Gapped Parent Hamiltonians for the Strongly Deformed Toric Code

우주를 거대한, 보이지 않는 레고 세트라고 상상해 보세요. 대부분의 경우, 이 레고로 무언가를 만들면 조각들이 예측 가능한 방식으로 맞물립니다. 조각 하나를 잡아당기면 전체 구조가 흔들릴 수는 있지만, 대개는 제 자리를 지킵니다. 양자 물리학의 세계에서 과학자들은 "갭이 있는(gapped)" 상태, 즉 입자들이 매우 안정적으로 배열된 특수한 상태를 연구합니다. 이는 마치 테이블을 흔들어도 절대 무너지지 않는 완벽하게 잠긴 레고 성과 같습니다. 이러한 안정적인 상태들은 실수하지 않는 초강력 양자 컴퓨터와 같은 미래 기술의 토대가 됩니다.

하지만 때때로 자연은 장난을 칩니다. "위상적(topological)" 상태라는 것이 있는데, 이는 보이지 않는 풀로 붙여 만든 레고 성과 같습니다. 단 하나의 벽돌만 봐서는 그것이 특별하다는 것을 알 수 없으며, 전체 형상을 보아야만 알 수 있습니다. 보통 이런 형상을 비틀거나 변형하려고 하면, 형태가 그대로 유지되거나 아니면 완전히 부서져 버립니다. 그러나 물리학자들은 "토릭 코드(Toric Code)"라고 불리는 유명한 위상적 형상의 기묘하게 뒤틀린 버전을 유심히 관찰해 왔습니다. 이것은 마치 완벽한 레고 성을 가져다가 거대하고 보이지 않는 손으로 짓누른 것과 같습니다. 그 결과, 이 상태는 어떤 면에서는 부서진 것처럼 보이지만, 다른 면에서는 완벽하게 안정적인 모습을 보입니다. 이는 전문가들을 혼란에 빠뜨린 퍼즐인데, 왜냐하면 이 상태가 안정적인 양자 물질이 지켜야 할 규칙을 깨뜨리는 것처럼 보이기 때문입니다.

이 논문은 그 퍼즐을 해결하는 것에 관한 것입니다. 저자인 난다고팔 마노지(Nandagopal Manoj), 잭 웨인스타인(Zack Weinstein), 제이슨 알리세아(Jason Alicea)는 이 찌그러지고 기묘한 상태를 설명하기 위한 새로운 "규칙"(해밀토니안이라고 불리는 수학 방정식)을 만들기로 했습니다. 그들은 이 규칙들을 자세히 들여다보면, 이 상태가 사실은 부서지거나 불안정한 것이 아니라, 우리가 보통 측정하는 방식 때문에 단지 이상하게 보일 뿐인 매우 평범하고 안정적인 상태라는 것을 발견했습니다.

찌그러진 레고 성

저자들이 무엇을 했는지 이해하기 위해, 다시 우리의 레고 성으로 돌아가 봅시다. "토릭 코드"는 블록들이 배치되는 매우 질서 정연한 특정 방식입니다. 이것은 "위상적" 상태로 유명한데, 이는 특수한 종류의 기억력을 가지고 있음을 의미합니다. 국소적으로 무언가를 건드리려 해도(예를 들어 블록 하나를 잡아당겨도) 전체는 이에 저항합니다. 하지만 과학자들은 이 상태를 "변형"할 수 있는 방법을 찾아냈습니다. 토릭 코드를 가져다가 늘리고 찌그러뜨리는 기계에 통과시킨다고 상상해 보세요. 이 기계는 $\beta$라고 불리는 노브(조절 손잡이)에 의해 제어됩니다.

노브를 아주 조금만 돌리면 성은 거의 그대로 유지됩니다. 하지만 노브를 끝까지 돌리면(강하게 변형된 상태), 기묘한 일이 일어납니다. 성은 위상적 기억(특수한 풀)을 잃어버린 것처럼 보이고, 내부의 "자기적" 입자들은 서로 뭉치기 시작합니다. 물리학의 세계에서 이는 보통 성이 무너지거나 "갭리스(gapless)" 상태, 즉 툭 치면 무너질 정도로 불안정해지는 것을 의미합니다.

그러나 반전이 있었습니다. 성이 무너지는 것처럼 보임에도 불구하고, 그 안을 흐르는 에너지의 "루프(Wilson loops)"는 이상하게 작동했습니다. 루프들이 보통 대칭이 깨졌을 때 나타나는 방식으로 줄어들고 있었는데, 이는 상태가 불안정하다는 신호입니다. 최근의 한 연구(Sahay 등)는 "노 고 정리(no-go theorem)"를 증명했는데, 이는 기본적으로 "이런 모습을 보이는 안정적인 갭 상태는 존재할 수 없다"라고 말하는 것입니다. 그들은 만약 이런 특정 징후가 보인다면, 그 상태는 반드시 갭리스(불안정) 상태여야 한다고 주장했습니다.

새로운 설계도

이 논문의 저자들은 "잠깐만, 이 상태를 위한 설계도를 직접 만들어 보고 실제로 제대로 작동하는지 확인해 보자"라고 말했습니다.

