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Global dynamics of Vlasov--wave systems without the null condition under exponential momentum decay

यह शोध पत्र लघु वितरण फलनों (distribution functions) के अंतर्गत बिना नल कंडीशन (null condition) वाले सापेक्षिक वालोव-वेव (Vlasov-wave) प्रणालियों के लिए वैश्विक अस्तित्व और संशोधित प्रकीर्णन (modified scattering) को स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि स्केलर क्षेत्रों पर आवश्यक क्षय दरें (decay rates) और लघुता धारणाएं बल क्षेत्र की समरूपता (homogeneity) पर निर्भर करती हैं, जबकि यह सिद्ध करता है कि लघुता को सामान्यतः कॉम्पैक्टली सपोर्टेड डेटा (compactly supported data) के लिए भी शिथिल नहीं किया जा सकता है।

मूल लेखक: Léo Bigorgne

प्रकाशित 2026-08-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Léo Bigorgne

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

ब्रह्मांड के इस विशाल, शांत रंगमंच में, दो मौलिक बल अक्सर अपना लंबा खेल खेलते हैं: अनगिनत कणों का निरंतर बहाव और तरंगों का लहरदार प्रसार। कल्पना कीजिए कि अंतरिक्ष में अदृश्य, विशाल कणों का एक झुंड घूम रहा है, जिनमें से प्रत्येक अपने स्वयं के संवेग (momentum) को वहन कर रहा है, और साथ ही साथ एक बल क्षेत्र उत्पन्न कर रहा है जो हवा में ध्वनि या निर्वात में प्रकाश की तरह बाहर की ओर लहरों की तरह फैलता है। यह गतिज सिद्धांत (kinetic theory) का क्षेत्र है, जहाँ वैज्ञानिक यह अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं कि ऐसा तंत्र अरबों वर्षों में कैसे विकसित होता है। चुनौती इस अंतःक्रिया (interaction) में निहित है: जैसे-जैसे कण चलते हैं, वे तरंगें उत्पन्न करते हैं; जैसे-जैसे तरंगें यात्रा करती हैं, वे कणों को धकेलती हैं। यदि यह अंतःक्रिया बहुत अधिक प्रबल हो जाए या अराजक तरीके से व्यवहार करे, तो यह तंत्र सैद्धांतिक रूप से एक सीमित समय में ढह सकता है या फट सकता है, जिससे दीर्घकालिक भविष्यवाणी करना असंभव हो जाता है। दशकों से, गणितज्ञ एक विशिष्ट ज्यामितीय सुरक्षा जाल पर भरोसा करते रहे हैं, जिसे "नल कंडीशन" (null condition) के रूप में जाना जाता है, ताकि यह सिद्ध किया जा सके कि ये तंत्र स्थिर रहते हैं। यह स्थिति एक अंतर्निहित रद्दीकरण तंत्र (cancellation mechanism) की तरह कार्य करती है, जो यह सुनिश्चित करती है कि अंतःक्रिया के सबसे खतरनाक हिस्से तंत्र के विस्तार के साथ एक-दूसरे को कमजोर कर दें। लेकिन क्या होगा यदि उस सुरक्षा जाल को हटा दिया जाए? क्या इन कणों और तरंगों का ब्रह्मांड अनिवार्य रूप से खुद को नष्ट कर लेगा, या क्या यह बिना उस विशिष्ट सुरक्षा के भी जीवित रहने का कोई रास्ता खोज सकता है?

