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Costs of Arbitrary Real Matrix Factorizations for Pure-DP Continual Counting

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि शुद्ध- $\epsilon$ -डिफरेंशियल प्राइवेसी के लिए, निरंतर गणना (continual counting) में इष्टतम माध्य (mean) और प्रति-निर्देशांक वर्ग त्रुटियाँ (per-coordinate squared errors) दोनों $\Theta(\epsilon^{-2}\log^3(n+1))$ हैं, एक ऐसा परिणाम जो यह सिद्ध करके प्राप्त किया गया है कि बिना चिह्न, विरलता (sparsity), या आंतरिक आयाम पर प्रतिबंधों के भी प्रीफिक्स-सम मैट्रिक्स (prefix-sum matrix) की गुणनखंड लागत (factorization costs) $\Theta((\log(n+1))^{3/2})$ के रूप में स्केल करती है।

मूल लेखक: Awnon Bhowmik, Mahmudul Hasan

प्रकाशित 2026-08-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Awnon Bhowmik, Mahmudul Hasan

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप लोगों की एक लंबी कतार में वोटों की एक गुप्त गिनती कर रहे हैं, लेकिन आपके पास एक सख्त नियम है: आपको हर एक व्यक्ति के बाद रनिंग टोटल (कुल योग) बताना होगा, फिर भी आप किसी को यह पता नहीं चलने दे सकते कि किसी विशिष्ट व्यक्ति ने कैसे वोट दिया। यह डिफरेंशियल प्राइवेसी (differential privacy) में कंटीन्यूअल काउंटिंग (continual counting) की दुनिया है। यह एक जादूगर की तरह है जिसे हर एक कार्ड के बाद दर्शकों को डेल किए गए कार्डों की कुल संख्या दिखानी है, लेकिन उसे इस तरह से करना है कि कोई यह अनुमान न लगा सके कि पिछला कार्ड एक किंग था या टू। अपने रहस्य को बनाए रखने के लिए, जादूगर को संख्याओं में थोड़ा सा "स्टैटिक" या शोर (noise) जोड़ना होगा। समस्या यह है कि बहुत अधिक शोर अंतिम कुल को बेकार बना देता है, जबकि बहुत कम शोर गोपनीयता को तोड़ देता है।

गणितज्ञों ने इस शोर के लिए एकदम सही रेसिपी खोजने की कोशिश की है। वे एक मैट्रिक्स मैकेनिज्म (matrix mechanism) का उपयोग करते हैं, जो अनिवार्य रूप से गिनती की समस्या को छोटे, प्रबंधनीय टुकड़ों (एक पहेली की तरह) में तोड़ने का एक चतुर तरीका है। लक्ष्य इस पहेली को विभाजित करने का सबसे कुशल तरीका खोजना है ताकि वह "स्टैटिक" जिसकी गोपनीयता छिपाने के लिए आवश्यकता होती है, वह न्यूनतम हो सके। लंबे समय तक, शोधकर्ताओं ने सोचा कि उन्होंने सबसे अच्छा संभव तरीका ढूंढ लिया है, लेकिन केवल एक बहुत ही विशिष्ट, कठोर प्रकार के पहेली के टुकड़ों (जो केवल शून्य और एक से बने होते हैं) के लिए। बड़ा सवाल यह है कि यदि हम खुद को किसी भी प्रकार के पहेली के टुकड़े का उपयोग करने की अनुमति देते हैं—कोई भी वास्तविक संख्या, सकारात्मक, नकारात्मक, बड़ी या छोटी—तो क्या हम बेहतर कर सकते हैं? या क्या पुरानी रेसिपी वास्तव में सबसे अच्छी है जो हम कभी उम्मीद कर सकते हैं?

