Perfect $2$-codes over arbitrary alphabets

कल्पना कीजिए कि आप एक शोर-शराबे वाले, अराजक आकाशगंगा में एक गुप्त संदेश भेज रहे हैं। हर बार जब आप एक अक्षर प्रसारित करते हैं, तो एक शरारती स्पेस गोब्लिन उसे किसी दूसरे अक्षर से बदल सकता है, या उसे पूरी तरह से गिरा सकता है। इस अराजकता से बचने के लिए, आप संदेश को केवल एक बार नहीं भेजते; आप इसे कोड के भीतर ही अतिरिक्त "स्पेयर पार्ट्स" (अतिरिक्त पुर्जों) के साथ भेजते हैं। यही एरर-करेक्टिंग कोड्स (त्रुटि-सुधार कोड) की दुनिया है, जो वह अदृश्य ढाल है जो आपके टेक्स्ट संदेशों, अंतरिक्ष यानों और स्ट्रीमिंग वीडियोओं को अर्थहीन होने से बचाती है।

इस ब्रह्मांड में, एक "परफेक्ट कोड" (पूर्ण कोड) एक पवित्र लक्ष्य है। यह एक पैकिंग पहेली की तरह है जहाँ आपके पास एक विशाल डिब्बा (सभी संभावित संदेश) है और आप कोशिश करते हैं कि उसमें कितने अधिक "सुरक्षित क्षेत्र" (आपके वास्तविक संदेश) फिट किए जा सकें। प्रत्येक सुरक्षित क्षेत्र का अपना एक सुरक्षात्मक घेरा (रेडियस) होता है। यदि किसी संदेश के साथ गोब्लिन द्वारा छेड़छाड़ की जाती है और वह थोड़ा बदल जाता है, तो भी वह एक सुरक्षित क्षेत्र के भीतर ही रहता है, और प्राप्तकर्ता बिल्कुल जानता है कि मूल संदेश क्या था। एक कोड तब "परफेक्ट" होता है जब ये सुरक्षित क्षेत्र एक जिग्सॉ पजल्स की तरह बिना किसी अंतराल (गैप) या ओवरलैप के एक साथ फिट हो जाते हैं। यदि पहेली में अंतराल हैं, तो आप एक संदेश खो सकते हैं; यदि वे ओवरलैप होते हैं, तो आप भ्रमित हो सकते हैं कि क्या भेजा गया था।

द दशकों से, गणितज्ञ इस पहेली को हल करने के अंतिम संस्करण को खोजने की कोशिश कर रहे हैं: किसी भी आकार के वर्णमाला (alphabet) का उपयोग करके एक साथ दो त्रुटियों को ठीक करने वाला एक "परफेक्ट कोड" (एक परफेक्ट 2-कोड) खोजना। उन्होंने एक या तीन या अधिक त्रुटियों को ठीक करने वाले समाधान तो खोज लिए थे, लेकिन ठीक दो त्रुटियों को ठीक करने के मामले में, जहाँ वर्णमाला का आकार "अजीब" (जो कि किसी अभाज्य संख्या की घात नहीं है, जैसे 10 या 15) हो, वह एक अटका हुआ, अनसुलझा रहस्य बना रहा। यह वैसा ही है जैसे कि आप 2, 4, या 8 वस्तुओं को पैक करने के लिए एक सूटकेस को पूरी तरह से पैक करना जानते हैं, लेकिन आपको यह नहीं पता कि 6 या 10 वस्तुओं के साथ इसे पूरी तरह से कैसे किया जाए।

माइकल बेनेट द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र विशेष रूप से इसी रहस्य की गहराई में जाता है। लेखक एक बहुत बड़े और विशिष्ट परिवार के "अजीब" वर्णमाला आकारों के लिए यह सिद्ध करने का प्रयास करता है कि परफेक्ट 2-कोड का अस्तित्व नहीं है। यह शोध पत्र केवल अनुमान नहीं लगाता; यह उन्नत गणित के भारी हथियारों का उपयोग करता—विशेष रूप से उन उपकरणों का जो यह मापते हैं कि संख्याएँ बिना स्पर्श किए एक-दूसरे के कितने करीब आ सकती हैं—यह दिखाने के लिए कि यदि ऐसा कोड मौजूद होता, तो वह इतना अविश्वसनीय रूप से विशाल और अजीब होता कि वह अंकगणित के नियमों को तोड़ देता।

