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Certifying Plans under Model Mismatch: A Trilemma for Reachability from Scarce Data

यह शोध पत्र सीमित डेटा के साथ मॉडल मिसमैच (model mismatch) के तहत नियंत्रण योजनाओं को प्रमाणित करने में एक मौलिक त्रिशंकु (trilemma) स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि किसी भी सुदृढ़ नियतात्मक प्रमाणक (deterministic certifier) को या तो प्रक्षेपवक्र समावेशन (trajectory containment) का त्याग करना होगा, अनिश्चितता को अत्यधिक स्वीकार करना होगा, या मॉडल-त्रुटि व्यवहार को प्रतिबंधित करना होगा, और 'फोररीच' (ForeReach) पद्धति का प्रस्ताव करता है जो सेट-मेंबरशिप लिफाफों (set-membership envelopes) और ज़ोनोटॉपिक ट्यूबों (zonotopic tubes) का निर्माण करती है जो डेटा समर्थन अपर्याप्त होने पर सुरक्षित रूप से प्रमाणन को अस्वीकार कर देते हैं।

मूल लेखक: Yanliang Huang, Zhen Zhang, Ahmad Hafez, Wenyuan Wu, Peng Xie, Zhuoqi Zeng, Amr Alanwar

प्रकाशित 2026-08-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Yanliang Huang, Zhen Zhang, Ahmad Hafez, Wenyuan Wu, Peng Xie, Zhuoqi Zeng, Amr Alanwar

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को कार चलाना सिखा रहे हैं। आप उसे सीधे असली हाईवे पर नहीं छोड़ सकते; यह खतरनाक होगा। इसके बजाय, आप उसे एक वीडियो गेम सिम्युलेटर में प्रशिक्षित करते हैं। सिम्युलेटर बेहतरीन है, लेकिन यह पूर्ण नहीं है। गेम में भौतिकी (physics) वास्तविक दुनिया की तुलना में थोड़ी "अलग" हो सकती है—शायद टायर थोड़ा अलग तरह से पकड़ बनाते हैं, या हवा कार को उस तरह से धकेलती है जैसा गेम ने अनुमान नहीं लगाया था। गेम की दुनिया और वास्तविक दुनिया के बीच का यह अंतर "मॉडल एरर" (model error) कहलाता है।

अब, कल्पना कीजिए कि रोबोट ने गेम में एक शानदार नया ड्राइविंग पैंतरा (maneuver) सीखा है। इससे पहले कि आप उसे वास्तविक सड़क पर यह चाल आज़माने दें, आपको एक सुरक्षा निरीक्षक (safety inspector) की आवश्यकता है जो जाँच करे: "यदि रोबोट यह करता है, तो क्या वह दुर्घटनाग्रस्त हो जाएगा?" निरीक्षक के पास सिम्युलेटर के नियमों का एक मानचित्र है, लेकिन उनके पास केवल कुछ बिखरे हुए नोट्स हैं कि वास्तविक कार वास्तव में कैसे व्यवहार करती है। ये नोट्स अलग-थलग स्नैपशॉट की तरह हैं: "इस विशिष्ट गति और मोड़ पर, कार यहाँ गई थी।" बड़ा सवाल यह है: क्या हम केवल उन कुछ नोट्स का उपयोग करके यह गारंटी दे सकते हैं कि रोबोट सुरक्षित है, भले ही रोबोट ऐसी जगह पर कोई चाल चले जहाँ हमारे पास कोई नोट्स ही न हों? यह शोध पत्र ठीक इसी पहेली को सुलझाता है, और यह पता लगाता है कि जब हमारे पास वास्तविक दुनिया के बारे में बहुत कम डेटा हो, तो हम कितना जान सकते हैं।

इस अध्ययन के पीछे के शोधकर्ताओं ने, जो टेक्निकल यूनिवर्सिटी ऑफ म्यूनिख और हैनान बीलेफेल्ड यूनिवर्सिटी के साथ काम कर रहे हैं, एक मौलिक "त्रिपथ" (trilemma) की खोज की—एक तीन-तरफा गतिरोध जहाँ आप वह सब कुछ नहीं पा सकते जो आप चाहते हैं। उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप केवल कुछ बिखरे हुए डेटा बिंदुओं का उपयोग करके रोबोट के प्लान को प्रमाणित करने की कोशिश करते हैं, तो आप तीन असंभव विकल्पों का सामना करते हैं:

पूर्णतः सुरक्षित होना (Sound): आपकी सुरक्षा गारंटी हर उस तरीके को कवर करनी चाहिए जिससे वास्तविक दुनिया व्यवहार कर सकती है।
उपयोगी होना (Informative): आपका सुरक्षा क्षेत्र इतना विशाल नहीं होना चाहिए कि वह पूरे ब्रह्मांड को कवर कर ले; इसे इतना सटीक होना चाहिए कि यह बता सके कि रोबोट वास्तव में दीवार से टकराएगा या नहीं।
खुले विचारों वाला होना (Unrestricted): आपको उन जगहों के बारे में नियम नहीं बनाने चाहिए जहाँ आपने अभी तक नहीं देखा है कि वास्तविक दुनिया कैसे व्यवहार करती है।

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि आप इन तीन में से केवल दो को ही चुन सकते। यदि आप अज्ञात के बारे में नियम बनाने से इनकार करते हैं (मॉडल को "unrestricted" रखते हुए), और आप पूर्णतः सुरक्षित होने की मांग करते हैं, तो आपका सुरक्षा क्षेत्र अनंत रूप से चौड़ा हो जाएगा। यह एक सुरक्षा गार्ड की तरह है, जो रेत में कुछ पदचिह्न देखकर यह तय करता है कि यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई घुसपैठिया अंदर नहीं आया है, उसे यह मान लेना चाहिए कि घुसपैठिया पूरे शहर में कहीं भी हो सकता है। यह एक सुरक्षित धारणा है, लेकिन चोर को पकड़ने के लिए यह बहुत उपयोगी नहीं है।

इस समस्या को हल करने के लिए, लेखक एक नई विधि प्रस्तावित करते हैं जिसे ForeReach कहा जाता है। अंधाधुंध अनुमान लगाने के बजाय, ForeReach रोबोट के डिजाइनरों से एक "साइड नोट" मांगता है: एक वादा कि वास्तविक दुनिया का व्यवहार कितनी तेजी से बदल सकता है। इसे रोबोट के भ्रम की "स्पीड लिमिट" की तरह समझें। डिजाइनरों को घोषित करना होगा, "हमारे गेम और वास्तविकता के बीच का अंतर इस मात्रा से अधिक तेजी से नहीं बदल सकता।" ForeReach फिर यह जाँचता है कि क्या हमारे पास मौजूद कुछ डेटा बिंदु इस वादे के अनुरूप हैं। यदि वे हैं, तो यह रोबोट के पथ के चारों ओर एक "ट्यूब" (एक सुरक्षित पथ) बनाता है।

यह व्यवहार में कैसे काम करता है, यहाँ दिया गया है:

जाँच (The Check): यह बिखरे हुए डेटा बिंदुओं को देखता है। यदि दो बिंदु संकेत देते हैं कि भ्रम की "स्पीड लिमिट" टूट गई है, तो यह तुरंत कहता है, "नहीं, आपका वादा गलत है," और रुक जाता है।
ट्यूब (The Tube): यदि वादा कायम रहता है, तो यह रोबोट के पथ के चारों ओर एक सुरक्षित ट्यूब बनाता है। यह ट्यूब ज्ञात डेटा बिंदुओं से दूर जाने पर चौड़ी होती जाती है, क्योंकि अनिश्चितता बढ़ती जाती है।
फैसला (The Verdict): यदि ट्यूब "सुरक्षित क्षेत्र" के भीतर रहती है और बाधाओं से बचती है, तो रोबोट को हरी झंडी मिल जाती है। लेकिन यदि रोबोट उस क्षेत्र में जाने की कोशिश करता है जहाँ हमारे पास कोई डेटा नहीं है और ट्यूब बहुत चौड़ी हो जाती है (या किसी दीवार से टकरा जाती है), तो ForeReach विनम्रता से योजना को प्रमाणित करने से मना कर देता है। यह कहता है, "मैं यहाँ सुरक्षा की गारंटी नहीं दे सकता क्योंकि मैं अंधेरे में काम कर रहा हूँ।"

