कल्पना कीजिए कि एक ऐसी दुनिया है जहाँ आप किसी अजनबी से अपने लिए गणित करने के लिए कह सकते हैं, लेकिन आपको उन्हें अपने गुप्त नंबर दिखाने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती। आप अपने डेटा को एक जादुई, अटूट बक्से में बंद कर देते हैं, उसे सौंप देते हैं, और अजनबी उस बक्से पर ही गणना करता है। जब वह इसे वापस करता है, तो आप इसे खोलकर उत्तर प्राप्त करते हैं, और अजनबी ने आपके मूल डेटा का एक भी अंक नहीं देखा होता। यह होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन (HE) का वादा है, जो आधुनिक क्रिप्टोग्राफी की एक सुपरपावर है जो हमें अपने डेटा को बिना डिक्रिप्ट किए उस पर गणना करने की अनुमति देती है। यह एक सीलबंद पत्र भेजने जैसा है जिसे डाकघर पते को पढ़े बिना, लिफाफे को खोले बिना, छांटने, स्टैम्प लगाने और रूट करने के लिए उपयोग करता है।

लेकिन यहाँ एक पेच है: एक बार जब वह पत्र आपके हाथों से निकल जाता है, तो उसके अंदर के काम का मालिक कौन है? यदि कोई कंपनी आपके एन्क्रिप्टेड डेटा का उपयोग मॉडल को प्रशिक्षित करने या मेडिकल स्कैन को प्रोसेस करने के लिए करती है, तो अंतिम परिणाम एक नई, मूल्यवान डिजिटल संपत्ति होती है। आप यह कैसे साबित करेंगे कि आपका डेटा इस्तेमाल किया गया था, या यह कि उनका विशिष्ट एल्गोरिदम ही वह था जिसने काम किया? डिजिटल दुनिया में, हम आमतौर पर फोटो या गानों पर वॉटरमार्क लगाते हैं ताकि स्वामित्व सिद्ध किया जा सके। लेकिन आप एक बंद बक्से पर वॉटरमार्क नहीं लगा सकते; यदि आप उसकी सतह को खरोंचते हैं, तो शायद आप जादू को तोड़ देंगे, और बक्सा खुलेगा नहीं। इसके अलावा, यदि बक्सा कई बार इधर-उधर घूमता है और प्रोसेस किया जाता है, तो एक साधारण खरोंच पूरी तरह से मिट सकती है। वैज्ञानिक इन जादुई बक्सों के भीतर एक गुप्त "हस्ताक्षर" छिपाने का तरीका खोजने की कोशिश कर रहे हैं जो यात्रा और गणित के बावजूद जीवित रहे, बिना ताले को तोड़े।

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक "How to Watermark the RLWE Homomorphic Ciphertexts" है, ठीक उसी पहेली को सुलझाता है। लेखक, युफेई झोउ (Yufei Zhou) के नेतृत्व में, इन एन्क्रिप्टेड बक्सों के गणितीय शोर (noise) के भीतर छोटे, अदृश्य "वॉटरमार्क" छिपाने का एक तरीका प्रस्तावित करते हैं। वे केवल एक अस्पष्ट विचार नहीं देते; वे दो विशिष्ट, कार्यशील विधियाँ बनाते हैं और गणितीय रूप से सिद्ध करते हैं कि वे काम करती हैं। इसे रेडियो सिग्नल के स्टैटिक शोर के भीतर एक गुप्त संदेश छिपाने की तरह समझें। संदेश वहीं है, लेकिन एक सामान्य श्रोता के लिए, यह केवल शोर जैसा लगता है। लेखक दिखाते हैं कि भले ही सिग्नल को बढ़ाया जाए, अन्य सिग्नलों के साथ मिलाया जाए, या एक शोर वाले फिल्टर से गुजारा जाए, फिर भी उस गुप्त संदेश को सही डिकोडर जानने वाले व्यक्ति द्वारा खोजा जा सकता है।

