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A phase transition for the hard sphere model on the hyperbolic plane

यह शोधपत्र हाइपरबोलिक प्लेन में हार्ड स्फीयर मॉडल के लिए एक फेज ट्रांजिशन (phase transition) के अस्तित्व को सिद्ध करता है, जो एक प्रमुख अनसुलझे प्रश्न को हल करता है जो यूक्लिडियन स्पेस $\mathbb{R}^2$ और $\mathbb{R}^3$ में इसी मॉडल के लिए अनसुलझा बना हुआ है।

मूल लेखक: Lewis Bowen, Marcus Michelen, Will Perkins

प्रकाशित 2026-07-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Lewis Bowen, Marcus Michelen, Will Perkins

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक विशाल, अदृश्य डांस फ्लोर की कल्पना करें जहाँ छोटे, बिल्कुल गोल कंचे एक जगह खड़े होने की कोशिश कर रहे हैं। ये कंचे भौतिकी के एक प्रसिद्ध पहेली के "हार्ड स्फेयर्स" (hard spheres) हैं: वे एक-दूसरे के ऊपर नहीं चढ़ सकते, वे एक-दूसरे के बीच से निकल नहीं सकते, और वे केवल आपस में टकराकर ही एक-दूसरे से क्रिया करते हैं। वैज्ञानिक एक सदी से अधिक समय से हमारी सामान्य, सपाट दुनिया (जैसे कि एक कागज का पन्ना या एक कमरा) में इस नृत्य को देख रहे हैं। उन्हें दृढ़ विश्वास है कि यदि आप पर्याप्त कंचों को भर देते हैं, तो अराजकता अचानक एक कठोर, व्यवस्थित क्रिस्टल में बदल जाती है, जैसे पानी बर्फ में जम जाता है। इसे "फेज ट्रांजिशन" (phase transition) कहा जाता है। लेकिन पेच यह है कि, तमाम गणित और कंप्यूटर सिमुलेशन के बावजूद, कोई भी यह साबित नहीं कर पाया है कि हमारी सपाट दुनिया में यह बदलाव वास्तव में होता है। यह सांख्यिकीय भौतिकी (statistical physics) के सबसे बड़े अनसुलझे रहस्यों में से एक बना हुआ है।

यह समझने के लिए कि यह इतना कठिन क्यों है, एक सपाट फर्श और एक अजीब, सैडल-आकार (saddle-shaped) के फर्श के बीच के अंतर के बारे में सोचें जो हर दिशा में आपसे दूर झुकता है। इस विचित्र, घुमावदार दुनिया को "हाइपरबोलिक प्लेन" (hyperbolic plane) कहा जाता है। इस ब्रह्मांड में, स्थान इतनी तेजी से फैलता है कि एक वृत्त की परिधि उसकी त्रिज्या की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ती है। इस जंगली ज्यामिति के कारण, पैकिंग के नियम बदल जाते हैं। यह शोध पत्र जिस प्रश्न का समाधान करता है, वह है: "यदि हम अपने कंचों के नृत्य को एक सपाट फर्श से हाइपरबोलिक सैडल पर ले जाएं, तो क्या अराजकता अंततः व्यवस्था में बदल जाएगी?" लेखक केवल अनुमान नहीं लगा रहे हैं; वे एक गणितीय प्रमाण बना रहे हैं कि हाँ, इस घुमावदार दुनिया में, कंचे निश्चित रूप से एक फेज ट्रांजिशन से गुजरते हैं, और अंततः दो बहुत अलग तरीकों से खुद को व्यवस्थित करते हैं।

एक घुमावदार फर्श पर महान कंचा नृत्य

तो, लुइस बोवेन, मार्कस मिचेलिन और विल पर्किन्स ने वास्तव में क्या खोजा? उन्होंने सिद्ध किया कि हाइपरबोलिक प्लेन पर, हार्ड स्फीयर मॉडल निश्चित रूप से एक फेज ट्रांजिशन से गुजरता है। सरल शब्दों में, इसका अर्थ यह है कि जैसे-जैसे आप "एक्टिविटी" (एक फैंसी शब्द जिसका अर्थ है कि आप कंचों को कितना भरना चाहते हैं) बढ़ाते हैं, सिस्टम केवल सहज और अनुमानित तरीके से घना नहीं होता है। इसके बजाय, यह एक ऐसे टिपिंग पॉइंट (tipping point) पर पहुँच जाता है जहाँ यह एक ही समय में दो पूरी तरह से अलग अवस्थाओं में मौजूद हो सकता है।

