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Bent Functions and the Completed Maiorana-McFarland Class

यह शोध पत्र बूलियन बेंट फलनों (Boolean bent functions) के डिज़ाइन और विश्लेषण में मौलिक परिणामों और हालिया प्रगति का सर्वेक्षण करता है, जो विशेष रूप से पूर्ण मायोराना-मैकफलैंड वर्ग (completed Maiorana-McFarland class) के साथ उनके संबंध पर केंद्रित है।

मूल लेखक: Enes Pasalic, Alexandr Polujan, Fengrong Zhang, Sadmir Kudin

प्रकाशित 2026-08-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Enes Pasalic, Alexandr Polujan, Fengrong Zhang, Sadmir Kudin

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आधुनिक डिजिटल सुरक्षा की छिपी हुई वास्तुकला में, 'बेंट फंक्शन' (bent function) नामक एक विशेष प्रकार का गणितीय पिंड मौजूद है। ये भौतिक उपकरण या जैविक संस्थाएं नहीं हैं, बल्कि बाइनरी डेटा को संसाधित करने के जटिल नियम हैं—एकों और शून्यों की ऐसी स्ट्रिंग्स जो कंप्यूटर संचार का आधार बनती हैं। कल्पना कीजिए कि संभावित नियमों का एक विशाल परिदृश्य है, जहाँ अधिकांश नियम अनुमानित और विश्लेषण करने में आसान हैं। बेंट फंक्शन अनिश्चितता के शिखर पर स्थित होते हैं, जो किसी भी सरल, सीधी रेखा वाले पैटर्न से जितना संभव हो सके उतना दूर होते हैं। इस अत्यधिक अनियमितता के कारण, वे क्रिप्टोग्राफी और त्रुटि-सुधार कोड (error-correcting codes) में डेटा की सुरक्षा के लिए अमूल्य उपकरण हैं, जो उस अराजक शोर (chaotic noise) के रूप में कार्य करते हैं जो जासूसों को संकेत खोजने से रोकता है। दशकों से, गणितज्ञों को इन फंक्शन्स के एक विशिष्ट, सुपरिचित परिवार को बनाने का तरीका पता है, जो उन शोधकर्ताओं के नाम पर है जिन्होंने सबसे पहले इनका वर्णन किया था। इस परिवार को अक्सर 'मेयोराना-मैकोफ़लैंड क्लास' (Maiorana-McFarland class) कहा जाता है, जिसने बेंट फंक्शन्स बनाने के लिए एक प्राथमिक ब्लूप्रिंट के रूप में कार्य किया है, ठीक वैसे ही जैसे घर बनाने के लिए एक मानक वास्तुशिल्प योजना होती है। हालाँकि, एक लंबे समय से चला आ रहा प्रश्न इस क्षेत्र को परेशान करता रहा है: क्या ये मानक ब्लूप्रिंट इन फंक्शन्स को बनाने का एकमात्र तरीका हैं, या अन्य, अधिक विचित्र डिज़ाइन भी मौजूद हैं जिन्हें हमने अभी तक खोजा नहीं है?

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस प्रश्न पर व्यापक दृष्टिकोण अपनाते हुए, बेंट फंक्शन्स के पूरे परिदृश्य का सर्वेक्षण किया है ताकि यह देखा जा सके कि वे उस मानक परिवार से कैसे संबंधित हैं। उनका कार्य पुष्टि करता है कि ज्ञात ब्लूप्रिंट, हालांकि उपयोगी हैं, कुल संभावनाओं के एक बहुत छोटे अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं। आठ वेरिएबल्स (variables) के विशिष्ट मामले में, कंप्यूटर खोजों ने खुलासा किया है कि बेंट फंक्शन्स की कुल संख्या खगोलीय रूप से बड़ी है, लगभग दो की घात एक सौ छह ( $2^{106}$ )। इसके विपरीत, मेयोराना-मैकोफ़लैंड ब्लूप्रिंट का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले फंक्शन्स की संख्या अनुमानित रूप से दो की घात इक्यासी ( $2^{81}$ ) है। यह विशाल अंतर बताता है कि अधिकांश बेंट फंक्शन्स मौलिक रूप से उन फंक्शन्स से भिन्न हैं जिन्हें हम स्पष्ट रूप से बना सके हैं। शोधकर्ताओं का लक्ष्य इन दो चरम सीमाओं के बीच के क्षेत्र का मानचित्र तैयार करना था, नए तरीके की पहचान करना था जिससे ऐसे बेंट फंक्शन्स बनाए जा सकें जो निश्चित रूप से पुराने सांचे में फिट नहीं होते, और यह समझना था कि वे इतने अलग क्यों हैं।