एक शोधकर्ता ने अब इस कठिन प्रश्न को हल किया है, यह सिद्ध करते हुए कि ऐसे तंत्र वास्तव में जीवित रह सकते हैं और पूर्वानुमानित रूप से विकसित हो सकते हैं, भले ही पारंपरिक सुरक्षा जाल मौजूद न हो, बशर्ते कि प्रारंभिक कणों का झुंड पर्याप्त रूप से शांत और विरल हो और प्रारंभिक तरंग क्षेत्र पर्याप्त रूप से कमजोर हो। उन्होंने एक गणितीय मॉडल का अध्ययन किया जो तरंगों के क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया करने वाले कणों के एक बड़े समूह का प्रतिनिधित्व करता है, जो तारों में प्लाज्मा के व्यवहार या डार्क मैटर के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव जैसी वास्तविक दुनिया की भौतिकी की नकल करता है। उनका कार्य यह प्रदर्शित करता है कि स्थिरता के लिए आवश्यकताएं अंतःक्रिया की प्रकृति पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करती हैं। जब बल क्षेत्र 'व्लोसो-मैक्सवेल' (Vlasov-Maxwell) प्रणाली में विद्युत चुम्बकीय बल की तरह व्यवहार करता है, तो पृष्ठभूमि तरंगें बड़ी होने की अनुमति होती हैं, लेकिन कणों को अपनी गति में एक "स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल" (stretched exponential) क्षय के साथ शुरू होना चाहिए—अर्थात, एक तेज़ कण के पाए जाने की संभावना बहुत तीव्रता से गिरनी चाहिए। हालांकि, जब बल क्षेत्र 'आइंस्टीन-व्लोसो' (Einstein-Vlasov) प्रणाली में गुरुत्वाकर्षण बल की तरह व्यवहार करता है, तो पृष्ठभूमि तरंगों को छोटा होना चाहिए, और कणों में और भी तेज़ "थोड़ा सुपर-एक्सपोनेंशियल" (slightly super-exponential) क्षय होना चाहिए (जिसमें मानक मैक्सवेलियन वितरण शामिल है)। इन स्थिर परिदृश्यों में, तंत्र ढहेगा नहीं। इसके बजाय, यह हमेशा के लिए बना रहेगा, एक ऐसी अवस्था में स्थिर हो जाएगा जहाँ कण और तरंगें एक अनुमानित, हालांकि थोड़े परिवर्तित, पैटर्न में एक दूसरे से दूर चले जाते हैं। शोधकर्ता ने पाया कि कण केवल सीधी रेखाओं का अनुसरण नहीं करते जैसा कि एक सरल, घर्षण रहित दुनिया से अपेक्षित हो सकता है। इसके बजाय, तरंगों का निरंतर, कोमल धक्का समय के साथ उनके पथ को थोड़ा मोड़ देता है, एक ऐसी घटना जिसे लेखक "मॉडिफाइड स्कैटरिंग" (modified scattering) कहते हैं। कण अंततः ऐसे प्रक्षेप पथों (trajectories) पर चलते हैं जो एक लघुगणकीय (logarithmic) मात्रा द्वारा स्थानांतरित होते हैं, जो तरंगों के साथ उनकी लंबी अंतःक्रिया की एक सूक्ष्म लेकिन स्थायी छाप है।

हालाँकि, यह स्थिरता एक सख्त चेतावनी के साथ आती है जो इन प्रणालियों की मजबूती के बारे में पिछले अनुमानों को चुनौती देती है। शोधकर्ता ने पाया कि प्रारंभिक तरंग क्षेत्र का आकार अत्यधिक महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से आइंस्टीन-व्लोसो प्रणाली के समान मामले में। यदि तरंगें इस विशिष्ट शासन (regime) में बहुत मजबूत रूप से शुरू होती हैं, तो तंत्र अस्थिर हो जाता है, चाहे कण कितने भी सुव्यवस्थित क्यों न हों। इन मामलों में, तरंगों और कणों के बीच की अंतःक्रिया उन्हें कम करने के बजाय उन्हें बढ़ा देती है, जिससे एक ऐसी विफलता की स्थिति पैदा होती है जहाँ कण अनियét नियंत्रित रूप से त्वरित होते हैं। यह निष्कर्ष स्पष्ट रूप से इस संभावना को खारिज करता है कि ऐसे तंत्र हमेशा स्थिर होते हैं, भले ही पदार्थ की मात्रा कम हो, यदि पृष्ठभूमि क्षेत्र आइंस्टीन-व्लोसो शासन में बहुत बड़ा है। अध्ययन यह सिद्ध करता है कि इस शासन में तंत्र को स्थिर रहने के लिए, प्रारंभिक तरंग क्षेत्र को छोटा होना चाहिए, और कणों के वेग का वितरण एक सुपर-एक्सपोनेंशियल दर पर क्षय होना चाहिए। इसके विपरीत, व्लोसो-मैक्सवेल शासन में, बड़े तरंग क्षेत्र स्वीकार्य हैं, लेकिन वे कणों से एक अलग, स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल क्षय की मांग करते हैं। इसका अर्थ है कि बहुत उच्च गति वाले कण के पाए जाने की संभावना अविश्वसनीय रूप से तेजी से गिरनी चाहिए, जिसमें क्षय की विशिष्ट दर बल क्षेत्र के प्रकार और तरंगों के आकार पर निर्भर करती है।

