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$p$ -Adic Diffusion and Random Walks on $[0, 1]$

यह शोध पत्र मोना मानचित्र (Monna map) के माध्यम से $p$ -आदिक प्रसार ऑपरेटरों (p-adic diffusion operators) को रूपांतरित करके वास्तविक इकाई अंतराल पर सुदृढ़ मार्कोव प्रक्रियाओं (strong Markov processes) का निर्माण करता है, उनके स्पेक्ट्रमी गुणों और ऊष्मा समीकरण समाधानों का विश्लेषण करता है, और वास्तविक डोमेन पर $p$ -आदिक प्रसार के लिए एक नई दृश्य पद्धति प्रदान करने हेतु परिमित पदानुक्रमित विभाजनों (finite hierarchical partitions) पर निरंतर-समय यादृच्छिक चालों (continuous-time random walks) का उपयोग करके इन गतिकी का सन्निकटन करता है।

मूल लेखक: Patrick Erik Bradley, Paulina Halwas, Ell Ari Nitsche, Ángel Morán Ledezma

प्रकाशित 2026-08-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Patrick Erik Bradley, Paulina Halwas, Ell Ari Nitsche, Ángel Morán Ledezma

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि कांच के गिलास में पानी के माध्यम से स्याही की एक बूंद कैसे फैलती है। वास्तविक दुनिया में, यह एक सहज, निरंतर प्रक्रिया है; स्याही धीरे-धीरे बहती है, हर कोने में मिल जाती है। लेकिन क्या होगा यदि ब्रह्मांड पानी के एक चिकने गिलास जैसा नहीं, बल्कि एक विशाल, अनंत पेड़ जैसा हो जहाँ आप केवल एक शाखा से दूसरी शाखा पर कूद सकते हैं? यह p-adic संख्याओं की विचित्र, आकर्षक दुनिया है। वास्तविक संख्याओं के विपरीत, जिनका उपयोग हम एक पैमाने (रूलर) पर दूरियों को मापने के लिए करते हैं, p-adic संख्याएँ यह मापती हैं कि कोई संख्या एक विशिष्ट अभाज्य संख्या (जैसे 2, 3, या 5) द्वारा कितनी बार विभाजित की जा सकती है। इस दुनिया में, दो संख्याएँ तब करीब होती हैं जब उनका उस अभाज्य संख्या द्वारा विभाजित होने का एक लंबा साझा इतिहास होता है, जिससे एक ऐसा परिदृश्य बनता है जो एक सपाट रेखा के बजाय एक फ्रैक्टल पेड़ की तरह दिखता है।

लंबे समय तक, गणितज्ञों ने सहज, वास्तविक दुनिया और इस ऊबड़-खाबड़, पेड़ जैसी p-adic दुनिया को पूरी तरह से अलग पड़ोस के रूप में माना। वे अलग भाषाएँ बोलते थे और अलग नियमों के अनुसार जीते थे। हालाँकि, एक चतुर उपकरण जिसे मोना मैप (Monna map) कहा जाता है, एक सार्वभौमिक अनुवादक या इन दोनों दुनियाओं के बीच एक जादुई पुल के रूप में कार्य करता है। यह p-adic संख्याओं की टेढ़ी-मेढ़ी, पेड़ जैसी संरचना को लेता है और उसे 0 से 1 के परिचित अंतराल (इंटरवल) पर बिछा देता है, जैसे किसी स्क्रॉल को खोलना। यह शोध पत्र इस बारे में है कि जब हम p-adic पेड़ से "विसरण" (diffusion - कैसे चीजें फैलती हैं या रैंडम वॉक करती हैं) के नियमों को लेते हैं, उन्हें इस पुल के पार ले जाते हैं, और हमारे वास्तविक, सपाट रेखा पर उनके व्यवहार को देखते हैं, तो क्या होता है। यह क्यों मायने रखता है? क्योंकि इन अजीब, पेड़ जैसी जगहों में चीजों के चलने को समझना हमें भौतिकी, जीव विज्ञान और यहाँ तक कि नेटवर्क में सूचना के प्रवाह जैसे जटिल प्रणालियों को मॉडल करने में मदद करता है, और यह शोध पत्र हमें इन गतिविधियों को एक ऐसे तरीके से देखने और गणना करने का तरीका दिखाता है जो बहुत अधिक परिचित लगता है।