लेख दो विशिष्ट परिवारों के परीक्षण से शुरू होता है, जिन्हें 'C' और 'D' क्लास के रूप में जाना जाता है, जिन्हें मानक ब्लूप्रिंट को संशोधित करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। ये परिवार मानक सूत्र में छोटे, जानबूझकर किए गए बदलाव पेश करते हैं, जो आउटपुट में विशिष्ट पैटर्न जोड़ते हैं। शोधकर्ताओं ने जांच की कि क्या ये संशोधन इन परिणामों को मानक परिवार से बाहर धकेलने के लिए पर्याप्त थे। उन्होंने पाया कि कुछ शर्तों के तहत, ये संशोधित फंक्शन वास्तव में विशिष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि निर्माण में उपयोग किया जाने वाला अंतर्निlying परम्यूटेशन (permutation) विशिष्ट बीजगणितीय गुणों को रखता है—अर्थात, यदि इसमें कुछ छिपी हुई समरूपता (symmetries) का अभाव है—तो परिणामी बेंट फंक्शन को मानक रूप में वापस नहीं बदला जा सकता है। लेखकों ने स्पष्ट, परीक्षण योग्य नियम प्रदान किए जिससे यह निर्धारित किया जा सके कि कब एक फंक्शन इन नए, विदेशी परिवारों का हिस्सा है और कब वह पुराने ढांचे के भीतर फंसा हुआ है। उन्होंने "सुपरक्लासेस" (superclasses) का भी अन्वेषण किया, जो विभिन्न प्रकार के संशोधनों को जोड़ते हैं, यह पाते हुए कि जबकि कुछ संयोजन काम करते हैं, अन्य बेंट फंक्शन्स बनाने में विफल रहते हैं, जो आवश्यक अनिश्चितता के स्तर को बनाए रखने के लिए आवश्यक नाजुक संतुलन को प्रकट करते हैं।

इन विशिष्ट परिवारों से परे, शोधकर्ताओं ने परिमित क्षेत्रों (finite fields) की गुणनात्मक संरचना का उपयोग करके बनाए गए फंक्शन्स को देखा, जिन्हें अक्सर 'ट्रेस टर्म्स' (trace terms) का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। ये वे फंक्शन हैं जहाँ आउटपुट एक विशिष्ट घात की संख्या के योग पर निर्भर करता है। अध्ययन यह उजागर करता है कि कई फंक्शन, विशेष रूप से कुछ घातांकों (exponents) पर आधारित, प्रमाणित रूप से मानक परिवार से बाहर हैं। शोधकर्ताओं ने दूसरे क्रम के डेरिवेटिव (second-order derivatives)—जो यह मापने का एक तरीका है कि फंक्शन के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदलती है—का उपयोग करते हुए एक विशिष्ट गणितीय परीक्षण का उपयोग किया, यह सिद्ध करने के लिए कि इन फंक्शन्स में मानक वर्ग में पाई जाने वाली संरचनात्मक नियमितता का अभाव है। उन्होंने उन फंक्शन्स का भी परीक्षण किया जो अन्य महत्वपूर्ण गणितीय वस्तुओं, जैसे कि 'ऑलमोस्ट परफेक्ट नॉनलीनर' (almost perfect nonlinear) फंक्शल्स के लिए संकेतक के रूप में कार्य करते हैं, यह दिखाते हुए कि ये संकेतक अक्सर बेंट फंक्शन्स के उन अद्वितीय, गैर-मानक गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो ज्ञात परिवारों से बाहर हैं।