शोधकर्ताओं ने दो प्रणालियों पर इसका परीक्षण किया: एक सरल पॉइंट-मास रोबट और एक अधिक जटिल "डायनेमिक बाइसिकल" (एक कार का मॉडल)। उन्होंने इसकी तुलना अन्य विधियों से की जो सांख्यिकी या वैश्विक नियमों का उपयोग करके सुरक्षा क्षेत्र का अनुमान लगाने की कोशिश करती हैं। परिणाम स्पष्ट थे: अन्य विधियाँ अक्सर केवल इसलिए खतरनाक पथों को "हरी झंडी" दे देती थीं क्योंकि उन्हें बेहतर जानकारी नहीं थी, जिससे सिमुलेशन में दुर्घटनाएं हुईं। हालाँकि, ForeReach ईमानदार था। जब रोबोट बिना डेटा वाले क्षेत्र में जाने की कोशिश करता था, तो ForeReach ने कहा, "मैं इसे प्रमाणित नहीं कर सकता," और उसने प्रमाण पत्र देने से इनकार कर दिया। लेकिन जब रोबोट उन क्षेत्रों में रहा जहाँ उनके पास डेटा था (या जहाँ "स्पीड लिमिट" का वादा पर्याप्त रूप से सख्त था), तो ForeReach ने सफलतापूर्वक एक बहुत ही संकीकर, उपयोगी सुरक्षा ट्यूब के साथ योजना को प्रमाणित किया।

बाइसिकल मॉडल के एक विशिष्ट परीक्षण में, जब रोबोट बिना समर्थित क्षेत्र में जाने की कोशिश करता था, तो अन्य विधियों ने 42% बार (कम डेटा काउंट पर) दावा किया कि पथ सुरक्षित था, लेकिन वे पथ वास्तव में असुरक्षित थे। दूसरी ओर, ForeReach ने उन खतरनाक पथों को प्रमाणित करने से 100% समय परहेज किया। जब उन्होंने वास्तविक पथ के साथ अधिक डेटा बिंदु जोड़े, तो ForeReach का "प्रमाणित रिकॉल" (वह कितनी बार सही ढंग से कह पाया कि "हाँ, यह सुरक्षित है") 49% से बढ़कर 98% हो गया।

यह शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि इसने रोबोट सुरक्षा की समस्या को हमेशा के लिए हल कर दिया है। इसके बजाय, यह एक स्पष्ट रेखा खींचता है: आप एक ऐसा सुरक्षा गारंटी नहीं रख सकते जो पूरी तरह से विश्वसनीय और उपयोगी रूप से सटीक दोनों हो, जब तक कि आपके पास कुछ अतिरिक्त जानकारी न हो कि दुनिया कैसे व्यवहार करती है। आप केवल कुछ डेटा बिंदुओं पर निर्भर नहीं रह सकते। आपको डिजाइनरों से सीमाओं के बारे में एक "घोषणा" की आवश्यकता है। यदि वह घोषणा सत्य है, तो ForeReach खूबसूरती से काम करता है। यदि घोषणा गलत है, तो विधि कभी-कभी त्रुटि को पकड़ सकती है, लेकिन यह केवल डेटा को देखकर यह साबित नहीं कर सकती कि घोषणा सही है।

अंततः, यह कार्य हमें सिखाता है कि रोबोटिक्स की दुनिया में, "अधिक डेटा" हमेशा जादुई समाधान नहीं होता है। कभी-कभी, सबसे महत्वपूर्ण बात यह जानना होता है कि दुनिया किन नियमों का पालन करती है, विशेष रूप से उन स्थानों पर जहाँ हमने अभी तक नहीं देखा है। उन नियमों के बिना, सर्वश्रेष्ठ सुरक्षा निरीक्षक केवल इतना कह सकता है, "मुझे नहीं पता," और लेखकों का तर्क है कि यही एकमात्र ईमानदार उत्तर है।

तकनीकी सारांश: मॉडल विसंगति के तहत योजनाओं का प्रमाणन: दुर्लभ डेटा से पहुँच योग्यता के लिए एक त्रिशंकु (Trilemma)

