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Provable Speedups From Dynamic Population Sizes in Evolutionary Algorithms for Multiobjective Optimization

यह शोध पत्र पहला कठोर रनटाइम विश्लेषण प्रदान करता है जो यह प्रदर्शित करता है कि विकासवादी बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन एल्गोरिदम (evolutionary multi-objective optimization algorithms), विशेष रूप से NSGA-II-DYN में गतिशील जनसंख्या आकार, CLIMB समस्या वर्ग को $O(n \log n)$ समय में हल करके निश्चित-जनसंख्या वेरिएंट की तुलना में एक प्रमाणिक सुपर-कॉन्स्टेंट स्पीडअप (super-constant speedup) प्रदान करते हैं, जबकि अन्य $\Omega(n^{1.5})$ समय लेते हैं।

मूल लेखक: Andre Opris

प्रकाशित 2026-07-28

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CC0 1.0

मूल लेखक: Andre Opris

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कोच हैं जो एक टीम को एक विशाल, धुंधले पहाड़ी क्षेत्र में सर्वोत्तम संभव रास्ते खोजने के लिए प्रशिक्षित करने की कोशिश कर रहे हैं। कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, इसे ऑप्टिमाइज़ेशन (optimization) कहा जाता है। ये "पहाड़" जटिल समस्याएं हैं जिनमें कई लक्ष्य होते हैं जो अक्सर आपस में टकराते हैं—जैसे कि एक ऐसी कार बनाने की कोशिश करना जो सस्ती भी हो और सुरक्षित भी। आपको केवल एक विजेता नहीं चुनना है; आपको सर्वोत्तम समझौतों का एक पूरा नक्शा चाहिए, जिसे पारेटो फ्रंट (Pareto front) के रूप में जाना जाता है।

इसे हल करने के लिए, वैज्ञानिक इवोल्यूशनरी एल्गोरिदम (Evolutionary Algorithms) का उपयोग करते हैं, जो डिजिटल प्रकृति की तरह हैं। वे समाधानों के एक यादृच्छिक समूह (एक आबादी) से शुरुआत करते हैं, उन्हें आपस में मिलाते हैं, और अगली पीढ़ी बनाने के लिए सबसे "फिट" समाधानों को जीवित रहने देते हैं। दशकों से, मानक नियम यह रहा है कि टीम का आकार निश्चित (fixed) रखा जाए। यदि आप 100 खोजकर्ताओं के साथ शुरू करते हैं, तो आप हमेशा 100 खोजकर्ताओं को ही रखते हैं। लेकिन क्या होगा अगर टीम का आकार बदल सके? क्या होगा अगर आप शुरुआत में समूह को छोटा कर सकें ताकि तेजी से आगे बढ़ सकें, और केवल तभी विस्तार करें जब आपको अधिक क्षेत्र कवर करने की आवश्यकता हो? यह शोध पत्र एक सरल लेकिन गहरा प्रश्न पूछता है: क्या टीम के आकार को गतिशील रूप से घटाने और बढ़ाने से सर्वोत्तम समाधानों की खोज वास्तव में तेज़ होती है?

इस अध्ययन के पीछे के शोधकर्ताओं ने इस विचार का परीक्षण करने के लिए CLIMB नामक एक नया, कठिन पहाड़ी क्षेत्र बनाने का निर्णय लिया। वे देखना चाहते थे कि क्या एक लचीला टीम आकार आज के अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामों द्वारा उपयोग किए जाने वाले कठोर, निश्चित-आकार वाले टीमों को हरा सकता है।

चढ़ने वाली टीम की कहानी

कहानी CLIMB नामक एक समस्या से शुरू होती है। कल्पना कीजिए कि स्विच (बिट्स) की एक लंबी श्रृंखला है, जो दो हिस्सों में विभाजित है।

