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$d$ -Translated Unit Sensitive Primes

यह शोध पत्र $d$ -अनुवादित इकाई संवेदनशील अभाज्य संख्याओं (d-translated unit sensitive primes) की अवधारणा प्रस्तुत करता है, एक ऐसी अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करता है जिसमें ऐसी अभाज्य संख्याओं के अनिश्चित रूप से लंबे अनुक्रम शामिल हैं जो ब्रियर संख्याएँ (Brier numbers) भी हैं, और सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $d$ के लिए इस गुण को संतुष्ट करने वाली पहली ज्ञात अभाज्य संख्या की पहचान करता है।

मूल लेखक: Thomas Luckner, R. James Philpott

प्रकाशित 2026-07-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Thomas Luckner, R. James Philpott

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

महान संख्या खोज: जब अभाज्य संख्याएँ साफ़ नज़र आती हैं

कल्पना कीजिए कि गणित की दुनिया एक विशाल, अनंत पुस्तकालय है जहाँ हर किताब एक पूर्ण संख्या (whole number) है। इस पुस्तकालय में, सबसे प्रसिद्ध और रहस्यमय पात्र अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) हैं। ये अंकगणित के "परमाणु" हैं: जैसे 2, 3, 5 और 7, जो केवल 1 और स्वयं से ही पूरी तरह विभाजित हो सकते हैं। वे बाकी सब कुछ के निर्माण खंड (building blocks) हैं, फिर भी वे संख्या रेखा पर बिना किसी अनुमानित पैटर्न के दिखाई देते हैं, जैसे अंधेरे में टिमटिमाते जुगनू। सदियों से, गणितज्ञों ने यह खोजने की कोशिश की है कि ये जुगनू कहाँ छिपे होते हैं।

इस पुस्तकालय में सबसे बड़े सवालों में से एक "भाज्य" (composite) संख्याओं के बारे में है—वे बिखरी हुई, विभाज्य संख्याएँ जैसे 4, 6, या 100। कभी-कभी, गणितज्ञ यह सिद्ध करना चाहते हैं कि एक निश्चित प्रकार की संख्या हमेशा भाज्य ही होगी, चाहे आप उसमें कोई भी बदलाव क्यों न करें। इसे करने के लिए, वे कवरिंग सिस्टम (covering system) नामक एक चतुर तकनीक का उपयोग करते हैं। इसे अलग-अलग आकार के जालों से बने सुरक्षा कवच की तरह समझें। यदि आप हर संभावित संख्या पर एक जाल फेंकते हैं, तो आप सिद्ध कर सकते हैं कि आप जो भी संख्या चुनें, वह हमेशा कम से कम एक जाल में फंस जाएगी। यदि प्रत्येक जाल को केवल भाज्य संख्याओं को पकड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो आपने सिद्ध कर दिया है कि आपकी विशिष्ट प्रकार की संख्या कभी अभाज्य नहीं हो सकती। यह शोध पत्र इन जालों का उपयोग करके बहुत विशेष, बहुत जिद्दी अभाज्य संख्याओं की खोज करने के इस बिल्ली-चूहे के खेल में गहराई तक जाता है।

शोध पत्र की बड़ी खोज: परम "संवेदनशील" अभाज्य संख्याएँ

यह शोध पत्र एक संख्या गुण के एक नए, सुपर-चार्ज्ड संस्करण को पेश करता है जिसे "यूनिट सेंसिटिव" (unit sensitive) कहा जाता है। इसे समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि आपके पास एक संख्या है, जैसे 97। यदि आप इसके बिल्कुल अंतिम अंक (इकाई अंक) को 0 से 9 तक किसी भी अन्य संख्या में बदलते हैं, तो आपको संख्याओं की एक नई सूची प्राप्त होती है: 90, 91, 92, इत्यादि। यदि उन सभी नई संख्याओं में से प्रत्येक एक भाज्य (अभाज्य नहीं) है, तो 97 "यूनिट सेंसिटिव" है। यह एक ऐसी संख्या की तरह है जो इतनी नाजुक है कि उसकी पूंछ को छूने मात्र से वह गैर-अभाज्य बन जाती है।

लेखक, थॉमस लकनर और आर. जेम्स फिलपॉट, इस विचार को और आगे बढ़ाते हैं। वे पूछते हैं: क्या होगा यदि आप केवल अंतिम अंक को न बदलें, बल्कि पहले संख्या के अंत में कई शून्य जोड़ दें? इसे "d-ट्रांसलेटेड यूनिट सेंसिटिव" (d-translated unit sensitive) कहा जाता है।

