि $X$ में प्री- $m$ -रेशनल विलक्षणताएं (जो स्थिति $D_m$ को संतुष्ट करती हैं) हैं, तो $KH_{-i}(X)_{\mathbb{Q}} = 0$ होगा जब $i \ge n - 2m - 1$ हो।
- अनुमान E: विलक्षणता संबंधी धारणाओं के तहत समान भारों के आधार पर मानक K-समूहों $K_{-i}(X)$ तक लुप्त होने की भविष्यवाणियों का विस्तार करता है, जिसमें विलक्षणता लोकस (singular locus) के आयाम को भी ध्यान में रखा गया है।
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- अनुमान G: भार सीमाओं के आधार पर cdh-मोटिविक समाहुति $H^k_{cdh}(X, \mathbb{Q}(j))$ के लुप्त होने के संबंध में एक मौलिक तकनीकी अनुमान, जो स्पेक्ट्रल अनुक्रमों के माध्यम से पिछले अनुमानों को सिद्ध करता है।
अप्रतिबंधित प्रमेय (Unconditional Theorems):
- प्रमेय D और F: लेखक विशिष्ट श्रेणियों (विशेष रूप से $i=n$ और $i=n-1$ ) के लिए और रेशनल विलक्षणताओं वाली किस्मों के लिए अनुमान B और C को सिद्ध करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $X$ में रेशनल विलक्षणताएं हैं, तो $K_{-n}(X)_{\mathbb{Q}} = K_{-n+1}(X)_{\mathbb{Q}} = 0$ ।
- प्रमेय I: एक महत्वपूर्ण परिणाम जो $n \ge 3$ आयाम वाली प्रोजेक्टिव किस्मों के लिए आइसोलेटेड klt प्रकार की विलक्षणताओं के साथ $H^{n+2}_{cdh}(X, \mathbb{Q}(2))$ के लुप्त होने को स्थापित करता है। यह सबसे कठिन परिणाम है, जो MMP और ब्लॉच के अनुमान का उपयोग करके कोडिमेंशन 2 चाव समूहों पर प्रतिबंध मानचित्रों की सर्जेक्टिविटी पर निर्भर करता है।
- प्रमेय H और I (इंटीग्रल परिणाम): शोध पत्र भार 0 और भार 1 के लिए इंटीग्रल विवरण प्रदान करता है, जो $H^i_{cdh}(X, \mathbb{Z}(0)) \cong H^i_0(X, \mathbb{Z})$ दिखाता है और भार 1 समूहों को रेजोल्यूशन स्ट्रेटा के पिकार्ड समूहों (Picard groups) से जोड़ता है।
विशिष्ट आयामी परिणाम:
- थ्रीफोल्ड्स (Threefolds): रेशनल विलक्षणताओं वाले एक प्रोजेक्टिव थ्रीफोल्ड $X$ के लिए, शोध पत्र $H^3(X, \mathbb{Q})$ के ग्रेडेड वेट 2 भाग और ग्लोबल $\mathbb{Q}$ -फैक्टोरियलिटी के डिफेक्ट के संदर्भ में $K_{-1}(X)_{\mathbb{Q}}$ का सटीक विवरण देता है।
- क्वोटिएंट सिंगुलैरिटीज (Quotient Singularities): शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि क्वोटिएंट विलक्षणताओं वाली किस्मों के लिए, सभी ऋणात्मक K-समूह टोरशन हैं (तर्कसंगत रूप से लुप्त), जो cdh-कोहोमोलॉजी पर ट्रेस मैप्स के माध्यम से पिछले परिणामों का विस्तार करता है।
- कोन्स और टॉरिक वैराइटीज़ (Cones and Toric Varieties): इन मामलों में अनुमानों की पुष्टि करते हुए, एफाइन/प्रोजेक्टिव कोन्स और टॉरिक वैराइटीज़ के लिए परिणामों को सत्यापित किया गया है।
काउंटर-एग्जांपल और सीमाएं:
- शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि लुप्त होने के परिणाम सामान्यतः इंटीग्रल स्तर पर विफल होते हैं। कुमर वैराइटीज़ (एबेलियन वैराइटीज़ के क्वोटिएंट) का उपयोग करते हुए, लेखक ऐसे उदाहरण प्रस्तुत करते हैं जहाँ $K_{-1}(X)$ गैर-शून्य टोरशन है, जिससे यह सिद्ध होता है कि तर्कसंगत लुप्त होना बिना अतिरिक्त धारणाओं (जैसे, लोकल कम्प्लीट इंटरसेक्शन) के इंटीग्रल लुप्त होने में अपग्रेड नहीं किया जा सकता है।
- उदाहरण 20.10 एक klt थ्रीफोल्ड का निर्माण करता है जहाँ $K_{-2}(X) \neq 0$ है, जो यह दर्शाता है कि विशिष्ट शर्तों के बिना klt विलक्षणताओं के लिए भी उच्च ऋणात्मक डिग्री में लुप्त होना सुनिश्चित नहीं है।

महत्व
शोध पत्र मिश्रित हॉडज सिद्धांत और उच्च विलक्षणताओं के दृष्टिकोण से ऋणात्मक K-थ्योरी को समझने के लिए एक व्यवस्थित ढांचा प्रदान करने का दावा करता है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

क्षेत्रों को जोड़ना: यह K-थ्योरी, हॉडज थ्योरी और मिनिमल मॉडल प्रोग्राम को जोड़ता है, यह प्रदर्शित करता है कि कैसे विलक्षणता प्रकार (जैसे, $m$ -रेशनलिटी) बीजगणितीय इनवेरिएंट्स के लुप्त होने को निर्धारित करते हैं।
अनुमानों का परिशोधन: यह केवल लुप्त होने बनाम गैर-लुप्त होने के द्विआधारी (binary) से आगे बढ़कर हॉडज संरचनाओं (जैसे, $K_{-n+2}(X)_{\mathbb{Q}} \cong \text{gr}^W_2 H^n(X, \mathbb{Q})$ ) के संदर्भ में गैर-लुप्त समूहों के लिए सटीक सूत्र प्रस्तावित करता है।
तकनीकी प्रगति: कोडिमेंशन 2 चक्रों के लिए चाव समूहों पर प्रतिबंध मानचित्रों की सर्जेक्टिविटी का प्रमाण (प्रमेय I) एक प्रमुख तकनीकी उपलब्धि के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो MMP के गहरे परिणामों का उपयोग करता है।
लघु आयामों में पूर्णता: यह चार आयाम तक की किस्मों के लिए व्यापक विवरण प्रदान करता है, जिससे रेशनल या klt विलक्षणताओं वाले थ्रीफोल्ड्स और फोरफोल्ड्स के कई खुले मामलों को हल किया गया है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि कई परिणाम सतहों के लिए ब्लॉच के अनुमान या सामान्यीकृत ब्लॉच-बीलिनसन अनुमान पर सशर्त हैं, फिर भी प्रदान किए गए अनकंडीशनल परिणाम (विशेष रूप से klt और रेशनल विलक्षणताओं के लिए) जटिल सेटिंग में ऋणात्मक K-थ्योरी की समझ को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाते हैं। वे यह भी रेखांकित करते हैं कि इंटीग्रल व्यवहार अधिक सूक्ष्म बना हुआ है, जहाँ टोरशन घटनाएँ महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।