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Type C Richardson Boundaries and Newton-Okounkov Degenerations of Odd-Dimensional Projective Space

यह शोध पत्र टाइप $C_n$ रिचर्डसन सीमाओं (Richardson boundaries) और न्यूटन-ओकुन्कोव निकायों (Newton-Okounkov bodies) की गणना करके विषम-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस के दो मिरर-थ्योरेटिक डिजनरेशन चित्रों की तुलना करता है, जो अंततः उनके संबद्ध मान अर्धसमूहों (value semigroups) को न्यूटन बहुफलक के ध्रुवीय द्वैत (polar duals) के ऊपर के शंकुओं के लैटिस-पॉइंट अर्धसमूहों के रूप में पहचानता है और एक रैंक-वन वेट डिजनरेशन प्रदर्शित करता है जो इन दोनों टोरिक संरचनाओं को जोड़ता है।

मूल लेखक: Zhaoyang Liu

प्रकाशित 2026-08-12

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zhaoyang Liu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

दर्पण समरूपता की आकार-बदलती दुनिया

कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल, बहु-आयामी क्रिस्टल को देख रहे हैं। एक कोण से, यह एक पूर्ण, ज्यामितीय घन (cube) जैसा दिखता है। दूसरे कोण से, यह एक ऊबड़-खाबड़, जैविक चट्टान जैसा दिखता है। गणित की दुनिया में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry) नामक एक क्षेत्र में, इस तरह के आकार हर जगह हैं। इन आकारों को 'वेरिटीज' (varieties) कहा जाता है, जो इस गणितीय परिदृश्य में ब्रह्मांड के निर्माण खंड हैं। लेकिन यहाँ एक मोड़ है: गणितज्ञों ने खोजा है कि प्रत्येक जटिल आकार के लिए, एक "दर्पण" संस्करण होता है। यह बाथरूम के दर्पण में दिखने वाले प्रतिबिंब जैसा नहीं है, बल्कि एक गहरा, जादुई संबंध है जहाँ एक आकार के जटिल नियम उसके साथी के सरल नियमों में अनुवादित हो जाते हैं। इसे मिरर सिमेट्री (दर्पण समरूपता) कहा जाता है।

इन दर्पणों को समझने के लिए, गणितज्ञ एक उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे लैंडौ-गिंजबर्ग मॉडल (Landau–Ginzburg model) कहा जाता है। इसे एक रेसिपी या मानचित्र के रूप में सोचें। मानचित्र में एक परिदृश्य (एक वैरीटी) होता है और उस पर एक विशेष फलन (function) लिखा होता है, जिसे सुपरपोटेंशियल (superpotential) कहा जाता है। यह सुपरपोटेंशियल एक संगीत स्कोर की तरह है; इसके स्वर (मोनोमियल) और उनका विन्यास आपको उस आकार की छिपी हुई संरचना के बारे में सब कुछ बताते हैं। अक्सर, ये मानचित्र एक ग्रिड पर बनाए जाते हैं, और ग्रिड के आकार को न्यूटन पॉलीटोप (Newton polytope) कहा जाता है। यह आकार द्वारा डाली गई छाया की तरह है; यदि आप छाया को जानते हैं, तो आप अक्सर उस वस्तु का पता लगा सकते हैं जिसने उसे बनाया है।

कोई इसकी परवाह क्यों करता है? क्योंकि ये दर्पण हमें उन समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं जो मूल आकार में सुलझाना असंभव है। यदि कोई आकार सीधे समझने के लिए बहुत अधिक घुमावदार या उलझा हुआ है, तो उसका दर्पण एक सरल, सपाट ग्रिड हो सकता है जिसे पढ़ना आसान है। यह शोध पत्र एक विशिष्ट, कठिन आकार: विषम-विमीय प्रोजेक्टिव स्पेस (odd-dimensional projective space) की जांच करता है। यह परिचित प्रोजेक्टिव प्लेन का एक उच्च-विमीय संस्करण है जिसे आप कला या ज्यामिति की कक्षा में देख सकते हैं। प्रश्न यह है: यदि हम इस आकार को दो अलग-अलग गणितीय लेंसों के माध्यम से देखते हैं, तो क्या हमें एक ही दर्पण प्राप्त होगा? या क्या एक ही कमरे में दो अलग-अलग दर्पण छिपे हुए हैं?

