Gapped Parent Hamiltonians for the Strongly Deformed Toric Code

कल्पना कीजिए कि ब्रह्मांड एक विशाल, अदृश्य लेगो (Lego) सेट है। अधिकांश समय, जब आप इन लेगो से कुछ बनाते हैं, तो वे टुकड़े अनुमानित तरीकों से आपस में जुड़ जाते हैं। यदि आप एक टुकड़ा खींचते हैं, तो पूरी संरचना डगमगा सकती है, लेकिन वह आमतौर पर अपनी जगह पर टिकी रहती है। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, वैज्ञानिक "गैप्ड" (gapped) अवस्थाओं का अध्ययन करते हैं—कणों की ऐसी विशेष व्यवस्था जो अविश्वसनीय रूप से स्थिर होती है, जैसे कि एक पूरी तरह से लॉक किया गया लेगो किला जो मेज को हिलाने पर भी टूटने से इनकार कर देता है। ये स्थिर अवस्थाएं भविष्य की तकनीकों की नींव हैं, जैसे कि अति-शक्तिशाली क्वांटम कंप्यूटर जो गलतियां नहीं करते।

लेकिन कभी-कभी, प्रकृति एक चाल चलती है। वहां "टोपोलॉजिकल" (topological) अवस्थाएं होती हैं, जो अदृश्य गोंद से बने लेगो किलों की तरह होती हैं। आप केवल एक ईंट को देखकर यह नहीं बता सकते कि वे विशेष हैं; आपको पूरे आकार को देखना होगा। आमतौर पर, यदि आप इन आकारों को मोड़ने या विकृत करने की कोशिश करते हैं, तो वे या तो वैसे ही रहते हैं या पूरी तरह से टूट जाते हैं। हालाँकि, भौतिक विज्ञानी "टोरिक कोड" (Toric Code) नामक एक प्रसिद्ध टोपोलॉजिकल आकार के एक अजीब, मुड़े हुए संस्करण को देखते रहे हैं। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसे उस आदर्श लेगो किले को लेकर उसे एक विशाल, अदृश्य हाथ से कुचल दिया जाए। परिणाम एक ऐसी अवस्था है जो कुछ मायनों में टूटी हुई लगती है, लेकिन अन्य मायनों में पूरी तरह से स्थिर है। यह एक पहेली है जिसने विशेषज्ञों को भ्रमित कर दिया है क्योंकि यह उन नियमों को तोड़ता हुआ प्रतीत होता है कि क्वांटम पदार्थ को कैसे व्यवहार करना चाहिए।

यह शोध पत्र इस पहेली को सुलझाने के बारेों में है। लेखकों, नंदगोपाल मनोज, जैक वेनस्टीन और जेसन एलिसिया ने एक नया "नियमों का सेट" (गणितीय समीकरण जिन्हें हैमिल्टोनियन कहा जाता है) बनाने का निर्णय लिया ताकि इस कुचले हुए, अजीब अवस्था का वर्णन किया जा सके। उन्होंने पाया कि यदि आप नियमों को बारीकी से देखते हैं, तो यह अवस्था वास्तव में टूटी हुई या अस्थिर नहीं है। यह बस एक बहुत ही साधारण, स्थिर अवस्था है जो अजीब दिखती है क्योंकि हम इसे आमतौर पर मापने के तरीके के कारण ऐसी है।

कुचला हुआ लेगो किला

यह समझने के लिए कि लेखकों ने क्या किया, आइए हम अपने लेगो किले पर वापस चलते हैं। "टोरिक कोड" ब्लॉकों को व्यवस्थित करने का एक विशिष्ट, अत्यधिक व्यवस्थित तरीका है। यह प्रसिद्ध है क्योंकि यह एक "टोपोलॉजिकल" अवस्था है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक विशेष प्रकार की स्मृति होती है। यदि आप इसे स्थानीय रूप से छेड़ने की कोशिश करते हैं (जैसे एक ब्लॉक खींचना), तो पूरी संरचना विरोध करती है। लेकिन, वैज्ञानिकों ने इस अवस्था को विकृत करने का एक तरीका खोजा है। कल्पना कीजिए कि आप टोरिक कोड को लेते हैं और उसे एक मशीन के माध्यम से चलाते हैं जो उसे खींचती और कुचलती है। यह मशीन $\beta$ नामक एक नॉब (knob) द्वारा नियंत्रित होती है।