शोधकर्ता ने यह भी दिखाया कि आइंस्टीन-व्लोसो जैसे मामले में छोटे प्रारंभिक तरंग क्षेत्र की यह आवश्यकता केवल उनके गणितीय तरीके की सीमा नहीं है, बल्कि इस तंत्र का एक मौलिक गुण है। उन्होंने एक विशिष्ट परिदृश्य का निर्माण किया जहाँ एक बड़ा प्रारंभिक तरंग क्षेत्र, पदार्थ की एक सूक्ष्म मात्रा के साथ मिलकर, समय के साथ बढ़ने वाली अस्थिरता की ओर ले जाता है। इस अस्थिर अवस्था में, कणों की ऊर्जा बिना किसी सीमा के बढ़ती है, या तरंगें स्वयं सिंगुलैरिटी (singularities) विकसित करती हैं, जो शांतिपूर्ण, दीर्घकालिक विकास के विचार का खंडन करती हैं। यह परिणाम बताता है कि अन्य प्रसिद्ध भौतिक सिद्धांतों में पाया जाने वाला "नल कंडीशन", जैसे कि विद्युत चुंबकत्व या गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने वाले सिद्धांत, केवल एक गणितीय सुविधा नहीं है, बल्कि एक महत्वपूर्ण विशेषता है जो उन प्रणालियों को बड़े, अधिक अराजक प्रारंभिक अवस्थाओं को संभालने की अनुमति देती है। इसके बिना, परस्पर क्रिया करने वाले इन कणों और तरंगों का ब्रह्मांड पहले की तुलना में कहीं अधिक नाजुक है, जिसे जीवित रहने के लिए एक बहुत ही सूक्ष्म संतुलन की आवश्यकता होती है।

अंततः, यह शोध पत्र अनंत समय में इन प्रणालियों के व्यवहार की एक पूर्ण तस्वीर प्रदान करता है। यह पुष्टि करता है कि जबकि कण सरल, रैखिक फैशन में बिखरते (scatter) नहीं हैं, वे फिर भी एक नई, स्थिर संरचना में स्थापित हो जाते हैं। तरंगें ऊर्जा लेकर अनंत की ओर विकिरणित होती हैं, जबकि कण चलते रहते हैं, उनके पथ उनकी तरंगों के साथ अंतःक्रिया के इतिहास द्वारा स्थायी रूप से परिवर्तित हो जाते हैं। शोधकर्ता ने यह स्थापित किया कि यह परिणाम केवल तभी सुनिश्चित होता है जब प्रारंभिक स्थितियाँ सटीक हों: कणों को उच्च गति पर दुर्लभ होना चाहिए जिसका क्षय दर विशिष्ट बल क्षेत्र और तरंग आकार के अनुरूप हो, और पृष्ठभूमि तरंगों को छोटा होना चाहिए यदि बल क्षेत्र गुरुत्वाकर्षण जैसा दिखता है। यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो तंत्र वैश्विक रूप से स्थिर होता है, जिसका अर्थ है कि यह बिना किसी विस्फोट के सभी समय के लिए अस्तित्व में रहता है। यदि वे नहीं होती हैं, तो तंत्र विनाशकारी रूप से विफल हो सकता है। यह कार्य जटिल भौतिक प्रणालियों के बने रहने के लिए आवश्यक सूक्ष्म संतुलन की हमारी समझ को गहरा करता है, यह दिखाते हुए कि पारंपरिक सुरक्षात्मक तंत्रों की अनुपस्थिति में भी, स्थिरता संभव है—लेकिन केवल प्रारंभिक स्थितियों की एक बहुत ही संकीर्ण खिड़की के भीतर।

