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Bridging Differential Privacy and Random Triangles

यह शोधपत्र विभेदक गोपनीयता (डिफरेंशियल प्राइवेसी) में संवेदनशीलता (सेंसिटिविटी) और शोर (नॉइज़) वैक्टर्स द्वारा निर्मित उच्च-आयामी यादृच्छिक त्रिभुजों के दो पूरक ज्यामितीय निरूपणों को प्रस्तुत करता है, जो शास्त्रीय स्केलर प्राइवेसी लॉस विश्लेषण और यादृच्छिक आकृतियों के संभाव्य अध्ययन के बीच सेतु बनाने के लिए उनके सटीक घनत्वों और समन्वय मानचित्रों (कोऑर्डिनेट मैपिंग) को व्युत्पन्न करता है।

मूल लेखक: Tianxi Ji

प्रकाशित 2026-08-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Tianxi Ji

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसी दुनिया में एक रहस्य रखने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ हर कोई देख रहा है। डिजिटल युग में, यह डिफरेंशियल प्राइवेसी (Differential Privacy) का काम है। इसे डेटा के लिए एक जादुई ढाल के रूप में सोचें। जब एक कंप्यूटर किसी विशाल डेटाबेस से कुछ सीखना चाहता है—जैसे कि एक स्कूल के छात्रों की औसत ऊंचाई—तो वह केवल कच्चे नंबर नहीं उगल देता। इसके बजाय, वह उत्तर में थोड़ा सा "स्टैटिक" या "शोर" (noise) जोड़ देता है, जैसे रेडियो की आवाज़ को इतना तेज़ कर देना कि आप एक विशिष्ट आवाज़ को दबा सकें, लेकिन इतना भी नहीं कि आप गाना ही न सुन सकें। यह शोर यह सुनिश्चित करता है कि यदि आप परिणाम को देखते हैं, तो आप यह नहीं बता पाएंगे कि कोई विशिष्ट व्यक्ति उस डेटाबेस में था या नहीं।

इस शोर को बनाने का सबसे आम तरीका है जिसे गौसियन मैकेनिज्म (Gaussian Mechanism) कहा जाता है। यह आपके डेटा पर एक विशिष्ट प्रकार की अदृश्य रेत छिड़कने जैसा है। लंबे समय तक, वैज्ञानिकों ने इस प्रक्रिया का विश्लेषण एक एकल संख्या को देखकर किया है: एक "प्राइवेसी स्कोर" जो उन्हें बताता है कि डेटा कितना सुरक्षित है। यह सूप के तापमान को एक अकेले थर्मामीटर से जांचने जैसा है। यह आपको बताता है कि सूप पर्याप्त गर्म है या नहीं, लेकिन यह आपको बर्तन के अंदर उठते बुलबुलों, भाप या सामग्रियों के घूमने के तरीके के बारे में नहीं बताता।

लेकिन क्या होगा अगर वह एकल संख्या एक पूरी छिपी हुई दुनिया को छिपा रही हो? यही वह प्रश्न है जो टेक्सास टेक यूनिवर्सिटी के एक शोधकर्ता तियानक्सी जी (Tianxi Ji) ने पूछा। केवल तापमान को देखने के बजाय, जी ने स्वयं "सूप" को देखने का निर्णय लिया। विशेष रूप से, जी ने उन अदृश्य ज्यामितीय आकृतियों (geometric shapes) को देखा जो हर बार बनते हैं जब कंप्यूटर उस सुरक्षात्मक शोर को जोड़ता है। यह शोध पत्र बताता है कि ये आकृतियाँ कैसे व्यवहार करती हैं, और यह सिद्ध करता है कि जबकि "प्रivacy score" उपयोगी है, अंतर्निहित ज्यामिति (underlying geometry) बहुत अधिक समृद्ध कहानी बताती है कि प्राइवेसी वास्तव में कैसे काम करती है।

शोर में छिपे त्रिकोण

इस शोध पत्र में, लेखक एक सरल लेकिन गहन प्रश्न पूछता है: शोर वास्तव में कैसा दिखता है?

