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Weight Certificates for Convex Multi-Objective MPC: Geometric Characterization, $\ell^1$ Construction, and $\ell^2$ Foreclosure

यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि जबकि भारित-योग (weighted-sum) सन्निकटन विशिष्ट ज्यामितीय स्थितियों और हिंज दंडों (hinge penalties) के तहत लेक्सिकोग्राफिक मल्टी-ऑब्जेक्टिव MPC समाधानों की सटीक रूप से नकल कर सकते हैं, परिणामी वैध भार अत्यधिक क्षणिक और परिदृश्य-निर्भर होते हैं, जो स्थिर भार ट्यूनिंग के बजाय चयनात्मक कैस्केड फॉलबैक के साथ निगरानीकृत भारित समाधानों को आवश्यक बनाते हैं।

मूल लेखक: Hadi Hajieghrary, Benedikt Walter, Chaitanya Shinde, Miguel Hurtadoand Jerry Lopez

प्रकाशित 2026-08-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hadi Hajieghrary, Benedikt Walter, Chaitanya Shinde, Miguel Hurtadoand Jerry Lopez

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक अंतरिक्ष यान के कप्तान हैं जो एक व्यस्त स्पेस स्टेशन पर उतरने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास एक नियम पुस्तिका है जो आपको बताती है कि आपको कैसा व्यवहार करना चाहिए, लेकिन उन नियमों में एक सख्त पदानुक्रम (hierarchy) है। सबसे पहले, आपको कभी दुर्घटना नहीं करनी चाहिए (सुरक्षा)। दूसरा, आपको ट्रैफिक लेन और गति सीमा का पालन करना चाहिए (कानूनी)। तीसरा, आपको यात्रियों को झटके दिए बिना सुचारू रूप से उतरने का प्रयास करना चाहिए (आराम)। यदि आपको आराम के नियम को तोड़ने और कानूनी नियम को तोड़ने के बीच चयन करना पड़ता है, तो आपको हमेशा आराम के नियम को तोड़ना चाहिए। यदि आपको कानूनी नियम को तोड़ने और दुर्घटना होने के बीच चयन करना पड़ता है, तो आपको कानून तोड़ने के बजाय दुर्घटना को चुनना चाहिए? नहीं, आपको हमेशा उस पथ को चुनना चाहिए जो सबसे कम महत्वपूर्ण नियम को तोड़ता है। इसे लेक्सिकोग्राफिक ऑप्टिमाइज़ेशन (lexicographic optimization) कहा जाता है: एक सख्त, "सुरक्षा-प्रथम" व्यवस्था जहाँ उच्च-प्राथमिकता वाले लक्ष्यों को पूरी तरह से संतुष्ट किया जाता है, इससे पहले कि निचले स्तर के लक्ष्यों पर विचार भी किया जाए।

एक रोबोट कार या अंतरिक्ष यान को यह करने के लिए, इंजीनियर मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (MPC) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं। MPC को एक सुपर-फास्ट क्रिस्टल बॉल की तरह समझें जो कुछ सेकंड भविष्य में देखती है, विभिन्न पथों को आज़माती है, और सबसे अच्छा पथ चुनती है। समस्या यह है कि इस "सख्त पदानुक्रम" वाली गणित को पूरी तरह से करना अविश्वसनीय रूप से धीमा है। यह एक पहेली को हल करने जैसा है जहाँ आप हर एक संभावना को एक-एक करके जाँचते हैं, जिसमें बहुत समय लगता है, जबकि कार 60 मील प्रति घंटे की रफ्तार से चल रही हो। इसलिए, इंजीनियर आमतौर पर एक अनुमान का उपयोग करते हैं। वे एक वेटेड सम (weighted sum) का उपयोग करते हैं: वे सुरक्षा नियम को एक बहुत बड़ी संख्या, कानूनी नियम को एक मध्यम संख्या, और आराम के नियम को एक छोटी संख्या देते हैं। उन्हें उम्मीद होती है कि यदि सुरक्षा की संख्या काफी बड़ी है (जैसे 1,000,000), तो कंप्यूटर स्वाभाविक रूप से सुरक्षा को प्राथमिकता देगा। लेकिन क्या यह "अनुमान" वास्तव में सुरक्षित है? क्या यह वास्तव में वही परिणाम देता है जो धीमा, सटीक तरीका देता है? यही वह बड़ा सवाल है जिसकी यह शोध पत्र जांच करता है।