पहला आधा हिस्सा: यहाँ नियम सरल हैं। अधिक "ऑन" स्विच हमेशा बेहतर होते हैं। यह एक चिकनी पहाड़ी है जिस पर आपको बस ऊपर चढ़ना है।
दूसरा आधा हिस्सा: यहाँ एक जाल है। आप अधिक "ऑन" स्विच चाहते हैं, लेकिन आप अधिक "ऑफ" स्विच भी चाहते हैं। यह एक खींचतान (tug-of-war) है। यदि आप संतुलन गलत कर देते हैं, तो आपका स्कोर शून्य हो जाता है, और आप बाहर हो जाते हैं।

लक्ष्य दूसरे आधे हिस्से में हर एक सटीक संतुलन को खोजने के साथ-साथ पहले आधे हिस्से में पहाड़ी पर चढ़ना है। शोधकर्ताओं ने पाया कि दूसरे आधे हिस्से में पहला सटीक संतुलन खोजना सबसे कठिन हिस्सा है। एक बार जब आप एक पा लिया, तो बाकी को खोजना अपेक्षाकृत आसान है।

उन्होंने इस पहाड़ पर दो अलग-अलग कोचों का परीक्षण किया:

कठोर कोच (Vanilla NSGA-II): यह कोच ज़िद करता है कि शुरुआत से ही एक विशाल, निश्चित टीम का आकार रखा जाए। सभी संभावित सटीक संतुलनों को कवर करने के लिए, टीम इतनी बड़ी होनी चाहिए कि वह उन सभी को समाहित कर सके। समस्या क्या है? एक विशाल टीम धीमी होती है। हर बार जब कोच कोई चाल चलने की कोशिश करता है, तो उन्हें सैकड़ों खोजकर्ताओं का मूल्यांकन करना पड़ता है, जिनमें से कई शून्य स्कोर के साथ पहाड़ी के नीचे फंसे होते हैं। यह एक मैराथन दौड़ने जैसा है जिसमें एक मार्चिंग बैंड भी शामिल हो; शोर और भीड़ आपकी गति धीमी कर देती है।
लचीला कोच (NSGA-II-DYN): यह कोच एक छोटी टीम के साथ शुरू करता है। जैसे ही वे एक अच्छा खोजकर्ता पाते हैं, टीम उतनी बढ़ती है जितनी नई खोजों को रखने के लिए आवश्यक है। यदि टीम बहुत बड़ी हो जाती है, तो यह वापस सिकुड़ जाती है। यह कोच केवल उन्हीं खोजकर्ताओं का मूल्यांकन करता है जो वास्तव में मायने रखते हैं, जिससे समूह चुस्त और प्रभावी बना रहता है।

बड़ी खोज

परिणाम स्पष्ट रूप से लचीले कोच की जीत थे। शोधकर्ताओं ने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि लचीला कोच (NSGA-II-DYN) और एक बहुत ही सरल, एकल-खोजकर्ता एल्गोरिदम जिसे GSEMO कहा जाता है, लगभग $O(n \log n)$ चरणों में संपूर्ण समाधान मानचित्र खोज सकते हैं।

इसके विपरीत, निश्चित टीम आकार के साथ कठोर कोच (Vanilla NSGA-II) कीचड़ में फंसा हुआ था। उसे केवल एक सटीक समाधान खोजने के लिए भी कम से कम $\Omega(n^{1.5})$ चरणों की आवश्यकता थी, पूरे मानचित्र को खोजने की तो बात ही छोड़ दें।

इन संख्याओं को समझने के लिए: यदि पहाड़ में 1,000 स्विच ( $n=1000$ ) हैं, तो लचीला कोच कुछ हज़ार चरणों में काम पूरा कर सकता है। हालाँकि, कठोर कोच को सैकड़ों हज़ार चरणों की आवश्यकता होगी। लचीला कोच लगभग $\sqrt{n} / \log n$ के कारक से तेज़ है। कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में, यह एक विशाल, "सुपर-कॉन्स्टेंट" स्पीडअप है। यह पहाड़ी पर पैदल चलने और लिफ्ट लेने के बीच के अंतर जैसा है।

