Analytic inverse problems with finitely many random measurements

छिपे हुए आकार का रहस्य

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्य को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आप संदिग्ध को देख नहीं सकते। आपके पास केवल अलग-अलग कोणों से ली गई कुछ धुंधली तस्वीरें हैं, या शायद केवल कुछ ध्वनि रिकॉर्डिंग हैं। विज्ञान की दुनिया में, इसे एक इनवर्स प्रॉब्लम (inverse problem) कहा जाता है। किसी ज्ञात वस्तु से यह अनुमान लगाने के बजाय कि वह कैसी दिखती है (जो कि आसान है), आप सुरागों—यानी डेटा—से शुरुआत करते हैं और पीछे की ओर काम करके यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि वह वस्तु वास्तव में क्या है। इसी तरह डॉक्टर एक्स-रे का उपयोग करके आपके शरीर के अंदर का पता लगाते हैं, या भूविज्ञानी ध्वनि तरंगों के चट्टानों से टकराकर वापस आने की आवाज़ सुनकर जमीन के नीचे तेल का पता लगाते हैं।

कठिन हिस्सा यह है कि ये समस्याएं अक्सर "इल-पोज़्ड" (ill-posed) होती हैं। यह एक तकनीकी तरीका है यह कहने का कि सुराग आमतौर पर बहुत अस्पष्ट होते हैं। यदि आपके पास केवल कुछ धुंधली तस्वीरें हैं, तो कई हजार संदिग्ध ऐसे हो सकते हैं जो उस विवरण में फिट बैठते हों। आमतौर पर, सही व्यक्ति को खोजने के लिए पूरी तरह आश्वस्त होने के लिए, आपको डेटा के एक पहाड़ की आवश्यकता होगी—हजारों तस्वीरें, घंटों की ऑडियो, या जानकारी का एक निरंतर प्रवाह। लेकिन वास्तविक दुनिया में, हमारे पास अनंत डेटा शायद ही कभी होता है। हमारे पास सीमित समय, सीमित पैसा और सीमित सेंसर होते हैं। इसलिए, वैज्ञानिक एक ज्वलंत प्रश्न पूछ रहे हैं: हमें रहस्य को सुलझाने के लिए वास्तव में कितने छोटे, अलग-अलग सुरागों की आवश्यकता है?

लंबे समय तक, इसका उत्तर "बहुत अधिक" जैसा लगता था। बहुत कठिन रहस्यों के लिए, जैसे कि किसी छिपी हुई वस्तु की सटीक विद्युत चालकता (electrical conductivity) या किसी अजीब सामग्री के घनत्व (density) को समझना, पारंपरिक गणित ने सुझाव दिया था कि आपको सुरागों की ऐसी संख्या की आवश्यकता हो सकती है जो वस्तु के अधिक जटिल होने पर तेजी से (exponentially) बढ़ती जाती है। ऐसा महसूस होता था कि एक अकेली किताब की पहचान करने के लिए आपको डेटा के एक पुस्तकालय की आवश्यकता होगी। लेकिन क्या होगा अगर आप इस बारे में अधिक स्मार्ट बन सकें कि आप कौन से सुराग चुनते हैं? क्या होगा अगर, हर संभव फोटो इकट्ठा करने के बजाय, आप बस कुछ यादृच्छिक (random) झलकियों को पकड़ लें?

यादृच्छिक अनुमान का जादू

यही वह चीज़ है जिसे जियोवानी एस. अल्बर्टी, डेमियानो पोलेटी, सिमोन सन्ना और मॅटेओ सांतासेरिया का शोध पत्र तलाशता है। वे इस बात पर ध्यान केंद्रित करते हैं कि जब आपके पास सीमित संख्या में माप (measurements) हों, तो इन कठिन 'इनवर्स प्रॉब्लम्स' को कैसे हल किया जाए। उनकी बड़ी खोज यह है कि यदि आप अपने मापों को यादृच्छिक रूप से (randomly) चुनते हैं, तो आप रहस्य को उम्मीद से बहुत कम सुरागों के साथ सुलझा सकते हैं।