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक है "वेट सर्टिफिकेट्स फॉर कॉनवेक्स मल्टी-ऑब्जेक्टिव MPC (Weight Certificates for Convex Multi-Objective MPC)", इस बात का गहराई से उत्तर देने के लिए गणित में उतरता है: क्या हम "बड़ी संख्या" वाले अनुमान पर भरोसा कर सकते हैं, या यह विफल हो जाता है?

लेखकों ने, nuPlan नामक एक कंप्यूटर सिमुलेशन में एक रिसर्च प्रोटोटाइप के साथ काम करते हुए, पाया कि इन नंबरों को सेट करने का सामान्य तरीका अक्सर गलत होता है। उन्होंने पाया कि केवल सुरक्षा संख्या को कानूनी संख्या से "बहुत बड़ा" बनाना (जिसे "सेपरेशन ह्यूरिस्टिक" नामक एक नियम का पालन करना कहा जाता है) वास्तव में यह गारंटी नहीं देता कि रोबोट सख्त प्राथमिकता नियमों का पालन करेगा। वास्तव में, कुछ विशेष प्रकार के गणितीय दंडों (विशेष रूप से स्क्वेयर्ड पेनल्टी/वर्ग दंड) के लिए, यदि कोई नियम टूट रहा है, तो अनुमान को पूरी तरह से काम करने के लिए एक परिमित (finite) संख्या ढूँढना गणितीय रूप से असंभव है।

केवल अनुमान लगाने के बजाय, लेखकों ने एक ज्यामितीय मानचित्र (geometric map) बनाया। कल्पना कीजिए कि रोबोट के ड्राइविंग के संभावित परिणाम अंतरिक्ष में एक आकार के रूप में हैं। "परफेक्ट" पथ इस आकार के किनारे पर एक विशिष्ट बिंदु है। लेखकों ने सिद्ध किया कि "अनुमान" (वेटेड सम) के काम करने के लिए, आपके द्वारा चुने गए नंबरों को एक बहुत ही विशिष्ट दिशा में संकेत करना चाहिए—जैसे कि एक दिशा-सूचक यंत्र की सुई ठीक उस परफेक्ट बिंदु की ओर इशारा कर रही हो। वे इसे एक "वेट सर्टिफिकेट (weight certificate)" कहते हैं।

उनके सिमुलेशन में उन्हें क्या मिला:

पुराना तरीका त्रुटिपूर्ण है: मानक तरीका जिसमें सुरक्षा, कानूनी और आराम के लिए 1000, 100 और 10 जैसे वेट का उपयोग किया जाता है, अक्सर विफल हो जाता है। कई ड्राइविंग परिदृश्यों में, सख्त नियमों से मेल खाने के लिए आवश्यक "परफेक्ट" वेट वास्तव में एक-दूसरे के बहुत करीब थे, जैसे कि 1, 1, और 1, या 2, 1, और 1। पुराना तरीका सुरक्षा को इस तरह से अत्यधिक प्राथमिकता दे रहा था जिसने वास्तव में समग्र योजना को नुकसान पहुँचाया।
"अनुमान" वाली गणित: एक विशिष्ट प्रकार के गणितीय दंड (स्क्वेयर्ड पेनल्टी) का उपयोग करते समय, लेखकों ने सिद्ध किया कि चाहे आप सुरक्षा संख्या को कितना भी बड़ा क्यों न बना दें, यदि रोबोट को एक नियम तोड़ने के लिए मजबूर किया जाता है, तो आप कभी भी पूर्ण परिणाम प्राप्त नहीं कर सकते। उल्लंघन छोटा होता जाएगा, लेकिन कभी शून्य नहीं होगा। यह एक छेद वाले बाल्टी को भरने की कोशिश करने जैसा है; आप पानी तेजी से डाल सकते हैं, लेकिन आप इसे कभी पूरा नहीं भर पाएंगे।
समाधान (द सर्टिफिकेट): लेखकों ने एक नई विधि बनाई जो एक विशिष्ट ड्राइविंग स्थिति के लिए सटीक नंबरों की गणना करती है। वे इसे "सर्टिफिकेट" कहते हैं। यह एक पासपोर्ट की तरह है जो कहता है, "ये विशिष्ट नंबर इस विशिष्ट मोड़ के लिए काम करेंगे।"
पकड़ (यह टिकता नहीं है): सबसे आश्चर्यजनक खोज यह है कि ये "सर्टिफिकेट" बहुत कम समय के लिए होते हैं। उनके सिमुलेशन में, एक सेट परफेक्ट नंबर जो एक पल (0.1 सेकंड) के लिए काम करता था, वह अक्सर अगले ही पल काम करना बंद कर देता था। "एक्टिव सेट" (वे विशिष्ट नियम जिनकी रोबोट वर्तमान में चिंता कर रहा है) इतनी तेज़ी से बदलता है कि परफेक्ट नंबर लगभग तुरंत समाप्त हो जाते हैं। एक परफेक्ट वेट का औसत "जीवनकाल" केवल एक सैंपलिंग अंतराल था।

तो, भविष्य की सेल्फ-ड्राइविंग कारों के लिए इसका क्या अर्थ है? शोध पत्र सुझाव देता है कि हम केवल एक सेट नंबर चुनकर और उम्मीद करके नहीं बैठ सकते। इसके बजाय, हमें एक ऐसी प्रणाली की आवश्यकता है जो लगातार यह जाँचती रहे कि हमारे वर्तमान नंबर अभी भी मान्य हैं या नहीं। यदि "सर्टिफिकेट" समाप्त हो जाता है (जो बहुत अक्सर होता है), तो सिस्टम को जल्दी से एक बैकअप प्लान ("कैस्केड फॉलबैक") पर स्विच करना चाहिए जो उस विशेष क्षण के लिए समस्या को पूरी तरह से लेकिन धीरे-धीरे हल करता है।

अपने परीक्षणों में, इन नए, सावधानीपूर्वक गणना किए गए नंबरों का उपयोग करने से पुराने "बड़ी संख्या" वाले अनुमान की तुलना में रोबोट की नियमों का पालन करने की क्षमता में सुधार हुआ। हालाँकि, क्योंकि परफेक्ट नंबर बहुत जल्दी समाप्त हो जाते हैं, सिस्टम को लगभग 35% समय में धीमे बैकअप प्लान पर स्विच करना पड़ा। हालाँकि इसने कार को पूर्ण तो नहीं बनाया, लेकिन इसने दिखाया कि वेट का अनुमान लगाने वाला पुराना तरीका वास्तव में टूटा हुआ था, और एक स्मार्टर, अधिक डायनेमिक दृष्टिकोण की आवश्यकता है। यह पेपर यह दावा नहीं करता है कि इसने सेल्फ-ड्राइविंग की समस्या को हमेशा के लिए हल कर दिया है, बल्कि यह एक महत्वपूर्ण मानचित्र और चेतावनी प्रदान करता है: पुराने शॉर्टकट काम नहीं करते हैं, और पूर्णता का मार्ग केवल बड़े नंबर चुनने से कहीं अधिक जटिल है।

तकनीकी सारांश: कॉनवेक्स मल्टी-ऑब्जेक्टिव MPC के लिए वेट सर्टिफिकेट्स (Weight Certificates)