यह शोध पत्र, जो अवन भौमिक और महमदुल हसन द्वारा लिखा गया है, इसी प्रश्न में कदम रखता है और एक निर्णायक उत्तर देता है। वे सिद्ध करते हैं कि भले ही आपको सबसे लचीले, लहरदार, हस्ताक्षरित (signed) और सघन पहेली के टुकड़ों का उपयोग करने की अनुमति दी जाए, फिर भी आप मौजूदा रेसिपी को मात नहीं दे सकते। "लागत" (cost) जो रहस्य को बनाए रखने के लिए आवश्यक है, बिल्कुल वही रहती है।

उनकी खोज की कहानी यहाँ है:

प्रीफिक्स सम (Prefix Sum) की पहेली

डेटा की एक स्ट्रीम की कल्पना करें, जैसे कि एक सेंसर के पास बहती हुई नदी। हर सेकंड, सेंसर एक संख्या रिकॉर्ड करता है, और हम उस सेकंड तक की सभी संख्याओं का योग जानना चाहते हैं। गणित में, इसे "प्रीफिक्स सम" कहा जाता है। यदि आपके पास $n$ सेकंड हैं, तो आपके पास रिपोर्ट करने के लिए $n$ अलग-अलग योग हैं।

गोपनीयता की रक्षा करने के लिए, शोधकर्ता इन योगों की गणना करने के काम को दो भागों में विभाजित करने का एक तरीका उपयोग करते हैं, जैसे कि एक रिले रेस। एक धावक (मैट्रिक्स $L$ ) और दूसरा धावक (मैट्रिक्स $R$ ) मिलकर काम करते हैं। दूसरा धावक डेटा को पहले धावक को पास करने से पहले उसमें थोड़ा सा रैंडम शोर जोड़ देता है। पहला धावक फिर अंतिम उत्तरों का पुनर्निर्माण करता है। इस प्रणाली की "लागत" यह है कि कितने शोर की आवश्यकता है। यदि लागत अधिक है, तो उत्तर बहुत धुंधले होते हैं। यदि लागत कम है, तो उत्तर स्पष्ट होते हैं।

बड़ा सवाल: क्या हम वास्तविक संख्याओं (Real Numbers) के साथ बेहतर कर सकते हैं?

पिछले शोधकर्ताओं, अर्खिपोव और कलिनिन ने दिखाया था कि यदि आप केवल सरल 0 और 1 के साथ टिके रहते हैं, तो आप उस $\log^3 n$ लागत से बेहतर नहीं कर सकते। लेकिन उन्होंने एक दरवाजा खुला छोड़ दिया था। उन्होंने पूछा, "क्या होगा यदि हम धावकों को कोई भी वास्तविक संख्या उपयोग करने दें? क्या होगा यदि वे चीजों को रद्द करने के लिए नकारात्मक संख्याओं का उपयोग कर सकें, या चीजों को बढ़ाने के लिए विशाल संख्याओं का उपयोग कर सकें? शायद यह लचीलापन हमें शोर को और भी कम करने में मदद करेगा।"

यह शोध पत्र उस दरवाजे को बंद कर देता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि चाहे आप अपनी संख्याएं कैसे भी चुनें, चाहे वे सकारात्मक हों, नकारात्मक हों, विरल (sparse) हों या सघन (dense), लागत उसी $\log^3 n$ स्तर पर अटकी रहती है। आप अधिक जटिल संख्याओं का उपयोग करके इस प्रणाली को बायपास नहीं कर सकते।

उन्होंने इसे कैसे सिद्ध किया: "न्यूक्लियर" ट्रैप

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने केवल लाखों अलग-अलग संख्या संयोजनों को आज़माया नहीं (जिसमें बहुत समय लगता)। इसके बजाय, उन्होंने $p$ -न्यूक्लैरिटी ( $p$ -nuclearity) नामक एक चतुर गणितीय ट्रिक का उपयोग किया।

इस गिनती की समस्या को पत्थर के एक विशाल, भारी ब्लॉक के रूप में सोचें। इसे हिलाने के लिए, आपको इसे छोटे टुकड़ों (rank-one factors) में तोड़ना होगा। "लागत" यह है कि वे टुकड़े कितने भारी हैं। लेखकों ने पत्थर के आकार को देखा और महसूस किया कि आप इसे कैसे भी तोड़ने की कोशिश करें, इसमें एक मौलिक "चौड़ाई" है जिसे आप अनदेखा नहीं कर सकते।

