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Arithmetic Properties of Mixed Stirling Numbers of the second kind

यह शोध पत्र मिश्रित स्टर्लिंग संख्याओं (mixed Stirling numbers) के द्वितीय प्रकार के अंकगणितीय गुणों की जांच करता है, जिसमें उनके पुनरावृत्ति संबंधों (recurrence relations) और जनरेटिंग फलनों (generating functions) को स्थापित करना, $p$ और $p^2$ के मापांक (modulo) में उनके व्यवहार का विश्लेषण करना, और शास्त्रीय सेट विभाजन (classical set partitions) से भिन्न अद्वितीय संख्या-सिद्धांत संबंधी हस्ताक्षरों (number-theoretic signatures) को प्रकट करने के लिए शास्त्रीय टचर्ड सर्वांगसमता (Touchard congruence) का विस्तार करना शामिल है।

मूल लेखक: Daniel Yaqubi, Madjid Mirzavaziri

प्रकाशित 2026-08-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daniel Yaqubi, Madjid Mirzavaziri

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल पार्टी में हैं जहाँ हर कोई समूह बनाना चाहता है। गणित की दुनिया में, "स्टर्लिंग नंबर ऑफ द सेकंड काइंड" (Stirling numbers of the second kind) नामक एक क्लासिक खेल है। यह एक सरल प्रश्न का उत्तर देता है: यदि आपके पास अलग-अलग मेहमान हैं, तो आप उन्हें गैर-रिक्त (non-empty) समूहों में कितने अलग-अलग तरीकों से विभाजित कर सकते हैं? यह एक रात्रिभोज की पार्टी के लिए संभावित बैठने की व्यवस्था को गिनने जैसा है जहाँ मेज पर मेहमानों का क्रम मायने नहीं रखता, लेकिन कौन किसके साथ बैठता है, यह मायने रखता है।

अब, कल्पना कीजिए कि पार्टी थोड़ी जटिल हो जाती है। कुछ मेहमानों ने नेम टैग (लेबल) पहने हुए हैं, जबकि अन्य गुमनाम चेहरे (अनलेबल) हैं। शायद कुछ मेजें अलग-अलग रंगों के कारण विशिष्ट हैं, जबकि अन्य समान हैं। यह "मिक्स्ड पार्टीशन" (mixed partitions) की दुनिया है। गणितकार इन व्यवस्थाओं को "मिक्स्ड स्टर्लिंग नंबर्स" (mixed Stirling numbers) कहते हैं। वे यह गिन रहे हैं कि आप अपने मेहमानों को तब कैसे व्यवस्थित कर सकते हैं जब आपके पास लेबल किए गए और अनलेबल किए गए समूहों का मिश्रण हो।

कोई पार्टी व्यवस्थाओं को क्यों गिनना चाहता है? वास्तव में, ये संख्याएँ गिनती की समस्याओं का 'डीएनए' (DNA) हैं। वे कंप्यूटर विज्ञान, प्रायिकता (probability), और यहाँ तक कि यह समझने में भी दिखाई देते हैं कि संख्याएँ अभाज्य संख्याओं (primes जैसे 2, 3, 5, 7) द्वारा विभाजित होने पर कैसा व्यवहार करती हैं। यदि आप इन संख्याओं को "मॉड्यूलर अंकगणित" (modular arithmetic) के लेंस से देखते हैं—जो कि मूल रूप से विभाजन के बाद शेषफल (remainder) को देखना है—तो वे छिपे हुए पैटर्न और लय प्रकट करते हैं, लगभग एक गुप्त कोड की तरह। इन पैटर्न को समझना गणितज्ञों को जटिल प्रणालियों के व्यवहार, जैसे कि क्रिप्टोग्राफी से लेकर ब्रह्मांड की संरचना तक, की भविष्यवाणी करने में मदद करता है।