एक ही क्षेत्र के लिए दो मानचित्र

इस शोध पत्र में, लेखक, झाओयांग लियू (Zhaoyang Liu), एक विशिष्ट गणितीय वस्तु की जांच करते हैं: विषम-विमीय प्रोजेक्टिव स्पेस, जिसे $P^{2n-1}$ के रूप में दर्शाया गया है। इस स्थान को एक विशाल, बहु-आयामी खेल के मैदान के रूप में सोचें। शोध पत्र पूछता है: "यदि हम दो अलग-अलग ब्लूप्रिंट का उपयोग करके इस खेल के मैदान के लिए एक दर्पण बनाते हैं, तो क्या हमें अंततः एक ही दर्पण प्राप्त होगा?"

पहला ब्लूप्रिंट शास्त्रीय टोरिक मिरर (classical toric mirror) है। यह वह "मानक" तरीका है जिससे गणितज्ञ दशकों से दर्पण बनाते आए हैं। यह खेल के मैदान को निर्देशांकों (coordinates) के एक ग्रिड के रूप में मानता है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुत ही परिचित, सममित दर्पण प्राप्त होता है। इस दर्पण के लिए सुपरपोटेंशियल (संगीत स्कोर) चरों का एक सरल योग और एक कठिन भिन्न (fraction) है।

दूसरा ब्लूप्रिंट ली थ्योरी (Lie theory) नामक एक अधिक विलक्षण स्रोत से आता है, विशेष रूप से रीच (Rietsch) द्वारा किया गया एक निर्माण। यह दृष्टिकोण खेल के मैदान को केवल एक ग्रिड के रूप में नहीं, बल्कि एक विशेष प्रकार के सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस (एक विशिष्ट प्रकार के "ट्विस्ट" वाला स्थान) के समरूपता से संबंधित स्थान के रूप में मानता है। यह विधि एक अलग सीमा (boundary)—एक अलग सेट की दीवारें जो खेल के मैदान को परिभाषित करती हैं—और एक अलग, अधिक जटिल सुपरपोटेंशियल उत्पन्न करती है।

शोध पत्र की मुख्य खोज यह है कि हालांकि ये दोनों दर्पण सतह पर अलग दिखते हैं, लेकिन वे वास्तव में एक ही सिक्के के दो पहलू हैं। लेखक सिद्ध करता है कि ली थ्योरी दृष्टिकोण से प्राप्त "जटिल" दर्पण को "सरल" टोरिक दर्पण में बदला जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब आप खेल के मैदान को एक विशिष्ट, चतुर लेंस के माध्यम से देखें जिसे न्यूटन-ओकुनकोव बॉडी (Newton–Okounkov body) कहा जाता है।

लेंस का जादू

इन दो दुनियाओं को जोड़ने के लिए, लेखक एक विशेष "फ्लैग वैल्यूएशन (flag valuation)" का निर्माण करता है। कल्पना कीजिए कि आप एक प्याज छील रहे हैं, लेकिन परतों के बजाय, आप विशिष्ट नियमों के आधार पर गणितीय आकार की परतों को हटा रहे हैं। आप पूरे आकार से शुरू करते हैं, फिर एक घुमावदार द्विघात सतह (एक उच्च-विमीय भव्य परबोला) के साथ उसे काटते हैं, फिर उस काट को एक तल (plane) के साथ काटते हैं, और इसी तरह तब तक करते हैं जब तक कि आप एक एकल बिंदु पर नहीं पहुँच जाते।

यह ट्रैक करते हुए कि फलन कैसे गायब (vanish) होते हैं जैसे-जैसे आप इन परतों को हटाते हैं, लेखक नए निर्देशांकों का एक सेट बनाता है। जब आप जटिल ली-थ्योरेटिक दर्पण को इन नए निर्देशांकों में अनुवादित करते हैं, तो कुछ जादुई होता है: जटिल, अव्यवधर बहुपद अचानक एक ऐसे आकार में बदल जाता है जो सरल टोरिक दर्पण की छाया से पूरी तरह मेल खाता है।