शोध पत्र का बड़ा विचार: अननुवादित का अनुवाद करना

पैट्रिक एरिक ब्रैडली और सहयोगियों द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र, अनिवार्य रूप से एक बहुत ही अमूर्त, कठिन-से-समझने योग्य गणितीय प्रक्रिया को एक मार्गदर्शिका में बदलने के बारे में है जिसे आप वास्तव में देख और गणना कर सकते हैं। लेखक एक ऐसी समस्या पर काम कर रहे हैं जहाँ वे वास्तविक संख्या रेखा पर 0 और 1 के बीच रैंडम वॉक (सोचिए एक नशे में धुत व्यक्ति के लड़खड़ाने के बारे में) और डिफ्यूजन (गर्मी के फैलने की तरह) का अध्ययन करना चाहते हैं, लेकिन वे इसे p-adic गणित के नियमों का उपयोग करके करना चाहते हैं।

यहाँ वह मुख्य चाल है जिसका वे उपयोग करते हैं: वे एक प्रक्रिया से शुरू करते हैं जो एक p-adic यूनिट डिस्क (एक विशिष्ट प्रकार का p-adic स्थान) पर होती है। इस p-adic दुनिया में, बिंदुओं के बीच की "दूरी" हमारे सामान्य संसार की तुलना में अलग तरह से मापी जाती है। लेखक इस पूरी प्रक्रिया को मोना मैप के माध्यम से इस पुल के पार $[0, 1]$ के वास्तविक अंतराल पर ले जाने के लिए उपयोग करते हैं।

परिणाम वास्तविक रेखा पर एक नई प्रकार की रैंडम प्रक्रिया है। यदि आप इन नियमों के अनुसार चलते हुए एक कण को देखते, तो वह पानी में स्याही की तरह सहजता से नहीं बहता। इसके बजाय, वह कुछ समय के लिए स्थिर रहता और फिर अचानक एक नई जगह पर कूद (jump) जाता। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि ये पथ "राइट-कंटीन्यूअस" (right-continuous) हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें अजीब, अनंत लहरें नहीं हैं; वे बस वहीं रहते हैं और फिर कूद जाते हैं। यह हमें वास्तविक रेखा पर "कूदने" वाले व्यवहार को मॉडल करने का एक तरीका देता है जिसे स्वच्छ, संरचित p-adic दुनिया के माध्यम से किया जा सकता है।

पुल का जादू: स्पेक्ट्रा और आइगेनवैल्यूज़ (Eigenvalues)

इस शोध पत्र की सबसे रोमांचक खोजों में से एक इन डिफ्यूजन ऑपरेटर्स के स्पेक्ट्रा (spectra) के बारे में है। सरल शब्दों में, "स्पेक्ट्रम" एक प्रणाली के प्राकृतिक आवृत्तियों या "सुरों" के सेट की तरह है। जब लेखक p-adic डिफ्यूजन को वास्तविक रेखा पर अनुवादित करते हैं, तो वे पाते हैं कि सिस्टम के "सुरों" (आइगेनवैल्यूज़) की गणना बहुत तेज़ी से की जा सकती है।

वे कोज़ेरेव (Kozyrev) नामक गणितज्ञ द्वारा खोजी गई एक विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं। क्योंकि p-adic दूरी इतनी संरचित है (यह एक पूर्ण पेड़ की तरह है), इन आवृत्तियों को खोजने का गणित अविश्वसनीय रूप से कुशल हो जाता है। यह शोध पत्र दिखाता है कि इन विशिष्ट प्रकार के ऑपरेटर्स के लिए, आप आइगेनवैल्यूज़ की गणना लीनियर कॉम्प्लेक्सिटी (linear complexity) के साथ कर सकते हैं। इसका अर्थ है कि यदि आप अपनी समस्या के आकार को दोगुना करते हैं, तो काम केवल दोगुना ही बढ़ेगा, न कि घातीय (exponentially) रूप से कठिन। यह उन कंप्यूटरों के लिए एक बड़ी जीत है जो इन प्रक्रियाओं का अनुकरण (सिमुलेशन) करने की कोशिश कर रहे हैं।