शोध पत्र की कहानी: मिक्स्ड पार्टियों के कोड को तोड़ना

इस शोध पत्र में, लेखक डैनियल याकुबी और मदिद मिर्जावजीरी इन "मिक्स्ड स्टर्लिंग नंबर्स" की गहराई में जाने का निर्णय लेते हैं। वे केवल पार्टियों की गिनती नहीं कर रहे हैं; वे इन संख्याओं के भीतर छिपे अंकगणितीय रहस्यों की जांच कर रहे हैं, विशेष रूप से यह देख रहे हैं कि क्या होता है जब आप इन गणनाओं को एक अभाज्य संख्या $p$ या उसके वर्ग $p^2$ से विभाजित करते हैं। इसे ऐसे समझें कि आप यह देख रहे हैं कि पार्टी के मेहमानों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 7, 49, या 121 के समूहों में गिनने पर एक विशिष्ट "शेषफल" छोड़ती है या नहीं।

लेखक एक ठोस नींव बनाने से शुरुआत करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि ये मिक्स्ड नंबर नियमों का एक विशिष्ट सेट का पालन करते हैं, जिसे "रिकरेंस रिलेशंस" (recurrence relations) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास $n$ मेहमानों वाली एक पार्टी है। यदि आप एक और मेहमान जोड़ते हैं, तो पार्टी को व्यवस्थित करने के तरीके यादृच्छिक (random) नहीं होते; वे सीधे तौर पर इस बात से संबंधित होते हैं कि आप $n-1$ मेहमानों के साथ पार्टी को कैसे व्यवस्थित कर सकते थे। शोध पत्र इस संबंध के लिए सटीक सूत्र लिखता है, जो दिखाता है कि पार्टी के "लेबल वाले" और "अनलेबल" हिस्से कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। वे एक "जेनरेटिंग फंक्शन" (generating function) भी प्रदान करते हैं, जो एक जादुई मशीन की तरह है जो, जब आप इसमें एक चर (variable) डालते हैं, तो हर पार्टी आकार के लिए सभी संभावित गणनाओं को एक साथ बाहर निकाल देती है।

हालाँकि, असली जादू तब होता है जब वे एक अभाज्य संख्या के मॉड्यूलो (modulo) में इन संख्याओं को देखते हैं। लेखक एक प्रसिद्ध पुराने नियम को आगे बढ़ाते हैं जिसे "टचर्ड कॉंग्रुएंस" (Touchard congruence) कहा जाता है। लंबे समय से, गणितज्ञों को पता था कि मानक पार्टी व्यवस्थाओं (जहाँ सभी समूह अनलेबल हैं) के लिए, $n+p$ मेहमानों को व्यवस्थित करने का तरीका $n$ और $n+1$ मेहमानों को व्यवस्थित करने के तरीकों से संबंधित होता है जब आप $p$ द्वारा विभाजन के बाद शेषफल देखते हैं। यह एक सुंदर, अनुमानित लय है।

याकुबी और मिर्जावजीरी दिखाते हैं कि यह लय केवल इसलिए गायब नहीं हो जाती क्योंकि हम लेबल किए गए और अनलेबल समूहों को मिला देते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि उनके "मिक्स्ड" पार्टियों के लिए, एक समान नियम लागू होता है। यदि आपके पास एक अभाज्य संख्या $p$ है, और आप $p+n$ मेहमानों को व्यवस्थित करने के तरीकों को देखते हैं, तो यह $n+1$ मेहमानों को व्यवस्थित करने के तरीकों के अनुरूप (congruent) होता है, बशर्ते समूहों की संख्या $p$ की तुलना में बहुत अधिक न हो। वे इस नियम को सिद्ध करने के लिए "फ्रोबेनियस डिफरेंशियल ऑपरेटर" (Frobenius differential operator) नामक एक चतुर गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं। आप इस ऑपरेटर को एक विशेष प्रकार के सूक्ष्मदर्शी (microscope) के रूप में देख सकते हैं जो संख्याओं की संरचना पर ज़ूम करता है और प्रकट करता है कि "लेबल वाले" और "अनलेबल" हिस्से इस तरह से एक साथ नृत्य करते हैं कि पुराना लय सुरक्षित रहता है।