शोध पत्र स्पष्ट रूप से ली-थ्योरेटिक दृष्टिकोण के लिए "सीमा" (boundary) की गणना करता है। यह पता चलता है कि यह सीमा केवल सपाट दीवारों का समूह नहीं है जैसे कि मानक टोरिक सीमा होती है। इसमें दो सपाट दीवारें और $n-1$ घुमावदार, द्विघात दीवारें शामिल हैं। लेखक सिद्ध करता है कि ली-थ्योरेटिक दर्पण का "साया" (न्यूटन पॉलीटोप), इस नए लेंस के माध्यम से देखे जाने पर, बिल्कुल वही है जो मानक टोरिक दर्पण के साये का है।

डिजनरेशन (Degenerations) के साथ बिंदुओं को जोड़ना

शोध पत्र केवल यह नहीं कहता कि "वे समान हैं"; यह दिखाता है कि वे डिजनरेशन (degeneration) नामक प्रक्रिया का उपयोग करके कैसे समान हैं। डिजनरेशन को एक स्लो-मोशन फिल्म के रूप में सोचें जहाँ एक आकार दूसरे में बदल जाता है।

मानक टोरिक डिजनरेशन: यदि आप मानक ग्रिड निर्देशांकों का उपयोग करते हैं, तो खेल का मैदान एक मानक टोरिक वैरीटी में बदल जाता है। यह "उबाऊ" लेकिन अच्छी तरह से समझा गया मार्ग है।
टाइप सी (Type C) डिजनरेशन: यदि आप नए, घुमावदार सीमा और विशेष छीलने वाले लेंस (फ्लैग वैल्यूएशन) का उपयोग करते हैं, तो खेल का मैदान एक अलग टोरिक वैरीटी में बदल जाता है। हालाँकि, लेखक सिद्ध करता है कि इस नई वैरीटी का "साया" गणितीय रूप से मानक वाले के साये के समान है।
रैंक-वन ब्रिज (Rank-One Bridge): संभवतः शोध पत्र का सबसे चंचल हिस्सा तीसरा डिजनरेशन है। लेखक ली-थ्योरेटिक दर्पण की जटिल, घुमावदार सीमा को सरल, सपाट टोरिक सीमा में बदलने का एक तरीका दिखाता है बिना खेल के मैदान को बदले। यह एक डगमगाते, घुमावदार तंबू को धीरे-धीरे रस्सी खींचकर एक पूर्ण, सपाट पिरामिड में बदलने जैसा है, जबकि नीचे की जमीन बिल्कुल वैसी ही रहती है।

इसका क्या अर्थ है

शोध पत्र पुष्टि करता है कि विषम-विमीय प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए "ली-थ्योरेटिक मिरर" और "टोरिक मिरर" प्रतिद्वंद्वी नहीं, बल्कि साथी हैं। वे एक ही अंतर्निहित वास्तविकता का वर्णन करते हैं। लेखक इन दोनों को सिद्ध करने के लिए सटीक गणितीय सूत्र (सुपरपोटेंशियल) और सटीक आकार (पॉलीटोप्स) प्रदान करता है।

शोध पत्र इस विचार को खारिज करता है कि ये दो मौलिक रूप से भिन्न, असंगत विवरण हैं। इसके बजाय, यह दिखाता है कि वे एक विशिष्ट लैट्टिस ट्रांसफॉर्मेशन (निर्देशांक ग्रिड का पुनर्गठन) और एक निरंतर विरूपण (deformation) द्वारा जुड़े हुए हैं। यहाँ आत्मविश्वास उच्च है; लेखक कठोर प्रमाण, सीमाओं के लिए स्पष्ट गणनाएँ प्रदान करता है, और उन फ्लैट डिजनरेशन के अस्तित्व को प्रदर्शित करता है जो उन्हें जोड़ते हैं।

