🔢 mathematics

The image of the constant sheaf under the geometric Langlands equivalence

यह शोध पत्र एक चिकनी (smooth) और प्र been (projective) वक्र पर एक रिडक्टिव समूह $G$ के लिए $\mathrm{Bun}_G(X)$ पर स्वेच्छिक परिमित-रैंक (finite-rank) स्थानीय प्रणालियों (local systems) की ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता (geometric Langlands equivalence) के अंतर्गत छवि की गणना करता है, जिससे विशेष रूप से स्थिर शिफ (constant sheaf) के लिए वी. लाफ़ोर्ग (V. Laffue) के अनुमान की पुष्टि होती है।

मूल लेखक: Kenta Suzuki

प्रकाशित 2026-08-27

📖 7 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Kenta Suzuki

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

आधुनिक गणित के विशाल परिदृश्य में, दो स्पष्ट रूप से असंबंधित दुनियाओं को जोड़ने वाला एक गहरा और रहस्यमय सेतु मौजूद है: आकृतियों की ज्यामिति और समरूपताओं (symmetries) का बीजगणित। इस सेतु के एक ओर वक्रों (curves) का अध्ययन है, जो चिकने लूप हैं जो जटिल तरीकों से मुड़ और घूम सकते हैं, और उनके साथ जुड़े डेटा के बंडल हैं। दूसरी ओर समूहों (groups) का अध्ययन है, जो अमूर्त समरूपता संग्रह हैं जो यह वर्णन करते हैं कि वस्तुओं को उनके मूल स्वरूप को बदले बिना कैसे घुमाया, परावर्तित या रूपांतरित किया जा सकता है। दशकों से, गणितज्ञों को संदेह था कि ये दोनों दुनियाएँ न केवल संबंधित हैं, बल्कि वास्तव में एक ही अंतर्निहित वास्तविकता का वर्णन करने वाली दो अलग-अलग भाषाएँ हैं। यह संदेह, जिसे 'ज्यामितीय लैंगलैंड्स पत्राचार' (geometric Langlands correspondence) के रूप में जाना जाता है, यह सुझाव देता है कि एक वक्र पर प्रत्येक ज्यामितीय वस्तु के लिए, समरूपता पक्ष पर उसका एक पूर्ण बीजगणितीय जुड़वां होता है, और इसके विपरीत भी। जबकि इस सेतु के सामान्य नियम स्थापित हो चुके हैं, एक विशिष्ट, मौलिक प्रश्न अनुत्तरित रह गया था: जब सबसे सरल संभव वस्तु ज्यामितीय पक्ष से पार होकर दूसरी ओर जाती है, तो क्या होता है?

इस ज्यामितीय दुनिया में सबसे सरल वस्तु 'कॉन्स्टेंट शीफ' (constant sheaf) है। कल्पना कीजिए कि एक वक्र कपड़े का एक टुकड़ा है, और कल्पना कीजिए कि आप इसे किनारों तक एक ही, अपरिवली रंग से पेंट कर रहे हैं। यह एकसमान, अपरिवर्तनीय अवस्था 'कॉन्स्टेंट शीफ' है। यह गणितीय रूप से एक खाली कैनवास या एक सपाट, निराकार मैदान के समान है। ज्यामितीय लैंगलैंड्स पत्राचार की जटिल मशीनरी में, यह वस्तु इसलिए अद्वितीय है क्योंकि यह इतनी बुनियादी है कि जब गणितज्ञ इसे समरूपता पक्ष की भाषा में अनुवाद करने का प्रयास करते हैं, तो यह अक्सर गायब हो जाती है या खो जाती है। इस वस्तु को मैप करने के पिछले प्रयासों ने सुझाव दिया था कि यह पूरी तरह से लुप्त हो सकती है, जिससे सिद्धांत में एक शून्य रह जाएगा। हालांकि, केंटा सुजुकी का एक नया शोध पत्र पुष्टि करता है कि यह वस्तु गायब नहीं होती है; इसके बजाय, यह एक अत्यंत विशिष्ट, जटिल संरचना में बदल जाती है जिसकी भविष्यवाणी की गई थी लेकिन जिसे कभी स्पष्ट रूप से गणना नहीं किया गया था।