यह शोध पत्र और गहराई में जाता है, यह देखते हुए कि क्या होता है जब आप $p^2$ (एक अभाज्य संख्या का वर्ग) से विभाजित करते हैं। यह केवल 7 के समूहों के लिए नहीं, बल्कि 49 के समूहों के लिए भी शेषफल की जाँच करने जैसा है। यहाँ, लेखक पाते हैं कि मिक्स्ड नंबरों का एक बहुत ही विशिष्ट "हस्ताक्षर" (signature) होता है। वे दिखाते हैं कि ये संख्याएँ $p$ से विभाज्य हैं, और वे $p^2$ से विभाजन के बाद शेषफल के लिए एक सटीक सूत्र देते हैं। यह शेषफल यादृच्छिक नहीं है; यह बर्नौली संख्याओं (Bernoulli numbers) और फर्माट कोशिएंट्स (Fermat quotients) जैसे अन्य प्रसिद्ध गणितीय स्थिरांकों से जुड़ा हुआ है। यह ऐसा है जैसे पार्टी व्यवस्था की गणना अभाज्य संख्याओं की मौलिक प्रकृति के बारे में एक रहस्य फुसफुसा रही हो।

सबसे रोमांचक निष्कर्षों में से एक यह है कि ये मिक्स्ड नंबर "p-adic निरंतरता" (p-adic continuity) के साथ व्यवहार करते हैं। यह एक फैंसी तरीका है यह कहने का कि यदि आप मेहमानों की संख्या को अभाज्य संख्या $p$ से संबंधित एक निश्चित मात्रा से बदलते हैं, तो गणना का शेषफल बेतरतीब ढंग से नहीं बदलता; यह सुचारू और अनुमानित रहता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि इन संख्याओं को एक निरंतर फलन (continuous function) में विस्तारित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि सही गणितीय लेंस के माध्यम से देखे जाने पर पार्टी के आकारों के बीच के अलग-अलग उछाल वास्तव में एक सुचारू वक्र (smooth curve) बनाते हैं।

शोध पत्र सबसे सरल मामले पर भी चर्चा करता है: 2 से विभाजित करने पर क्या होता है? वे दिखाते हैं कि इन मिक्स्ड व्यवस्थाओं की सम-विषमता (parity - यानी संख्या सम है या विषम) पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि आपके पास कितने लेबल वाले समूह हैं। यदि आपके पास तीन या अधिक लेबल वाले समूह हैं, तो व्यवस्थाओं की संख्या हमेशा सम (even) होती है। यदि आपके पास कम हैं, तो यह द्विपद गुणांकों (binomial coefficients) पर आधारित एक पैटर्न का अनुसरण करता है, जो वे संख्याएँ हैं जिन्हें आप पास्कल के त्रिकोण (Pascal's Triangle) में देखते हैं।

अंत में, लेखक भविष्य की ओर देखते हैं। वे नए "मिक्स्ड बेल नंबर्स" (Mixed Bell numbers) को परिभाषित करते हैं, जो मेहमानों की एक निश्चित संख्या के लिए सभी संभावित मिक्स्ड व्यवस्थाओं का कुल योग है। वे इन नए नंबरों के लिए सूत्र प्रदान करते हैं और सुझाव देते हैं कि वे संभवतः उन्हीं लयबद्ध पैटर्न का पालन करते हैं जिन्हें उन्होंने अभी खोजा है। वे यह दावा नहीं करते कि उन्होंने सब कुछ हल कर लिया है; इसके बजाय, वे भविष्य के शोधकर्ताओं के लिए इन नए नंबरों के परिवारों को तलाशने के लिए एक द्वार खोलते हैं, यह पूछते हुए कि क्या वे भी अभाज्य संख्याओं के रहस्य रखते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक क्लासिक गणना समस्या के एक जटिल, हाइब्रिड संस्करण को लेता है और दिखाता है कि यह अभी भी अपने सरल चचेरे भाई की तरह एक ही गणितीय गीत गाता है। यह सिद्ध करके कि ये मिक्स्ड व्यवस्थाएँ अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाजित होने पर अनुमानित नियमों का पालन करती हैं, लेखक ने यह दिखाने में योगदान दिया है कि संख्याएँ खुद को कैसे व्यवस्थित करती हैं। उन्होंने केवल पार्टियों की गिनती नहीं की है; उन्होंने उस संगीत को खोज निकाला है जिस पर पार्टियाँ नृत्य कर रही हैं।