संक्षेप में, शोध पत्र एक जटिल, उच्च-विमीय गणितीय वस्तु को लेता है, उसके दर्पण का वर्णन करने के दो अलग-अलग तरीके खोजता है, और फिर एक पुल बनाता है जो यह दिखाता है कि ये दो विवरण वास्तव में एक ही चीज़ हैं, बस अलग-अलग कोणों से देखी गई हैं। यह गणित में एकता की एक कहानी है, जो सिद्ध करती है कि भले ही रास्ता अलग दिखे, मंजिल वही रहती है।

तकनीकी सारांश: विषम-आयामी प्रक्षेपिक स्थान (Projective Space) के प्रकार C रिचर्डसन सीमाएँ और न्यूटन-ओकुनकोव विघटन (Newton–Okounkov Degenerations)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र विषम-आयामी प्रक्षेपिक स्थान, $P^{2n-1}$ के मिरर सिमिट्री (mirror symmetry) की जांच करता है, जिसमें दो अलग-अलग मिरर-सैद्धांतिक निर्माणों की तुलना की गई है।

टोरिक दृष्टिकोण (Toric Viewpoint): $P^{2n-1}$ को एक टोरिक वैराइटी के रूप में देखते हुए, यह शास्त्रीय टोरिक मिरर प्रदान करता है, जो एक मानक टोरिक बाउंड्री डैविज़र $D_{\text{tor}}$ और एक संगत लाउरेंट बहुपद सुपरपोटेंशियल $W_{\text{tor}}$ द्वारा अभिलक्षित है।
ली-सैद्धांतिक दृष्टिकोण (Lie-Theoretic Viewpoint): $P^{2n-1}$ को प्रकार $C_n$ के होमोजेनियस स्पेस $Sp_{2n}/P_1$ के रूप में देखते हुए, यह रीच (Rietsch) के ली-सैद्धांतिक ढांचे के माध्यम से एक भिन्न मिरर निर्माण प्रस्तुत करता है। यह दृष्टिकोण मूल स्थान पर एक भिन्न एंटी-कैनोनिकल बाउंड्री $D_C$ को परिभाषित करता है और ड्यूल ऑड क्वाड्रिक (dual odd quadric) के भीतर एक लुस्टिग टॉरस (Lusztig torus) पर एक सुपरपोटेंशियल $W_{\text{Lus}}$ को परिभाषित करता है।

केंद्रीय समस्या इन ली-सैद्धांतिक वस्तुओं ( $D_C$ और $W_{\text{Lus}}$ ) की स्पष्ट गणना करना और दोनों मिरर चित्रों के बीच एक सटीक ज्यामितीय संबंध स्थापित करना है। विशेष रूप से, लेखक यह प्रदर्शित करने का प्रयास करते हैं कि दोनों विवरण एक ही प्रक्षेपिक स्थान के टोरिक विघटन (toric degenerations) की ओर ले जाते हैं, जो ली-सैद्धांतिक सुपरपोटेंशियल के न्यूटन पॉलीटोप के पोलर ड्यूल (polar dual) द्वारा नियंत्रित होता है, और दोनों बाउंड्री डैविज़रों को जोड़ने वाला एक रैंक-एक विघटन (rank-one degeneration) पहचानते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
यह शोध पत्र ली थ्योरी, बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry), और न्यूटन-ओकुनकोव निकायों (Newton–Okounkov bodies) के सिद्धांत के संयोजन का उपयोग करता है।