मुख्य निष्कर्ष एक शक्तिशाली "नो-गो" (न जाने का) क्षेत्र है। बेनेट सिद्ध करते हैं कि यदि आप $2^\alpha \times p^\beta$ के रूप में बने वर्णमाला आकार का उपयोग करके एक परफेक्ट 2-कोड बनाने की कोशिश करते हैं, तो आपकी किस्मत खराब है। विशेष रूप से, वह दिखाते हैं कि इन कोडों के सैद्धांतिक रूप से संभव होने के लिए, शामिल अभाज्य संख्या (prime number) को $10^{10}$ (दस अरब) से बड़ा होना होगा, और 2 की घात 20 से अधिक होनी चाहिए। इसके अलावा, यदि ऐसा कोड मौजूद होता, तो उस अभाज्य संख्या को 8 से विभाजित करने पर 3 शेषफल छोड़ना होता।

यह शोध पत्र और भी आगे जाता है। यह किसी भी वर्णमाला आकार के लिए इन परफेक्ट कोडों के अस्तित्व को खारिज करता है जहाँ सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड 13 या उससे छोटा है। वास्तव में, लेखक एक लंबे समय से चली आ रही धारणा की पुष्टि करते हैं कि कई विशिष्ट संख्याओं के लिए परफेक्ट 2-कोड मौजूद नहीं हैं, जिसमें वे मामले भी शामिल हैं जहाँ वर्णमाला का आकार $2^\alpha \times p^\beta$ है (छोटे $\alpha$ मानों तक 20 तक)। लेखक केवल यह नहीं कहते कि "इसकी संभावना कम है"; वह कठोर गणितीय प्रमाणों का उपयोग करके यह प्रदर्शित करते हैं कि इस तरह के कोड के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें गणितीय विरोधाभासों की ओर ले जाती हैं। हालाँकि यह शोध पत्र ब्रह्मांड के हर एक संभावित वर्णमाला आकार को खारिज नहीं करता है, लेकिन यह अधिकांश सामान्य और दिलचस्प आकारों के लिए दरवाजा प्रभावी रूप से बंद कर देता है, जिससे केवल एक बहुत ही संकुचित संभावना बचती है जिसके लिए ऐसी विशाल संख्याओं की आवश्यकता होती है जो व्यावहारिक रूप से अकल्पनीय हैं।

असंभव पहेली की कहानी

माइकल बेनेट ने जो पहेली सुलझाने की कोशिश की, उसे समझने के लिए आइए उस पहेली को देखें। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक विशाल ग्रिड है जिसमें एक निश्चित वर्णमाला के सभी संभावित शब्द हैं। आप उस ग्रिड पर "बीकन" (आपके कोड शब्द) रखना चाहते हैं। प्रत्येक बीकन के चारों ओर, आप एक घेरा खींचते हैं जो उन सभी शब्दों को कवर करता है जो "काफी करीब" हैं (2 त्रुटियों के भीतर)। एक परफेक्ट कोड के लिए, ये घेरे बिना ओवरलैप हुए पूरे ग्रिड को कवर करने चाहिए।

गणितज्ञों को लंबे समय से पता है कि यदि आपकी वर्णमाला का आकार एक "प्राइम पावर" (जैसे 2, 3, 4, 8, 9, 16) है, तो केवल कुछ विशेष मामलों में ही यह पूरी तरह से काम करता है। लेकिन क्या होगा यदि आपकी वर्णमाला का आकार 10, 12, या 20 जैसा कुछ हो? ये "कंपोजिट" (संयुक्त) संख्याएँ हैं जो प्राइम पावर नहीं हैं। एक त्रुटि को ठीक करने के लिए, हम जानते हैं कि कुछ समाधान मौजूद हैं। तीन या अधिक त्रुटियों को ठीक करने के लिए, हम जानते हैं कि कोई भी मौजूद नहीं है। लेकिन दो त्रुटियों को ठीक करने के लिए? वह खुला प्रश्न था।