इस शोध का एक केंद्रीय विषय "लिनियरिटी इंडेक्स" (linearity index) की अवधारणा है, जिसे इस तरह सोचा जा सकता है कि यह एक माप है कि एक फंक्शन एक सरल, रैखिक पैटर्न से कितना मिलता-जुलता है। मानक मेयोराना-मैकोफ़लैंड फंक्शन्स का लिनियरिटी इंडेक्स उच्च होता है, जिसका अर्थ है कि उन्हें बड़े, सरल एफाइन (affine) टुकड़ों में तोड़ा जा सकता है। शोधकर्ताओं ने न्यूनतम संभव लिनियरिटी इंडेक्स वाले एक नए श्रेणी के फंक्शन्स की पहचान की है, जिन्हें वे "ऑप्टिमल" (optimal) कहते हैं। ये फंक्शन मानक वाले के बिल्कुल विपरीत हैं; वे इतने अनियमित हैं कि उन्हें बड़े एफाइन ब्लॉक्स में बिल्कुल भी सरल नहीं किया जा सकता है। पेपर इन ऑप्टिमल फंक्शन्स को बनाने का विवरण देता है और सिद्ध करता है कि वे मानक वर्ग से मौलिक रूप से भिन्न हैं। "M-सबस्पेस" (M-subspaces)—फंक्शन के डोमेन के भीतर विशेष ज्यामितीय उप-संरचनाएं जो इसकी अंतर्निहित समरूपता को प्रकट करती हैं—का अध्ययन करके, लेखकों ने दिखाया कि इन ऑप्टिमल फंक्शन्स में एक अद्वितीय, न्यूनतम संरचना है जिसे मानक फंक्शन में नहीं रखते।

सर्वेक्षण एक व्यापक, अधिक लचीले ढांचे का भी अन्वेषण करता है जिसे 'सामान्यीकृत मेयोराना-मैकोफ़लैंड क्लास' (generalized Maiorana-McFarland class) कहा जाता है। यह ढांचा उन फंक्शन्स के लिए अनुमति देता है जो केवल मानक क्लास में उपयोग किए जाने वाले निश्चित आकार के बजाय, विभिन्न आकारों के एफाइन टुकड़ों से बने होते हैं। शोधकर्ताओं ने सटीक रूप से लक्षणित किया कि कब इस व्यापक वर्ग का एक फंक्शन मानक परिवार के भीतर रहता है और कब वह उससे बाहर कदम रखता है। उन्होंने पाया कि बिल्डिंग ब्लॉक्स को सावधानीपूर्वक चुनकर, एक ऐसे फंक्शन का निर्माण किया जा सकता है जो "लगभग" मानक है लेकिन फिर भी विशिष्ट है, साथ ही ऐसे फंक्शन भी बनाए जा सकते हैं जो मानक परिवार से पूरी तरह से अजनबी हैं। पेपर कई खुली समस्याओं को सूचीबद्ध करके समाप्त होता है, यह स्वीकार करते हुए कि हालांकि उन्होंने इन गणितीय क्षेत्रों के महत्वपूर्ण हिस्सों का मानचित्र तैयार किया है, सभी बेंट फंक्शन्स की पूर्ण गणना अभी भी एक रहस्य है। वे भविष्य के शोधकर्ताओं को चुनौती देते हैं कि वे इन विदेशी फंक्शन्स के अधिक अनंत परिवारों को खोजें और उन सटीक बीजगणितीय संरचनाओं को समझें जो उन्हें अद्वितीय बनाते हैं, जिससे यह सुनिश्चित हो सके कि यह क्षेत्र मूल ब्लूप्रिंट की सीमाओं से आगे विकसित होता रहे।

तकनीकी सारांश: बेंट फलन (Bent Functions) और पूर्ण मायोराना-मैकलफलैंड वर्ग (Completed Maiorana-McFarland Class)