कठोर कोच क्यों विफल होता है

शोध पत्र बताता है कि कठोर कोच अपने ही नियमों के कारण विफल होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे एक बार समाधान मिलने के बाद उन्हें खो न दें, उन्हें शुरुआत से ही टीम का आकार इतना बड़ा रखना होगा कि वह पूरे "पारेटो फ्रंट" (सभी सटीक संतुलनों का मानचित्र) को समाहित कर सके। लेकिन चढ़ाई की शुरुआत में, टीम उन खोजकर्ताओं से भरी होती है जिन्होंने अभी तक रास्ता नहीं खोजा है। कोच बार-बार इन "शून्य-स्कोर" वाले खोजकर्ताओं का मूल्यांकन करने में अपनी ऊर्जा और समय बर्बाद करता है। यह घास के ढेर में सुई खोजने के लिए हज़ार लोगों को काम पर रखने जैसा है, जहाँ केवल एक व्यक्ति जानता है कि सुई कहाँ है; बाकी 999 लोग केवल बाधा बन रहे हैं।

हालाँकि, लचीला कोच छोटा होकर शुरू होता है। जब उसे ज़रूरत नहीं होती, तो वह एक विशाल टीम पर ऊर्जा बर्बाद नहीं करता। वह केवल तभी अपनी टीम बढ़ाता है जब उसे वास्तव में एक नया, मूल्यवान समाधान मिलता है। यह उसे पहाड़ी के "चढ़ाई" वाले हिस्से में तेज़ी से दौड़ने की अनुमति देता है, और केवल तभी धीमा होता है जब उसे अंतिम मानचित्र को कवर करने के लिए विस्तार करने की आवश्यकता होती है।

इसका क्या अर्थ है

यह शोध पत्र इस बात का पहला कठोर प्रमाण प्रदान करता है कि टीम के आकार को चलते समय बदलना इवोल्यूशनरी एल्गोरिदम को कुछ प्रकार की समस्याओं के लिए काफी तेज़ बना सकता है। यह इस लंबे समय से चली आ रही धारणा को चुनौती देता है कि निश्चित टीम का आकार ही एकमात्र तरीका है। हालाँकि शोधकर्ता स्वीकार करते हैं कि उन्होंने केवल अपने विशिष्ट "CLIMB" पहाड़ पर इसका परीक्षण किया है, लेकिन तर्क यह सुझाव देता है कि कई वास्तविक दुनिया की समस्याओं के लिए, जिसमें पेचीदा परिदृश्य होते हैं, अपनी टीम के आकार के साथ लचीला होना सफलता की कुंजी हो सकता है।

लेखक अपनी गणितीय सटीकता के प्रति आश्वस्त हैं, क्योंकि उन्होंने केवल कंप्यूटर सिमुलेशन के बजाय सख्त प्रमाणों का उपयोग किया है। उन्होंने दिखाया कि इस विशिष्ट समस्या के लिए, गतिशील दृष्टिकोण केवल थोड़ा बेहतर नहीं है; यह मौलिक रूप से श्रेष्ठ है। उन्हें उम्मीद है कि यह खोज इंजीनियरों और वैज्ञानिकों को अधिक स्मार्ट और अनुकूलनीय एल्गोरिदम बनाने के लिए प्रेरित करेगी, जिससे यह सिद्ध होगा कि कभी-कभी, आगे बढ़ने का सबसे अच्छा तरीका यह जानना है कि अपनी टीम को कब छोटा करना है।

तकनीकी सारांश: इवोल्यूशनरी एल्गोरिदम फॉर मल्टीऑब्जेक्टिव ऑप्टिमाइजेशन में डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ से प्रोवेबल स्पीडअप्स

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र इवोल्यूशनरी मल्टी-ऑब्जेक्टिव एल्गोरिदम (EMOAs) की सैद्धांतिक समझ में एक अंतराल को संबोधित करता है। डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ का उपयोग व्यवहार में व्यापक रूप से कम गुणवत्ता वाले व्यक्तियों पर अनावश्यक फिटनेस मूल्यांकन (fitness evaluations) से बचने के लिए किया जाता है, लेकिन यह कब और क्यों लाभ प्रदान करता है, इसके लिए कठोर रनटाइम विश्लेषण दुर्लभ हैं। विशेष रूप से, इस कार्य से पहले, ऐसा कोई ज्ञात बेंचमार्क समस्या नहीं थी जहाँ एक डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ वाले एल्गोरिदम (जैसे GSEMO) ने एक मानक फिक्स्ड पॉपुलेशन साइज़ वाले एल्गोरिदम (जैसे NSGA-II) से प्रमाणित रूप से एक स्थिर कारक (constant factor) से अधिक बेहतर प्रदर्शन किया हो। अधिकांश मौजूदा सैद्धांतिक परिणाम सुझाव देते हैं कि GSEMO और फिक्स्ड-पॉपुलेशन MOEAs (जैसे NSGA-II) मानक बेंचमार्क पर समान रनटाइम गारंटी प्राप्त करते हैं।