उन्होंने गणित में एक विशिष्ट "क्रिटिकल पॉइंट" (एक मान जिसे $p = 2/3$ कहा जाता है) पाया। इस बिंदु पर, गणित एक हार्मोनिक सीरीज़ (harmonic series) की तरह व्यवहार करता है—एक प्रसिद्ध गणितीय अनुक्रम जो बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है लेकिन कभी रुकता नहीं है, जैसे कि एक घंटी की आवाज़ जो फीकी पड़ती है लेकिन पूरी तरह से गायब नहीं होती।

उनके प्रमाण का जादू यहाँ है:

उन्होंने दिखाया कि गिनती की समस्या की "चौड़ाई" टुकड़ों को एक निश्चित कुल वजन रखने के लिए मजबूर करती है।
उन्होंने हॉल्डर की असमानता (Hölder's inequality) का उपयोग करके दिखाया कि यह वजन सीधे शोर की लागत में बदल जाता है।
इस क्रिटिकल पॉइंट पर हार्मोनिक प्रकृति के कारण, कारकों के लिए शोर की लागत $(\log n)^{3/2}$ के रूप में बढ़नी ही चाहिए, जो $\log^3 n$ की कुल त्रुटि में बदल जाती है।

यह ऐसा ही है जैसे उन्होंने सिद्ध किया हो कि आप कागज को कितनी भी बार मोड़ लें, यदि आप इसे आधा मोड़ते रहेंगे, तो अंततः यह इतनी मोटा हो जाएगा कि आपकी जेब में फिट न आ सके। उस विशेष प्रकार के कागज के लिए मोटाई ब्रह्मांड का एक नियम है।

यह गोपनीयता के लिए क्या मायने रखता है

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि अध्ययन किए गए विशिष्ट प्रकार के गोपनीयता तंत्र (लाप्लास मैट्रिक्स मैकेनिज्म) के लिए, वर्तमान सर्वोत्तम तरीके वास्तव में सर्वोत्तम संभव तरीके हैं। यदि आप डेटा की एक स्ट्रीम को निजी तौर पर गिनना चाहते हैं, और आप चाहते हैं कि उत्तर यथासंभव सटीक हों, तो आप पहले से ही उस सीमा पर हैं जो इस पद्धति का उपयोग करके गणितीय रूप से संभव है।

लेखक बहुत स्पष्ट हैं कि उन्होंने क्या सिद्ध नहीं किया है। उन्होंने यह नहीं कहा कि कोई भी गोपनीयता विधि कभी बेहतर नहीं हो सकती। उन्होंने केवल यह कहा कि इस विशिष्ट प्रकार के तरीकों (मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन का उपयोग करने वाले) के लिए, केवल अधिक जटिल संख्याओं का उपयोग करके सुधार नहीं किया जा सकता है। मैट्रिक्स पद्धति का उपयोग करते हुए, आप पहले से ही फिनिश लाइन पर हैं।

निर्णय

अंत में, यह शोध पत्र उन लोगों के लिए एक "नो-गो" (no-go) संकेत है जो इस विशिष्ट गोपनीयता सेटअप में शोर को कम करने के लिए किसी जादुई नंबर ट्रिक की तलाश कर रहे हैं। यह पुष्टि करता है कि $\log^3 n$ त्रुटि दर एक कठिन दीवार है, न कि केवल एक अस्थायी बाधा। हमारे रहस्यों को सुरक्षित रखने की "लागत" स्थिर है, और हम संख्याओं को बदलकर इस प्रणाली को बायपास नहीं कर सकते। गणित ठोस है, प्रमाण कठोर है, और उत्तर निर्णायक है: हम जो पहले से कर रहे हैं, वही सबसे अच्छा है।

तकनीकी सारांश: शुद्ध-DP निरंतर गणना (Pure-DP Continual Counting) के लिए अनिश्चित वास्तविक आव्यूह गुणनखंडन (Arbitrary Real Matrix Factorizations) की लागत