जब एक कंप्यूटर किसी रहस्य की रक्षा करता है, तो वह वास्तविक डेटा लेता है और उसमें शोर जोड़ता है। गणितीय रूप से, यह तीन चीजों के बीच एक संबंध बनाता है: मूल डेटा, दो समान डेटासेट्स के बीच का गुप्त अंतर, और स्वयं शोर। लेखक ने महसूस किया कि ये तीन तत्व हमेशा एक यादृच्छिक त्रिकोण (random triangle) बनाते हैं। एक उच्च-आयामी स्थान (high-dimensional space - एक ऐसा स्थान जिसमें कई दिशाएं होती हैं, जिन्हें हम देख सकते हैं उससे कहीं अधिक) में तैरते हुए एक त्रिकोण की कल्पना करें। इस त्रिकोण का एक पक्ष "संवेदनशीलता" (sensitivity - गुप्त अंतर) है, और अन्य दो पक्ष शोर के वेक्टर्स (noise vectors) हैं।

यह शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि ये त्रिकोण मौजूद हैं; यह यह देखने के लिए कि वे कैसे व्यवहार करते हैं, उन्हें दो पूरी तरह से नए तरीकों से मैप करता है।

दृश्य 1: आकृतियों का मानचित्र (द सिम्प्लेक्स)

इन त्रिकोणों को देखने का लेखक का पहला तरीका उन्हें एक सिम्प्लेक्स (simplex) नामक एक सपाट, 2D मानचित्र में समेटना है। इसे एक 3D मूर्ति को दीवार पर उसके साये (shadow) के रूप में प्रोजेक्ट करने जैसा समझें। लेखक त्रिकोण के पक्षों की लंबाई की गणना करता है, उन्हें सामान्य (normalize) करता है (ताकि वे 1 के बराबर हों), और उन्हें एक त्रिकोणीय मानचित्र पर एक बिंदु के रूप में प्लॉट करता है।

शोध पत्र पाता है कि ये बिंदु बेतरतीब ढंग से नहीं बिखरे हैं। वे एक विशिष्ट, झुके हुए दीर्घवृत्त (ellipse - अंडाकार आकृति) के भीतर फंसे हुए हैं। चाहे डेटा के कितने भी आयाम (dimensions) हों, बिंदुओं को इस अंडाकार के भीतर रहना चाहिए। हालाँकि, जैसे-जैसे डेटा अधिक जटिल होता जाता है (जैसे कि आयाम $M$ बढ़ता है), एक दिलचस्प घटना होती है। बिंदुओं का बादल मानचित्र के एक बहुत ही विशिष्ट कोने की ओर खिसकने लगता है: बिंदु $(0, 1/2, 1/2)$ ।

इसका क्या अर्थ है? इसका अर्थ यह है कि बहुत उच्च आयामों में, त्रिकोण का "गुप्त" पक्ष शोर के पक्षों की तुलना में बहुत छोटा हो जाता है। त्रिकोण इतना चपटा और शोर द्वारा हावी हो जाता है कि यह एक रेखा जैसा दिखता है। लेखक गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि जैसे-जैसे आयाम बढ़ता है, त्रिकोण का आकार इस विशिष्ट, शोर-प्रधान विन्यास (configuration) में सिमट जाता है।

दृश्य 2: स्पेक्ट्रल आकृतियों का ग्लोब (द हेमिस्फीयर)

लेखक का इन त्रिकोणों को देखने का दूसरा तरीका सिंगुलर वैल्यू डिकंपोजिशन (Singular Value Decomposition - SVD) नामक एक उपकरण का उपयोग करके उनकी आंतरिक संरचना को उजागर करना है। यह त्रिकोण को घुमाकर उसके "कंकाल" या उसकी सबसे महत्वपूर्ण दिशाओं को देखने जैसा है।

लेखक इन त्रिकोणों को एक हेमिस्फीयर (hemisphere - अर्धगोला) पर मैप करता है। इस ग्लोब पर:

अक्षांश (Latitude) (आप ऊपर या नीचे कितने हैं) आपको बताता है कि त्रिकोण कितना "संतुलित" है।
देशांतर (Longitude) (आप भूमध्य रेखा के चारों ओर कहाँ हैं) शोर की दिशा बताता है।