कल्पना कीजिए कि आप इस कंचा खेल के रेफरी हैं। आपके पास कंचों को व्यवस्थित करने के दो तरीके हैं:

"रैंडम" भीड़: आप एक खाली फर्श से शुरू करते हैं और कंचों को बेतरतीब ढंग से गिरते हैं, जो आपस में टकराते हैं। वे एक अव्यवस्थित, उलझी हुई ढेरी में स्थिर हो जाते हैं। भले ही आप और अधिक कंचे जोड़ते रहें, वे एक सटीक पैटर्न नहीं खोज पाते; वे "रैंडम-जैसे" विकार की स्थिति में बने रहते हैं।
"स्ट्रक्चर्ड" क्रिस्टल: आप कंचों के एक पूर्ण, पूर्व-व्यवस्थित ग्रिड के साथ शुरू करते हैं, जैसे कि सैनिक फॉर्मेशन में खड़े हों। उन्हें पैक करने का यह सबसे कुशल तरीका है, जिससे खाली जगह न्यूनतम बचती है।

शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि कंचों के कुछ विशिष्ट आकारों (विशेष रूप से, जब त्रिज्या पर्याप्त बड़ी हो) के लिए, आप एक "रैंडम" भीड़ और एक "स्ट्रक्चर्ड" क्रिस्टल को एक ही समय में मौजूद रख सकते हैं, भले ही उनके घनत्व अलग-अलग हों। क्योंकि सिस्टम अपने शुरुआती आधार के आधार पर दोनों में से किसी भी अवस्था में हो सकता है, इसलिए हम कहते हैं कि एक "फेज ट्रांजिशन" हुआ है।

पैकिंग की दो दुनिया

इसे पूरा करने के लिए, लेखकों को यह दिखाना था कि ये दो अवस्थाएं वास्तव में अलग हैं और उन्हें एक-दूसरे में बदला नहीं जा सकता। उन्होंने "एन्ट्रॉपी" (entropy) का उपयोग करते हुए एक चतुर चाल चली, जो मूल रूप से एक सिस्टम में कितनी "यादृच्छिकता" (randomness) या "आश्चर्य" है, इसका माप है।

अब, "रैंडम" भीड़ को उन लोगों के समूह के रूप में सोचें जो बेतरतीब ढंग से चलते हुए थिएटर में अपनी सीटें खोजने की कोशिश कर रहे हैं। वे शायद एक-दूसरे से टकराएंगे, लेकिन अंततः वे कमरे को इस तरह भर देंगे जो एक शोर-शराबे वाली, अराजक भीड़ जैसा दिखता है। लेखकों ने दिखाया कि इस तरह की याद्रच्छिकता का एक विशिष्ट गणितीय "हस्ताक्षर" (जिसे नॉन-नेगेटिव एनियल्ड एन्ट्रॉपी कहा जाता है) होता है।

अब, "स्ट्रक्चर्ड" क्रिस्टल को देखें। यह उन लोगों के समूह की तरह है जिन्होंने एक सटीक सीटिंग चार्ट याद कर लिया है। वे जानते हैं कि कमरे में लोगों की संख्या को अधिकतम करने के लिए कहाँ बैठना है। लेखकों ने सिद्ध किया कि इस पूर्ण, लैटिस-जैसे (lattice-like) विन्यास का पूरी तरह से अलग गणितीय हस्ताक्षर (नेगेटिव इनफिनिट एनियल्ड एन्ट्रॉपी) होता है।

क्योंकि ये दोनों हस्ताक्षर इतने अलग हैं, इसलिए "रैंडम" भीड़ और "स्ट्रक्चर्ड" क्रिस्टल, केवल कंचों की संख्या बदलकर, कभी भी एक-दूसरे में जादुई रूप से नहीं बदल सकते। वे अपनी अलग-अलग दुनिया में फंसे हुए हैं। यह सिद्ध करता है कि सिस्टम दो अलग-अलग चरणों में विभाजित हो गया है।

घुमावदार फर्श क्यों महत्वपूर्ण है?