यदि $d=0$ है, तो आप केवल अंतिम अंक बदलते हैं (मूल "यूनिट सेंसिटिव" विचार)।
यदि $d=1$ है, तो आप एक शून्य जोड़ते हैं (97 को 970 बनाकर) और फिर अंतिम अंक बदलते हैं (970, 971, 972...)।
यदि $d=2$ है, तो आप दो शून्य जोड़ते हैं (9700) और फिर अंतिम अंक बदलते हैं।

यह शोध पत्र एक अद्भुत बात सिद्ध करता है: अनंत रूप से ऐसी अभाज्य संख्याएँ मौजूद हैं जो शून्यों की किसी भी संख्या को जोड़ने पर इस ट्रिक के प्रति "संवेदनशील" हैं। आप कितने भी शून्य जोड़ें, यदि आप अंतिम अंक बदलते हैं, तो परिणाम हमेशा एक भाज्य संख्या ही होगी। लेखक इन्हें [0, ∞)-ट्रांसलेटेड यूनिट सेंसिटिव अभाज्य संख्याएँ कहते हैं।

उन्होंने "अभेद्य" संख्या का निर्माण कैसे किया

इन मायावी अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए, लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने प्रसिद्ध गणितज्ञ पॉल एर्दोश द्वारा विकसित एक पद्धति का उपयोग करके एक विशिष्ट गणितीय मशीन बनाई। उन्होंने एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progression) का निर्माण किया। इसे एक ट्रेन ट्रैक की तरह समझें जहाँ संख्याएँ पूरी तरह से व्यवस्थित अंतराल पर होती हैं: $Am + B$।

$m$ एक काउंटर है जो 0, 1, 2, 3... चलता है।
$A$ और $B$ दो विशाल, सावधानीपूर्वक चुने गए नंबर हैं।

लेखकों ने $A$ और $B$ को इस तरह डिज़ाइन किया कि इस ट्रैक पर मौजूद प्रत्येक संख्या चार सख्त नियमों (या मानदंडों) को पूरा करती है:

शून्य नियम (The Zero Rule): यदि आप शून्य जोड़ते हैं और अंतिम अंक बदलते हैं, तो संख्या एक "जाल" (एक अभाज्य विभाजक) में फंस जाती है जो इसे भाज्य बना देती है।
पूंछ नियम (The Tail Rule): यदि आप केवल अंतिम अंक बदलते हैं (बिना शून्य जोड़े), तो यह भी एक जाल में फंस जाता है।
सिएरपिंस्की नियम (The Sierpinski Rule): यदि आप संख्या को 2 की घातों से गुणा करते हैं और 1 जोड़ते हैं, तो यह हमेशा भाज्य रहती है।
रीज़ल नियम (The Riesel Rule): यदि आप संख्या को 2 की घातों से गुणा करते हैं और 1 घटाते हैं, तो यह हमेशा भाज्य रहती है।

सम्मिलितताओं (congruences - अवशेषों पर आधारित गणितीय "जाल") के एक जटिल जाल का उपयोग करके, उन्होंने सुनिश्चित किया कि इस ट्रैक पर प्रत्येक संख्या के लिए, संशोधित संस्करण (जिनमें शून्य जोड़े गए हैं या अंक बदले गए हैं) हमेशा भाज्य हों। महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने $A$ और $B$ को सह-अभाज्य (relatively prime) चुना, जो डिरिचलेट के प्रमेय (Dirichlet's Theorem) द्वारा यह गारंटी देता है कि यह ट्रैक स्वयं अनंत अभाज्य संख्याएँ रखता है। यह निर्माण सुनिश्चित करता है कि जबकि इन अभाज्य संख्याओं के "पड़ोसी" (ऊपर दिए गए ट्रिक्स द्वारा बनाए गए) भाज्य हैं, अभाज्य संख्याएँ स्वयं अभाज्य बनी रहती हैं।

परिणाम: एक अभाज्य संख्या जो सब कुछ करती है

शोध पत्र दो मुख्य प्रमेय प्रस्तुत करता है:

प्रमेय 1: [0, ∞)-ट्रांसलेटेड यूनिट सेंसिटिव होने वाली अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। लेखकों ने एक विशिष्ट शुरुआती अभाज्य संख्या पाई, 41459060189171787548442999328384678040412832671445258454633 (जो उनका $B$ मान है), जो ऐसी अभाज्य संख्या का पहला ज्ञात उदाहरण है।
प्रमेय 2: वे और भी आगे गए। उन्होंने एक अंकगणितीय प्रगति खोजी जहाँ संख्याएँ न केवल [0, ∞)-ट्रांसलेटेड यूनिट सेंसिटिव हैं, बल्कि ब्रायर संख्याएँ (Brier numbers) भी हैं। ब्रायर संख्या एक दुर्लभ जीव है जो सिएरपिंस्की और रीज़ल दोनों (नियम 3 और 4) है।

शोध पत्र सिद्ध करता है कि इस विशिष्ट ट्रेन ट्रैक के भीतर, अनंत अभाज्य संख्याएँ हैं जो एक साथ ये सभी चीजें हैं। वास्तव में, वे दिखाते हैं कि किसी भी संख्या $k$ के लिए, आप इस ट्रैक पर $k$ लगातार अभाज्य संख्याएँ पा सकते हैं जो [0, ∞)-ट्रांसलेटेड यूनिट सेंसिटिव और ब्रायर संख्याएँ दोनों हैं।

वे क्या दावा नहीं करते (और क्या खारिज करते हैं)

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या नहीं कहता है।

यह दावा नहीं करता कि सभी अभाज्य संख्याएँ संवेदनशील हैं। वास्तव में, शोध पत्र दिखाता है कि पहली 106 अभाज्य संख्याएँ [1, 4381]-ट्रांसलेटेड यूनिट सेंसिटिव नहीं हैं। अधिकांश अभाज्य संख्याएँ "मजबूत" होती हैं और अपने अंकों में कुछ बदलावों को झेल सकती हैं।
यह सुझाव नहीं देता कि इन संख्याओं को खोजना आसान है। लेखक नोट करते हैं कि जबकि एक कंप्यूटर शून्य की छोटी सीमा के लिए संवेदनशीलता की जांच कर सकता है, शून्य की सभी संभावनाओं (अनंत मामले) की जांच करना कंप्यूटर के लिए ब्रूट-फोर्स (brute-force) करना असंभव है। इसीलिए उन्हें केवल सिमुलेशन चलाने के बजाय इस गणितीय "जाल" प्रमाण का निर्माण करना पड़ा।
यह दावा नहीं करता कि इन संख्याओं का वास्तविक दुनिया (जैसे क्रिप्टोग्राफी या इंजीनियरिंग) में कोई व्यावहारिक उपयोग है। यह शोध पत्र विशुद्ध रूप से एक सैद्धांतिक अन्वेषण है।

निष्कर्ष

अंततः, यह शोध पत्र गणितीय निर्माण का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। लेखकों ने एक सरल विचार लिया—संख्या के अंतिम अंक को बदलना—और उसे अनंत शून्य मिलाकर चरम सीमा तक बढ़ा दिया। अभाज्य संख्याओं के एक जटिल ताने-बाने को बुनकर, उन्होंने सिद्ध किया है कि ऐसी अभाज्य संख्याओं का एक अनंत परिवार मौजूद है जो अविश्वसनीय रूप से "संवेदनशील" हैं। आप शून्य जोड़कर या अंतिम अंक बदलकर उन्हें कैसे भी बदलने की कोशिश करें, परिणामी संख्याएँ हमेशा भाज्य संख्याओं में बदल जाती हैं। और सबसे बड़ी बात? ये नाजुक अभाज्य संख्याएँ दुर्लभ ब्रायर संख्याएँ भी हैं, जो यह सिद्ध करती हैं कि अभाज्य संख्याओं की अराजक दुनिया में भी, ऐसे पैटर्न मौजूद हैं जिन्हें ईंट-दर-ईंट एक अनंत मीनार की तरह बनाया जा सकता है।

तकनीकी सारांश: d-अनुवादित इकाई संवेदनशील अभाज्य (d-Translated Unit Sensitive Primes)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र अंकों के हेरफेर के प्रति संवेदनशीलता और घातांकीय रूपों के संबंध में उनके गुणों द्वारा परिभाषित विशिष्ट पूर्णांकों के अस्तित्व और निर्माण को संबोधित करता है। लेखक $d$ -अनुवादित इकाई संवेदनशील (d-translated unit sensitive) पूर्णांकों की अवधारणा प्रस्तुत करते हैं। एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n$ को $d$ -अनुवादित इकाई संवेदनशील कहा जाता है यदि $n$ के दाईं ओर $d$ शून्य जोड़ने और परिणामी इकाई अंक को किसी अन्य संभावित अंक (जो $n$ से भिन्न हो) में बदलने पर प्राप्त संख्या एक भाज्य संख्या (composite number) होती है। जब $d=0$ होता है, तो यह मानक इकाई संवेदनशील (unit sensitive) अभाज्य की परिभाषा बन जाती है।