सुजुकी का कार्य एक 'रिडक्टिव ग्रुप' (reductive group) पर केंद्रित है, जो एक प्रकार का समरूपता समूह है जो अच्छी तरह से व्यवहार करता है और भौतिकी एवं गणित के कई क्षेत्रों में केंद्रीय है, और एक 'स्मूथ प्रोजेक्टिव कर्व' (smooth projective curve) पर, जो वह ज्यामितमितीय मंच है जहाँ क्रिया होती है। लेखक ठीक यही गणना करने का प्रयास करते हैं कि ज्यामितीय लैंगलैंड्स इक्विवेलेंस (जो दोनों दुनियाओं के बीच अनुवाद करने वाली एक परिष्कृत गणितीय मशीन है) के माध्यम से गुजरने के बाद 'कॉन्स्टेंट शीफ' क्या बन जाता है। परिणाम गणितज्ञ विन्सेंट लाफ़ोरे द्वारा की गई एक धारणा की पुष्टि है। पत्र यह प्रदर्शित करता है कि 'कॉन्स्टेंट शीफ' लुप्त नहीं होता है; बल्कि, यह दूसरी ओर एक "स्पेक्ट्रल पोइनकेरे शीफ" (spectral Poincaré sheaf) के रूप में उभरता है। यह नई वस्तु मूल 'कॉन्स्टेंट शीफ' की तरह एक सरल, एकसमान चीज़ नहीं है। इसके बजाय, यह एक जटिल, स्तरित संरचना है जो सिस्टम की समरूपताओं के बारे में गहन जानकारी को संचित करती है।

इस निष्कर्ष तक पहुँचने के लिए, लेखक को श्रृंखला की सूक्ष्म गणितीय चुनौतियों से गुजरना पड़ा। कठिनाई इस तथ्य में निहित थी कि इन दुनियाओं के बीच अनुवाद के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक उपकरण अक्सर 'कॉन्स्टेंट शीफ' के साथ इस तरह व्यवहार करते हैं जैसे कि वह शून्य हो, प्रभावी रूप से इसे अनदेखा कर देते हैं। ऐसा गणितीय डेटा को व्यवस्थित करने के दो तरीकों के बीच एक तकनीकी अंतर के कारण होता है: एक तरीका डेटा को सरल, स्थिर संग्रहों के रूप में मानता है, जबकि दूसरा अधिक लचीले, अनंत संयोजनों की अनुमति देता है। 'कॉन्स्टेंट शीफ' इन सोचने के दो तरीकों के बीच के अंतराल में रहता है। सुजुकी की सफलता यह थी कि उन्होंने सावधानीपूर्वक यह ट्रैक किया कि अधिक लचीले लेंस के माध्यम से देखे जाने पर 'कॉन्स्टेंट शीफ' कैसा व्यवहार करता है, जिससे यह प्रकट हुआ कि यह अपनी यात्रा में जीवित रहता है लेकिन अपना रूप बदल लेता है।

यह शोध पत्र समस्या को प्रबंधनीय टुकड़ों में तोड़कर आगे बढ़ता है। सबसे पहले, लेखक जटिल समरूपता समूह को उसके सरलतम घटकों में विभाजित करते हैं, ठीक वैसे ही जैसे घड़ी के पुर्जों को यह देखने के लिए अलग करना कि उनके गियर कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। इन सरल घटकों पर 'कॉन्स्टेंट शीफ' के व्यवहार को समझकर, लेखक पूर्ण, जटिल प्रणाली पर इसके व्यवहार का पुनर्निर्माण कर सकते हैं। प्रमाण का एक प्रमुख हिस्सा यह जांचना है कि यह वस्तु तब कैसा व्यवहार करती है जब इसे "कॉन्स्टेंट टर्म" (constant term) द्वारा कम किया जाता है, जो एक ऐसी प्रक्रिया है जो ज्यामिति के जटिल, घुमावदार हिस्सों को हटाकर नीचे की मूल संरचना को प्रकट करती है। लेखक दिखाते हैं कि जब इस न्यूनीकरण को समरूपता पक्ष पर रहस्यमय वस्तु पर लागू किया जाता है, तो यह ज्यामितिक पक्ष पर 'कॉन्स्टेंट शीफ' से अपेक्षित चीज़ के साथ पूरी तरह मेल खाता है।