सिद्धांत से पिक्सेल तक: एल्गोरिदम

लेखक केवल सिद्धांत तक ही सीमित नहीं रहते; वे इन प्रक्रियाओं को विज़ुअलाइज़ (दृश्यमान) करने के लिए एक व्यावहारिक एल्गोरिदम भी बनाते हैं। वे अंतराल $[0, 1]$ को छोटे और छोटे टुकड़ों में तोड़ते हैं, जिससे एक पदानुक्रम (hierarchy) बनता है जो p-adic पेड़ की नकल करता है। फिर वे एक विधि का उपयोग करते हैं जिसे "ब्रेड्थवाइज डीकंपोजिशन" (breadthwise decomposition) कहा जाता है, जो एक फलन (function) को परतों में तोड़ता है, ठीक वैसे ही जैसे प्याज के छिलके उतारना या एक पेड़ को तने से लेकर पत्तियों तक देखना।

उन्होंने इसे दो विशिष्ट उदाहरणों के साथ परखा:

एक गौसियन कर्नेल (Gaussian Kernel): यह एक बेल कर्व (bell curve) की तरह कार्य करता है, जहाँ "कूद" की संभावना पास के बिंदुओं (p-adic अर्थ में) के लिए अधिक होती है और दूर के बिंदुओं के लिए कम होती है।
एक पावर कर्नेल (Power Kernel): यह एक इन्वर्स पावर लॉ का उपयोग करता है, जो दूरी के साथ "कूदने" की संभावना के घटने के तरीके को बदल देता है।

अपने सिमुलेशन में, उन्होंने प्रायिकता (probability) के एक सुचारू "पहाड़" (गौसियन बम्प) से शुरुआत की और समय के साथ इसके विकसित होने का अवलोकन किया। जैसे-जैसे समय बीतता गया, वह सुचारू पहाड़ केवल सपाट नहीं हुआ; बल्कि वह ब्लॉकी, स्टेप-जैसे आकारों में टूट गया। आकार के सूक्ष्म विवरण पहले गायब हो गए, जिससे पीछे एक मोटा, स्टेप-जैसा ढांचा बच गया जो कम रिज़ॉल्यूशन वाली डिजिटल छवि जैसा दिखता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि p-adic नियम सूक्ष्म, सुचारू बहाव के बजाय बड़े पैमाने की छलांगों को प्राथमिकता देते हैं।

वे क्या दावा नहीं करते

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या नहीं करता है। लेखक यह दावा नहीं कर रहे हैं कि उन्होंने भौतिकी का कोई नया नियम खोज लिया है या यह सुलझा लिया है कि वास्तविक दुनिया में गर्मी कैसे चलती है। वे यह नहीं कह रहे हैं कि वास्तविक दुनिया का डिफ्यूजन p-adic है। इसके बजाय, वे एक विशिष्ट गणितीय मॉडल बना रहे हैं जहाँ एक p-adic प्रक्रिया को वास्तविक दुनिया में परिवर्तित (transported) किया जाता है ताकि एक नई प्रकार की रैंडम प्रक्रिया बनाई जा सके।

विज़ुअलाइज़ेशन और सन्निकटन (approximations) के अभिसरण (convergence) के संबंध में परिणाम इन विशिष्ट ऑपरेटर्स के विशिष्ट संदर्भ के भीतर सिमुलेशन और गणितीय प्रमाणों के माध्यम से प्रदर्शित किए गए हैं। वे दिखाते हैं कि उनकी विधि इन विशिष्ट ऑपरेटर्स के लिए "कॉची समस्या" (Cauchy problem - एक मानक तरीका जो बताता है कि एक प्रणाली एक शुरुआती बिंदु से कैसे बदलती है) के समाधान का अनुमान लगाने में काम करती है। वे यह दावा नहीं करते कि यह विधि प्रकृति में होने वाले प्रत्येक संभावित डिफ्यूजन प्रोसेस के लिए काम करती है, केवल उनके लिए जो इस विशिष्ट मोना मैप अनुवाद के माध्यम से निर्मित किए जा सकते हैं।