यह शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि क्या ऐसे अभाज्य मौजूद हैं जो किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $d$ (जिसे $[0, \infty)$ -अनुवादित इकाई संवेदनशील कहा जाता है) के लिए इस स्थिति को संतुष्ट करते हैं। इसके अतिरिक्त, लेखक ऐसी अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progressions) का निर्माण करने का प्रयास करते हैं जिनमें ऐसे अभाज्य शामिल हों जो ब्रायर संख्याओं (Brier numbers) के गुणों को भी एक साथ संतुष्ट करते हों (ब्रायर संख्याएं वे पूर्णांक हैं जो सिर्पिन्स्की संख्या (Sierpinski number) और रीज़ल संख्या (Riesel number) दोनों हैं; जहाँ $k \cdot 2^n + 1$ और $k \cdot 2^n - 1$ दोनों ही सभी $n$ के लिए भाज्य होते हैं)।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक कवरिंग सिस्टम (covering systems) की तकनीक का उपयोग करते हैं, जो एक विधि है जिसे पॉल एर्डोस (Paul Erdős) द्वारा विशिष्ट भाज्य गुणों वाले पूर्णांकों की अंकगणितीय प्रगति के निर्माण के लिए उपयोग किया गया था। यह निर्माण एक परिमित संयुग्मन समूह (finite set of congruences) को परिभाषित करके किया जाता है ताकि प्रत्येक पूर्णांक एक विशिष्ट डोमेन में कम से कम एक संयुग्मन को संतुष्ट करे।

कार्यप्रणाली में $Am + B $(जहाँ$ m$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है) के रूप में एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण शामिल है जो चार विशिष्ट मानदंडों को पूरा करती है:

मानदंड (1): किसी भी $d \ge 1$ और किसी भी अंक $n \in \{0, \dots, 9\}$ के लिए, संख्या $(Am+B) \cdot 10^d + n$ , $A$ के एक अभाज्य गुणनखंड द्वारा विभाज्य है। यह सुनिश्चित करता है कि $Am+B $, सभी$ d \ge 1 $के लिए$ d$-अनुवादित इकाई संवेदनशील है।
मानदंड (2): किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक $x \in \{-3, \dots, 6\}$ के लिए, संख्या $(Am+B) + x$, $A$ के एक अभाज्य गुणनखंड द्वारा विभाज्य है। यह सुनिश्चित करता है कि $Am+B $इकाई संवेदनशील है (अर्थात$ d=0 $का मामला), बशर्ते$ Am+B \equiv 3 \pmod{10}$ हो।
मानदंड (3): किसी भी $k \ge 0$ के लिए, संख्या $(Am+B) \cdot 2^k + 1$ , $A$ के एक अभाज्य गुणनखंड द्वारा विभाज्य है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रगति में सिर्पिन्स्की संख्याएं शामिल हैं।
मानदंड (4): किसी भी $k \ge 0$ के लिए, संख्या $(Am+B) \cdot 2^k - 1$ , $A$ के एक अभाज्य गुणनखंड द्वारा विभाज्य है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रगति में रीज़ल संख्याएं शामिल हैं।

इन मानदंडों को संतुष्ट करने के लिए, लेखक $d$ और $k$ के घातांकों के लिए एक कवरिंग सिस्टम का निर्माण करते हैं। प्रत्येक संयुग्मन वर्ग (जैसे, $d \equiv a \pmod b$ ) के लिए, वे एक अद्वितीय अभाज्य $p$ (या अभाजों का एक सेट) से संबद्ध करते हैं ताकि $p$ , $A$ को विभाजित करे। वे फिर $B$ के लिए आवश्यक अवशेष वर्ग (residue class) को $p$ के सापेक्ष निर्धारित करते हैं ताकि विभाज्यता सुनिश्चित हो सके। विशेष रूप से:

मानदंड (1) के लिए, $B \equiv -n \cdot 10^{-a} \pmod p$ ।
मानदंड (3) के लिए, $B \equiv -1 \cdot 2^{-a} \pmod p$ ।
मानदंड (4) के लिए, $B \equiv 1 \cdot 2^{-a} \pmod p$ ।