समस्या विवरण
यह शोधपत्र वास्तविक दुनिया के रोबोटिक सिस्टम पर तैनाती के लिए निश्चित नियंत्रण अनुक्रमों (जैसे कि डिफ्यूजन पॉलिसी या $\pi_0$ जैसे सीखे गए नीतियों से प्राप्त एक्शन चंक्स) को प्रमाणित करने की चुनौती को संबोधित करता है, जहाँ डायनेमिक्स (dynamics) नाममात्र के सिमुलेशन मॉडल से भिन्न होते हैं। मुख्य कठिनाई तब उत्पन्न होती है जब लक्षित प्रणाली केवल पृथक एक-चरणीय संक्रमणों (one-step transitions) का एक विरल (sparse) सेट प्रदान करती है। इस सेटिंग में, एक प्रमाणक (certifier) को यह निर्धारित करना होगा कि क्या एक नियोजित प्रक्षेपवक्र (trajectory) अज्ञात मॉडल त्रुटि (रेसिड्यूअल/residual) के बावजूद सुरक्षित रहेगा, जहाँ यह त्रुटि नाममात्र मॉडल $f_0$ और वास्तविक लक्षित डायनेमिक्स $f^\star$ के बीच के अंतर को दर्शाती है।

लेखक एक मौलिक सीमा की पहचान करते हैं: देखे गए डेटा बिंदुओं से दूर, मॉडल त्रुटि देखे गए डेटा का उल्लंघन किए बिना एक छोटे पड़ोस के भीतर मनमाने ढंग से बदल सकती है। यदि मॉडल त्रुटि अप्रतिबंधित है, तो एक ही विरल डेटा के अनुरूप दो सुचारू (smooth) लक्षित प्रणालियाँ एक बार जब योजना अनऑब्जर्व्ड (unobserved) क्षेत्र में प्रवेश करती है, तो मनमाने ढंग से अलग हो सकती हैं। फलस्वरूप, कोई भी नियत प्रमाणक (deterministic certifier) जो समान रूप से सुदृढ़ (uniformly sound) है (अर्थात सभी सुसंगत प्रणालियों के लिए सुरक्षा की गारंटी देता है), उसे या तो प्रमाणन देने से मना करना होगा या एक अत्यंत विस्तृत प्रोजेक्टेड चौड़ाई वाला 'रीचेबल ट्यूब' (reachable tube) लौटाना होगा, जिससे प्रमाण पत्र सूचनात्मक नहीं रह जाता।

कार्यप्रणाली: ForeReach
लेखक ForeReach प्रस्तावित करते हैं, जो एक प्री-एग्जीक्यूशन प्रमाणक है जो साइड इन्फॉर्मेशन (side information) को शामिल करके इस सीमा का समाधान करता है। यह विधि निम्नलिखित ढांचे के तहत कार्य करती है:

साइड इन्फॉर्मेशन की आवश्यकता: ForeReach को एक निर्धारित प्रमाणन डोमेन ( $Z_{cert}$ ) पर मॉडल त्रुटि पर एक आपूर्ति किए गए घटक-वार लिप्सचिट्ज़ बाउंड ( $L$ ) की आवश्यकता होती है। यह बाउंड विरल डेटा से स्वतंत्र रूप से स्थापित किया जाना चाहिए (जैसे कि सीमित मापदंडों वाले विश्लेषणात्मक डायनेमिक्स या एक अलग रूप से प्रमाणित रेसिड्यूअल मॉडल के माध्यम से)।
पेयरवाइज कंसिस्टेंसी टेस्ट (Pairwise Consistency Test): प्रसार (propagation) से पहले, विधि यह जाँचती है कि क्या देखे गए रेसिड्यूअल जोड़े आपूर्ति किए गए लिप्सचिट्ज़ बाउंड का उल्लंघन करते हैं। यदि $|e_{r_i, k} - e_{r_j, k}| > \sum L_{k\ell}|z_{i,\ell} - z_{j,\ell}| + 2\sigma_k$ है, तो घोषणा को अस्वीकार कर दिया जाता है, और प्रमाणक इससे बचता है।
सेट-मेंबरशिप एनवेलप (Set-Membership Envelope): बाउंड के मान्य होने की स्थिति में, विधि प्रत्येक क्वेरी किए गए स्टेट-इनपुट सेट पर रेसिड्यूअल के लिए एक सेट-मेंबरशिप एनवेलप का निर्माण करती है। यह एनवेलप लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक (McShane extension) के माध्यम से विस्तारित अवलोकन-वार बाउंड और अवलोकन शोर (observation noise) बाउंड के प्रतिच्छेदन (intersection) द्वारा प्राप्त किया जाता है।
ज़ोनोटोपिक प्रोपेगेशन (Zonotopic Propagation): अनिश्चितता को नाममात्र मॉडल $f_0$ का उपयोग करके आगे बढ़ाया जाता है। रीचेबल सेट को एक ज़ोनोटोप (zonotope) के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें नाममात्र मैप एनक्लोजर (नॉनलीनियर रिमाइंडर टर्म्स के लिए इंटरवल हेसियन बाउंड का उपयोग करके) और रेसिड्यूअल एनवेलप शामिल है।
प्रमाणन तर्क (Certification Logic): प्रमाणक सुरक्षा प्रमाण पत्र तभी जारी करता है जब:
- प्रक्षेपवक्र प्रमाणन डोमेन ( $Z_{cert}$ ) के भीतर रहता है।
- रीचेबल ट्यूब का प्रत्येक प्रोजेक्टेड स्लाइस असुरक्षित सेट ( $O$ ) से बचता है।
- विधि तीन प्रकार के अपवर्जन (abstention) के बीच अंतर करती है: पेयरवाइज विरोधाभास ( $\perp_F$ ), डोमेन एग्जिट ( $\perp_D$ ), और सुरक्षा विफलता ( $\perp_S$ )।

प्रमुख योगदान

त्रिशंकु प्रमेय (The Trilemma Theorem): लेखक सीमित एक-चरणीय डेटा का उपयोग करने वाले नियत प्रमाणकों के लिए एक "त्रिशंकु" सिद्ध करते हैं। एक प्रमाणक एक साथ निम्नलिखित नहीं हो सकता:
- एक अप्रतिबंधित रेसिड्यूअल क्लास पर समान रूप से सुदृढ़ (uniformly sound)।
- $\bar{\rho}$ -सूचनात्मक (एक सीमित प्रोजेक्टेड चौड़ाई वाला ट्यूब लौटाना)।
- अवलोकनों से परे अप्रतिबंधित।
  वे आगे मॉडल त्रुटि के लिए बाउंडेड स्मूथ क्लासेस के लिए एक परिमित, प्लान-डिपेंडेंट लोअर बाउंड निकालते हैं, यह दिखाते हुए कि स्मूथनेस बाधाओं के बावजूद, डेटा-मुक्त अंतराल के कारण एक गैर-शून्य चौड़ाई अनिवार्य है।
ForeReach एल्गोरिदम: एक व्यावहारिक विधि जो आपूर्ति किए गए लिप्सचिट्ज़ बाउंड, पेयरवाइज कंसिस्टेंसी चेक और ज़ोनोटोपिक प्रोपेगेशन को जोड़ती है ताकि आपूर्ति किए गए डिक्लेरेशन की वैधता के अधीन प्रक्षेपवक्र कंटेनमेंट प्रदान किया जा सके।
अनुभवजन्य सत्यापन (Empirical Validation): दो बेंचमार्क सिस्टम (एक एफाइन पॉइंट-मास और एक छह-स्टेट डायनेमिक बाइसिकल) पर प्रयोगों से पता चलता है कि ForeReach unsupported प्लान्स पर सही ढंग से अपवर्जन (abstain) करता है (सुदृढ़ता सुनिश्चित करता है) जबकि प्रासंगिक टार्गेट डेटा उपलब्ध होने पर प्रमाणन को पुनः प्राप्त करता है।