निष्कर्ष

अंत में, यह शोध पत्र इस बात का एक सुंदर प्रदर्शन है कि कैसे गणित की दो अलग-अलग दिखने वाली दुनिया एक-दूसरे से बात कर सकती हैं। मोना मैप को एक अनुवादक के रूप में उपयोग करके, लेखकों ने p-adic डिफ्यूजन की कठोर, पेड़ जैसी संरचना को वास्तविक संख्या रेखा पर कूदने वाले पथों के एक सेट में बदल दिया है। उन्होंने इन पथों के व्यवहार की गणना करने का एक तेज़, कुशल तरीका और उन्हें देखने का एक स्पष्ट तरीका प्रदान किया है। परिणाम जटिल, कूदने वाली प्रणालियों को मॉडल करने के लिए गणितज्ञों और वैज्ञानिकों के लिए एक नया उपकरण है, जो यह दर्शाता है कि कभी-कभी, वास्तविक दुनिया के सुचारू प्रवाह को समझने के लिए, आपको इसे एक फ्रैक्टल पेड़ के लेंस से देखना पड़ता है।

तकनीकी सारांश: [0, 1] पर p-एडिक विसरण (Diffusion) और रैंडम वॉक

समस्या विवरण
यह शोध पत्र $p$ -एडिक विश्लेषण और वास्तविक विश्लेषण (real analysis) के बीच के अंतर को जोड़ने की चुनौती को संबोधित करता है। जबकि $\mathbb{Z}_p$ पर $p$ -एडिक विसरण का अध्ययन व्यापक रूप से किया गया है, वास्तविक इकाई अंतराल $[0, 1]$ पर इसके प्रत्यक्ष अनुप्रयोग और दृश्यता (visualization) सीमित रही है। लेखक $[0, 1]$ पर मजबूत मार्कोव प्रक्रियाओं (strong Markov processes) का निर्माण करने का लक्ष्य रखते हैं जो उनके $p$ -एडिक समकक्षों से "परिवर्तित" (transported) हों, संबद्ध ऊष्मा समीकरणों (heat equations) के कॉची समस्याओं (Cauchy problems) को हल करें, और इन प्रक्रियाओं को दृश्यमान बनाने की एक विधि प्रदान करें। एक विशिष्ट ध्यान उन मास्टर समीकरणों को हल करने की कम्प्यूटेशनल अक्षमता पर केंद्रित है, जहाँ जंप दरें $p$ -एडिक दूरियों पर निर्भर करती हैं, और इसके लिए अल्ट्रामेट्रिक स्पेस की पदानुक्रमित संरचना (hierarchical structure) का लाभ उठाया जाता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
मुख्य कार्यप्रणाली मोना मैप (Monna map) ( $\rho$ ) पर आधारित है, जो $p$ -एडिक विस्तारों को वास्तविक दशमलव विस्तारों के रूप में व्याख्यायित करके $p$ -एडिक संख्याओं को गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं में मैप करने वाला एक फलन है। लेखक $L^2(\mathbb{Z}_p, \mu)$ और $L^2([0, 1], \lambda)$ के बीच हिल्बर्ट स्पेस के बीच एक सममित आइसोमोर्फिज्म (isometric isomorphism) स्थापित करने के लिए इस मैप का उपयोग करते हैं, जहाँ $\mu$ हाार माप (Haar measure) है और $\lambda$ लेबेग माप (Lebesgue measure) है।