सीमाओं की स्पष्ट गणना: लेखक $P^{2n-1}$ पर प्रकार $C_n$ बाउंड्री $D_C$ का निर्माण $P_1$ से जुड़े ओपन रिचर्डसन लोकस (open Richardson locus) के पूरक का विश्लेषण करके करते हैं। इसमें एक विशिष्ट मानचित्र $\eta$ का, जो एक यूनिलोटेंट सबग्रुप इंटरसेक्शन से प्रक्षेपिक स्थान तक जाता है, इमेज की गणना करना शामिल है, जिसमें गॉस फैक्टराइजेशन मानदंड और सिम्प्लेक्टिक ग्रुप $Sp_{2n}$ के गुणों का उपयोग किया गया है।
सुपरपोटेंशियल गणना: ड्यूल साइड ( $SO_{2n+1}/P^\vee_1$ ) पर, सुपरपोटेंशियल की गणना एक लुस्टिग टॉरस पर रीच के पोटेंशियल को प्रतिबंधित करके की जाती है। यह टॉरस एक रिड्यूस्ड वर्ड $(1, 2, \dots, n-1, n, n-1, \dots, 1)$ द्वारा पैरामीट्राइज्ड है। गणना में मिरर फाइबर के यूनिलोटेंट फैक्टर्स के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक ट्राइएंगुलर फैक्टराइजेशन समस्या को हल करना शामिल है।
न्यूटन-ओकुनकोव विघटन: लेखक $P^{2n-1}$ पर एक एडमिसिबल फ्लैग (admissible flag) $Y_\bullet$ का निर्माण करते हैं जो $D_C$ के अनुकूल है। यह फ्लैग उच्चतम-डिग्री द्विघात कारक $F_{n-1}=0$ द्वारा परिभाषित क्वाड्रिक हाइपरसरफेस $Q_{n-1}$ से शुरू होता है, और क्रमवार रूप से कोऑर्डिनेट हाइपरप्लेन ( $p_m=0$ और $p_{N-m}=0$ ) के माध्यम से आगे बढ़ता है, और अंततः एक स्मूथ क्वाड्रिक सतह पर समाप्त होता है। एक फ्लैग वैल्यूएशन $\nu_{\text{flag}}$ इस अनुक्रम के आधार पर परिभाषित किया गया है।
सेमीग्रुप की पहचान: फ्लैग वैल्यूएशन के वैल्यू सेमीग्रुप की गणना की जाती है और इसे ली-सैद्धांतिक सुपरपोटेंशियल के एक्सपोनेंट लैटिस के साथ तुलना किया जाता है। लेखक वैल्यूएशन डेटा को $W_{\text{Lus}}$ के न्यूटन पॉलीटोप के साथ संरेखित करने के लिए एक लैटिस परम्यूटेशन $\sigma$ और एक डिग्री-ऑगमेंटेड मैप $\Sigma$ का उपयोग करते हैं।
रैंक-वन विघटन: एक वेट वेक्टर चुना जाता है जो प्रकार $C_n$ बाउंड्री बहुपद को मानक टोरिक बाउंड्री बहुपद में विघटित (degenerate) करता है, जबकि एम्बिएंट स्पेस को स्थिर रखता है।

