Emptiness formation in the Lieb-Liniger gas: hydrodynamic instantons and a conjectured rate function
यह शोध पत्र प्रतिकर्षी (repulsive) लीब-लिनिगर बोस गैस की ग्राउंड स्टेट में एम्प्टीनेस फॉर्मेशन प्रोबेबिलिटी (emptiness formation probability) को नियंत्रित करने वाले रेट फंक्शन के लिए एक पैरामीटर-मुक्त इंटीग्रल समीकरण प्रस्तावित करता है, जिसे एक ड्यूल-फील्ड फ्रेडहोम-डिटर्मिनेंट प्रतिनिधित्व से व्युत्पन्न किया गया है और ज्ञात सीमाओं एवं व्यापक संख्यात्मक हाइड्रोडायनामिक सिमुलेशन के विरुद्ध मान्य किया गया है।
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क्वांटम गैसों की शांत, अत्यंत ठंडी दुनिया में, परमाणु छोटे बिलियर्ड बॉल्स की तरह कम और एक एकल, एकीकृत तरंग की तरह अधिक व्यवहार करते हैं। जब वैज्ञानिक इन परमाणुओं को एक संकीर्ण, एक-आयामी चैनल में फँसाते हैं, तो वे एक ऐसा तंत्र बनाते हैं जहाँ क्वांटम दुनिया के नियम स्पष्ट रूप से सामने आते हैं। इस क्षेत्र में सबसे दिलचस्प प्रश्नों में से एक एक दुर्लभ, स्वतःस्फूर्त घटना की संभावना से संबंधित है: कणों की भीड़ के भीतर अचानक पूरी तरह से खाली स्थान का निर्माण। एक घने कोहरे की कल्पना करें जहाँ, एक क्षण के लिए, बिना किसी पूर्व सूचना के हवा का एक पूर्ण गोला दिखाई देता है। क्वांटम जगत में, इसे "एम्प्टिनेस फॉर्मेशन प्रोबेबिलिटी" (emptiness formation probability) या 'शून्यता निर्माण प्रायिकता' के रूपए जाना जाता है। यह इस बात का माप है कि कितनी संभावना है कि एक विशिष्ट क्षेत्र कणों से पूरी तरह रिक्त हो जाएगा, एक ऐसा उतार-चढ़ाव जो पदार्थ के उपलब्ध स्थान को भरने की सामान्य प्रवृत्ति को चुनौती देता है। इस प्रायिकता को समझना केवल एक अमूर्त अभ्यास नहीं है; यह उन गहरे सांख्यिकीय नियमों को प्रकट करता है जो यह नियंत्रित करते हैं कि क्वांटम सिस्टम कैसे उतार-चढ़ाव करते हैं और वे चरम स्थितियों में कैसे व्यवहार कर सकते हैं, जो पदार्थ की मौलिक प्रकृति के बारे में एक खिड़की खोलता है।
द दशकों से, भौतिकविद् सटीक रूप से भविष्यवाणी करने के लिए संघर्ष कर रहे हैं कि इस प्रकार के क्वांटम गैस में, जिसे लीब-लिनिगेर गैस (Lieb–Liniger gas) कहा जाता है, शून्यता कितनी बार होती है, जिसमें ऐसे कण होते हैं जो एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। जबकि वैज्ञानिक चरम मामलों के लिए इस प्रायिकता की गणना कर सके थे—जहाँ कण शायद ही कभी परस्पर क्रिया करते हैं या जहाँ वे अत्यधिक बल के साथ एक-दूसरे को धकेलते हैं—मध्यम सीमा के लिए एक सामान्य सूत्र मिलना कठिन बना रहा। इस समस्या को हल करने के पिछले प्रयास जटिल गणितीय अनुमानों पर निर्भर थे जो चरम सीमाओं में तो अच्छा काम करते थे लेकिन मध्य श्रेणी में कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ सहमत होने में विफल रहे। स्टॉनी ब्रुक यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस प्रायिकता की गणना करने का एक नया, एकीकृत तरीका प्रस्तावित किया है जो संपर्क शक्ति के पूरे स्पेक्ट्रम में काम करता है, कमजोर धक्के से लेकर सबसे मजबूत प्रतिकर्षण तक।
शोधकर्ताओं ने इस समस्या को क्वांटम गैस का वर्णन करने वाली गणितीय संरचना को देखकर हल किया। उन्होंने इस प्रणाली का एक सटीक, लेकिन अविश्वसनीय रूप से जटिल विवरण "फ्रेडहोम डिटरमिनेंट" (Fredholm determinant) के साथ शुरू किया, जो क्वांटम यांत्रिकी में प्रायिकताओं की गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला एक प्रकार का गणितीय पिंड है। इस पिंड को सीधे हल करने के बजाय, उन्होंने समस्या को उस सबसे संभावित पथ की खोज के रूप में देखा जिसे सिस्टम खाली क्षेत्र बनाने के लिए अपनाता है। भौतिकी की भाषा में, इस पथ को "इंस्टेंटन" (instanton) कहा जाता है। वे समझ गए कि सही उत्तर खोजने के लिए, उन्हें दो चीजों को एक साथ होते हुए विचार करने की आवश्यकता थी: खाली क्षेत्र का आकार और उतार-चढ़ाव वाले क्षेत्र जो कणों का वर्णन करते हैं। यह विश्लेषण करके कि ये दोनों तत्व जैसे-जैसे खाली क्षेत्र बड़ा होता जाता है, वे एक साथ कैसे स्केल करते हैं, उन्होंने एक नया, स्व-निहित समीकरण प्राप्त किया। इस समीकरण के लिए किसी भी समायोज्य पैरामीटर या अनुमान की आवश्यकता नहीं है; यह पूरी तरह से गैस के मौलिक गुणों, विशेष रूप से कणों के बीच प्रतिकर्षण की शक्ति और उनके घनत्व द्वारा निर्धारित होता है।