그들은 이 상태의 입자들이 어떻게 상호작용하는지를 설명하는 명령어 세트인 "부모 해밀토니안(parent Hamiltonian)"을 구축했습니다. 그들의 목표는 이 찌그러진 상태가 일반적인 레고 성처럼 유효하고 안정적인 갭 상태임을 증명하는 것이었습니다.

여기에는 반전이 있습니다. 그들이 작성한 규칙은 단순하거나 짧은 거리의 명령어가 아닙니다. 보통 물리학에서는 입자들이 바로 옆의 이웃하고만 소통한다고 가정합니다. 하지만 이 새로운 설계도에서 명령은 "윌슨 루프 연산자의 합"을 포함합니다. 이것은 "만약 당신이 여기 있는 블록이라면, 저 멀리 있는 블록과도 연락을 취해야 한다"라는 명령과 같습니다.

결정적으로, 저자들은 이 명령들이 멀리까지 닿기는 하지만, 그 강도가 믿을 수 없을 정도로 빠르게 감소한다는 것을 발견했습니다. 이는 마치 멀리 갈수록 점점 작아지는 속삭임과 같습니다. 두 블록 떨어져 있다면 속삭임은 크지만, 백 블록 떨어져 있다면 그 속삭임은 너무 희미해서 거의 침묵에 가깝습니다. 수학적으로 이 강도는 거리(지름)에 따라 지수적으로 감소합니다.

결론: 안정적이다!

이 새로운 설계도를 사용하여, 저자들은 강한 변형이 일어날 때(노브 $\beta$가 충분히 클 때), 이 상태가 실제로 안정적이라는 것을 증명했습니다. 이 상태는 "스펙트럼 갭"을 가지고 있으며, 즉 견고한 갭 상태입니다.

이 발견은 몇 가지 거대한 시사점을 가집니다:

1. "노 고(No-go)" 정리는 틀린 것이 아니라 제한적이었던 것이다: 이전의 "노 고" 정리는 이 상태가 존재할 수 없다고 말했습니다. 저자들은 그 정리가 "규칙이 매우 엄격한 방식으로 국소적이어야 한다(시스템의 모양에 독립적이어야 한다)"는 특정 가정에 의존하고 있음을 보여주었습니다. 저자들의 설계도는 저 멀리서 오는 속삭임을 허용함으로써 이 엄격한 규칙을 깨뜨리지만, 그것이 실제 세상에서는 문제가 되지 않을 정도로 아주 빠르게 사라지게 만들었습니다. 그들은 이 엄격한 규칙을 아주 조금만 완화하면, "불가능했던" 상태가 완벽하게 가능해진다는 것을 보여주었습니다.
2. 둘레 법칙(Perimeter laws)이 항상 대칭 붕괴를 의미하는 것은 아니다: 물리학에서 "둘레 법칙"(에너지가 도형의 가장자리에 비례하는 것)은 대개 대칭이 깨졌다는 신호입니다. 저자들은 이 특정한 경우에 대칭이 깨지지 않고도 둘레 법칙이 나타날 수 있음을 보여주었습니다. 이는 마치 깨진 물체의 그림자를 보고 있는 것 같지만, 불을 켜고 보면 물체는 사실 온전한 상태인 것과 같습니다.
3. "쌍대성(Dual)"의 놀라움: 그들은 또한 반대편의 관점(쌍대적 관점)에서도 이 문제를 살펴보았습니다. 그들은 장거리 질서(모두가 한 방향으로 동의함)를 가진 자석처럼 보이면서도, 동시에 둘레에 비례하는 "무질서"를 가진 상태가 존재할 수 있음을 보여주었습니다. 이 조합은 안정적인 상태에서는 불가능하다고 여겨졌으나, 그들의 설계도는 이것이 일어날 수 있음을 증명합니다.

이것이 왜 중요한가

저자들은 단순히 허점을 찾아낸 것이 아니라, 우리의 "국소성(locality)"에 대한 정의(사물들이 상호작용하기 위해 얼마나 가까워야 하는가)가 미묘하지만 강력한 선택임을 강조했습니다. (멀리서 오는 빠르게 사라지는 속삭임을 허용하는) 약간 더 유연한 정의를 선택함으로써, 우리는 이전에는 불가능하거나 불안정하다고 생각되었던 상태들을 설명할 수 있게 되었습니다.

그들은 또한 이 논리를 "탈동조화된(decohered)" 토릭 코드, 즉 소음(마치 꼬마 아이가 레고 성을 흔드는 것과 같은)에 의해 망가진 상태에 적용했습니다. 그들은 이 소음 이후에도 이 상태가 단순하고 안정적인 조각들로 분해될 수 있음을 증명했으며, 이는 이 상태가 우리가 생각했던 것만큼 엉키거나 지저분하지 않다는 것을 의미합니다.

요약하자면, 이 논문은 모두가 오류나 불가능한 것이라고 생각했던 기묘하고 혼란스러운 양자 상태를 가져와서, 그에 대한 새로운 규칙을 만들고, 그것이 사실은 완벽하게 정상적이고 안정적이며 갭이 있는 상태임을 보여줍니다. 이는 때때로 우주가 규칙을 어기는 것이 아니라, 우리가 전체 그림을 보기 위해 규칙을 조금 다르게 써야 할 뿐이라는 점을 상기시켜 줍니다.