आप सोच सकते हैं, "यह एक घुमावदार फर्श पर क्यों काम करता है लेकिन एक सपाट फर्श पर नहीं?" इसका गुप्त मंत्र उस ब्रह्मांड का आकार है जिसमें वे खेल रहे हैं। हाइपरबोलिक प्लेन "नॉन-अमेनबल" (non-amenable) है, जो एक फैंसी तरीका है यह कहने का कि यह सामान्य सपाट स्थान के नियमों को लागू करने के लिए बहुत बड़ा और बहुत अजीब है। हमारी सपाट दुनिया में, यदि आप काफी दूर तक ज़ूम आउट करते हैं, तो "रैंडम" भीड़ और "स्ट्रकीचर्ड" क्रिस्टल अंततः एक जैसे दिख सकते हैं, या गणित उन्हें अलग करने के लिए बहुत जटिल हो जाता है। लेकिन हाइपरबोलिक प्लेन पर, ज्यामिति इतनी चरम है कि "स्ट्रक्चर्ड" क्रिस्टल अद्वितीय रूप से विशेष है। यह कुछ कंचा आकारों के लिए पूर्णतम घनत्व प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है।

लेखकों ने पाया कि कंचों के एक विशिष्ट सेट (त्रिज्याओं) के लिए, केवल एक ही पूर्ण, क्रिस्टल जैसी व्यवस्था है। उन्होंने फिर दिखाया कि "रैंडम" भीड़, चाहे वह कितनी भी कोशिश क्यों न करे, उस स्तर की पूर्णता तक कभी नहीं पहुँच सकती। यह सबसे अच्छा रैंडम पैकिंग और सबसे अच्छा क्रिस्टल पैकिंग के बीच का अंतर है जो इस बात का सबूत है कि फेज ट्रांजिशन मौजूद है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि, "ऐसा लगता है कि फेज ट्रांजिशन हो सकता है।" वास्तव में, यह इसे सिद्ध करता है। लेखकों ने कंचों के व्यवहार के लिए दो अलग-अलग गणितीय मॉडल (मेजर्स) बनाए: एक जो एक रैंडम पॉइसन प्रक्रिया (मेसी क्राउड) की तरह कार्य करता है और दूसरा जो एक पूर्ण लैटिस (क्रिस्टल) की तरह कार्य करता है। उन्होंने सिद्ध किया कि हाइपरबोलिक प्लेन पर पर्याप्त बड़े कंचों के लिए, ये दो मॉडल अलग हैं और एक समान नहीं हो सकते।

यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह उस समस्या को हल करता है जिसने एक सदी से अधिक समय से भौतिकविदों को उलझा रखा है, लेकिन एक अलग ब्रह्मांड में। जबकि हमारे सपाट, यूक्लिडियन (Euclidean) विश्व के लिए हमारे पास अभी भी कोई प्रमाण नहीं है, यह कार्य दिखाता है कि यह घटना वास्तविक और गणितीय रूप से सुदृढ़ है एक घुमावदार स्थान में। यह एक गहरे महासागर की गुफा में पाए गए एक नए जीव की तरह है जो यह सिद्ध करता है कि विकास कैसे काम करता है, भले ही हमने अभी तक उस सटीक जीव को जमीन पर नहीं देखा हो। लेखकों ने दिखाया है कि अराजकता से व्यवस्था की ओर का "स्नैप" (snap) हार्ड स्फेयर्स की एक मौलिक विशेषता है, बशर्ते कि उनका मंच पर्याप्त घुमावदार हो ताकि पैटर्न उभर सके।

तकनीकी सारांश: हाइपरबोलिक प्लेन पर हार्ड स्फीयर मॉडल के लिए एक फेज ट्रांजिशन (Phase Transition)

1. समस्या का विवरण और प्रेरणा

हार्ड स्फीयर मॉडल सांख्यिकीय भौतिकी (statistical physics) में एक मौलिक प्रणाली है जहाँ कणों को समान आकार के गोलों (spheres) के रूप में दर्शाया जाता है जिनमें एक हार्ड-कोर एक्सक्लूजन इंटरेक्शन (कोई ओवरलैप नहीं) होता है। यूक्लिडियन स्पेस ( $\mathbb{R}^d$ ) में, यह एक लंबे समय से अनुमानित तथ्य है कि जैसे-जैसे एक्टिविटी (फ्यूगासिटी) $\lambda$ बढ़ती है, प्रणाली एक फेज ट्रांजिशन से गुजरती है, जिससे $\mathbb{R}^3$ में क्रिस्टलीकरण (crystallization) या $\mathbb{R}^2$ में रोटेशनल सिमेट्री ब्रेकिंग जैसी घटनाएँ होती हैं। हालाँकि, एक सदी से अधिक के अध्ययन के बावजूद, किसी भी आयाम $d$ के लिए $\mathbb{R}^d$ में ऐसे फेज ट्रांजिशन का अस्तित्व एक प्रमुख खुला प्रश्न बना हुआ है।