प्रायोगिक परिणाम

पॉइंट-मास सिस्टम: ग्लोबल कैलिब्रेशन बेसलाइन ने अनसपोर्टेड प्लान्स को प्रमाणित किया लेकिन टार्गेट ट्रैजेक्टरीज को समाहित करने में विफल रही (0% कवरेज), जिसके परिणामस्वरूप उच्च 'फॉल्स-सेफ' दर मिली। ForeReach ने अनसपोर्टेड प्लान्स पर 100% कंप्लीट-ट्यूब कवरेज प्राप्त किया, जबकि कॉरिडोर-सपोर्टेड प्लान्स पर 99.8% सर्टिफाइड रिकॉल प्राप्त किया।
डायनेमिक-बाइसिकल सिस्टम: समान रुझान देखे गए। ग्लोबल कैलिब्रेशन और अन्य बेसलाइन्स (गौसियन प्रोसेस, कॉन्फॉर्मल मेथड्स) या तो अनइंफॉर्मेटिव ट्यूब्स उत्पन्न करते थे या अनसपोर्टेड क्षेत्रों में ट्रैजेक्टरीज को समाहित करने में विफल रहते थे। ForeReach ने अनसपोर्टेड प्लान्स पर 100% कवरेज बनाए रखा और $N=400$ सैंपल्स के साथ सपोर्टेड कॉरिडोर पर 98.3% सर्टिफाइड रिकॉल प्राप्त किया।
लर्न्ड एक्शन चंक्स: जब इसे सीखी गई नीति द्वारा उत्पन्न प्लान्स पर लागू किया गया, तो अपवर्जन दर (abstention rate) निकटतम अवलोकन से प्लान के नाममात्र रोलआउट की दूरी के साथ मजबूती से सह-संबंधित ( $\rho=0.697$ ) थी, जो प्रभावी रूप से डेटा के "सपोर्ट" को ट्रैक करती है।
गलत घोषणाएं (Incorrect Declarations): अध्ययन ने दिखाया कि यदि आपूर्ति किया गया लिप्सचिट्ज़ बाउंड बहुत छोटा है (रेगुलैरिटी को कम आंकना), तो पेयरवाइज टेस्ट पास हो सकता है (यदि कोई स्थानीय विरोधाभास नहीं है), लेकिन परिणामी ट्यूब वास्तविक प्रक्षेपवक्र को समाहित करने के लिए बहुत संकीर्ण हो सकती है, जिससे 'फॉल्स सर्टिफिकेट' मिल सकते हैं। यह रेखांकित करता है कि इसकी सुदृढ़ता (soundness) बाहरी डिक्लेरेशन की शुद्धता पर सशर्त है।

महत्व और दावे
शोधपत्र का दावा है कि विरल डेटा से योजनाओं को प्रमाणित करने की प्राथमिक सीमा डेटा की मात्रा नहीं है, बल्कि अनऑब्जर्व्ड क्षेत्रों में मॉडल त्रुटि पर प्रतिबंधों का अभाव है। लेखकों का तर्क है कि एक उपयोगी प्रमाण के लिए संरचनात्मक जानकारी (जैसे लिप्सचिट्ज़ बाउंड) की आवश्यकता होती है जो डेटा से बाहर से आपूर्ति की गई हो। जबकि डेटा एक गलत घोषणा को खंडित कर सकता है, यह अनऑब्जर्व्ड क्षेत्रों में एक सही घोषणा की पुष्टि नहीं कर सकता है।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

विरल, पृथक संक्रमणों के साथ डेटा-संचालित पहुँच योग्यता (reachability) की सैद्धांतिक सीमाओं (त्रिशंकु) को औपचारिक रूप देना।
एक ऐसी विधि प्रदान करना जो डेटा वितरण के वैश्विक गुणों को मानने के बजाय, साइड इन्फॉर्मेशन की वैधता के आधार पर सुदृढ़ता (soundness) और सूचनात्मकता (informativeness) के बीच स्पष्ट रूप से ट्रेड-ऑफ करती है।
यह प्रदर्शित करना कि जब प्लान डेटा सपोर्ट को छोड़ देता है, तो "अपवर्जन" (abstention) एक आवश्यक और सूचनात्मक परिणाम है, जो उन बेसलाइन्स के विपरीत है जो संकीर्ण लेकिन असुरक्षित (unsound) प्रमाण पत्र दे सकते हैं।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनका आश्वासन सशर्त है: प्रमाण पत्र केवल तभी वैध है जब आपूर्ति किया गया लिप्सचिट्ज़ बाउंड पूरे प्रमाणन डोमेन में लागू होता है। यह विधि बाउंड को विरल डेटा से सीखने के बजाय, इसका उपयोग एक सुदृढ़ एनवेलप बनाने के लिए करती है।

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