शोध पत्र दिखाता है कि जैसे-जैसे आयाम $M$ बढ़ता है, ग्लोब पर बिंदु केवल स्थिर नहीं रहते। वे दो चीजें करते हैं:

भूमध्यरेखीय बहाव (Equatorial Drift): वे नीचे की ओर भूमध्य रेखा (कम अक्षांश) की ओर खिसक जाते हैं। इसका मतलब है कि त्रिकोण अपने स्पेक्ट्रल आकार में अधिक "चपटा" या एक-आयामी होता जा रहा है।
बैंड एकाग्रता (Band Concentration): वे भूमध्य रेखा के चारों ओर एक बहुत ही पतली, तंग पट्टी में सिमट जाते हैं।

कल्पना कीजिए कि पक्षों का एक झुंड ग्लोब के चारों ओर उड़ रहा है। कम आयामों में, वे हर जगह फैले हो सकते हैं। लेकिन जैसे-जैसे आयाम विशाल होता जाता है, सभी पक्ष ग्लोब के ठीक मध्य में एक एकल, बेहद पतली रिंग में उड़ते हैं। शोध पत्र गणना करता है कि पक्ष कहाँ हैं, यह दिखाते हुए कि "शोर" अपने आकार में अविश्वसनीय रूप से अनुमानित (predictable) हो जाता है, भले ही वह यादृच्छिक (random) हो।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि लेखक यह नहीं कह रहा है कि गोपनीयता की गणना करने का पुराना तरीका (एकल संख्या) गलत है। शोध पत्र स्पष्ट रूप से कहता है कि पुराना तरीका गोपनीयता की गारंटी देने के लिए पर्याप्त (sufficient) है। यदि आप केवल यह जानना चाहते हैं कि डेटा सुरक्षित है या नहीं, तो एकल संख्या ठीक से काम करती है।

हालाँकि, शोध पत्र का तर्क है कि एकल संख्या एक छाया को देखने जैसा है; यह पूर्ण 3D वास्तविकता को छोड़ देती है। सिम्प्लेक्स और हेमिस्फीयर पर त्रिकोणों को मैप करके, लेखक यह समझने के लिए एक नया, सटीक ज्यामितीय भाषा प्रदान करता है कि क्या हो रहा है। वे सिद्ध करते हैं कि:

प्राइवेसी लॉस (privacy loss) को इन ज्यामितीय निर्देशांकों (coordinates) से पूरी तरह से पुनर्गठित किया जा सकता है।
"शोर" केवल एक धुंध नहीं है; इसका एक विशिष्ट, अनुमानित आकार है जो डेटा बड़ा होने पर बदल जाता है।
उच्च आयामों में, शोर की ज्यामिति त्रिकोणों को अत्यंत चपटा और केंद्रित होने के लिए मजबूर करती है।

लेखक इन रुझानों को विज़ुअलाइज़ करने के लिए 10,000 यादृच्छिक त्रिकोणों के साथ सिमुलेशन का उपयोग करता है, यह दिखाते हुए कि जैसे-जैसे गोपनीयता की आवश्यकताएं सख्त होती हैं या डेटा के आयाम बढ़ते हैं, आकृतियाँ कैसे संकीर्ण और केंद्रित होती जाती हैं। शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि उसने कोई नया गोपनीयता तंत्र या गोपनीयता तोड़ने का नया तरीका आविष्कार किया है। इसके बजाय, यह गोपनीयता की अमूर्त गणित और यादृच्छिक आकृतियों के अध्ययन के बीच एक ज्यामितीय सेतु (geometric bridge) प्रदान करता है। यह सुझाव देता है कि शोर के आकार को समझकर, हम अंततः बेहतर गोपनीयता उपकरण डिजाइन कर सकते हैं या गोपनीयता और डेटा उपयोगिता के बीच के तालमेल को उन तरीकों से समझ सकते हैं जो हम पहले नहीं कर सकते थे।