ऑपरेटर ट्रांसपोर्ट (Operator Transport): $\mathbb{Z}_p$ पर रेडियल कर्नेल (जो $p$ -एडिक नॉर्म $|\cdot|_p$ पर निर्भर करते हैं) वाले इंटीग्रल ऑपरेटर्स को मोना मैप के माध्यम से वास्तविक अंतराल पर रूपांतरित किया जाता है। $[0, 1]$ पर परिणामी ऑपरेटर $D_f$ को कर्नेल $k(x, y) = f(|\rho^{-1}(x) - \rho^{-1}(y)|_p)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
स्पेक्ट्रल विश्लेषण (Spectral Analysis): लेखक कोज़ीरेव वेवलेट्स (Kozyrev wavelets) (जिन्हें $p > 2$ के लिए सामान्यीकृत किया गया है) का एक ऑर्थोनॉर्मल बेस के रूप में उपयोग करते हैं। चूंकि कर्नेल $p$ -एडिक दूरी के सापेक्ष रेडियल है, इसलिए ये वेवलेट्स इंटीग्रल ऑपरेटर्स के आइगेनफंक्शंस (eigenfunctions) के रूप में कार्य करते हैं। यह जटिल संख्यात्मक डायगोनलाइजेशन की आवश्यकता के बिना, $p$ -एडिक सिद्धांत से प्राप्त सूत्र का उपयोग करके आइगेनवैल्यूज़ की स्पष्ट गणना करने की अनुमति देता है।
परिमित सन्निकटन (Finite Approximation): ऊष्मा समीकरण $\partial_t u = D_f u$ के लिए कॉची समस्या को हल करने के लिए, लेखक नियमित विभाजनों (regular partitions) का उपयोग करके इकाई अंतराल का विविक्तीकरण (discretization) करते हैं। वे कर्नेल को विभाजन तत्वों पर औसत निकालकर ट्रांजिशन रेट मैट्रिसेस को परिभाषित करते हैं। प्रमेय 3.3 यह स्थापित करता है कि जैसे-जैसे विभाजन का आकार बढ़ता है, इन असतत कॉची समस्याओं के समाधान निरंतर समस्या के समाधान के साथ समान रूप से अभिसरित (converge) होते हैं।
एल्गोरिद्मिक विज़ुअलाइज़ेशन (Algorithmic Visualization): विसरण प्रक्रिया को दृश्यमान बनाने के लिए एक एल्गोरिदम प्रस्तावित किया गया है। पूर्ण वेवलेट अपघटन के बजाय, यह विधि ब्रेड्थवाइज अपघटन (breadthwise decomposition) का उपयोग करती है। यह इस तथ्य का लाभ उठाती है कि रेडियली सिमेट्रिक कर्नेल के लिए, समान आकार के सपोर्ट वाले सभी वेवलेट्स एक ही आइगेनवैल्यू साझा करते हैं। एल्गोरिदम एक पदानुक्रमित वृक्ष संरचना (जो $\mathbb{Z}_p/p^d\mathbb{Z}_p$ का प्रतिनिधित्व करती है) पर स्थानीय औसत की गणना करता है, प्रारंभिक फलन को अपघटित करने के लिए, ऊष्मा कर्नेल (आइगेनवैल्यूज़ के घातांक) के माध्यम से समय विकास लागू करता है, और घटकों को पुनर्संयोजित करता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