जब आप नॉब को थोड़ा सा घुमाते हैं, तो किला काफी हद तक वैसा ही रहता है। लेकिन जब आप इसे पूरा घुमा देते है (एक "स्ट्रॉन्गली डिफॉर्मड" या अत्यधिक विकृत अवस्था), तो कुछ अजीब होता है। किला ऐसा लगता है जैसे उसने अपनी टोपोलॉजिकल स्मृति (विशेष गोंद) खो दी है, और इसके अंदर के "चुंबकीय" कण आपस में गुच्छे बनाने लगते हैं। भौतिकी की दुनिया में, इसका मतलब आमतौर पर यह होता है कि किला टूट रहा है या "गैपलेस" (gapless) हो रहा है—जो एक फैंसी शब्द है जिसका अर्थ है कि यह अस्थिर है और इसे छूने पर यह ढह जाएगा।

हालाँकि, एक पेच था। भले ही किला टूटता हुआ दिख रहा था, लेकिन इसके माध्यम से दौड़ने वाले ऊर्जा के "लूप्स" (जिन्हें विल्सन लूप्स कहा जाता है) अजीब व्यवहार कर रहे थे। वे इस तरह से सिकुड़ रहे थे जो आमतौर पर एक टूटी हुई समरूपता (symmetry) का संकेत देता है, जिसका अर्थ होना चाहिए कि अवस्था अस्थिर है। एक हालिया अध्ययन (सहाय आदि द्वारा) ने एक "नो-गो थ्योरम" (no-go theorem) सिद्ध किया, जो मूल रूप से कहता था, "यह असंभव है कि एक स्थिर, गैप्ड अवस्था ऐसी दिखे।" उन्होंने तर्क दिया कि यदि आप इन विशिष्ट संकेतों को देखते हैं, तो अवस्था निश्चित रूप से गैपलेस (अस्थिर) होनी चाहिए।

नया ब्लूप्रिंट

इस पत्र के लेखकों ने कहा, "रुकिए। आइए इस अवस्था के लिए एक नया ब्लूप्रिंट बनाने की कोशिश करते हैं और देखते हैं कि क्या यह वास्तव में टिक पाता है।"

उन्होंने एक नया सेट नियम बनाया, एक "पैरेंट हैमिल्टोनियन" (parent Hamiltonian), जो अनिवार्य रूप से वह निर्देश पुस्तिका है कि इस अवस्था में कण कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। उनका लक्ष्य यह सिद्ध करना था कि यह कुचली हुई अवस्था वास्तव में एक वैध, स्थिर, गैप्ड ग्राउंड स्टेट है, ठीक एक सामान्य लेगो किले की तरह।

यहाँ ट्विस्ट है: जो नियम उन्होंने लिखे हैं वे सरल, अल्प-दूरी के निर्देश नहीं हैं। आमतौर पर, भौतिकी में, हम मानते हैं कि कण केवल अपने निकटतम पड़ोसियों से बात करते हैं। लेकिन इस नए ब्लूप्रिंट में, निर्देश "विल्सन लूप ऑपरेटर्स के योग" (sums of Wilson loop operators) शामिल करते हैं। इसे इस निर्देश के रूप में सोचें कि, "यदि आप यहाँ एक ब्लॉक हैं, तो आपको बहुत दूर स्थित एक ब्लॉक के साथ संपर्क करना होगा।"

महत्वपूर्ण रूप से, लेखकों ने पाया कि हालांकि ये निर्देश दूर तक पहुँचते हैं, लेकिन कनेक्शन की शक्ति अविश्वसनीय रूप से तेजी से गिरती है। यह एक फुसफुसाहट की तरह है जो दूरी बढ़ने के साथ शांत होती जाती है। यदि आप दो ब्लॉक दूर हैं, तो फुसफुसाहट तेज है। यदि आप सौ ब्लॉक दूर हैं, तो फुसफुसाहट इतनी धीमी है कि वह लगभग सन्नाटा है। गणितीय रूप से, यह शक्ति दूरी (व्यास) के साथ तेजी से (exponentially) घटती है।

फैसला: यह स्थिर है!