इसे एक भीड़ भरे कमरे में किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने की कोशिश करने जैसा समझें। पुराना तरीका यह था कि कमरे में मौजूद हर व्यक्ति से उस व्यक्ति का वर्णन करने के लिए कहें, या जब तक आपको मिलान न मिल जाए तब तक हर एक व्यक्ति की फोटो लें। इसमें बहुत समय लगेगा। नया तरीका, इस शोध पत्र के अनुसार, यह है कि अपनी आँखें बंद करें, चारों ओर घूमें और यादृच्छिक रूप से लोगों की ओर इशारा करते हुए पूछें, "क्या यह वही है?" आश्चर्यजनक रूप से, यदि आप जिस व्यक्ति को खोज रहे हैं उसका एक विशिष्ट आकार है (जैसा कि शोध पत्र मान लेता है), तो आपको उस व्यक्ति के पास मौजूद "डिग्री ऑफ फ्रीडम" (degrees of freedom) से लगभग दोगुने की जांच करने की आवश्यकता है, प्लस एक।

शोध पत्र की भाषा में, यदि अज्ञात वस्तु (जैसे चालकता मानचित्र या अपवर्तनांक/refractive index) एक ऐसी जगह में रहती है जिसमें $d$ आयाम (dimensions) हैं (सोचिए $d$ उन नॉब्स की संख्या है जिन्हें आप वस्तु के आकार को बदलने के लिए घुमा सकते हैं), तो आपको लाखों मापों की आवश्यकता नहीं है। वस्तु की पहचान निश्चित रूप से करने के लिए आपको केवल $2d + 1$ यादृच्छिक मापों की आवश्यकता है।

यहाँ जादू का नुस्खा है: लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि समस्या सैद्धांतिक रूप से हल करने योग्य है (अर्थात, यदि आपके पास अनंत डेटा हो तो वस्तु की पहचान की जा सकती है), तो $2d + 1$ यादृच्छिक नमूने लेना आपको लगभग निश्चित रूप से सही उत्तर खोजने की गारंटी देता है। "लगभग निश्चित रूप से" (almost surely) गणित का एक तरीका है यह कहने का कि "संभावना 1 के साथ"। इसका अर्थ है कि यदि आप इस प्रयोग को एक अरब बार चलाएंगे, तो आप वस्तु की पहचान करने में केवल उन मामलों में विफल होंगे जो इतने दुर्लभ हैं कि वे व्यावहारिक रूप से असंभव हैं।

यह शोध पत्र दो प्रसिद्ध, कठिन पहेलियों पर लागू होता है:

1. कैल्डरॉन समस्या (The Calderón Problem): यह इस बारे में है कि शरीर (जैसे मानव या चट्टान) के अंदर क्या है, यह सतह पर विद्युत मापन करके पता लगाया जाए। आप करंट इंजेक्ट करते हैं और वोल्टेज मापते हैं। शोध पत्र दिखाता है कि यदि आप यादृच्छिक करंट और वोल्टेज चुनते हैं, तो आंतरिक चालकता को पूरी तरह से पुनर्गठित करने के लिए आपको इन जोड़ों के केवल $2d + 1$ की आवश्यकता है, बशर्ते कि आंतरिक आकार "एनालिटिक" (एक चिकना, सुव्यवस्थित गणितीय वक्र) हो।
2. इनवर्स स्कैटरिंग (Inverse Scattering): यह इस बारे में है कि कोई सामग्री किस चीज से बनी है, यह जानने के लिए कि तरंगें (waves) उस पर टकराकर कैसे वापस आती हैं। चाहे वे ध्वनि तरंगें हों या प्रकाश, शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि आप तरंगों को छोड़ने के लिए यादृच्छिक दिशाएं चुनते हैं और सुनने के लिए यादृच्छिक स्थान चुनते हैं, तो "शूट-एंड-लिसन" (shoot-and-listen) के $2d + 1$ यादृच्छिक जोड़े सामग्री की पहचान करने के लिए पर्याप्त हैं।

यह खेल को कैसे बदल देता है

इस शोध पत्र से पहले, इन विशिष्ट, कठिन समस्याओं के लिए सबसे अच्छे नियतात्मक (deterministic - गैर-यादृच्छिक) तरीकों ने सुझाव दिया था कि आपको एक ऐसी संख्या में मापों की आवश्यकता हो सकती है जो वस्तु की जटिलता के साथ घातीय (exponentially) रूप से बढ़ती है। यदि वस्तु में 10 "नॉब्स" थे, तो आपको हजारों माप चाहिए हो सकते थे। यदि 20 थे, तो लाखों। यह सुपर कंप्यूटर और अंतहीन डेटा की आवश्यकता का एक नुस्खा था।