अंतिम परिणाम एक सटीक सूत्र है जो 'कॉन्स्टेंट शीफ' की छवि का वर्णन करता है। यह एक विशिष्ट प्रकार के घातांकीय (exponential)-जैसे फलन से निर्मित एक वस्तु है, जिसे समरूपताओं की दुनिया के अनुकूल बनाया गया है। यह वस्तु, 'स्पेक्ट्रल पोइनकेरे शीफ', एक सार्वभौमिक कुंजी के रूप में कार्य करती है। जिस प्रकार 'कॉन्स्टेंट शीफ' ज्यामितीय पक्ष पर सबसे सरल निर्माण खंड है, यह नई वस्तु समरूपता पक्ष पर एक मौलिक निर्माण खंड के रूप में कार्य करती है। पत्र सिद्ध करता है कि ये दोनों वस्तुएं वास्तव में एक ही चीज़ हैं, बस उन्हें विपरीत छोरों से देखा जा रहा है। यह पुष्टि महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सिद्धांत में सबसे बुनियादी तत्वों के व्यवहार के बारे में लंबे समय से चली आ रही अनिश्चितता को दूर करती है। यह दर्शाता है कि ज्यामितीय लैंगलैंड्स पत्राचार इतना मजबूत है कि वह सबसे सरल, सबसे एकसमान इनपुट को भी संभाल सके, और उन्हें प्रक्रिया के दौरान खो जाने के बजाय समृद्ध, संरचित आउटपुट में अनुवादित कर सके।

यह कार्य केवल 'कॉन्स्टेंट शीफ' तक ही सीमित नहीं है। लेखक दिखाते हैं कि उसी पद्धति का उपयोग अन्य सरल वस्तुओं, विशेष रूप से 'फाइनाइट-रैंक लोकल सिस्टम्स' (finite-rank local systems) के चित्रों को खोजने के लिए किया जा सकता है, जो 'कॉन्स्टेंट शीफ' की तरह ही हैं लेकिन उनमें थोड़ी अधिक आंतरिक संरचना होती है। 'कॉन्स्टेंट शीफ' के लिए नियम स्थापित करके, लेखक यह समझने के लिए एक टेम्पलेट प्रदान करते हैं कि ये सभी बुनियादी ज्यामितीय वस्तुएं कैसे रूपांतरित होती हैं। यह एक महत्वपूर्ण कदम है क्योंकि, गणित में, सबसे सरल मामलों को समझना अक्सर सबसे जटिल मामलों को खोलने की कुंजी प्रदान करता है। यह पत्र केवल एक उत्तर ही नहीं देता; यह ज्यामितीय लैंगलैंड्स पत्राचार के संपूर्ण परिदृश्य को देखने का एक नया तरीका प्रदान करता है।

अंत में, यह पत्र पुष्टि करता है कि ज्यामिति और समरूपता के बीच का सेतु सुदृढ़ है। 'कॉन्स्टेंट शीफ', जो एक सपाट, अपरिवर्तनीय क्षेत्र का गणितीय समकक्ष है, दूसरी ओर जाने पर गायब नहीं होता है। इसके बजाय, यह एक परिष्कृत, बहु-स्तरीय संरचना के रूप में पुन: प्रकट होता है जो सिस्टम की समरूपताओं को समझने की कुंजी रखता है। यह खोज आधुनिक गणित के सबसे गहन संबंधों में से एक की हमारी समझ के अंतराल को भरती है, यह दर्शाती है कि ज्यामितीय दुनिया के सबसे बुनियादी तत्वों का भी समरूपता की दुनिया में एक सटीक और अर्थपूर्ण समकक्ष होता है। परिणाम इन दो विशाल गणितीय क्षेत्रों के आपस में जुड़े होने का एक स्पष्ट, अधिक पूर्ण चित्र प्रस्तुत करता है, जो भविष्य के अन्वेषण के लिए एक नया आधार प्रदान करता है।