यह पत्र इस काम के लिए दो अलग-अलग उपकरण पेश करता है, जिनमें से प्रत्येक को एक अलग प्रकार की गणितीय समस्या के लिए डिज़ाइन किया गया है। पहला उपकरण, जिसे ARWMark कहा जाता है, एक मजबूत, लचीले स्टिकर की तरह है। यह तब बहुत अच्छा होता है जब चीजें आपस में जोड़ी जाती हैं (जैसे एन्क्रिप्टेड नंबरों को जोड़ना), लेकिन यदि आप एन्क्रिप्टेड बक्सों को गुणा करने का प्रयास करते हैं, तो स्टिकर के टुकड़े-टुकड़े हो जाते हैं। दूसरा उपकरण, MRWMark, एक जटिल, इंटरलॉकिंग पहेली के टुकड़े की तरह है। यह बहुत अधिक कठिन है; यह जोड़ने और गुणा करने दोनों में जीवित रह सकता है। हालाँकि, इसे उपयोग करना कठिन है और संदेश छिपाने के लिए इसे बहुत अधिक "स्थान" की आवश्यकता होती है। लेखकों ने केवल सपना नहीं देखा; उन्होंने कोड लिखा, शक्तिशाली कंप्यूटरों पर हजारों सिमुलेशन चलाए, और दिखाया कि उनके वॉटरमार्क जटिल गणनाओं के थपेड़ों के बावजूद छिपे रहते हैं और पता लगाने योग्य रहते हैं।

"लॉक बॉक्स" का जादू

यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, आइए इसके घटकों को देखें। यह पत्र RLWE (रिंग लर्निंग विद एरर्स) नामक एक प्रकार के एन्क्रिप्शन पर निर्भर करता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक गुप्त रेसिपी (आपका डेटा) है और आप एक अजनबी की रसोई में केक (परिणाम) बनाना चाहते हैं। अपनी रेसिपी को सुरक्षित रखने के लिए, आप उन्हें सामग्री नहीं देते; आप उन्हें आटे का एक थैला देते हैं जिसमें रेत की एक बहुत ही सूक्ष्म, अदृ视角 मात्रा मिली हुई है। अजनबी इस "शोर वाले" आटे का उपयोग करके केक बनाता है। जब वह आपको केक सौंपता है, तो आप जानते हैं कि आटे में कितनी रेत थी, इसलिए आप सटीक केक प्राप्त करने के लिए उसे घटा सकते हैं। "रेत" ही शोर (noise) है। वास्तविक दुनिया में, यह शोर एन्क्रिप्शन को सुरक्षित रखने के लिए एक गणितीय आवश्यकता है; इसके बिना, गुप्त रेसिपी का अनुमान लगाया जा सकता है।

समस्या यह है कि यह शोर भी वॉटरमार्क छिपाने के लिए सबसे उत्तम स्थान है। लेखकों ने महसूस किया कि यदि वे शोर के भीतर रेत का एक विशिष्ट पैटर्न छिपा सकें, तो वे सिद्ध कर सकते हैं कि एक विशिष्ट बक्सा उनका है। लेकिन एक जोखिम है: यदि वे बहुत अधिक रेत डालते हैं, तो केक टूट सकता है (डिक्रिप्शन विफल हो जाता)। यदि वे बहुत कम डालते हैं, तो अजनबी बाद में पैटर्न को नहीं खोज पाएगा। और यदि अजनबी आटे के दो थैलों को मिला देता है (होमोमोर्फिक एडिशन) या उन्हें गुणा करता है (होमोमोर्फिक मल्टीप्लिकेशन), तो रेत के पैटर्न पूरी तरह से गड़बड़ा सकते हैं या बह सकते हैं।

दो समाधान: स्टिकर और पहेली

लेखक इस काम के लिए दो तरीके प्रस्तावित करते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि "अजनबी" को किस प्रकार के गणित की आवश्यकता है।

1. ARWMark: "एडिशन-प्रूफ" स्टिकर
यह विधि उन स्थितियों के लिए डिज़ाइन की गई है जहाँ एन्क्रिप्टेड डेटा को मुख्य रूप से जोड़ा जाता है, जैसे वोटों की गिनती करना या मेडिकल सांख्यिकी को जोड़ना। लेखक वॉटरमार्क को स्टैटिक में छिपे एक गुप्त सिग्नल की तरह मानते हैं। वे एक रैंडम "की" (रेत का एक विशिष्ट पैटर्न) चुनते हैं और बक्से के शोर में थोड़ा सा हिस्सा जोड़ देते हैं।