संक्षेप में, यह शोध पत्र डेटा गोपनीयता के अदृश्य, अराजक शोर को लेता है और हमें दिखाता है कि यह वास्तव में सुंदर, अनुमानित ज्यामितीय पैटर्न बनाता है। यह एक एकल संख्या को एक मानचित्र और एक ग्लोब में बदल देता है, यह प्रकट करता है कि यादृच्छिक शोर के अराजक स्वरूप में भी, एक छिपा हुआ क्रम खोजा जाना बाकी है।

तकनीकी सारांश: डिफरेंशियल प्राइवेसी और रैंडम ट्रायंगल्स के बीच सेतु

समस्या विवरण (Problem Statement)

उच्च-आयामी डेटा विश्लेषण में, गॉसियन मैकेनिज्म (Gaussian mechanism) $(\epsilon, \delta)$ -डिफरेंशियल प्राइवेसी (DP) प्राप्त करने के लिए एक मानक दृष्टिकोण है। इस मैकेनिज्म का शास्त्रीय विश्लेषण पड़ोसी डेटासेट्स के जोड़े के लिए प्राइवेसी लॉस को एक स्केलर रैंडम वेरिएबल, प्राइवेसी लॉस रैंडम वेरिएबल (PLRV) में कम कर देता है। हालांकि यह स्केलर लक्षण वर्णन प्राइवेसी अकाउंटिंग के लिए पर्याप्त है, लेकिन यह अंतर्निहित विक्षोभ (perturbation) की पूर्ण ज्यामितीय संरचना को त्याग देता है। शास्त्रीय विश्लेषण विशेष रूप से संवेदनशीलता वेक्टर $v$ के समानांतर शोर घटक $\langle n, v \rangle$ पर निर्भर करता है, जिसके कारण अधिकांश शोर ऊर्जा ( $M-1$ ऑर्थोगोनल आयाम) रद्द हो जाती है और विश्लेषण से लुप्त हो जाती है।

यह शोध पत्र एक ज्यामितीय प्रश्न को संबोधित करता है: उच्च-आयामी विक्षोभ को स्केलर प्राइवेसी लॉस में बदलने से पहले गॉसियन मैकेनिज्म द्वारा कौन से यादृच्छिक आकार (random shapes) उत्पन्न किए जाते हैं? लेखक का तर्क है कि जबकि स्केलर PLRV युग्मवार गारंटियों के लिए पर्याप्त है, यह $f(x)$ और $f(x')$ को छिपाने के लिए विक्षोभ की पूर्ण ज्यामिति को बनाए नहीं रखता है। लक्ष्य सटीक ज्यामितीय समन्वय प्रणाली (coordinate systems) विकसित करना है जो स्केलर PLRV के पूरक हों और डिफरेंशियल प्राइवेसी को यादृच्छिक आकारों के संभाव्य विश्लेषण से जोड़ सकें।

कार्यप्रणाली (Methodology)

शोध पत्र दो पूरक ज्यामितीय निरूपण प्रस्तावित करता है जो आइसोट्रोपिक गॉसियन विक्षोभ द्वारा स्वाभाविक रूप से प्रेरित "रैंडम ट्रायंगल्स" (यादृच्छिक त्रिभुज) को दर्शाते हैं। एक रैंडम ट्रायंगल संवेदनशीलता वेक्टर $v = f(x) - f(x')$ और दो शोर वेक्टर्स $n$ और $n'$ द्वारा बनता है, जो $f(x)$ और $f(x')$ को विक्षोभित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, और $n' - n = v$ की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

दृश्य 1: मैक्रोस्कोपिक (मेट्रिक) परिप्रेक्ष्य

पहला दृष्टिकोण रैंडम ट्रायंगल के सामान्यीकृत वर्गकृत किनारों की लंबाई (normalized squared edge lengths) को एक 3D प्रोबेबिलिटी सिम्प्लेक्स (probability simplex) $x + y + z = 1$ में मैप करता है।