इसकी जांच करने के लिए, लेखक एक नया द्वि-उद्देश्यीय (bi-objective) सूडो-बुलियन समस्या वर्ग CLIMB पेश करते हैं। यह समस्या इस तरह डिज़ाइन की गई है कि हिल-क्लाइंबिंग (hill-climbing) के माध्यम से पारेटो फ्रंट (Pareto front) तक पहुँचना शुरू में अधिक कठिन है, बजाय इसके कि एक बार एक पारेटो-इष्टतम बिंदु मिल जाने के बाद उसे कवर करना। समस्या की संरचना एल्गोरिदम को शून्य-फिटनेस समाधानों की एक "घाटी" (valley) से गुजरने के लिए मजबूर करती है, जिसके बाद एक ऐसा परिदृश्य आता है जहाँ उद्देश्य (objectives) संरेखित होते हैं और फिर एक विरोधाभासी क्षेत्र आता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

एल्गोरिदम (The Algorithms)

अध्ययन तीन एल्गोरिदम कॉन्फ़िगरेशन की तुलना करता है:

GSEMO (ग्लोबल सिंपल इवोल्यूशनरी मल्टीऑब्जेक्टिव ऑप्टिमाइज़र): एक सरल एल्गोरिदम जो गैर-प्रभावी (non-dominated) समाधानों की एक आबादी बनाए रखता है, प्रति इटरेशन एक संतान (offspring) उत्पन्न करता है, और चयन के लिए पारेटो डोमिनेंस का उपयोग करता है। यह स्वाभाविक रूप से एक डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ का उपयोग करता है।
NSGA-II (वैनिला): एक फिक्स्ड पॉपुलेशन साइज़ ( $\mu$ ) और फिक्स्ड ऑफस्प्रिंग साइज़ ( $\lambda$ ) वाला मानक संस्करण।
NSGA-II-DYN: एक प्रस्तावित NSGA-II वेरिएंट जहाँ पॉपुलेशन साइज़ को डायनेमिक रूप से अपडेट किया जाता है। अपडेट नियम $\mu_{t+1} = \min\{\mu_t + \lambda_t, 4|S_t|\}$ है, जहाँ $S_t$ वर्तमान संयुक्त आबादी में परस्पर तुलनात्मक गैर-प्रभावी समाधानों का अधिकतम सेट है। इस नियम का उद्देश्य आबादी के आकार को अब तक खोजे गए विशिष्ट गैर-प्रभावी समाधानों की संख्या के आनुपातिक रखना है, जिससे एल्गोरिदम को शुरुआती खोज के दौरान कम गुणवत्ता वाले व्यक्तियों की एक बड़ी, फिक्स्ड आबादी पर मूल्यांकन बर्बाद करने से रोका जा सके।

बेंचमार्क: CLIMB (The Benchmark: CLIMB)

फंक्शन $CLIMB: \{0, 1\}^n \to \mathbb{N}_0^2$ बिट स्ट्रिंग को दो आधे हिस्सों ( $n/2$ लंबाई के $x_1$ और $x_2$ ) में विभाजित करता है।