• यह कैसे काम करता है: कल्पना कीजिए कि आपके पास रैंडम रेत वाला आटे का एक थैला है। आप उसमें थोड़ी सी विशिष्ट "नीली रेत" मिला देते हैं। जब आप जांचना चाहते हैं कि क्या थैला आपका है, तो आप नीली रेत की तलाश करते हैं।
• पेच: यह तब बहुत अच्छा काम करता है जब आप आटे के और थैले जोड़ते हैं। नीली रेत बस थोड़ी पतली हो जाती है, लेकिन वह अभी भी वहीं रहती है। हालाँकि, यदि आप बक्सों को गुणा करने का प्रयास करते हैं (एक बहुत अधिक जटिल ऑपरेशन), तो नीली रेत इतनी बुरी तरह से मिल जाती है कि पैटर्न गायब हो जाता है। पेपर गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि यह विधि जोड़ (addition) के प्रति मजबूत है लेकिन गुणा (multiplication) के विरुद्ध विफल हो जाती है।
• परिणाम: उन्होंने दिखाया कि कई एन्क्रिप्टेड नंबरों को एक साथ जोड़ने के बाद भी, "नीली रेत" के पैटर्न को उच्च सटीकता के साथ पहचाना जा सकता था, बशर्ते कि प्रारंभिक नीली रेत की मात्रा पर्याप्त मजबूत हो।

2. MRWMark: "मल्टीप्लिकेशन-प्रूफ" पहेली
यह भारी काम करने वाला उपकरण है। इसे उन परिदृश्यों के लिए डिज़ाइन किया गया है जहाँ डेटा को गुणा किया जाता है, जैसे कि एक जटिल AI मॉडल चलाना या डीप लर्निंग इन्फरेंस। यह बहुत कठिन है क्योंकि गुणा शोर को अराजक तरीके से बिखेर देता है।

• यह कैसे काम करता है: केवल एक पैटर्न जोड़ने के बजाय, लेखक एक "लीनियर इक्वेशन सिस्टम" से जुड़े एक चतुर तरीके का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि आपके पास नियमों का एक सेट है (जैसे एक पहेली) जिसे केवल संख्याओं का एक विशिष्ट सेट ही हल कर सकता है। वे शोर के भीतर संख्याओं का एक सेट छिपाते हैं जो इस पहेली को हल करता है।
• जादू: जब आप एन्क्रिप्टेड बक्सों को गुणा करते हैं, तो गुणा का गणित वास्तव में पहेली के समाधान को सुरक्षित रखता है। यह ऐसा है जैसे आपके पास एक पहेली हो जिसके टुकड़े आपस में फिट बैठते हैं, और भले ही आप बक्से को हिला दें, टुकड़े अभी भी उसी तरह फिट होते हैं।
• पेच: क्योंकि गुणा बहुत अधिक अराजकता पैदा करता है, इस विधि को संदेश छिपाने के लिए बहुत अधिक "स्थान" (एम्बेडिंग इंटेंसिटी) की आवश्यकता होती। पेपर नोट करता है कि इस काम को करने के लिए आवश्यक शोर की मात्रा विशाल है—कभी-कभी लाखों में एम्बेडिंग इंटेंसिटी की आवश्यकता होती—ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि संदेश खो न जाए।
• परिणाम: उन्होंने प्रदर्शित किया कि यह विधि जोड़ और गुणा दोनों में जीवित रह सकती है, लेकिन यह एक "जीरो-बिट" सिस्टम है (यह केवल यह सिद्ध करता है कि एक वॉटरमार्क मौजूद है, यह लंबा संदेश नहीं ले जाता) और इसके लिए बहुत अधिक संसाधनों की आवश्यकता होती है।

आंकड़े क्या कहते हैं

लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने इन विचारों का कड़ाई से परीक्षण किया। उन्होंने एक शक्तिशाली कंप्यूटर पर Python का उपयोग करके एक सिमुलेशन बनाया। उन्होंने एन्क्रिप्शन मापदंडों को 128-बिट सुरक्षा स्तर को पूरा करने के लिए सेट किया, जिसमें पॉलीनोमियल साइज ($N$) 2048 और प्लेनटेक्स्ट मॉडुलस ($p$) 65537 था।