यह शोध पत्र हाइपरबोलिक प्लेन ( $\mathbb{H}^2$ ) में हार्ड स्फीयर मॉडल में फेज ट्रांजिशन के अस्तित्व को संबोधित करता है। यहाँ फेज ट्रांजिशन को एक दिए गए त्रिज्या $r$ और पर्याप्त बड़ी एक्टिविटी $\lambda$ के लिए गिब्स मेजर्स (Gibbs measures) की गैर-विशिष्टता (non-uniqueness) के रूप में परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, लेखक यह सिद्ध करने का लक्ष्य रखते हैं कि एक थ्रेशोल्ड $\lambda_u(\mathbb{H}^2, r) < \infty$ मौजूद है ताकि $\lambda > \lambda_u$ के लिए कम से कम दो विशिष्ट गिब्स मेजर्स हों।

2. कार्यप्रणाली और ढांचा

2.1. परिभाषाएँ और सेटअप

लेखक डोब्रुशिन-लैनफोर्ड-रुले (DLR) समीकरणों के माध्यम से एक मीट्रिक मेजर स्पेस $X$ (विशेष रूप से $\mathbb{H}^2$ ) पर हार्ड स्फोर मॉडल को परिभाषित करते हैं। फेज ट्रांजिशन तब होता है जब गिब्स मेजर्स के सेट, $\text{Gibbs}(X; r, \lambda)$ , में एक से अधिक तत्व होते हैं।

संभावित गिब्स मेजर्स के बीच अंतर करने के लिए, लेखक गोला पैकिंग (sphere packings) के स्थान पर एक आइसोमेट्री-इनवेरिएंट प्रोबेबिलिटी मेजर $\mu$ के लिए घनत्व (density) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। घनत्व वह प्रायिकता है कि एक रैंडम सैंपल $\mu$ से एक निश्चित मूल बिंदु (origin) एक गोले द्वारा कवर किया गया है।

2.2. रणनीति: दो विशिष्ट मेजर्स का निर्माण

बड़े $\lambda$ के लिए दो अलग-अलग $(r, \lambda)$ -गिब्स मेजर्स बनाने की मूल रणनीति इस प्रकार है:

एक "स्ट्रक्चर्ड" (Structured) मेजर: इष्टतम लैटिस पैकिंग से प्राप्त।
एक "रैंडम-लाइक" (Random-like) मेजर: स्थानिक जन्म-मृत्यु ग्लौबर डायनेमिक्स (spatial birth-death Glauber dynamics) से प्राप्त, जिसे एक वीक पॉइसन फैक्टर (weak Poisson factor) के रूप में दिखाया गया है।

प्रमाण इस बात पर टिका है कि यह प्रदर्शित करना कि कुछ त्रिज्याओं के लिए, वीक पॉइसन फैक्टर्स द्वारा प्राप्त घनत्व इष्टतम पैकिंग घनत्व से कम है।