समस्या विवरण (Problem Statement)
स्वचालित ड्राइविंग नियमपुस्तिकाएं (rulebooks) आमतौर पर नियमों के उल्लंघन को लेक्सिकोग्राफिक (lexicographically) क्रम में रैंक करती हैं, जिसमें सुरक्षा को कानूनी अनुपालन से ऊपर और कानूनी अनुपालन को आराम (comfort) से ऊपर प्राथमिकता दी जाती है। मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (MPC) में इस पदानुक्रम (hierarchy) को लागू करने के लिए पारंपरिक रूप से प्रत्येक कंट्रोल टिक पर $L+1$ क्रमिक अनुकूलन समस्याओं (sequential optimization problems) की आवश्यकता होती है, जो उच्च-आवृत्ति (10–100 Hz) संचालन के लिए गणनात्मक रूप से अत्यधिक कठिन है। एक सामान्य विकल्प 'वेटेड-सम स्केलेराइजेशन' (weighted-sum scalarization) है, जो $w_1 \gg w_2 \gg \dots \gg w_L$ जैसे भार (weights) निर्दिष्ट करके पदानुक्रम को एक एकल अनुकूलन समस्या में समाहित कर देता है। हालांकि, वे सैद्धांतिक स्थितियां जिनके तहत एक एकल वेटेड-सम, सटीक लेक्सिकोग्राफिक इष्टतम (optimum) को पूरी तरह से पुनरुत्पादित करता है, अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हैं, और मानक "बड़े-अनुपात" (large-ratio) ह्यूरिस्टिक ( $w_1 \gg w_2$ ) को अक्सर बिना किसी ज्यामितीय औचित्य के लागू किया जाता है। यह शोध पत्र उन ज्यामितीय स्थितियों की जांच करता है जिनके तहत एक एकल वेटेड-सम समाधान, कॉनवेक्स प्रायोरिटी-ऑर्डर्ड प्रोग्राम्स के लिए सटीक लेक्सिकोग्राफिक कैस्केड के समान होता है, और रिकिंग-होराइजन कंट्रोल में ऐसे भारों की निरंतरता (persistence) का विश्लेषण करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक इस समस्या को एक अचीवमेंट मैप $\Phi(z)$ का उपयोग करके तैयार करते हैं जो प्रक्षेप पथों (trajectories) को उल्लंघन लागतों और एक प्रदर्शन उद्देश्य (performance objective) के वेक्टर में मैप करता है। वे इस मैप के "अपर इमेज" (upper image) को परिभाषित करते हैं और लेक्सिकोग्राफिक बिंदु पर लेक्सिकोग्राफिक इष्टतम को पुनः प्राप्त करने वाले भारों के सेट को आउटवर्ड नॉर्मल कोन (outward normal cone) के "यूनिट-परफॉर्मेंस स्लाइस" के रूप में वर्णित करते हैं।

विश्लेषण दो दंड व्यवस्थाओं (penalty regimes) के बीच अंतर करता है:

$\ell_1$ (हिंज) पेनल्टी: लेखक सिद्ध करते हैं कि $\ell_1$ पेनल्टी के तहत, समकक्ष भारों का सेट एक पॉलीहेड्रल क्षेत्र बनाता है। वे एक स्केल्ड-KKT सिस्टम का उपयोग करके इस क्षेत्र के लिए एक स्पष्ट निर्माण प्राप्त करते हैं, जहाँ स्केल्ड सबग्रेडिएंट वेरिएबल्स $\beta_{i,j} = w_i \alpha_{i,j}$ के माध्यम से भार बाधाओं को रैखिक असमानताओं (linear inequalities) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह एक एकल लीनियर प्रोग्राम के माध्यम से प्रमाणित मार्जिन के साथ एक "चेबिशेव सेंटर" (Chebyshev center) भार की गणना करने में सक्षम बनाता है।
$\ell_2$ (स्क्वेर्ड-हिंज) पेनल्टी: यह शोध पत्र एक "फोरक्लोजर" (foreclosure) परिणाम प्रदर्शित करता है: यदि एक बाइंडिंग बाधा के लिए सीमित मल्टीप्लायर (limiting multiplier) गैर-शून्य है, तो कोई भी परिमित भार (finite weight) सटीक लेक्सिकोग्राफिक इष्टतम को पुनरुत्पादित नहीं कर सकता है। इसके बजाय, उल्लंघन $O(1/w)$ या $O(1/w^2)$ के रूप में एसिम्प्टोटिक रूप से घटते हैं, जिसका अर्थ है कि इस शासन (regime) में सटीक समानता असंभव है।