समस्या विवरण
यह शोध पत्र शुद्ध $\epsilon$ -डिफरेंशियल प्राइवेसी (DP) के तहत निरंतर गणना (continual counting) की समस्या को संबोधित करता है। इस सेटिंग में, एक तंत्र (mechanism) को लंबाई $n$ के डेटा स्ट्रीम के प्रत्येक प्रीफिक्स सम (prefix sum) को जारी करना होता है, जबकि व्यक्तिगत अपडेट की गोपनीयता की रक्षा करनी होती है। वर्कलोड को लोअर-ट्राइएंगुलर प्रीफिक्स-सम आव्यूह $T_n$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $T_n(i, j) = 1$ यदि $j \le i$ है और अन्यथा $0$ है।

यह मैट्रिक्स मैकेनिज्म (matrix mechanism) वर्ग पर केंद्रित है, जहाँ $T_n$ को $T_n = LR$ के रूप में गुणनखंडित किया जाता है। रूपांतरित स्ट्रीम $Rx$ में स्वतंत्र लाप्लास शोर (Laplace noise) जोड़ा जाता है, और प्रीफिक्स उत्तरों को $L$ के माध्यम से पुनर्गठित किया जाता है। शुद्ध $\epsilon$ -DP और यूनिट $\ell_1$ एडजेसेंसी के तहत, तंत्र की संवेदनशीलता (sensitivity) $\|R\|_{1 \to 1}$ (अर्थात $R$ का अधिकतम $\ell_1$ कॉलम नॉर्म) द्वारा नियंत्रित होती है। यह शोध पत्र दो विशिष्ट गुणनखंड लागतों (factorization costs) की जांच करता है जो परिणामी तंत्र के माध्य और अधिकतम प्रति-निर्देशांक वर्ग त्रुटि (per-coordinate squared error) को निर्धारित करते हैं:

$c_F(T_n) = \inf_{T_n=LR} \frac{\|L\|_F}{\sqrt{n}} \|R\|_{1 \to 1}$
$c_2(T_n) = \inf_{T_n=LR} \|L\|_{2 \to \infty} \|R\|_{1 \to 1}$

पूर्ववर्ती कार्य (Arkhipov और Kalinin द्वारा) ने इन लागतों के लिए $(\log n)^{3/2}$ क्रम के ऊपरी बाउंड (upper bounds) स्थापित किए और $\{0, 1\}$ में प्रविष्टियों वाले कारकों के लिए मिलान वाले निचले बाउंड (lower bounds) सिद्ध किए। हालाँकि, उन्होंने यह प्रश्न खुला छोड़ दिया कि क्या यह निचला बाउंड अनिश्चित वास्तविक कारकों (अर्थात हस्ताक्षरित (signed), सघन (dense), और आयताकार आवर्त्तों (rectangular matrices) को अनुमति देने वाले) के लिए भी लागू होता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र एक ज्यामितीय और कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करके, जो $p$ -न्यूक्लियरिटी ( $p$ -nuclearity) पर केंद्रित है, इस खुले प्रश्न को हल करता है। प्रमाण संरचना तीन मुख्य चरणों में विभाजित है:

एग्रीगेट कॉलम विड्थ अनुमान (Aggregate Column Width Estimation): लेखक $T_n$ की एग्रीगेट कॉलम विड्थ $D_k(T_n)$ पर निचला बाउंड प्राप्त करते हैं, जिसे $T_n$ के कॉलमों की किसी भी $k$ -आयामी उपस्थान (subspace) से वर्ग यूक्लिडियन दूरियों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। वे सिद्ध करते हैं कि लो-रैंक रेंज $1 \le k \le n/16$ में, $D_k(T_n) \asymp n^{3/2} k^{-1/2}$ है। यह इस आधार पर स्थापित किया गया है कि बेसेल के असमिका (Bessel's inequality) का उल्लंघन किए बिना एक उपस्थान आधे से अधिक नेस्टेड सफिक्स इंडिकेटर्स (nested suffix indicators) के करीब नहीं हो सकता।
अनुमान-स्पेस रूपांतरण (Approximation-Space Conversion): शोध पत्र एग्रीगेट विड्थ्स को $p$ -न्यूक्लियर पावर $n_p(A)$ से जोड़ने के लिए ऑपरेटर आइडियल थ्योरी (विशेष रूप से Pietsch और Hinrichs–Pietsch के कार्य) के शास्त्रीय परिणामों का उपयोग करता है। एक आव्यूह $A$ के लिए, $n_p(A)$ को परिमित रैंक-एक अपघटन $A = \sum u_q v_q^T$ पर $\sum (\|u_q\|_2 \|v_q\|_1)^p$ के इन्फिमम (infimum) के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। लेखक एक मात्रात्मक, परिमित-आयामी प्रमाण प्रदान करते हैं जो दिखाता है कि $n_p(A)$ , एग्रीगेट विड्थ्स $D_k(A)$ के भारित योग (weighted sum) द्वारा निम्नतम स्तर पर बंधा हुआ है।
क्रिटिकल एक्सपोनेंट विश्लेषण (Critical Exponent Analysis): लेखक क्रिटिकल एक्सपोनेंट $p = 2/3$ पर $n_p(T_n)$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। इस मान पर, विड्थ अनुमानों से प्राप्त श्रृंखला हार्मोनिक (harmonic) हो जाती है, जिससे $n \log n$ का निचला बाउंड प्राप्त होता है। होल्डर की असमिका (Hölder's inequality) लागू करके, इस $p$ -न्यूक्लियर बाउंड को गुणनखंड लागतों $c_F(T_n)$ और $c_2(T_n)$ पर स्थानांतरित किया जाता है, जिससे $n \log n$ पद को वांछित $(\log n)^{3/2}$ क्रम में परिवर्तित किया जाता है।

ऊपरी बाउंड्स के लिए, शोध पत्र एक स्पष्ट $L$ और $R$ गुणनखंड बनाने के लिए एक शास्त्रीय फेनविक अंतराल गुणनखंड (Fenwick interval factorization - जिसे बाइनरी इंडेक्स्ड ट्री संरचना के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग करता है जो मिलान वाले ऊपरी बाउंड प्राप्त करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

मुख्य प्रमेय (Theorem 1.1): यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि अनिश्चित वास्तविक कारकों के लिए, गुणनखंड लागतें निम्नलिखित को संतुष्ट करती हैं:
$c(\log(n+1))^{3/2} \le c_F(T_n) \le c_2(T_n) \le C(\log(n+1))^{3/2}$
यह पुष्टि करता है कि $(\log n)^{3/2}$ का क्रम मैट्रिक्स मैकेनिज्म वर्ग के लिए आंतरिक (intrinsic) है, चाहे साइन, स्पर्सिटी या स्क्वेनेस (squareness) की कोई भी प्रतिबंध हो।
अनुकूलित त्रुटि क्रम (Corollary 1.2): फलस्वरूप, शुद्ध- $\epsilon$ -DP लाप्लास मैट्रिक्स-मैकेनिज्म वर्ग के भीतर, अनुकूलित अधिकतम और माध्य वर्ग त्रुटियां दोनों $\Theta(\epsilon^{-2} \log^3(n+1))$ हैं। यह इस विशिष्ट मैकेनिज्म वर्ग के लिए ज्ञात ऊपरी बाउंड और निचले बाउंड के बीच के स्पर्शोन्मुख अंतर (asymptotic gap) को समाप्त करता है।
फिक्स्ड- $p$ फेज डायग्राम (Theorem 1.3): यह शोध पत्र सभी $0 < p < 1$ के लिए $p$ -न्यूक्लियर पावर $n_p(T_n)$ का लक्षण वर्णन करता है, जो $p = 2/3$ पर एक फेज ट्रांजिशन (phase transition) प्रकट करता है:
- $0 < p < 2/3$ के लिए $n_p(T_n) = \Theta(n)$
- $p = 2/3$ के लिए $n_p(T_n) = \Theta(n \log n)$
- $2/3 < p < 1$ के लिए $n_p(T_n) = \Theta(n^{3p/2})$
  इन बाउंड्स के स्थिरांक (constants) $p$ के लिए समान नहीं हैं और $p \to 2/3$ या $p \to 1$ होने पर अपसारी (diverge) होते हैं।
ऊपरी बाउंड्स (Upper Bounds): शोध पत्र एक स्व-निहित प्रमाण प्रदान करता है कि फेनविक अंतराल गुणनखंड पूरे फेज डायग्राम में दोनों गुणनखंड लागतों और $p$ -न्यूक्लियर पावर्स के लिए मिलान वाले ऊपरी बाउंड प्राप्त करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र स्पष्ट रूप से अपने योगदान को मैट्रिक्स मैकेनिज्म ढांचे के भीतर बाइनरी कारकों से अनिश्चित वास्तविक कारकों तक निचले बाउंड को विस्तारित करने के संबंध में Arkhipov और Kalinin द्वारा प्रस्तुत एक विशिष्ट खुले प्रश्न के समाधान के रूप में प्रस्तुत करता है।