उनके कार्य का परिणाम एक एकल, सुंदर समाकल समीकरण (integral equation) है जो यह भविष्यवाणी करता है कि खाली स्थान के आकार के बढ़ने के साथ खाली स्थान मिलने की दर किस दर से गिरती है। अपने विचार का परीक्षण करने के लिए, टीम ने बड़े पैमाने पर कंप्यूटर सिमुलेशन किए, जो अनिवार्य रूप से क्वांटम हाइड्रोडायनामिक्स के नियमों को चलाकर देखते हैं कि क्या होता है जब वे गैस में एक अंतराल बनाने के लिए मजबूर करते हैं। उन्होंने सिस्टम को "इमेजिनरी टाइम" (imaginary time) में विकसित होते देखा, जो एक ऐसा गणितीय उपकरण है जो भौतिकविदों को एक दुर्लभ घटना के सबसे संभावित पथ का अध्ययन करने की अनुमति देता है। सिमुलेशन से पता चला कि इस खाली क्षेत्र की सीमा एक विशिष्ट, तारे जैसी आकृति लेती है, जो एक चार-कोणीय तारे जैसा दिखता है जिसे 'एस्ट्राॉयड' (astroid) कहा जाता है। यह आकार सरल प्रणालियों में देखे गए आकार के अनुरूप है, लेकिन यहाँ यह एक जटिल, परस्पर क्रिया करने वाले क्वांटम तरल में दिखाई देता है।
जब शोधकर्ताओं ने अपने नए समीकरण की तुलना अपने कंप्यूटर सिमुलेशन के परिणामों से की, तो उन्हें एक उल्लेखनीय सहमति मिली। संपर्क शक्ति के चार से अधिक आदेशों (orders of magnitude) में फैले हुए—एक बहुत ही कमजोर रूप से परस्पर क्रिया करने वाली गैस से लेकर एक ऐसी गैस तक जो लगभग एक ठोस की तरह व्यवहार करती है—उनका सूत्र सिमुलेशन डेटा के साथ कुछ प्रतिशत के भीतर मेल खाता है। सटीकता का यह स्तर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दो ज्ञात चरम सीमाओं के बीच के अंतर को पाटता है। उस सीमा में जहाँ कण बहुत मजबूती से परस्पर क्रिया करते हैं, उनका सूत्र 'फ्री फर्मियन्स' (free fermions) का सही ढंग से पुनरुत्पादन करता है, जो पदार्थ की एक सु well-understood अवस्था है। कमजोर परस्पर क्रिया की सीमा में, यह एक अलग प्रकार के तरल के भविष्यवाणियों से मेल खाता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह दोनों सीमाओं में सूक्ष्म, प्रथम-क्रम सुधारों (first-order corrections) को भी पकड़ता है, वे विवरण जिन्हें पिछली थ्योरी ने या तो छोड़ दिया था या गलत बताया था।
यह शोध पत्र उनके तरीके की सटीकता के बारे में एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न को भी संबोधित करता है। उनके सूत्र और कंप्यूटर सिमुलेशन के बीच तीन से पांच प्रतिशत का छोटा अंतर संभवतः गणनाओं में उपयोग किए गए संख्यात्मक ग्रिड (numerical grid) की सीमाओं के कारण है, न कि स्वयं सिद्धांत में किसी दोष के कारण। जब शोधकर्ताओं ने अपने ग्रिड को परिष्कृत किया और सिमुलेशन को अधिक समय तक चलाया, तो संख्याएँ उनकी भविष्यवाणी के करीब पहुँच गईं, जिससे पता चलता है कि सूत्र वास्तव में सही उत्तर है। यह कार्य क्वांटम प्रणालियों में दुर्लभ उतार-चढ़ाव को समझने के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करता है। यह दिखाता है कि एक जटिल, प्रतिकर्षण करने वाली क्वांटम गैस में भी, चरम घटनाओं की प्रायिकता को एक स्वच्छ, पैरामीटर-मुक्त गणितीय नियम द्वारा वर्णित किया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने केवल एक अनुमान नहीं दिया है; उन्होंने एक कठोर ढांचा प्रदान किया है जो कणों के सूक्ष्म प्रकीर्णन (microscopic scattering) को संपूर्ण गैस के स्थूल व्यवहार से जोड़ता है, जो क्वांटम दुनिया में शून्यता कैसे बनती है, इसका एक एकीकृत दृष्टिकोण प्रदान करता है।
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