सामान्यीकरण (Normalization): किनारों के वेक्टर्स $v, n, (-v-n)$ को उनके फ्रोबेनियस नॉर्म (Frobenius norm) द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। इनके किनारों की वर्गकृत लंबाई को निर्देशांक $(x, y, z)$ में मैप किया जाता है।
व्युत्पत्ति (Derivation): लेखक सिम्प्लेक्स पर निर्देशांकों $(x, y)$ के लिए सटीक संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन (PDF) व्युत्पन्न करते हैं।
पुनर्गठन (Reconstruction): वे प्रदर्शित करते हैं कि शास्त्रीय स्केलर PLRV को इन सिम्प्लेक्स निर्देशांकों के एक स्पष्ट फलन के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है।
विश्लेषण: यह दृश्य वितरण के दीर्घवृत्ताकार समर्थन (elliptical support) और आयाम $M$ बढ़ने पर इसके व्यवहार को चित्रित करता है।

दृश्य 2: माइक्रोस्कोपिक (स्पेक्ट्रल) परिप्रेक्ष्य

दूसरा दृष्टिकोण सिंगुलर वैल्यू डीकंपोजिशन (SVD) का उपयोग करके त्रिभुजों की आंतरिक संरचना का सूक्ष्म अध्ययन करता है।

SVD और मैपिंग: सामान्यीकृत त्रिभुज को एक 3D हेमिस्फीयर (अर्धगोले) में मैप किया जाता है। यह मैपिंग त्रिभुज के सिंगुलर मान ( $\sigma_1, \sigma_2$ ) और मुख्य दिशा कोण ( $\alpha$ ) का उपयोग करती है।
निर्देशांक: त्रिभुज की स्पेक्ट्रल आकृति को हेमिस्फीयर के गोलाकार निर्देशांकों: देशांतर $\theta = 2\alpha$ और अक्षांश $\phi = \arcsin(2\sigma_1\sigma_2)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
व्युत्पत्ति: लेखक त्रिभुज के ग्राम मैट्रिक्स (Gram matrix) और इन हेमिस्फीयर निर्देशांकों के बीच एक बाइजेक्शन (bijection) स्थापित करते हैं, और $(\theta, \phi)$ के लिए सटीक संयुक्त PDF व्युत्पन्न करते हैं।
पुनर्गठन: शास्त्रीय PLRV को इन गोलाकार निर्देशांकों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।
विश्लेषण: यह दृश्य आयाम बढ़ने के साथ वितरण के "इक्वेटोरियल ड्रिफ्ट" (विषुवतीय बहाव) और "बैंड कंसंट्रेशन" (बैंड संकेंद्रण) को चित्रित करता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

1. सटीक ज्यामितीय लक्षण वर्णन

यह शोध पत्र पहली बार उच्च आयामों में शास्त्रीय गॉसियन मैकेनिज्म के मौलिक ज्यामितीय लक्षण वर्णन प्रदान करता है। यह दो सटीक समन्वय प्रणालियाँ (सिम्प्लेक्स और हेमिस्फीयर) स्थापित करता है जहाँ मैकेनिज्म के आकार के वितरण का अध्ययन किया जा सकता है।

2. सिम्प्लेक्स निरूपण (मेट्रिक दृश्य)

संयुक्त घनत्व: शोध पत्र सामान्यीकृत वर्गकृत किनारों की लंबाई के लिए सटीक संयुक्त PDF $f_{X,Y}(x, y)$ व्युत्पन्न करता है।
दीर्घवृत्ताकार समर्थन (Elliptical Support): वितरण का समर्थन $(x, y)$ -प्लेन में एक विशिष्ट घूर्णित दीर्घवृत्त (rotated ellipse) के भीतर दिखाया गया है, जो परिवेशी आयाम $M$ से स्वतंत्र है।
उच्च-आयामी पतन (High-Dimensional Collapse): जैसे-जैसे $M \to \infty$ , संभाव्यता द्रव्यमान (probability mass) एक विशिष्ट विन्यास $(x, y, z) \to (0, 1/2, 1/2)$ की ओर केंद्रित हो जाता है। यह इंगित करता है कि उच्च आयामों में, सामान्यीकरण के बाद संवेदनशीलता किनारा, दो शोर-संबंधी किनारों की तुलना में नगण्य हो जाता है।
PLRV पुनर्गठन: शास्त्रीय PLRV को $L(x, y) = \frac{(\Delta_2 f)^2}{2\sigma^2} \cdot \frac{x + 2y - 1}{x}$ के माध्यम से पुनः प्राप्त किया जाता है।