बेनेट का शोध पत्र एक विशिष्ट प्रकार की संयुक्त संख्या पर केंद्रित है: वे जो $2^\alpha \times p^\beta$ के रूप में दिखते हैं। इसे इस तरह सोचें कि वर्णमाला का आकार 2 की कई घातों को एक एकल अभाज्य संख्या $p$ (जैसे 5, 7, 11, आदि) की कई प्रतियों से गुणा करके बनाया गया है। प्रश्न यह था: क्या आप इन आकारों के लिए एक परफेक्ट 2-कोड बना सकते हैं?

गणितीय जासूसी कार्य

बेनेट ने केवल कोड बनाने की कोशिश करके विफल नहीं हुए; उन्होंने यह सिद्ध किया कि वे मौजूद नहीं हो सकते क्योंकि उन्होंने एक विशेष बहुपद समीकरण (polynomial equation) के "मूलों" (roots) को देखा। इस समीकरण को एक मानचित्र की तरह समझें जो बताता है कि यदि एक परफेक्ट कोड मौजूद है, तो बीकन कहाँ होने चाहिए। यदि एक परफेक्ट कोड मौजूद है, तो इस मानचित्र में दो विशिष्ट पूर्णांक बिंदु (roots) होने चाहिए जो एक-दूसरे के बहुत करीब हों।

लेखक की सफलता यह महसूस करने में थी कि ये दो बिंदु, जिन्हें हम $r_1$ और $r_2$ कह सकते हैं, "S-units" होने चाहिए। सरल शब्दों में, इसका मतलब है कि उनके अभाज्य गुणनखंड केवल संख्याओं की एक बहुत छोटी, विशिष्ट सूची (वे अभाज्य संख्याएँ जो वर्णमाला के आकार और 2 को विभाजित करती हैं) से आ सकते हैं।

यहाँ चतुर हिस्सा है: बेनेट ने दिखाया कि एक परफेक्ट कोड के अस्तित्व के लिए, इन दो संख्याओं $r_1$ और $r_2$ को अविश्वसनीय रूप से करीब होना होगा—इतने करीब कि उनका अंतर उनके आकार की तुलना में बहुत कम हो। हालाँकि, डायोफेंटाइन एप्रोक्सिमेशन (Diophantine approximation) नामक गणित की एक प्रसिद्ध शाखा (जो यह अध्ययन करती है कि संख्याओं को भिन्नों के साथ कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है) हमें बताती है कि प्रतिबंधित अभाज्य गुणनखंडों वाली संख्याएँ तब तक एक-दूसरे के इतने करीब नहीं आ सकतीं जब तक कि वे बहुत छोटी न हों।

बेनेट ने इसे समस्या की ज्यामिति से प्राप्त एक विशिष्ट समीकरण के साथ जोड़ा:
$$q(r_2 - r_1)^2 = 2(r_1 + r_2) + q - 6$$
यह समीकरण "स्मोकिंग गन" (पुख्ता सबूत) है। यह वर्णमाला के आकार $q$ को दो मूलों के बीच की दूरी से सीधे जोड़ता है।

बड़ा खुलासा

इस समीकरण और संख्या सिद्धांत के शक्तिशाली उपकरणों का उपयोग करते हुए, बेनेट ने "असंभवता" के परिणामों की एक श्रृंखला को सिद्ध किया:

1. "छोटा अभाज्य गुणनखंड" प्रतिबंध: यदि आपके वर्णमाला आकार का सबसे बड़ा अभाşk गुणनखंड 13 या उससे छोटा है, तो एक परफेक्ट 2-कोड असंभव है। उन्होंने सभी संभावित जोड़ों की सूची बनाकर और यह दिखाकर कि उनमें से कोई भी समीकरण में फिट नहीं बैठता, यह किया।
2. "विशाल संख्या" की बाधा: $2^\alpha \times p^\beta$ वाले सामान्य मामले के लिए, उन्होंने सिद्ध किया कि यदि कोई कोड अस्तित्व में होता, तो अभाज्य संख्या $p$ को $10^{10}$ (दस अरब) से बड़ा होना पड़ता। इससे भी अधिक प्रतिबंधात्मक रूप से, 2 की घात ($\alpha$) 20 से अधिक होनी चाहिए।
3. "Mod 8" नियम: यदि ऐसा कोड मौजूद होता, तो अभाज्य संख्या $p$ को एक ऐसी संख्या होना होता जो 8 से विभाजित करने पर 3 शेषफल छोड़ती (जैसे 3, 11, 19, आदि)।

शोध पत्र मूल रूप से कहता है: "हमने छोटी संख्याओं की जाँच की है, और वे काम नहीं करतीं। बड़े नंबरों के लिए, गणित कहता है कि वे इतनी विशाल होंगी और इतने सख्त नियमों का पालन करेंगी कि वे व्यावहारिक अर्थों में अस्तित्व में ही नहीं हैं।"

श्रोडर-हिपार्कस सरप्राइज (Schröder-Hipparchus Surprise)

शोध पत्र के सबसे सुखद हिस्सों में से एक यह है कि यह शास्त्रीय कॉम्बिनेटरिक्स (combinatorics) से संख्याओं के एक अनुक्रम का उपयोग कैसे करता है जिन्हें श्रोडर-हिपार्कस संख्याएँ (Schröder-Hipparchus numbers) (जिन्हें सुपर-कैटलन संख्याएँ भी कहा जाता है) कहा जाता है। ये संख्याएँ, जो आमतौर पर कोष्ठकों (parentheses) को व्यवस्थित करने या ग्रिड पर पथों को गिनने की समस्याओं में दिखाई देती हैं, अचानक त्रुटि-सुधार कोड के प्रमाण के बीच में दिखाई देती हैं।

बेनेट ने इन संख्याओं का उपयोग एक जटिल समीकरण को पदों की एक श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए किया। यह अराजक शोर में एक छिपे हुए पैटर्न को खोजने जैसा है। इस समीकरण को इन संख्याओं का उपयोग करके विस्तारित करके, वह दिखा सके कि पद इतनी तेज़ी से बढ़ते हैं कि वे "निकटता" की अनुमति नहीं देते जो एक परफेक्ट कोड के अस्तित्व के लिए आवश्यक है, जब तक कि शामिल संख्याएँ अत्यधिक बड़ी न हों।

अंतिम निर्णय

तो, निष्कर्ष क्या है? यह शोध पत्र गणितीय समुदाय की एक लंबे समय से चली आ रही आशंका की पुष्टि करता है: अनिश्चित वर्णमालाओं पर परफेक्ट 2-कोड संभवतः मौजूद नहीं हैं।

हालाँकि यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि इसने ब्रह्मांड में छिपे हुए एकमात्र परफेक्ट कोड को खोज लिया है (क्योंकि यह सिद्ध करता है कि यदि कोई मौजूद है, तो वह $10^{10}$ से बड़ा होगा और असंभव बाधाओं का पालन करेगा), यह प्रभावी रूप से अधिकांश मामलों को खारिज करता है। यह 10, 15, 21 जैसे वर्णमाला आकारों के लिए दरवाजे बंद कर देता है, और समाधान की संभावना को इतनी विशाल संख्याओं के दायरे में धकेल देता है कि इसे व्यावहारिक रूप से गैर-अस्तित्व माना जाता है।

लेखक का कार्य "नेगेटिव" (नकारात्मक) प्रमाण की एक विजय है। खजाना खोजने के बजाय, उन्होंने सिद्ध किया कि खजाने का संदूक खाली है, या कम से कम उसे खोलने के लिए जिस चाबी की आवश्यकता है, उसके लिए एक ताला अभी तक आविष्कार नहीं हुआ है। इन विशिष्ट वर्णमाला आकारों के लिए त्रुटि-सुधार कोड बनाने की कोशिश करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए संदेश स्पष्ट है: परफेक्ट 2-कोड की तलाश बंद करें; वह वहाँ नहीं है।