लेखक इन मॉड्यूलर बाधाओं को $B$ के एकल मान में संयोजित करने के लिए चीनी शेष प्रमेय (Chinese Remainder Theorem) का उपयोग करते हैं, जबकि $A$ को कवरिंग्स में उपयोग किए गए सभी अद्वितीय अभाजों के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रगति में अनंत अभाज्य मौजूद हैं, $A$ और $B$ को सह-अभाज्य (relatively prime) बनाया गया है, जिससे डिरिचलेट के प्रमेय (Dirichlet's Theorem) का उपयोग किया गया है। कवरिंग्स के सत्यापन के लिए कंप्यूटर बीजगणितीय प्रणालियों (Magma और Maple) का उपयोग किया गया था।

मुख्य योगदान और परिणाम
यह शोध पत्र निम्नलिखित प्रमेयों के माध्यम से इन संयुक्त गुणों वाले अनंत अभाजों के अस्तित्व को स्थापित करता है:

प्रमेय 1: $Am + B $के रूप में अनंत अभाज्य मौजूद हैं जो$ [0, \infty) $-अनुवादित इकाई संवेदनशील हैं। लेखक$ A $और$ B $के लिए स्पष्ट मान प्रदान करते हैं।$ B $को पहले ज्ञात अभाज्य के रूप में पहचाना गया है जो$ [0, \infty)$-अनुवादित इकाई संवेदनशील है।
प्रमेय 2: $Am + B $के रूप में अनंत अभाज्य मौजूद हैं जो$ [0, \infty) $-अनुवादित इकाई संवेदनशील और ब्रायर संख्याएं दोनों हैं। लेखक इस प्रगति के लिए$ A $और$ B $के स्पष्ट, बड़े पूर्णांक मान प्रदान करते हैं। दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले पहले ज्ञात अभाज्य को$ A(11) + B$ के रूप में पहचाना गया है।
उपप्रमेय (Corollaries) 1–3: निर्माण क्रमशः अनंत अभाज्य सिर्पिन्स्की संख्याओं, अनंत अभाज्य रीज़ल संख्याओं और अनंत अभाज्य ब्रायर संख्याओं वाली अंकगणितीय प्रगति प्रदान करता है। ये प्रगतिएं साहित्य में पहले से ज्ञात उदाहरणों से भिन्न हैं।
उपप्रमेय (Corollaries) 4–5: डी. शियू (D. Shiu) और जे. मेनार्ड (J. Maynard) की अंकगणितीय प्रगति में क्रमागत अभाजों के संबंध में परिणामों को लागू करके, लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए, $k$ क्रमागत अभाज्य मौजूद हैं जो एक साथ $[0, \infty)$ -अनुवादित इकाई संवेदनशील और ब्रायर संख्याएं हैं।

महत्व
यह शोध पत्र अंक संवेदनशीलता (digit sensitivity) द्वारा परिभाषित पूर्णांकों के एक नए वर्ग के लिए कवरिंग सिस्टम के अनुप्रयोग को विस्तारित करके महत्व का दावा करता है। जबकि एर्डोस, सिर्पिन्स्की और रीज़ल के पिछले कार्यों ने $x - 2^k$ , $k \cdot 2^n + 1$ , और $k \cdot 2^n - 1$ के रूपों में संख्याओं की भाज्यता पर ध्यान केंद्रित किया था, यह कार्य इन अवधारणाओं को अनुवाद (शून्य जोड़ना) के बाद इकाई अंक की संवेदनशीलता के साथ एकीकृत करता है।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि कम्प्यूटेशनल जाँच छोटे $d$ के लिए इकाई संवेदनशीलता को सत्यापित कर सकती है, $[0, \infty)$ -अनुवादित इकाई संवेदनशीलता के लिए स्थिति को सीधे सत्यापित करना $d$ की अनंत प्रकृति के कारण कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य नहीं है। कवरिंग सिस्टम का रचनात्मक प्रमाण ऐसे नंबरों के लिए एक कठोर अस्तित्व प्रमाण प्रदान करता है जहाँ प्रत्यक्ष गणना विफल हो जाती है। यह शोध पत्र ब्रायर संख्याओं के कैटलॉग में नए अंकगणितीय प्रगति प्रदान करके इसमें योगदान देता है, जिसमें ब्रायर संख्या और $[0, \infty)$ -अनुवादित इकाई संवेदनशील दोनों होने वाला पहला ज्ञात अभाज्य भी शामिल है।