मुख्य परिणाम

स्पष्ट सूत्र (प्रमेय 1.1):
- प्रकार $C_n$ बाउंड्री $D_C$ को $p_0 p_N \prod_{r=1}^{n-1} F_r$ के शून्य होने द्वारा परिभाषित रिड्यूस्ड डैविज़र के रूप में पहचाना गया है, जहाँ $F_r$ स्पष्ट द्विघात बहुपद हैं: $F_r = \sum_{j=0}^r (-1)^j p_{r-j} p_{N-r+j}$ ।
- लुस्टिग टॉरस (निर्देशांक $a_1, \dots, a_{n-1}, b, c_{n-1}, \dots, c_1$ ) पर ली-सैद्धांतिक सुपरपोटेंशियल है:
  $W_{\text{Lus}} = \sum_{i=1}^{n-1} (a_i + c_i) + b + \frac{q(a_1 + c_1)}{a_1 \cdots a_{n-1} b^2 c_{n-1} \cdots c_1}$
  (जहाँ $q$ क्वांटम पैरामीटर है)।
न्यूटन-ओकुनकोव बॉडी और टोरिक विघटन (प्रमेय 1.2 और कोरोलरी 1.3):
- एक एडमिसिबल फ्लैग $Y_\bullet$ का निर्माण किया गया है ताकि संबद्ध फ्लैग वैल्यूएशन का डिग्री-ऑगमेंटेड वैल्यू सेमीग्रुप, एक यूनिमॉडुलर लैटिस ट्रांसफॉर्मेशन $\Sigma$ के बाद, $W_{\text{Lus}}$ के न्यूटन पॉलीटोप के पोलर ड्यूल $P_n^\vee$ के ऊपर स्थित शंकु (cone) के लैटिस पॉइंट्स के साथ पहचाना जा सके।
- विशेष रूप से, $\Sigma(S_{\text{flag}}) = S_n = \{(k, m) : k \ge 0, m \in k P_n^\vee \cap \mathbb{Z}^{2n-1}\}$ ।
- यह एक फ्लैट टोरिक विघटन $P^{2n-1} \rightsquigarrow \text{Proj } \mathbb{C}[S_n]$ स्थापित करता है, जहाँ स्पेशल फाइबर $P_n^\vee$ के नॉर्मल फैन (equivalently, the face fan of $\text{Newt}(W_{\text{Lus}})$ ) से जुड़ी टोरिक वैराइटी है।
रैंक-वन बाउंड्री विघटन (अनुभाग 4.5):
- एक रैंक-वन वेट वैल्यूएशन का निर्माण किया गया है जो $(P^{2n-1}, D_C)$ युग्म को $(P^{2n-1}, D_{\text{tor}})$ में विघटित करता है। यह विघटन एम्बिएंट प्रक्षेपिक स्थान को स्थिर रखते हुए एंटी-कैनोनिकल बाउंड्री को प्रकार $C_n$ कॉन्फ़िगरेशन से मानक टोरिक कॉन्फ़िगरेशन में बदल देता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र एक ही विषम-आयामी प्रक्षेपिक स्थान के लिए दो अलग-अलग टोरिक विघटन चित्रों को प्रदान करने का दावा करता है, जो अलग-अलग मिरर-सैद्धांतिक मूल (टोरिक ज्यामिति बनाम ली थ्योरी) से प्राप्त होते हैं।

यह सामान्य विषम आयामों के लिए अज्ञात प्रकार $C_n$ बाउंड्री और संगत लुस्टिग-टॉरस सुपरपोटेंशियल को स्पष्ट रूप से कंप्यूट करता है।
यह प्रदर्शित करता है कि ली-सैद्धांतिक बाउंड्री से जुड़ा न्यूटन-ओकुनकोव बॉडी, ली-सैद्धांतिक सुपरपोटेंशियल के न्यूटन पॉलीटोप के पोलर ड्यूल के बराबर है, जिससे ज्यामितीय विघटन को मिरर पोटेंशियल से सीधे जोड़ा जाता है।
यह टोरिक केस से परे होमोजेनियस स्पेस के लिए मिरर सिमिट्री की समझ को विस्तृत करता है, यह दिखाते हुए कि कैसे ली-सैद्धांतिक निर्माण ठोस टोरिक विघटन प्रदान करते हैं।
शोध पत्र नोट करता है कि जबकि $n=2$ केस ( $P^3$ ) को टिलमैन-मॉरिस के अप्रकाशित कार्य में आंशिक रूप से खोजा गया था, यह शोध पत्र मनरूपी (arbitrary) विषम आयामों $2n-1$ के लिए सूत्र और विघटन तंत्र को सामान्यीकृत करता है।
लेखक एक प्रश्न उठाते हैं कि क्या उपयोग किया गया विशिष्ट फ्लैग वैल्यूएशन क्लस्टर-थ्योरेटिक व्याख्या (cluster-theoretic interpretation) स्वीकार करता है, जो ग्रासमैनियन्स (Grassmannians) पर हाल के कार्यों के साथ समानता दर्शाता है, लेकिन वे इस प्रश्न को पाठ के भीतर हल नहीं करते हैं।

परिणाम कठोर बीजगणितीय गणनाओं और ज्यामितीय निर्माणओं के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, जो रिचर्डसन वैराइटीज़, न्यूटन-ओकुनकोव निकायों और टोरिक विघटनों के स्थापित सिद्धांतों पर आधारित हैं, बिना किसी नए प्रायोगिक अनुप्रयोगों या अपुष्ट भविष्य के निहितार्थों का प्रस्ताव किए।

दर्पण समरूपता की आकार-बदलती दुनिया

एक ही क्षेत्र के लिए दो मानचित्र

लेंस का जादू

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