तकनीकी सारांश: ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता के अंतर्गत स्थिर शिफ (Constant Sheaf) की छवि

समस्या विवरण
यह शोध पत्र ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम के ढांचे के भीतर एक विशिष्ट गणनात्मक समस्या को संबोधित करता है। मान लीजिए कि $X$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के विशेषता शून्य वाले एक चिकने प्रक्षेपवक्र (smooth projective curve) है, और $G$ एक रिडक्टिव समूह है जिसका लैंगलैंड्स द्वैत $\check{G}$ है। ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता, जो हाल के कार्यों (GR24a, ABC+24a, CCF+24, ABC+24b, GR24b) में स्थापित की गई है, एक श्रेणियों का तुल्यता प्रदान करती है:
$L_G: D\text{-mod}(\text{Bun}_G) \simeq \text{IndCoh}_{\text{Nilp}}(\text{LS}_{\check{G}})$
जहाँ $D\text{-mod}(\text{Bun}_G)$ $G$ -बंडलों के स्टैक पर D-मॉड्यूल की श्रेणी है, और $\text{IndCoh}_{\text{Nilp}}(\text{LS}_{\check{G}})$ $\check{G}$ -लोकल सिस्टम्स के निलपोटेंट सिंगुलर सपोर्ट वाले इंड-कोहेरेंट शीव्स की श्रेणी है।

केंद्रीय समस्या स्थिर शिफ $\omega_{\text{Bun}_G}$ (और अधिक सामान्यतः, अनिश्चित परिमाण वाले स्थानीय प्रणालियों) की इस तुल्यता के अंतर्गत छवि को स्पष्ट रूप से संगणित करना है। यह V. Lafforgue द्वारा प्रस्तावित एक अप्रकाशित अनुमान की पुष्टि करता है। शोध पत्र नोट करता है कि "कोर्स" (coarse) ज्यामितीय लैंगलैंड्स फलन, जो क्वाजी-कोहेरेंट शीव्स पर मानचित्रित होता है, $\omega_{\text{Bun}_G}$ को शून्य कर देता है; अतः, गणना उन कोहॉमोलॉजिकल सूक्ष्मताओं पर निर्भर करती है जो क्वाजी-कोहेरेंट शीव्स और इंड-कोहेरेंट शीव्स के बीच अंतर करती हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक इस समस्या को हल करने के लिए श्रेणीगत द्वैत (categorical duality), सिंगुलर सपोर्ट विश्लेषण, और आइसोजेनी (isogeny) के साथ अनुकूलता के संयोजन का उपयोग करता है।