2.3. प्रमुख गणितीय उपकरण

बेन्जामिन-श्राम कन्वर्जेंस (Benjamini-Schramm Convergence): हाइपरबोलिक सतहों (हाइपरबोलिक प्ले $\mathbb{H}^2$ के कोटिएंट) पर परिमित-आयतन (finite-volume) गिब्स मेजर्स को $\mathbb{H}^2$ पर अनंत-आयतन गिब्स मेजर्स में उठाने के लिए उपयोग किया जाता है।
ग्लौबर डायनेमिक्स (Glauber Dynamics): एक निरंतर-समय मार्कोव चेन (स्थानिक जन्म-मृत्यु प्रक्रिया) जो खाली कॉन्फ़िगरेशन से शुरू होती है। लेखक दिखाते हैं कि इस प्रक्रिया के सबसिक्वेंशियल लिमिट्स (subsequential limits) ऐसे गिब्स मेजर्स प्रदान करते हैं जो वीक पॉइसन फैक्टर्स हैं।
एनील्ड (सोफिक) एंट्रॉपी (Annealed/Sofic Entropy): गैर-अमेनेबल समूहों (विशेष रूप से फ्री ग्रुप्स) के कार्यों के लिए एंट्रॉपी की एक अवधारणा। यह "स्ट्रक्चर्ड" लैटिस मेजर्स को "रैंडम-लाइक" पॉइसन फैक्टर्स से अलग करने के लिए प्राथमिक उपकरण है।
- लेखक सिद्ध करते हैं कि आवधिक (periodic) मेजर्स (जो लैटिस पैकिंग पर आधारित हैं) की एनील्ड एंट्रॉपी (विशेष रूप से $-\infty$ ) ऋणात्मक होती है।
- इसके विपरीत, वीक पॉइसन फैक्टर्स (और वीक बर्नौली फैक्टर्स) की एनील्ड एंट्रॉपी गैर-ऋणात्मक होती है।
- यह एंट्रॉपी गैप सिद्ध करता है कि इष्टतम लैटिस मेजर एक वीक पॉइसन फैक्टर नहीं हो सकता।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम

3.1. $\mathbb{H}^2$ में फेज ट्रांजिशन का अस्तित्व

थ्योरम 2: एक अनबाउंड ओपन सेट $R_2 \subset (0, \infty)$ मौजूद है, ऐसा कि प्रत्येक $r \in R_2$ के लिए, हार्ड स्फोर मॉडल $\mathbb{H}^2$ पर एक फेज ट्रांजिशन ( $\lambda_u(\mathbb{H}^2, r) < \infty$ ) से गुजरता है।

सेट $R_2$ में एक परिमित $\rho$ के लिए अंतराल $(\rho, \infty)$ शामिल है।
यह परिणाम "टाइट रेडियस" $r_n$ (जहाँ $n \ge 7$ ) के अस्तित्व पर निर्भर करता है जहाँ इष्टतम पैकिंग एक अद्वितीय लैटिस पैकिंग है।

3.2. घनत्वों का पृथक्करण (Separation of Densities)

थ्योरम 6: $R_2$ सेट के त्रिज्याओं के लिए, वीक पॉइसन फैक्टर्स द्वारा प्राप्त इष्टतम घनत्व, $D_{\text{Pois}}(\mathbb{H}^2, r)$ , इष्टतम पैकिंग घनत्व $D_{\text{opt}}(\mathbb{H}^2, r)$ से स्पष्ट रूप से कम है।

यह गैप इस तथ्य को स्थापित करके बनाया गया है कि टाइट रेडियस पर अद्वितीय इष्टतम मेजर आवधिक (periodic) है और इस प्रकार वीक पॉइसन फैक्टर नहीं है (एंट्रॉपी तर्क के माध्यम से)।
इष्टतम घनत्व फलन की निरंतरता (थ्योरम 24) के माध्यम से, यह गैप टाइट रेडियस के एक ओपन नेबरहुड तक विस्तृत हो जाता है।

3.3. गिब्स मेजर्स का निर्माण

निकट-इष्टतम घनत्व (Near-Optimal Density): इष्टतम लैटिस पैकिंगों वाली हाइपरबोलिक सतहों पर परिमित-आयतन सन्निकटन (finite-volume approximations) का उपयोग करके, लेखक बड़े $\lambda$ के लिए $D_{\text{opt}}$ के अत्यंत करीब घनत्व वाले गिब्स मेजर्स का निर्माण करते हैं (अनुभाग 4)।
निम्न-घनत्व (पॉइसन) मेजर: ग्लौबर डायनेमिक्स का उपयोग करके, लेखक एक ऐसा गिब्स मेजर निर्मित करते हैं जो एक वीक पॉइसन फैक्टर है। इसका घनत्व $D_{\text{Pois}}$ से ऊपर सीमित है (अनुभाग 5)।
चूंकि $D_{\text{Pois}} < D_{\text{opt}}$ प्रासंगिक त्रिज्याओं के लिए, ये दोनों मेजर भिन्न हैं, जो गैर-विशिष्टता (non-uniqueness) को सिद्ध करते हैं।

3.4. पूर्णतः संतृप्त पैकिंग (Completely Saturated Packings)