पहला आधा ( $x_1$ ): दोनों उद्देश्य 'ones' की संख्या गिनते हैं। यह एक मजबूत हिल-क्लाइंबिंग सिग्नल बनाता है।
दूसरा आधा ( $x_2$ ): उद्देश्य विरोधाभासी हैं (एक साथ 'ones' और 'zeros' को अधिकतम करना)।
फिटनेस स्थिति (Fitness Condition): एक समाधान के पास गैर-शून्य फिटनेस तभी होती है जब $x_1$ और $x_2$ में 'ones' की संख्या $\sqrt{n}$ से संबंधित विशिष्ट बाधाओं को पूरा करती है। विशेष रूप से, यदि $|x_1|_1$ का मान $|x_2|_1$ के सापेक्ष बहुत कम या बहुत अधिक है, तो फिटनेस $(0,0)$ होती है।
पारेटो फ्रंट (Pareto Front): पारेटो फ्रंट उन समाधानों से बना है जहाँ $|x_1|_1 = n/2$ और $n/4 - \sqrt{n} \le |x_2|_1 \le n/4 + \sqrt{n}$ है। फ्रंट का आकार $O(\sqrt{n})$ है।

विश्लेषणात्मक तकनीकें (Analytical Techniques)

लेखक रनटाइम विश्लेषण के मानक उपकरणों का उपयोग करते हैं:

Chernoff Bounds: इनिशियलाइजेशन चरण का विश्लेषण करने और गैर-शून्य फिटनेस वाले व्यक्तियों को उत्पन्न करने की संभावना का विश्लेषण करने के लिए।
Additive Drift Theorem: हैमिंग डिस्टेंस (Hamming distance) को ट्रैक करके शून्य-फिटनेस समाधानों की क्षेत्र (घाटी) से बाहर निकलने के लिए आवश्यक समय को बाउंड करने के लिए।
Family Tree Argument: फिक्स्ड-पॉपुलेशन NSGA-II के लिए लोअर बाउंड्स सिद्ध करने के लिए विट (2006) से अनुकूलित। यह दिखाने के लिए फैमिली ट्री की गहराई को ट्रैक करना कि एक फिक्स्ड पॉपुलेशन साइज़ एल्गोरिदम को उचित समय के भीतर पारेटो-इष्टतम समाधान खोजने के लिए खोज स्थान में पर्याप्त गहराई तक जाने से रोकता है।
Population Diversity Analysis: आशाजनक क्षेत्रों की ओर सकारात्मक ड्रिफ्ट (drift) प्रदर्शित करने के लिए हैमिंग डिस्टेंस के योग का उपयोग करना जब पॉपुलेशन साइज़ डायनेमिक होता है।

मुख्य परिणाम (Key Results)

अपर बाउंड्स (डायनेमिक पॉपुलेशन) (Upper Bounds - Dynamic Populations)

पेपर सिद्ध करता है कि GSEMO और NSGA-II-DYN दोनों अपेक्षित $O(n \log n)$ फिटनेस मूल्यांकन में CLIMB के पूरे पारेटो फ्रंट को पा सकते हैं और कवर कर सकते हैं।

चरण 1 (इनिशियलाइजेशन): उच्च संभावना के साथ, इनिशियलाइजेशन गैर-शून्य फिटनेस वाले व्यक्तियों को जन्म देता है। शून्य-फिटनेस इनिशियलाइजेशन के दुर्लभ मामले में, डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ एल्गोरिदम को कुशलतापूर्वक गैर-शून्य फिटनेस क्षेत्र की ओर बढ़ने की अनुमति देता है।
चरण 2 (हिल क्लाइंबिंग): एल्गोरिदम पहले आधे बिट स्ट्रिंग पर चढ़ता है। NSGA-II-DYN के लिए, डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ आबादी को अनावश्यक रूप से बड़ा होने से रोकता है (जो $O(\sqrt{n})$ द्वारा सीमित है), यह सुनिश्चित करता है कि ऑफस्प्रिंग उत्पन्न करने की लागत की गई प्रगति के सापेक्ष कम बनी रहे।
चरण 3 (कवरिंग): एक बार पारेटो-इष्टतम समाधान मिल जाने के बाद, फ्रंट के शेष $O(\sqrt{n})$ बिंदुओं को कवर करने में $O(n)$ अतिरिक्त मूल्यांकन लगते हैं।

लोअर बाउंड्स (फिक्स्ड पॉपुलेशन) (Lower Bounds - Fixed Population)