स्पेक्ट्रल निर्माण: शोध पत्र एक "स्पेक्ट्रल पोइन्केरे शिफ" (spectral Poincaré sheaf) को परिभाषित करता है, जिसे $\text{LS}_{\check{G}}$ के स्टैक और $\check{N}$ तथा एक को-कैरेक्टर $\check{\rho}$ वाले एक कोटिएंट स्टैक से जुड़े एक पत्राचार (correspondence) के माध्यम से निर्मित किया गया है। विशेष रूप से, इसमें $\Omega^{\mathbb{A}^1}/\mathbb{G}_m$ पर "स्पेक्ट्रल एक्सपोनेंशियल शिफ" $\text{exp}^{\text{spec}}$ और $\text{LS}_{\check{N}}/\check{\rho}(\mathbb{G}_m)$ से जुड़े एक आरेख में पुश-पुल फंक्टर्स शामिल हैं।
द्वैत सूत्रीकरण: समस्या को द्वैत के माध्यम से दृष्टिकोण दिया गया है। लेखक "स्पेक्ट्रल व्हिटेकर फलन" (spectral Whittaker functor) $\text{Whit}^{\text{spec}}$ पर विचार करता है, जो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड और एक "सिंगुलैरिटी फलन" के संयोजन से परिभाषित है जो क्वाजी-कोहेरेंट शीव्स को हटा देता है। अनुमान इस बात को सिद्ध करने के अनुरूप है कि ऑटोमोटिव पक्ष पर कॉम्पैक्टली सपोर्टेड डी-राहम कोहॉमोलॉजी फलन और स्पेक्ट्रल पक्ष पर $\text{Whit}^{\text{spec}}$ से जुड़े आरेख में क्रमबद्धता (commute) होती है।
कॉन्स्टेंट टर्म फंक्टर्स: अनुमान को सत्यापित करने के लिए, लेखक दोनों पक्षों (ऑटोमोटिव ऑब्जेक्ट $\omega_{\text{Bun}_G}$ $ω_{Bun_{G}}$ और स्पेक्ट्रल ऑब्जेक्ट $\text{Poinc}^{\text{spec}}$ $Poinc^{spec}$ ) के कॉन्स्टेंट टर्म्स की गणना करता है।
- ऑटोमोटिव पक्ष पर, कॉन्स्टेंट टर्म फलन का विश्लेषण कंट्रैक्शन सिद्धांत (contraction principle) और नॉन-कैरैक्टरिस्टिक मॉर्फिज्म का उपयोग करके किया जाता है, जिससे यह टॉरस बंडल स्टैक से एक मैप के पुलबैक में कम हो जाता है।
- स्पेक्ट्रल पक्ष पर, कॉन्स्टेंट टर्म की गणना ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता और कॉन्स्टेंट टर्म फंक्टर्स के साथ इसकी अनुकूलता (जो CCF+24 में स्थापित की गई है) और स्पेक्ट्रल ऑब्जेक्ट्स के सिंगुलर सपोर्ट के विस्तृत विश्लेषण का उपयोग करके की जाती है।
विच्छेदित टॉरस (Disconnected Tori) तक विस्तार: अनिश्चित परिमाण वाली स्थानीय प्रणालियों (केवल स्थिर शिफ नहीं) को संभालने के लिए, शोध पत्र विच्छेदित टॉरस के लिए ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता का विस्तार करता है। इसमें एक डिस्कनेक्टेड टॉरस के लैंगलैंड्स द्वैत को पिकार्ड स्टैक के रूप में परिभाषित करना और इन मामलों के लिए एक फूरियर-मुकै (Fourier-Mukai) तुल्यता स्थापित करना शामिल है।
आइसोजेनी अनुकूलता: लेखक यह सिद्ध करता है कि ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता आइसोजेनी के साथ संगत है (विशेष रूप से, वे होमॉमॉर्फिज्म जो डेरिव्ड सबग्रुप्स पर आइसोजेनी प्रेरित करते हैं)। यह $G$ के एबेलियनाइजेशन के माध्यम से स्थिर शिफ के परिणाम को अनिश्चित परिमाण वाली स्थानीय प्रणालियों तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।