तकनीकी सारांश: मिश्रित द्वितीय प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं (Mixed Stirling Numbers of the Second Kind) के अंकगणितीय गुण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र "मिश्रित द्वितीय प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं", जिन्हें $S(n; c)$ द्वारा दर्शाया गया है, के अंकगणितीय गुणों की जांच करता है। ये संख्याएँ शास्त्रीय द्वितीय प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं, $\left\{ \begin{smallmatrix} n \\ k \end{smallmatrix} \right\}$ , का सामान्यीकरण करती हैं, जो $n$ विशिष्ट तत्वों को $k$ गैर-रिक्त, अलंकृत (unlabeled) ब्लॉकों में विभाजित करने की गणना करती हैं। लेखक इसे एक "मिश्रित" अधिभोग (occupancy) समस्या तक विस्तारित करते हैं जहाँ लक्ष्य ब्लॉक दो प्रकार के होते हैं: $m$ अलंकृत गैर-रिक्त ब्लॉक और $k$ लेबल वाले (labeled) गैर-रिक्त ब्लॉक। इस विन्यास को वेक्टर $c = (m, 1^k)$ द्वारा कूटबद्ध किया जाता है। प्राथमिक उद्देश्य इन संख्याओं के व्यवहार का एक अभाज्य संख्या $p$ और उसकी उच्च घातों ( $p^2, p^3$ ) के संदर्भ में विश्लेषण करना है, विशेष रूप से टचार्ड सर्वांगति (Touchard congruence) और कुमर-प्रकार की सर्वांगतियों (Kummer-type congruences) जैसे शास्त्रीय परिणामों को इस मिश्रित ढांचे में विस्तारित करने की खोज में।

कार्यप्रणाली
लेखक संयोजन संबंधी विश्लेषण, जनरेटिंग फंक्शन्स (generating functions), और $p$ -एडिक संख्या सिद्धांत के संयोजन का उपयोग करते हैं।

संयोजन संबंधी व्युत्पत्ति (Combinatorial Derivations): मौजूदा या नए ब्लॉकों में $n$ -वें तत्व के स्थान पर विचार करके मौलिक पुनरावृत्ति संबंधों (recurrence relations) और स्पष्ट सूत्रों को व्युत्पन्न किया जाता है। लेखक पावर सीक्वेंस और द्विपद गुणांकों (binomial coefficients) को शामिल करने वाले स्पष्ट सूत्र स्थापित करने के लिए समावेश-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) का उपयोग करते हैं।
जनरेटिंग फंक्शन्स: इन संख्याओं के लिए घातांकीय जनरेटिंग फंक्शन्स (EGF) स्थापित किए गए हैं। विन्यास $c = (m, 1^k)$ के लिए, EGF को $\Phi_{m,k}(x) = \frac{(e^x - 1)^{m+k}}{m!}$ के रूप में पहचाना गया है। यह रूप लेखकों को मॉड्यूलर अंकगणित में घातांकीय फलन के गुणों का लाभ उठाने की अनुमति देता है।
$p$ -एडिक विश्लेषण: अंकगणितीय जांच का मुख्य आधार शास्त्रीय उपकरण हैं:
- लेजेंड्रे का सूत्र (Legendre's Formula) और कुमर का प्रमेय (Kummer's Theorem) फैक्टोरियल्स और द्विपद गुणांकों के $p$ -एडिक मान (valuations) निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
- फर्मेट कोशिएंट्स (Fermat Quotients) ( $q_p(j)$ ) और द्वितीय फर्मेट कोशिएंट्स ( $q_p^{(2)}(j)$ ) का उपयोग सर्वांगतियों को $p$ से $p^2$ और $p^3$ तक ले जाने (lift करने) के लिए किया जाता है।
- फ्रोबेनिअस डिफरेंशियल ऑपरेटर्स (Frobenius Differential Operators): लेखक जनरेटिंग फंक्शन्स पर ऑपरेटर $D^p \equiv D \pmod p$ लागू करके आवधिकता (periodicity) के परिणामों को प्राप्त करते हैं।
- बर्नौली संख्याएँ (Bernoulli Numbers): परिणाम शास्त्रीय बर्नौली संख्याओं ( $B_n$ ) और उनके कुमर-प्रकार के सर्वांगतियों के साथ जुड़े हुए हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