यह शोध पत्र तर्क देता है कि यादृच्छिक नमूनाकरण (random sampling) पर स्विच करके, आप उस संख्या को एक सरल रैखिक संबंध: $2d + 1$ तक कम कर सकते हैं। यदि आपके पास 10 नॉब्स हैं, तो आपको 21 माप चाहिए। यदि 20 हैं, तो 41। यह एक बहुत बड़ी कमी है।

लेखक स्पार्स (sparse) वस्तुओं पर भी विचार करते हैं—ऐसी चीजें जो ज्यादातर खाली या सरल हैं, जिनमें केवल कुछ ही "नॉब्स" वास्तव में चालू हैं। इस मामले में, वे दिखाते हैं कि आपको $4s + 1$ मापों की आवश्यकता है, जहाँ $s$ सक्रिय नॉब्स की संख्या है। यह और भी बेहतर है, क्योंकि इसका अर्थ है कि आप बहुत कम सुरागों के साथ बहुत सरल छिपी हुई संरचनाओं को खोज सकते हैं।

यह क्या नहीं करता (बारीक विवरण)

यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह शोध पत्र क्या वादा नहीं करता है। लेखक बहुत सावधानी से कहते हैं कि उन्होंने यूनिकनेस (uniqueness - विशिष्टता) को सिद्ध किया है, न कि स्टेबिलिटी (stability - स्थिरता) को।

• यूनिकनेस (Uniqueness) का अर्थ है: "यदि आपके पास ये यादृच्छिक माप हैं, तो केवल एक ही संभावित उत्तर है।"
• स्टेबिलिटी (Stability) का अर्थ है: "यदि आपके मापों में थोड़ा सा शोर (noise) या त्रुटि है, तो क्या आपका उत्तर पूरी तरह से गलत हो जाएगा।"

शोध पत्र सिद्ध करता है कि उत्तर अद्वितीय है। यह यह सिद्ध नहीं करता कि उत्तर खोजना आसान है या यदि आपके डेटा में थोड़ी सी गड़बड़ी आती है तो वह ढह नहीं जाएगा। वास्तव में, लेखक स्वीकार करते हैं कि इन कठिन समस्याओं के लिए, "स्टेबिलिटी" बहुत नाजुक हो सकती है (गणितीय रूप से, यह केवल "लॉगारिदमिक रूपली स्थिर" हो सकती है, जिसका अर्थ है कि डेटा में एक छोटी सी त्रुटि परिणाम में एक बड़ी त्रुटि का कारण बन सकती है)। वे यह भी प्रदान नहीं करते हैं कि डेटा से उत्तर की गणना करने के लिए वास्तव में कौन सा एल्गोरिदम (चरण-दर-चरण विधि) उपयोग किया जाए; वे केवल यह सिद्ध करते हैं कि उत्तर मौजूद है और अद्वितीय है।

इसके अलावा, शोध पत्र सटीक पहचान (exact identifiability) पर केंद्रित है जो एक पूर्ण, शोर-मुक्त दुनिया में होता है। यह दावा नहीं करता है कि यह समस्या हल कर देगा यदि आपके सेंसर खराब हैं या यदि डेटा अव्यवस्थित है। यह एक सैद्धांतिक प्रमाण है जो कहता है, "यदि आपके पास एक आदर्श, शोर-मुक्त सिग्नल है और आप अपने नमूने यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, तो आप बहुत कम नमूनों के साथ सही वस्तु को खोजने की गारंटी रखते हैं।"

निष्कर्ष

यह शोध पत्र एक गणितीय प्रमाण है कि छिपे हुए आकारों की दुनिया में यादृच्छिकता (randomness) एक महाशक्ति है। यह दिखाता है कि कठिन वैज्ञानिक पहेलियों के एक विस्तृत वर्ग के लिए, आपको डेटा के पहाड़ों को इकट्ठा करने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, यदि आप गणित पर भरोसा करते हैं और अपने मापों को यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, तो आप रहस्य को सुरागों की ऐसी संख्या के साथ सुलझा सकते हैं जो स्वयं वस्तु की जटिलता के दोगुने से थोड़ी ही अधिक है। यह डेटा एकत्र करने के असंभव कार्य को "कुछ भाग्यशाली शॉट्स के साथ आकार का अनुमान लगाने" के एक प्रबंधनीय खेल में बदल देता है।