रिकिंग-होराइजन कंट्रोल की गतिशील प्रकृति को संबोधित करने के लिए, लेखक एक रोबस्ट इक्विवेलेंस रीजन (robust equivalence region) को कई निर्णय उदाहरणों में पॉइंटवाइज इक्विवेलेंस क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन (intersection) के रूप में परिभाषित करते हैं। वे होल्ड-आउट ड्राइविंग लॉग्स पर कैलिब्रेटेड भारों की निरंतरता का मूल्यांकन करते हैं, और यह मापते हैं कि सक्रिय सेट (active set) बदलने से पहले एक एकल भार कितनी देर तक वैध रहता है।

प्रमुख योगदान (Key Contributions)

ज्यामितीय लक्षण वर्णन (Geometric Characterization): यह शोध पत्र स्थापित करता है कि सटीक समानता एक ज्यामितीय सदस्यता प्रश्न है। एक भार वेक्टर तब समकक्ष होता है जब $(w, 1)$ अचीवमेंट मैप के अपर इमेज को लेक्सिकोग्राफिक बिंदु पर सपोर्ट करता है।
$\ell_1$ कैलिब्रेशन: यह $\ell_1$ पेनल्टी के लिए स्वीकार्य भार सेट का एक गणना योग्य, पॉलीहेड्रल विवरण प्रदान करता है। यह विशिष्ट कॉनवेक्स इंस्टेंस के लिए भारों के ऑफलाइन कैलिब्रेशन की अनुमति देता है जो एक प्रमाणित मार्जिन के साथ लेक्सिकोग्राफिक समाधान को पुनरुत्पादित करने की गारंटी देते हैं।
$\ell_2$ असंभवता परिणाम: यह सिद्ध करता है कि स्क्वेर्ड-हिंज पेनल्टी के लिए, परिमित-भार सटीकता तब बाधित हो जाती है जब सीमित मल्टीप्लायर गैर-शून्य होता है, जो $\ell_1$ मामले के बिल्कुल विपरीत है।
निरंतरता विश्लेषण (Persistence Analysis): अध्ययन "सर्टिफिकेट पर्सिस्टेंस" को औपचारिक रूप देता है और मापता है, यह पाते हुए कि रिकिंग-होजोन ऑपरेशन में, पूरे एपिसोड में इक्विवेलेंस क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन आमतौर पर खाली होता है। प्रमाण पत्र का औसत जीवनकाल अक्सर केवल एक सैंपलिंग अंतराल (या शून्य आगामी टिक) होता है, जो सक्रिय-सेट टर्नओवर द्वारा संचालित होता है।

प्रायोगिक परिणाम (Experimental Results)
लेखकों ने 11 कैलिब्रेशन-योग्य परिदृश्य वर्गों में 25-नियम वाली नियमपुस्तिका के साथ nuPlan-mini सिम्युलेटर का उपयोग करके अपने दृष्टिकोण का मूल्यांकन किया।