मौलिक गुण: यह शोध पत्र पुनरावृत्ति संबंध (प्रमेय 2.1) और स्पष्ट सूत्र (प्रमेय 2.3) स्थापित करता है। यह दर्शाता है कि इन संख्याओं को पावर सीक्वेंस के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो $p$ -एडिक इंटरपोलेशन की सुविधा प्रदान करता है। सेल मल्टीप्लिसिटी वेक्टर के परिपथों (permutations) के संबंध में इन संख्याओं की समरूपता को भी औपचारिक रूप दिया गया है (प्रस्ताव 2.5, लेम्मा 2.6)।
$p$ -एडिक मान (Valuations): लेखक मिश्रित स्टर्लिंग संख्याओं के $p$ -एडिक मान के लिए निचली सीमाएँ (lower bounds) प्राप्त करते हैं (प्रमेय 3.1, प्रमेय 3.2)। ये सीमाएँ समस्या को शास्त्रीय स्टर्लिंग संख्याओं और द्विपद गुणांकों के मानों तक कम कर देती हैं, जिससे यह सिद्ध होता है कि मिश्रित संख्याएँ अपने शास्त्रीय समकक्षों से विभाज्यता गुणों को विरासत में प्राप्त करती हैं।
$p$ और $p^2$ के मॉड्यूलो में सर्वांगति:
- टचार्ड-प्रकार की सर्वांगति: यह शोध पत्र शास्त्रीय टचार्ड सर्वांगति ( $B_{n+p} \equiv B_{n+1} + B_n \pmod p$ ) को मिश्रित ढांचे में विस्तारित करता है। प्रमेय 3.19 यह सिद्ध करता है कि $S(p+n; (m, 1^k)) \equiv S(n+1; (m, 1^k) \pmod p$ , बशर्ते $m+k < p$ हो। यह फ्रोबेनिअस डिफरेंशियल ऑपरेटर के तहत जनरेटिंग फंक्शन की अपरिवर्तनीयता के कारण है।
- मिरीमनॉफ-प्रकार की सर्वांगति: $n=p$ के लिए, लेखक $p^2$ के मॉड्यूलो में विशिष्ट सर्वांगतियों को व्युत्पन्न करते हैं (प्रमेय 3.5)। ये परिणाम $S(p; c)$ को स्टर्लिंग संख्याओं और द्विपद गुणांकों के पदों में व्यक्त करते हैं, और आगे उन्हें बर्नौली संख्याओं से जोड़ते हैं (समीकरण 11)।
- विशिष्ट मामले: कोरोलरी 3.6 विशिष्ट विन्यासों (जैसे, $k=2$ और $k=3$ ) के लिए स्पष्ट अवशेष (residues) प्रदान करता है, जो परिणामों को वोल्स्टनहोल्मे-प्रकार (Wolstenholme-type) और मिरीमनॉफ-प्रकार की सर्वांगतियों से जोड़ता है। विशेष रूप से, $k=2$ का मामला 2 के फर्मेट कोशिएंट के माध्यम से वीफरिक प्राइम्स (Wieferich primes) की अंकगणित से जुड़ा हुआ है।
उच्च क्रम की सर्वांगति और निरंतरता:
- प्रमेय 3.14 और कोरोलरी 3.15 प्रथम और द्वितीय फर्मेट कोशिएंट्स तथा सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं के संदर्भ में $p^3$ के मॉड्यूलो में विश्लेषण को विस्तारित करते हैं।
- सशर्त $p$ -एडिक निरंतरता: लेम्मा 3.12 एक विशिष्ट परिकल्पना के तहत अनुक्रम $S(n; c)$ की $p$ -एडिक निरंतरता स्थापित करता है। यह सिद्ध करता है कि यदि शास्त्रीय स्टर्लिंग संख्याएँ पर्याप्त बड़े $N$ के लिए $\left\{ \begin{smallmatrix} N + p^a(p-1) \\ k \end{smallmatrix} \right\} \equiv \left\{ \begin{smallmatrix} N \\ k \end{smallmatrix} \right\} \pmod {p^a}$ की संतुष्ट करती हैं, तो मिश्रित स्टर्लिंग संख्याएँ पर्याप्त बड़े $n$ के लिए $S(n + p^a(p-1); c) \equiv S(n; c) \pmod {p^a}$ को संतुष्ट करेंगी।
पैरिटी विश्लेषण (Parity Analysis): प्रस्ताव 3.18 मॉड्यूलो 2 के संबंध में इन संख्याओं के व्यवहार को स्पष्ट करता है, यह दिखाते हुए कि $k \ge 3$ के लिए ये संख्याएँ शून्य हो जाती हैं, जबकि $k=1, 2$ के लिए, वे सिएरपिंस्की गैस्केट (Sierpiński gasket) से संबंधित विशिष्ट द्विपद पैरिटी पैटर्न का पालन करती हैं।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि मिश्रित स्टर्लिंग संख्याओं के पास "शास्त्रीय सेट विभाजन से भिन्न अद्वितीय संख्या-सिद्धांत संबंधी हस्ताक्षर (signatures) हैं," फिर भी वे शास्त्रीय अनुक्रमों के साथ गहरे संरचनात्मक संबंध बनाए रखते हैं। इसका प्राथमिक महत्व टचार्ड सर्वांगति के सफल विस्तार और इस मिश्रित ढांचे के लिए मिरीमनॉफ-प्रकार की सर्वांगतियों के व्युत्पन्न में निहित है।