इस नए ब्लूप्रिंट का उपयोग करके, लेखकों ने सिद्ध किया कि मजबूत विरूपण के लिए (जब नॉब $\beta$ पर्याप्त बड़ा हो), यह अवस्था स्थिर है। इसमें एक "स्पेक्ट्रल गैप" (spectral gap) है, जिसका अर्थ है कि यह एक ठोस, गैप्ड क्वांटम अवस्था है।

इस निष्कर्ष के कुछ बड़े निहितार्थ हैं:

1. "नो-गो" थ्योरम गलत नहीं थी, बस सीमित थी: पिछले "नो-गो" थ्योरम ने कहा था कि यह अवस्था अस्तित्व में नहीं हो सकती। लेखकों ने दिखाया कि थ्योरम एक विशिष्ट धारणा पर निर्भर थी: कि खेल के नियम बहुत सख्त तरीके से "स्थानीय" (local) होने चाहिए (सिस्टम के आकार से स्वतंत्र)। लेखकों का ब्लूप्रिंट इस सख्त नियम को तोड़ता है क्योंकि यह उन दूर-दूर तक जाने वाली फुसफुसाहटों की अनुमति देता है, लेकिन केवल इस तरह से जो इतनी जल्दी फीकी पड़ जाती है कि वास्तविक दुनिया में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उन्होंने दिखाया कि यदि आप इस सख्त नियम को थोड़ा सा ढीला करते हैं, तो "असंभव" अवस्था पूरी तरह से संभव हो जाती है।

2. पेरिमीटर लॉ (Perimeter Laws) हमेशा टूटी हुई समरूपता का संकेत नहीं देते: भौतिकी में, एक "पेरिमीटर लॉ" (जहाँ ऊर्जा किसी आकार के किनारे के साथ स्केल करती है) आमतौर पर एक संकेत है कि समरूपता टूट गई है। लेखकों ने दिखाया कि इस विशिष्ट मामले में, आप बिना समरूपता टूटे भी पेरिमीटर लॉ रख सकते हैं। यह एक ऐसी छाया देखने जैसा है जो एक टूटी हुई वस्तु जैसी दिखती है, लेकिन जब आप रोशनी चालू करते हैं, तो वस्तु वास्तव में पूरी होती है।

3. "डुअल" (Dual) आश्चर्य: उन्होंने इसे विपरीत दृष्टिकोण (एक "डुअल" परिप्रेक्ष्य) से भी देखा। उन्होंने दिखाया कि आपके पास एक ऐसी अवस्था हो सकती है जो एक चुंबक की तरह दिखती है जिसमें दीर्घ-रेंज ऑर्डर (long-range order) है (हर कोई एक दिशा पर सहमत है) लेकिन साथ ही इसमें "विकार" (disorder) भी है जो पेरिमीटर के साथ स्केल करता है। यह संयोजन एक स्थिर अवस्था में असंभव माना जाता था, लेकिन उनका ब्लूप्रिंट सिद्ध करता है कि यह हो सकता है।

यह क्यों मायने रखता है

लेखकों ने केवल एक खामी नहीं ढूंढी; उन्होंने इस बात पर प्रकाश डाला कि हमारी "स्थानीयता" (locality) की परिभाषा—कि चीजों को परस्पर क्रिया करने के लिए कितनी करीब होना चाहिए—एक सूक्ष्म लेकिन शक्तिशाली विकल्प है। एक थोड़ी अधिक लचीली परिभाषा चुनकर—जो उन तेजी से फीकी पड़ने वाली लंबी दूरी की फुसफुसाहटों की अनुमति देती है—हम उन अवस्थाओं का वर्णन कर सकते हैं जिन्हें पहले असंभव या अस्थिर माना जाता था।

उन्होंने इस तर्क को एक "डिकोहेरड" (decohered) टोरिक कोड पर भी लागू किया, जो एक ऐसी अवस्था है जिसे शोर (noise) द्वारा बिगाड़ा गया है (जैसे कि एक लेगो किले को एक छोटे बच्चे द्वारा हिलाया जाना)। उन्होंने सिद्ध किया कि इस शोर के बाद भी, इस अवस्था को सरल, स्थिर टुकड़ों में तोड़ा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह उतना "एंटैंगल्ड" (entangled) या अस्त-व्यस्त नहीं है जितना कि हम सोचते थे।

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक अजीब, भ्रमित करने वाली क्वांटम अवस्था को लेता है जिसे सभी एक त्रुटि या असंभवता मानते थे, उसके लिए नियमों का एक नया सेट बनाता है, और दिखाता है कि यह वास्तव में एक पूरी तरह से सामान्य, स्थिर और गैप्ड अवस्था है। यह एक याद दिलाता है कि कभी-कभी ब्रह्मांड नियम नहीं तोड़ रहा होता है; हमें बस पूरी तस्वीर देखने के लिए नियमों को थोड़ा अलग तरह से लिखने की आवश्यकता होती है।