समस्या विवरण
रोथौस द्वारा प्रस्तुत बूलियन बेंट फलन (Boolean bent functions), सम संख्या में चरों वाले एक मौलिक वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं जो अधिकतम नॉन-लिनैरिटी (affine फलनों से अधिकतम दूरी) प्राप्त करते हैं। जबकि मायोराना-मैकलफलैंड (M) वर्ग और इसका पूर्ण संस्करण ( $M^\#$ ), बेंट फलनों के सबसे गहन रूप से समझे गए स्पष्ट परिवार का निर्माण करते हैं, हालिया कम्प्यूटेशनल साक्ष्य कुल बेंट फलनों की संख्या और $M^\#$ के अंतर्गत आने वाले फलनों के बीच एक महत्वपूर्ण विसंगति का संकेत देते हैं। विशेष रूप से, आयाम 8 में, कुल बेंट फलनों की संख्या लगभग $2^{106}$ है, जबकि मायोराना-मैकलफलैंड के समकक्ष फलनों की संख्या अनुमानित रूप से $2^{81}$ से अधिक नहीं है। यह अवलोकन इस सर्वेक्षण की केंद्रीय समस्या को प्रेरित करता है: उन बेंट फलनों का लक्षण वर्णन करना जो पूर्ण मायोराना-मैकलफलैंड वर्ग ( $M^\#$ ) से बाहर हैं, उनकी बीजगणितीय संरचनाओं को समझना, और ऐसे फलनों के लिए स्पष्ट निर्माण विधियों को विकसित करना। यह शोध पत्र "अपवर्जन समस्या" (exclusion problem) पर केंद्रित है—विभिन्न बेंट फलन वर्गों के $M^\#$ के साथ प्रतिच्छेदन (intersection) को निर्धारित करना और उन स्थितियों की पहचान करना जिनके तहत फलन प्रमाणित रूप से इस वर्ग से बाहर होते हैं।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र एक व्यापक सर्वेक्षण पद्धति का उपयोग करता है, जो बूलियन बेंट फलनों के डिजाइन और विश्लेषण के मौलिक परिणामों और हालिया प्रगति को संश्लेषित करता है। तकनीकी दृष्टिकोण काफी हद तक निम्नलिखित पर आधारित है:

बीजगणिक लक्षण वर्णन (Algebraic Characterization): $M^\#$ में सदस्यता को लक्षित करने के लिए द्वितीय-क्रम के व्युत्पन्न मानदंड (लेम्मा 1.2) का उपयोग करना। एक फलन $M^\#$ का सदस्य तब होता है जब $U$ के लिए एक $m$ -आयामी उपसमष्टि (subspace) $U$ मौजूद हो जिससे सभी द्वितीय-क्रम के व्युत्पन्न $D_a D_b f$ , $a, b \in U$ के लिए शून्य हों।
लिनैरिटी इंडेक्स और M-उपसमष्टि (M-Subspaces): "लिनैरिटी इंडेक्स" ($ind(f) $) का विश्लेषण करना, जिसे एक M-उपसमष्टि (एक ऐसी उपसमष्टि जहाँ द्वितीय-क्रम के व्युत्पन्न शून्य होते हैं) के अधिकतम आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है। वे फलन जिनका$ ind(f) = n/2 $है,$ M^# $के सदस्य होते हैं, जबकि न्यूनतम इंडेक्स ($ ind(f)=1 $) वाले फलनों को$ \ell$-ऑप्टिमल कहा जाता है।
द्वितीयक निर्माण (Secondary Constructions): यह जांचना कि डायरेक्ट/इनडायरेक्ट सम, कॉनकैटिनेशन (2- और 4-कॉनकैटिनेशन), और ट्रेस टर्म्स या उपसमष्टि के संकेतकों (indicators) को जोड़ने जैसे ऑपरेशन $M^\#$ की सदस्यता को कैसे प्रभावित करते हैं।
सामान्यीकृत रूपरेखा (Generalized Frameworks): शास्त्रीय $M$ वर्ग ( $r=s=n/2$ ) से Generalized Maiorana-McFarland (GMM) वर्ग ( $Mr,s$ ) तक विश्लेषण का विस्तार करना, जहाँ $f(x,y) = x \cdot \phi(y) + h(y)$ और $x \in \mathbb{F}_2^r, y \in \mathbb{F}_2^s$ तथा $r \neq s$ है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