ARWMark के लिए, उन्होंने पाया कि $I_w$ की एक मध्यम एम्बेडिंग इंटेंसिटी 7 के साथ, वे सीक्रेट-की एन्क्रिप्शन में वॉटरमार्क को स्पष्ट रूप से पहचान सकते थे। हालाँकि, पब्लिक-की एन्क्रिप्शन (जो अधिक शोर वाला है) के लिए, उन्हें समान स्पष्ट सिग्नल पाने के लिए उस तीव्रता को बढ़ाकर 100 करना पड़ा। उन्होंने परीक्षण किया कि क्या होता है जब वे रैंडम शोर जोड़ते हैं (एक हमलावर द्वारा वॉटरमार्क को मिटाने के प्रयास का अनुकरण करते हुए)। उन्होंने पाया कि जब तक शोर बहुत अधिक नहीं था, वॉटरमार्क जीवित रहा। लेकिन यदि हमलावर ने पर्याप्त शोर जोड़ा, तो वॉटरमार्क खो सकता था, जब तक कि मूल एम्बेडिंग को मजबूत न बनाया गया हो।

MRWMark के लिए, दांव बहुत ऊंचे थे। उन्होंने पाया कि कम एम्बेडिंग इंटेंसिटी के साथ, वॉटरमार्क अक्सर शोर में खो जाता है। लेकिन जब उन्होंने तीव्रता बढ़ाकर 34 कर दी, तो वॉटरमार्क खोजने की सफलता दर लगभग 100% हो गई। जब उन्होंने गुणा का परीक्षण किया, तो आवश्यकताएं आसमान छू गईं। बिना "रीसाइज़" (शोर कम करने का एक विशिष्ट चरण) के एक एकल गुणा ऑपरेशन में जीवित रहने के लिए, उन्हें कम से कम 782,327 की तीव्रता की आवश्यकता थी। यदि उन्होंने रीसाइज़ ऑपरेशन जोड़ा, तो वह संख्या लगभग 96 मिलियन तक पहुँच गई। ये संख्याएँ दिखाती हैं कि हालांकि यह विधि काम करती है, लेकिन इसके साथ "आकार" के रूप में एक भारी लागत आती है।

निष्कर्ष

यह पेपर सिद्ध करता है कि हम वास्तव में इन जादुई एन्क्रिप्टेड बक्सों के भीतर वॉटरमार्क छिपा सकते हैं। यह एक महत्वपूर्ण कदम है क्योंकि यह केवल "क्या हम गणना कर सकते हैं?" से आगे बढ़कर "क्या हम उस गणना के परिणामों को ट्रैक और सुरक्षित कर सकते हैं?" तक जाता है।

लेखक सावधानी से इसकी सीमाओं की ओर इशारा करते हैं। उनका "स्टिकर" (ARWMark) सरल जोड़ के लिए महान है लेकिन गुणा होने पर टूट जाता है। उनका "पहेली" (MRWMark) गुणा को संभाल सकता है लेकिन यह महंगा और कठिन है। वे यह दावा नहीं करते कि उन्होंने हर संभावित परिदृश्य के लिए समस्या को हल कर दिया है, लेकिन उन्होंने एक ठोस आधार और दो कार्यशील प्रोटोटाइप प्रदान किए हैं।

भविष्य में, लेखक दोनों दुनियाओं के सर्वश्रेष्ठ को मिलाने की आशा करते हैं—एक ऐसा वॉटरमार्क बनाना जो छोटा भी हो और किसी भी गणितीय ऑपरेशन में जीवित रहने के लिए पर्याप्त मजबूत भी हो। तब तक, उनका काम गोपनीयता-संरक्षण वाली दुनिया में सुरक्षा की एक नई परत प्रदान करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब हम अपने रहस्य क्लाउड को सौंपते हैं, तो हम अभी भी यह सिद्ध कर सकें कि काम किसने किया और परिणाम का स्वामित्व किसका है। यह शोर के समुद्र में एक छोटा, अदृश्य हस्ताक्षर है, लेकिन डिजिटल युग के लिए, वह हस्ताक्षर विश्वास और अराजकता के बीच का अंतर हो सकता है।