वेट कैलिब्रेशन: 11 में से 9 पात्र वर्गों में, कैलिब्रेटेड भारों ने लगभग समान टियर घटक (जैसे, 1:1:1 या 2:1:1 के अनुपात) प्रदर्शित किए, जो तैनात ह्यूरिस्टिक के 100:10:1 अनुपात का खंडन करते हैं। यह पाया गया कि ह्यूरिस्टिक ज्यामितीय आवश्यकताओं के सापेक्ष निचले-प्राथमिकता वाले टियर्स के लिए बहुत कम परिमाण आवंटित करके समानता की स्थिति का उल्लंघन करता है।
क्लोज्ड-लूप प्रदर्शन: एक "गार्डेड" (guarded) परिनियोजन रणनीति, जो रनटाइम मॉनिटर का उपयोग करती है ताकि अनुपालन विसंगति का पता चलने पर कैस्केड फॉलबैक को ट्रिगर किया जा सके, आशाजनक रही। 11 में से 9 परिदृश्यों में, यह गार्डेड दृष्टिकोण पूर्ण कैस्केड संदर्भ का लेक्सिकोग्राफिक रूप से पारेटो-डोमिनेट (Pareto-dominate) करता है। हालांकि, लेखक स्पष्ट रूप से इस परिणाम को अन्वेषणात्मक (exploratory) और पुष्टिपूर्ण निष्कर्ष नहीं के रूप में लेबल करते हैं क्योंकि इसमें मल्टीपल हाइपोथेसिस टेस्टिंग सुधार (बोनफेरोनी अल्फा एडजस्टमेंट) लागू है। वे इसे एक सांख्यिकीय रूप से सत्यापित निष्कर्ष के बजाय एक मजबूत हाइपोथेसिस-जेनरेटिंग अवलोकन के रूप में वर्णित करते हैं।
इवेंट-लेवल फिडेलिटी: कैलिब्रेशन ने ह्यूरिस्टिक वेट की तुलना में लीगल-टियर उल्लंघनों के लिए इवेंट-लेवल प्रिसिजन (precision) में काफी सुधार किया (प्रिसिजन को 0.232 से बढ़ाकर 0.463 कर दिया), हालांकि डोमिनेंस काउंट में समग्र सुधार सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं था।
सर्टिफिकेट लाइफटाइम: प्रायोगिक माप ने सिद्धांत की नाजुकता की पुष्टि की। मोटे सैंपलिंग में प्रमाण पत्र का औसत जीवनकाल एक 2.5-सेकंड का अंतराल था और सघन (0.1s) सैंपलिंग में शून्य आगामी टिक था। वैधता सक्रिय-सेट स्थिरता के साथ मजबूती से सह-संबंधित थी।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
यह शोध पत्र दावा करता है कि यह पहली बार सटीक लेक्सिकोग्राफिक कैस्केड को बदलने के लिए एक एकल वेटेड-सम MPC सॉल्व के कब काम करता है, इसका कठोर ज्यामितीय लक्षण वर्णन प्रदान करता है। यह तर्क देता है कि मानक "बड़े-अनुपात" वाला ह्यूरिस्टिक गलत सवाल का जवाब देता है; प्राथमिकता भार के परिमाण (magnitude) द्वारा नहीं, बल्कि एक विशिष्ट नॉर्मल-कोन स्लाइस में सदस्यता (membership) द्वारा निर्धारित होती है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके निष्कर्ष nuPlan-mini सिमुलेशन बेंचमार्क तक सीमित हैं और वास्तविक दुनिया के परिनियोजन में टक्कर से बचाव या नियामक अनुपालन की गारंटी नहीं देते हैं। वे इस कार्य को पिछले शोध (विशेष रूप से W-SQP) के परिशोधन के रूप में देखते हैं, जो $\ell_1$ लेक्सिकोग्राफिक गारंटियों के लिए लुप्त सैद्धांतिक परिशोधन प्रदान करता है और यह प्रदर्शित करता है कि कुछ डिप्लॉयमेंट्स में उपयोग किया जाने वाला क्वाड्रेटिक-पेनल्टी शासन परिमित भारों पर सटीक समानता प्राप्त करने में सैद्धांतिक रूप से अक्षम है।

उनका प्राथमिक व्यावहारिक योगदान एक "मॉनीटर्ड वेटेड सॉल्व" आर्किटेक्चर है: एक प्रणाली जो दक्षता के लिए एक ज्यामितीय रूप से प्रमाणित भार का उपयोग करती है लेकिन एक हल्का मॉनिटर शामिल करती है जो प्रमाण पत्र के समाप्त होने (सक्रिय-सेट परिवर्तनों के कारण) का पता लगाने पर पूर्ण कैस्केड फॉलबैक को ट्रिगर करता है। यह दृष्टिकोण कंप्यूटेशनल दक्षता और सख्त नियमबुक अनुपालन के बीच संतुलन बनाने का लक्ष्य रखता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक एकल स्थिर भार पूरे ड्राइविंग एपिसोड को मान्य रूप से कवर नहीं कर सकता है।

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