3. हेमिस्फीयर निरूपण (स्पेक्ट्रल दृश्य)

संयुक्त घनत्व: शोध पत्र हेमिस्फीयर पर देशांतर और अक्षांश के लिए सटीक संयुक्त PDF $f(\theta, \phi)$ व्युत्पन्न करता है।
इक्वेटोरियल ड्रिफ्ट: जैसे-जैसे $M$ बढ़ता है, वितरण का प्रमुख द्रव्यमान $M^{-1/2}$ की दर से निम्न अक्षांशों (विषुवत रेखा) की ओर बढ़ता है।
बैंड कंसंट्रेशन: साथ ही, वितरण विषुवत रेखा के चारों ओर एक तेजी से पतली होती पट्टी में संकुचित हो जाता है। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि सामान्यीकृत त्रिभुज आकार स्थान (shape space) के रैंक-वन सीमा (rank-one boundary) के करीब पहुँच जाते हैं (दूसरा सिंगुलर मान पहले के सापेक्ष छोटा हो जाता है)।
PLRV पुनर्गठन: PLRV को $PLRV(\theta, \phi) = -\frac{\sqrt{3}(\Delta_2 f)^2}{2\sigma^2} \cot \phi \sin \theta$ के रूप में पुनः प्राप्त किया जाता है।

4. शास्त्रीय विश्लेषण के साथ समानता

शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि इन नए ज्यामितीय वितरणों पर मेज़र कंसंट्रेशन (measure concentration) विश्लेषण करने से वही DP गारंटी प्राप्त होती है जो शास्त्रीय स्केलर विश्लेषण से मिलती है। ज्यामितीय दृश्य शास्त्रीय PLRV का खंडन नहीं करते हैं, बल्कि अंतर्निहित यादृच्छिक आकारों का अधिक समृद्ध विवरण प्रदान करते हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र का दावा है कि यह डिफरेंशियल प्राइवेसी और रैंडम शेप थ्योरी के बीच एक "संभाव्य सेतु" (probabilistic bridge) प्रदान करता है। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित है:

ज्यामिति को पूर्ण करना: यह विक्षोभ की पूर्ण ज्यामिति को पुनः प्राप्त करता है जो मानक स्केलर रिडक्शन में खो जाती है, यह दिखाते हुए कि ऑर्थोगोनल शोर ऊर्जा का "निरसन" (cancellation) रैंडम ट्रायंगल के आकार में कैसे प्रकट होता है।
सटीक समन्वय प्रणाली: यह मैकेनिज्म के आकार के वितरण का अध्ययन करने के लिए दो सटीक ज्यामितीय ढांचे (सिम्प्लेक्स और हेमिस्फीयर) प्रदान करता है, न कि केवल उसके स्केलर लॉस को।
उच्च-आयामी अंतर्दृष्टि: यह इन आकारों के स्पर्शोन्मुखी (asymptotic) व्यवहार को कठोरता से चित्रित करता है, यह दिखाते हुए कि उच्च-आयामी गॉसियन मैकेनिज्म ऐसे त्रिभुज उत्पन्न करते हैं जो तेजी से शोर द्वारा हावी हो जाते हैं (सिम्प्लेक्स पर विशिष्ट बिंदुओं और हेमिस्फीयर पर विषुवत रेखा पर पतन)।

लेखक एक सीमित दायरे को बनाए रखते हुए नोट करते हैं कि ये परिणाम शास्त्रीय स्केलर PLRV के पूरक हैं, न कि उसके विकल्प। वे सुझाव देते हैं कि भविष्य के कार्य इन ढांचे को अनिसोट्रोपिक गॉसियन और गैर-गॉसियन विक्षोभ तक विस्तारित कर सकते हैं, संवेदनशीलता सेट की ज्यामिति को शामिल कर सकते हैं, और ज्यामिति-जागरूक शोर डिजाइन (geometry-aware noise design) की जांच कर सकते हैं, लेकिन वे यह दावा नहीं करते कि ये अनुप्रयोग वर्तमान में साकार हैं।