क्षेत्र सीमाएं (Scope Limitations): लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके परिणाम शुद्ध- $\epsilon$ -DP लाप्लास मैट्रिक्स-मैकेनिज्म वर्ग तक सीमित हैं। वे सामान्य निरंतर गणना तंत्र (गैर-मैट्रिक्स या इंटरैक्टिव तंत्र सहित) के लिए निचले बाउंड का दावा नहीं करते हैं, न ही वे एप्रोक्सिमेट-DP संवेदनशीलता या निर्देशांकों के अपेक्षित मैक्सिमा को संबोधित करते हैं (जो अलग-अलग फंक्शनल्स द्वारा नियंत्रित होते हैं)।
सैद्धांतिक प्रकृति (Theoretical Nature): यह कार्य विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है, जो स्पर्शोन्मुख क्रमों (asymptotic orders) और आव्यूह गुणनखंडों की ज्यामिति पर केंद्रित है। यह नए एल्गोरिदम, अनुभवजन्य मूल्यांकन या लर्निंग-थ्योरेटिक अनुप्रयोगों का प्रस्ताव नहीं करता है।
$p$ -न्यूक्लियरिटी की भूमिका: शोध पत्र रेखांकित करता है कि त्रुटि क्रम में "अतिरिक्त" $\sqrt{\log n}$ कारक (यूक्लिडियन संवेदनशीलता के $\log n$ बेसलाइन की तुलना में) विशेष रूप से $\|R\|_{1 \to 2}$ और $\|R\|_{1 \to 1}$ के बीच मिश्रित-नॉर्म गैप (mixed-norm gap) से उत्पन्न होता है। यह गैप $p < 1$ पर $p$ -न्यूक्लियर बाधा (obstruction) द्वारा पकड़ा जाता है, एक ऐसा क्षेत्र जहाँ मानक नॉर्म-आधारित निचले बाउंड प्रॉक्सी (जो $\log n$ पर सीमित हैं) विफल हो जाते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि जब मैट्रिक्स मैकेनिज्म के साथ अनिश्चित वास्तविक कारकों तक सीमित किया जाता है, तो $(\log n)^{3/2}$ लागत शुद्ध-DP निरंतर गणना के लिए एक मौलिक सीमा है, जो इस खुले प्रश्न को हल करती है कि क्या साइन किए गए कैंसिलेशन (signed cancellations) बाइनरी-फैक्टर निचले बाउंड में सुधार कर सकते हैं।

प्रीफिक्स सम (Prefix Sum) की पहेली

बड़ा सवाल: क्या हम वास्तविक संख्याओं (Real Numbers) के साथ बेहतर कर सकते हैं?

उन्होंने इसे कैसे सिद्ध किया: "न्यूक्लियर" ट्रैप

यह गोपनीयता के लिए क्या मायने रखता है

निर्णय

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