सैद्धांतिक तुल्यता (Theoretical Equivalence): यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि $[0, 1]$ पर $D_f$ द्वारा जनरेट किया गया सेमिग्रुप (semigroup), $\mathbb{Z}_p$ पर $P_f$ द्वारा जनरेट किए गए सेमिग्रुप के यूनिटरी रूप से तुल्य (unitarily equivalent) है। फलस्वरूप, मोना मैप के माध्यम से वास्तविक मार्कोव प्रक्रिया $X_t$ का पुल-बैक (pull-back) $\mathbb{Z}_p$ पर एक मजबूत मार्कोव प्रक्रिया प्रदान करता है।
आइगेनवैल्यू फॉर्मूला: डिफ्यूजन ऑपरेटर के आइगेनवैल्यूज़ $\lambda_r$ के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्रदान किया गया है, जो $p$ -एडिक वेवलेट सिद्धांत से प्राप्त है। यह सूत्र कर्नेल फलन $f$ और $p$ -एडिक स्केल $p^{-r}$ पर निर्भर करता है।
विविक्तीकरण का अभिसरण (Convergence of Discretization): लेखक प्रदर्शित करते हैं कि परिमित सेटों (जो $[0, 1]$ के पदानुक्रमित विभाजन से प्राप्त होते हैं) पर मास्टर समीकरण के समाधान निरंतर ऊष्मा समीकरण के समाधान की ओर समान रूप से अभिसरित होते हैं। यह वास्तविक रेखा पर $p$ -एडिक विसरण के सन्निकटन के रूप में असतत रैंडम वॉक के उपयोग को मान्य करता है।
कम्प्यूटेशनल दक्षता (Computational Efficiency): ब्रेड्थवाइज अपूर्णता और अल्ट्रामेट्रिक कर्नेल की विशिष्ट आइगेनवैल्यू संरचना का उपयोग करके, प्रस्तावित एल्गोरिदम प्रक्रिया के विकास को कंप्यूट करने के लिए $N$ (विविक्तीकरण बिंदुओं की संख्या) के संदर्भ में स्थान और समय दोनों में रैखिक जटिलता $O(N)$ प्राप्त करता है।
विज़ुअलाइज़ेशन उदाहरण: पेपर दो विशिष्ट कर्नेल के लिए $[0, 1]$ पर विसरण प्रक्रियाओं के विज़ुअलाइज़ेशन प्रदान करता है: एक गॉसियन जैसा कर्नेल और एक इनवर्स पावर-लॉ कर्नेल। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि कैसे छोटे पैमाने पर होने वाले विक्षोभ (perturbations) बड़े पैमाने वाले विक्षोभों की तुलना में तेजी से समाप्त हो जाते हैं, जिससे प्रारंभिक फलन का चरण-दर-चरण स्मूथिंग (step-wise smoothing) होता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि मोना मैप $p$ -एडिक और रियल-डोमेन स्टोकेस्टिक सिद्धांतों के बीच एक "अनुवादक" (translator) के रूप में कार्य करता है, जो $p$ -एडिक डोमेन से वास्तविक डोमेन में शक्तिशाली विश्लेषणात्मक उपकरणों (जैसे वेवलेट-आधारित स्पेक्ट्रल अपघटन) के हस्तांतरण को सक्षम बनाता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह दृष्टिकोण $p$ -एडिक विसरण प्रक्रियाओं के लिए एक सरल दृश्य पद्धति (simple visualization method) प्रदान करता है, जो अन्यथा अमूर्त (abstract) होती हैं। प्रक्रिया को $[0, 1]$ पर रूपांतरित करके, आप वास्तविक चर की अंतर्दृष्टि का उपयोग करके अल्ट्रामेट्रिक विसरण की गतिशीलता को देख सकते हैं। इसके अलावा, यह कार्य $L^2$ स्पेस के बीच एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म स्थापित करने में मोना मैप की उपयोगिता को उजागर करता है, जो $p$ -एडिक स्पेक्ट्रल विधियों को वास्तविक-मूल्य वाली समस्याओं (जैसे ग्राफ पर विसरण का सन्निकटन और डीप न्यूरल नेटवर्क का विश्लेषण) के अनुप्रयोग को सुगम बनाता है।

यह शोध पत्र अपने योगदान को मोना मैप की भूमिका की समझ को अपडेट करने के रूप में विनम्रतापूर्वक प्रस्तुत करता है, जो छिटपुट रुचि से आगे बढ़कर मार्कोव प्रक्रियाओं के निर्माण और कॉची समस्याओं को हल करने में एक व्यवस्थित अनुप्रयोग की ओर बढ़ता है। यह कोई नया भौतिक अनुप्रयोग प्रस्तावित नहीं करता है, बल्कि मौजूदा $p$ -एडिक डिफ्यूजन मॉडल को विश्लेषण और विज़ुअलाइज़ेशन के लिए वास्तविक इकाई अंतराल तक ले जाने के लिए आवश्यक गणितीय मशीनरी स्थापित करता है।