पेपर सिद्ध करता है कि एक फिक्स्ड पॉपुलेशन साइज़ $\mu \ge 2\sqrt{n} + 1$ (फ्रंट को कवर करने के लिए आवश्यक) के साथ Vanilla NSGA-II को अपेक्षित रूप से कम से कम $\Omega(n^{1.5})$ फिटनेस मूल्यांकन की आवश्यकता होती है ताकि एक भी पारेटो-इष्टतम बिंदु पाया जा सके।

विफलता का तंत्र (Mechanism of Failure): क्योंकि पॉपुलेशन साइज़ फिक्स्ड और बड़ा है, एल्गोरिदम कम फिटनेस वाले व्यक्तियों (शून्य फिटनेस या उप-इष्टतम $|x_1|_1$ ) पर महत्वपूर्ण संख्या में फिटनेस मूल्यांकन खर्च करता है। "फैमिली ट्री" विश्लेषण दिखाता है कि एक फिक्स्ड बड़े पॉपुलेशन के साथ, एक वंशावली (lineage) के पारेटो फ्रंट तक पहुँचने के लिए पर्याप्त गहराई तक विकसित होने (पहले आधे हिस्से में पर्याप्त बिट्स बदलने) की संभावना अपेक्षित समय सीमा के भीतर घातीय रूप से कम है, क्योंकि आबादी कम गुणवत्ता वाले व्यक्तियों द्वारा "पतली" (diluted) हो जाती है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य मल्टी-ऑब्जेक्टिव ऑप्टिमाइजेशन में पहला कठोर रनटाइम विश्लेषण प्रदान करता है जो एक डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ वाले एल्गोरिदम (GSEMO) द्वारा एक व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले फिक्स्ड-पॉपुलेशन एल्गोरिदम (NSGA-II) पर सुपर-कॉन्स्टेंट स्पीडअप (super-constant speedup) प्रदर्शित करता है।

स्पीडअप फैक्टर: डायनेमिक दृष्टिकोण फिक्स्ड-पॉपुलेशन NSGA-II की तुलना में $\Omega(\sqrt{n} / \log n)$ के क्रम का स्पीडअप प्राप्त करते हैं।
सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: परिणाम इस प्रचलित धारणा को चुनौती देते हैं कि GSEMO और NSGA-II के साइडो-बुलियन समस्याओं पर लगभग समान रनटाइम गारंटी है। पेपर यह प्रदर्शित करता है कि फिक्स्ड पॉपुलेशन साइज़ एक बाधा बन सकता है, विशेष रूप से "हिल-क्लाइंबिंग" चरण के दौरान जहाँ एल्गोरिदम को एक कठिन लैंडस्केप को पार करना पड़ता है जहाँ पॉपुलेशन डायवर्सिटी उपयोगी होने से पहले संघर्ष करती है।
व्यावहारिक निहितार्थ: निष्कर्ष बताते हैं कि डायनेमिक पॉपुलेशन साइजिंग केवल एक अनुभवजन्य ह्यूरिस्टिक (empirical heuristic) नहीं है, बल्कि यह प्रमाणित सैद्धांतिक लाभ प्रदान कर सकता है, विशेष रूप से जटिल या कठिन इनिशियलाइजेशन चरणों वाले रग्ड (rugged) फिटनेस लैंडस्केप वाली समस्याओं के लिए।

पेपर विनम्रता से समाप्त होता है, यह नोट करते हुए कि विश्लेषण वर्तमान में CLIMB समस्या वर्ग और विशिष्ट अपडेट नियमों तक सीमित है। यह स्वीकार करता है कि यह समझने के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है कि ये डायनेमिक्स अधिक जटिल बेंचमार्क पर कैसे व्यवहार करते हैं और क्या इसी तरह के स्पीडअप अन्य MOEAs जैसे NSGA-III, SMS-EMOA, या SPEA2 पर लागू होते हैं। हालाँकि, यह कार्य डायनेमिक पॉपुलेशन साइज़ के लाभों के लिए एक मौलिक सैद्धांतिक आधार स्थापित करता है।