लेखक तर्क देते हैं कि अलंकृत ब्लॉकों का समावेश ( $1/m!$ द्वारा स्केलिंग) $p$ -एडिक मानों के साथ इस तरह से अंतःक्रिया करता है कि यह घातांकीय जनरेटिंग फंक्शन की अंतर्निहित फ्रोबेनिअस आवधिकता को सुरक्षित रखता है, बशर्ते कुल ब्लॉकों की संख्या $p$ से कम हो। यह एक व्यापक सिद्धांत का सुझाव देता है: वे संयोजन अनुक्रम जिनका घातांकीय जनरेटिंग फंक्शन $e^x - 1$ की घातों से निर्मित होता है और जिनके गुणांक $p$ -इंटीग्रल होते हैं, स्वाभाविक रूप से टचार्ड-प्रकार की सर्वांगति प्रदर्शित करते हैं।

इसके अलावा, यह कार्य मिश्रित विभाजनों और फर्मेट कोशिएंट्स एवं बर्नौली संख्याओं के सिद्धांत के बीच एक स्पष्ट अंकगणितीय सेतु स्थापित करता है। परिणाम संकेत देते हैं कि मिश्रित स्टर्लिंग संख्याओं का अंकगणित फर्मेट कोशिएंट $q_p(2)$ और $p$ -एडिक ज़ेटा फलन के स्थानीय मानों जैसे $p$ -एडिक मात्राओं के "संयोजन दर्पण" (combinatorial mirror) के रूप में कार्य करता है।

भावी दिशाएँ
शोध पत्र अनलैबल्ड ब्लॉक गणनाओं पर योग करते हुए नई "मिश्रित बेल संख्या" ( $MB_{n,k}$ और $TB_n$ ) परिवारों को परिभाषित करके समाप्त होता है। लेखक इन नई अनुक्रमों के मॉड्यूलर व्यवहार के विश्लेषण को एक खुला प्रश्न बताते हैं, यह नोट करते हुए कि उनके जनरेटिंग फंक्शन्स में गैर-तुच्छ हर (denominators) और विलक्षणताएं (singularities) हैं जो विशिष्ट अंकगणितीय हस्ताक्षरों को उत्पन्न कर सकती हैं, जो आगे के अन्वेषण की मांग करती हैं।

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