थ्योरम 8: यह शोध पत्र $\mathbb{H}^2$ में उप-इष्टतम घनत्व के साथ पूर्णतः संतृप्त (completely saturated) स्फीयर पैकिंग के अस्तित्व को सिद्ध करता है।

एक पैकिंग पूर्णतः संतृप्त है यदि पैकिंग गुण बनाए रखते हुए गोलों की एक सीमित संख्या को हटाया और उसके स्थान पर अधिक संख्या में गोले नहीं रखे जा सकते।
लेखक दिखाते हैं कि $D_{\text{Pois}}$ घनत्व प्राप्त करने वाला कोई भी वीक पॉइसन फैक्टर पूर्णतः संतृप्त पैकिंगों पर समर्थित (supported) है।
यह यूक्लिडियन स्पेस के विपरीत है, जहाँ पूर्णतः संतृप्त पैकिंग अनिवार्य रूप से इष्टतम होती हैं।

4. महत्व और दावे

यह शोध पत्र एक विशिष्ट गैर-यूक्लिडियन सेटिंग ( $\mathbb{H}^2$ ) में हार्ड स्फोर मॉडल के लिए फेज ट्रांजिशन के अस्तित्व को हल करने का दावा करता है, जो कि यूक्लिडियन स्पेस में एक खुला प्रश्न बना हुआ है।

गैर-अमेनेबिलिटी (Non-Amenability) की भूमिका: लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनकी प्रमाण रणनीति अनिवार्य रूप से हाइपरबोलिक प्ले की गैर-अमेनेबिलिटी पर टिकी है। $\mathbb{R}^d$ जैसे अमेनेबल स्पेस में, पॉइसन फैक्टर्स का इष्टतम घनत्व इष्टतम पैकिंग घनत्व के बराबर होता है ( $D_{\text{Pois}} = D_{\text{opt}}$ ), जो इस विशिष्ट पृथक्करण तर्क को रोकता है।
विभेदक के रूप में एंट्रॉपी: यह कार्य गैर-अमेनेबल समूहों के संदर्भ में "रैंडम-लाइक" (पॉइसन/बर्नौली) और "स्ट्रक्चर्ड" (आवधिक/लैटिस) गिब्स मेजर्स के बीच अंतर करने के लिए एक कठोर उपकरण के रूप में एनील्ड एंट्रॉपी को पेश करता है।
सीमाएँ: लेखक अपने कार्य के दायरे के बारे में विनम्र हैं। वे यह दावा नहीं करते कि उन्होंने $\mathbb{H}^2$ में सभी त्रिज्याओं के लिए फेज ट्रांजिशन सिद्ध किया है, न ही वे इसे $\mathbb{H}^d$ ( $d > 2$ ) या $\mathbb{R}^d$ तक विस्तारित करते हैं। वे स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उच्च आयामों या यूक्लिडियन स्पेस में विस्तार एक खुला प्रश्न है, क्योंकि इष्टतम घनत्व की निरंतरता और अद्वितीय आवधिक ऑप्टिमाइज़र का अस्तित्व उन सेटिंग्स में ज्ञात नहीं है।

5. निष्कर्ष

यह शोध पत्र स्थापित करता है कि हाइपरबोलिक प्ले पर हार्ड स्फोर मॉडल एक विशिष्ट, अनबाउंडेड रेडियस सेट के लिए फेज ट्रांजिशन प्रदर्शित करता है। यह दो अलग-अलग गिब्स मेजर्स का निर्माण करके प्राप्त किया गया है: एक लैटिस पैकिंग से प्राप्त निकट-इष्टतम घनत्व वाला मेजर, और दूसरा ग्लौबर डायनेमिक्स से प्राप्त कम घनत्व वाला मेजर। इन दोनों के बीच का अंतर घनत्वों के गैप के माध्यम से सिद्ध किया गया है, जिसे स्वयं एनील्ड एंट्रॉपी के सिद्धांत का उपयोग करके स्थापित किया गया है ताकि यह दिखाया जा सके कि इष्टतम लैटिस मेजर पॉइसन फैक्टर्स द्वारा अनुमानित (approximated) नहीं किए जा सकते। यह परिणाम सांख्यिकीय यांत्रिकी (statistical mechanics) के फेज ट्रांजिशन में गैर-अमेनेबिलिटी की अनूठी भूमिका को रेखांकित करता।