कारलेट के C और D वर्ग: शोध पत्र C और D वर्गों का विवरण देता है, जो वेक्टर उपसमष्टि के संकेतकों को जोड़कर मायोराना-मैकलफलैंड रूप को संशोधित करते हैं।
- वर्ग C: $x \cdot \pi(y) + 1_{L^\perp}(x)$ के रूप में फलन। लेखक $\pi$ (परम्यूटेशन) और उपसमष्टि $L$ पर पर्याप्त शर्तों (विशेष रूप से गुण (C)) का सारांश प्रस्तुत करते हैं जो यह गारंटी देते हैं कि फलन बेंट है और $M^\#$ से बाहर है। एक प्रमुख परिणाम उन परम्यूटेशन से संबंधित है जिनके घटकों में गैर-शून्य रैखिक संरचनाओं का अभाव होता है।
- वर्ग D और $D_0$ : $x \cdot \pi(y) + 1_{E_1}(x)1_{E_2}(y)$ के रूप में फलन और उपवर्ग $D_0$ ( $x \cdot \pi(y) + \delta_0(x)$ )। शोध पत्र $D_0 \cap M^\#$ का पूर्ण लक्षण वर्णन प्रदान करता है, यह दिखाते हुए कि क्वाड्रेटिक परम्यूटेशन के लिए, सदस्यता इस बात पर निर्भर करती है कि क्या परम्यूटेशन एक एफ़ाइन हाइपरप्लेन पर एफ़ाइन है। उच्च डिग्री के लिए, फलन अक्सर $M^\#$ से बाहर होते हैं।
- सुपरक्लासेस (Superclasses): शोध पत्र सुपरक्लासेस (SC, CD, SD) का परीक्षण करता है जो संकेतकों के संयोजन से बनते हैं। यह पहचानता है कि जबकि कुछ संयोजन (जैसे SC) $M^\#$ से बाहर बेंट फलन उत्पन्न करते हैं, अन्य (जैसे SD) पूरी तरह से बेंट फलन बनाने में विफल रहते हैं।
ट्रेस टर्म्स और $P_\tau$ गुण:
- शोध पत्र ट्रेस टर्म्स (जैसे डिलो और कासामी एक्सपोनेंट्स) के माध्यम से परिभाषित मोनोमियल, बाइनोमियल और संबंधित बेंट फलनों की समीक्षा करता है। यह पुष्टि करता है कि इनमें से कई, विशेष रूप से विशिष्ट निहो (Niho) एक्सपोनेंट्स वाले, $M^\#$ से बाहर हैं।
- एक महत्वपूर्ण हिस्सा $P_\tau$ गुण को समर्पित है, जिसमें एक बेंट फलन में ट्रेस टर्म्स के बहुपद संयोजनों को जोड़ना शामिल है। शोध पत्र विवरण देता है कि कैसे $P_\tau$ गुण, जो ड्यूल फंक्शन के शून्य द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न द्वारा पहचाना जाता है, $M^\#$ से बाहर बेंट फलनों के अनंत परिवारों के निर्माण की अनुमति देता है जो C या D वर्गों द्वारा कवर नहीं किए गए हैं।
Generalized Maiorana-McFarland (GMM) वर्ग:
- शोध पत्र GMM वर्ग ( $Mr,s$ ) और इसके पूर्ण संस्करण को पेश करता है। यह "बेंट सेट्स" और "आंशिक रूप से परिभाषित बेंट फलनों" का उपयोग करके इस वर्ग में बेंटनेस का लक्षण वर्णन करता है।
- लगभग मायोराना-मैकलफंड ( $k=1$ ): वे फलन जिनका लिनैरिटी इंडेक्स $n/2 - 1$ है, उनका विश्लेषण किया गया है। शोध पत्र डोमेन के "तुच्छ" (trivial), "गैर-उचित" (non-proper), और "उचित" (proper) विभाजनों के बीच अंतर करता है, यह दिखाते हुए कि विशिष्ट उचित विभाजन $M^\#$ से बाहर बेंट फलन प्रदान करते हैं।
- $\ell$ -ऑप्टिमल फलन: शोध पत्र न्यूनतम लिनैरिटी इंडेक्स ($ind(f)=1$) वाले फलनों पर चर्चा करता है, यह नोट करते हुए कि ये मायोराना-मैकलफंड फलनों के "विपरीत" हैं। गुण (P1) (गैर-शून्य द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न) वाले परम्यूटेशन के निर्माण को ऐसे फलन उत्पन्न करने के तरीके के रूप में रेखांकित किया गया है।
M-उपसमष्टि और द्वितीयक निर्माण:
- शोध पत्र M-उपसमष्टि का गहरा बीजगणिक और कॉम्बिनेटरियल विश्लेषण प्रदान करता है। यह अधिकतम M-उपसमष्टियों की संख्या पर सीमाएँ स्थापित करता है और बेंट फलनों के वर्गीकरण के साथ संबंध स्थापित करता है।
- यह द्वितीयक निर्माणों (डायरेक्ट सम, इनडायरेक्ट सम, 2- और 4-कॉनकैटिनेशन) के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रस्तुत करता है ताकि $M^\#$ से बाहर के फलन प्राप्त हो सकें। विशेष रूप से, यह सिद्ध करता है कि $M^\#$ से बाहर के एक बेंट फलन का किसी भी अन्य बेंट फलन के साथ 4-कॉनकैटिनेशन एक नया बेंट फलन $M^\#$ से बाहर प्रदान करता है।