मुख्य योगदान और परिणाम

थ्योरम 1.1 / थ्योरम 6.2: मुख्य परिणाम एक आइसोमॉर्फिज्म $L_G(\omega_{\text{Bun}_G}) \simeq \text{Poinc}^{\text{spec}}$ स्थापित करता है। यह Lafforgue के उस अनुमान की पुष्टि करता है कि स्थिर शिफ की छवि स्पेक्ट्रल पोइन्केरे शिफ है।
थ्योरम 4.5: यह शोध पत्र इस परिणाम को अनिश्चित परिमाण वाली स्थानीय प्रणालियों तक सामान्यीकृत करता है। यह $G$ के एबेलियनाइजेशन ( $G^{\text{abc}}$ ) और पूर्ण समूह $G$ के लिए ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता के बीच एक क्रमबद्ध आरेख का निर्माण करता है, जो यह दर्शाता है कि $\text{Bun}_G$ पर संगत स्थानीय प्रणाली की छवि, $\text{Bun}_{G^{\text{abc}}}$ पर संबंधित स्थानीय प्रणाली की छवि को स्पेक्ट्रल पोइन्केरे शिफ के साथ कॉन्वोल्यूशन (convolution) करके प्राप्त की जाती है।
थ्योरम 4.4: यह थ्योरम परिणाम का द्वैत संस्करण प्रस्तुत करता है, जो स्पेक्ट्रल पोइन्केरे शिफ और एबेलियनाइजेशन मैप के संदर्भ में इन्वर्स लैंगलैंड्स फलन के तहत स्थिर शिफ की छवि का वर्णन करता है।
सिंगुलर सपोर्ट विश्लेषण: शोध पत्र एक कठोर जांच प्रदान करता है कि निर्मित स्पेक्ट्रल ऑब्जेक्ट सही श्रेणी (विशेष रूप से, $D\text{-mod}_{\mathfrak{z}(\mathfrak{g})}(\text{Bun}_G)$ में सिंगुलर सपोर्ट वाले D-मॉड्यूल्स) में स्थित है, जो यह सुनिश्चित करता है कि ऑब्जेक्ट "क्वासी-लिस" (quasi-lisse) है।
विच्छेदित समूहों तक विस्तार: खंड 3 विच्छेदित टॉरस के लिए ज्यामितीय लैंगलैंड्स तुल्यता का स्व-निहित विकास प्रदान करता है, जो गैर-कनेक्टेड केंद्रों वाले सामान्य रिडक्टिव समूहों को संभालने के लिए एक तकनीकी पूर्व शर्त है।

महत्व और दावे

शोध पत्र V. Laffue के एक विशिष्ट, पूर्व में अप्रमाणित अनुमान को हल करने का दावा करता है जो स्थिर शिफ के लिए ज्यामितीय लैंगलैंड्स पत्राचार के स्पष्ट रूप के संबंध में है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

स्पष्ट गणना: अस्तित्व की तुल्यता से आगे बढ़कर एक मौलिक ऑब्जेक्ट (स्थिर शिफ) की छवि का एक ठोस विवरण प्रदान करना।
कोहॉमोलॉजिकल सूक्ष्मता: क्वाजी-कोहेरेंट शीव्स के बजाय इंड-कोहेरेंट शीव्स की श्रेणी के भीतर कार्य करने की आवश्यकता को रेखांकित करना, क्योंकि बाद वाला परिणाम को शून्य कर देगा।
सार्वभौमिकता: एबेलियनाइजेशन और आइसोजेनी अनुकूलता के माध्यम से परिणाम को अनिश्चित परिमाण वाली स्थानीय प्रणालियों तक विस्तारित करके, शोध पत्र $D\text{-mod}(\text{Bun}_G)$ के "क्वासी-लिस" उपश्रेणी का पूर्ण विवरण प्रदान करता है।
सापेक्ष लैंगलैंड्स के साथ संगति: परिणाम को सापेक्ष लैंगलैंड्स द्वैत के दर्शन की पुष्टि के रूप में फ्रेम किया गया है, जहाँ ग्लोबल सेक्शन्स फलन (कॉम्पैक्टली सपोर्टेड कोहॉमोलॉजी) ऑटोमोटिव पक्ष पर एक स्पेक्ट्रल व्हिटेकर फलन के साथ इंटरट्विन (intertwine) होता है।

लेखक नोट करता है कि छवि के लिए सूत्र अन्य शीफ थ्योरीज़ (Betti, $\ell$ -adic) में भी औपचारिक कारणों से लागू होता है, जो इस तथ्य पर निर्भर करता है कि स्पेक्ट्रल पोइन्केरे शिफ प्रतिबंधित वेरिएशन वाले लोकल सिस्टम्स की श्रेणी में आता है, और स्थिर शिफ प्रासंगिक नियरबी साइकिल्स (nearby cycles) निर्माणों के तहत स्थिर शिफ में मैप होता है। शोध पत्र किसी नए प्रायोगिक अनुप्रयोग का प्रस्ताव नहीं करता है, बल्कि एक विशिष्ट, महत्वपूर्ण वर्ग के ऑब्जेक्ट्स के लिए ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम के सैद्धांतिक आधार को सुदृढ़ करता है।

इसी तरह के और पेपर