महत्व
यह शोध पत्र स्वयं को एक व्यापक सर्वेक्षण के रूप में स्थापित करता है जो अच्छी तरह से समझे गए मायोराना-मैकलफलैंड वर्ग और विशाल, काफी हद तक अवर्गीकृत बेंट फलन स्थान के बीच के अंतर को पाटता है। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में है:

अपवर्जन को व्यवस्थित करना (Systematizing Exclusion): यह निर्धारित करने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करना कि कब बेंट फलन $M^\#$ से बाहर होते हैं, जो केवल उदाहरणों से आगे बढ़कर लिनैरिटी इंडेक्स और M-उपसमष्टि पर आधारित संरचनात्मक लक्षण वर्णन की ओर बढ़ता है।
निर्माण विधियों का विस्तार करना: $M^\#$ से बाहर बेंट फलनों के अनंत परिवारों को उत्पन्न करने के लिए स्पष्ट विधियों (C, D, $P_\tau$ , GMM) का विवरण देना, जो निश्चित आयामों में ज्ञात उदाहरणों की कमी को संबोधित करता है।
बीजगणिक संरचना को स्पष्ट करना: बेंट फलनों के बीजगणिक गुणों और जेनलाइज्ड मायोराना-मैकलफलैंड पदानुक्रम के साथ उनके संबंध को समझने के लिए मौलिक उपकरण के रूप में लिनैरिटी इंडेक्स और M-उपसमष्टि जैसी अवधारणाओं को पेश करना और परिष्कृत करना।
खुली समस्याओं की पहचान करना: शोध पत्र कई खुली समस्याओं को सूचीबद्ध करते हुए समाप्त होता है, जिसमें $M^\#$ में EA-इक्विवेलेंस क्लासेस की सटीक गणना, $p$ -ary बेंट फलनों तक इन सिद्धांतों का विस्तार, और मैकलफलैंड क्लास के बाहर डिफरेंस सेट्स का निर्माण शामिल है।

लेखक एक विनम्र लहजा बनाए रखते हैं, यह स्वीकार करते हुए कि हालांकि $M^\#$ से बाहर के फलनों की पहचान करने में महत्वपूर्ण प्रगति हुई है, लेकिन बेंट फलनों की कुल गणना और उनके बीजगणिक ढांचे का पूर्ण वर्गीकरण अभी भी खुली चुनौतियां हैं। यह कार्य उन शोधकर्ताओं के लिए एक आधारभूत संदर्भ के रूप में कार्य करता है जो विशिष्ट नॉन-लिनैरिटी गुणों वाले क्रिप्टोग्राफिक रूप से महत्वपूर्ण बूलियन फलनों को डिजाइन करना चाहते हैं जिन्हें मानक मायोराना-मैकलफलैंड निर्माण द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है।

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