तकनीकी सारांश: घातांकीय संवेग क्षय (Exponential Momentum Decay) के अंतर्गत नल कंडीशन (Null Condition) के बिना व्लासोव-वेव प्रणालियों की वैश्विक गतिशीलता

समस्या विवरण
यह शोध पत्र निम्न रूप वाली सापेक्षिक व्लासोव-वेव प्रणालियों के लघु-डेटा समाधानों के वैश्विक अस्तित्व और अनंतस्पर्शी व्यवहार (asymptotic behavior) की जांच करता है:
$\partial_t f + \hat{v} \cdot \nabla_x f + \nabla A \cdot \nabla_v f = 0, \quad \square A_I = \rho_I[f]$
यहाँ $f$ एक वितरण फलन (distribution function) है और $A_I$ स्केलर क्षेत्र हैं। प्रणाली को $\delta \in \{0, 1\}$ द्वारा पैरामीटराइज किया गया है, जो संवेग चर में बल क्षेत्र $\nabla A$ की समरूपता (homogeneity) को निर्धारित करता है। मुख्य चुनौती व्लासोव ऑपरेटर में "नल कंडीशन" की अनुपस्थिति है। व्लासोव-मैक्सवेल ( $\delta=0$ ) और आइंस्टीन-व्लासोव ( $\delta=1$ ) जैसी भौतिक रूप से प्रेरित प्रणालियों में, नल संरचना उच्च संवेगों को नियंत्रित करने और गैर-संकुचित रूप से समर्थित (non-compactly supported) डेटा के उपचार की अनुमति देती है। यह कार्य पूछता है कि क्या वैश्विक स्थिरता तब भी बनी रहती है जब इन ज्यामितीय निरसन (geometric cancellation) वाले तंत्रों में नल संरचना का अभाव हो, विशेष रूप से उन प्रारंभिक डेटा के लिए जिनमें तीव्र संवेग क्षय (मैक्सवेलियन प्रोफाइल सहित) होता है लेकिन संकुचित समर्थन (compact support) नहीं होता।

कार्यप्रणाली
लेखक वेक्टर फील्ड विधि को विशेषता विश्लेषण (characteristic analysis) के सूक्ष्म विश्लेषण के साथ संयोजित करते हैं। प्रमुख कार्यप्रणाली घटक निम्नलिखित हैं:

विशेषता विश्लेषण और संशोधित प्रकीर्णन (Modified Scattering):
लेखक प्रदर्शित करते हैं कि नल कंडीशन के बिना, वेग विशेषताएँ रैखिक प्रक्षेप पथों (linear trajectories) की ओर अनंतस्पर्शी नहीं होती हैं। इसके बजाय, वे "संशोधित प्रकीर्णन" प्रदर्शित करती हैं, जहाँ स्थिति $X_t$ और वेग $V_t$ इस प्रकार होते हैं:
$V_t \to v_\infty, \quad X_t - t\hat{v}_\infty - \log(t)C(v_\infty) \to x_\infty$
स्थानिक विशेषताओं में यह लघुगणकीय विस्थापन (logarithmic shift) विश्लेषण के लिए केंद्रीय है। लेखक एक गतिशील सुधार $C_t(v)$ का निर्माण करते हैं जो अनंतस्पर्शी प्रोफाइल $C(v)$ की ओर अभिसरित होता है ताकि नल संरचना के अभाव से उत्पन्न होने वाले गैर-समाकलनीय (non-integrable) त्रुटि पदों को संभाला जा सके।
त्रिकोणीय क्रम-विनिमय संरचना (Triangular Commutation Structure):
$f$ के डेरिवेटिव्स को नियंत्रित करने के लिए, लेखक कम्यूटेड समीकरणों में एक त्रिकोणीय संरचना का लाभ उठाते हैं। विशिष्ट वेक्टर फील्ड्स (भारित डेरिवेटिव्स सहित) के साथ व्लासोव ऑपरेटर को कम्यूट करके, वे एक ऐसी प्रणाली व्युत्पन्न करते हैं जहाँ डेरिवेटिव्स की वृद्धि को "विकर्णीकरण" (diagonalization) रणनीति के माध्यम से नियंत्रित किया जा सकता है। इसमें एक भारित ऊर्जा कार्यात्मक $F$ को परिभाषित करना शामिल है जो स्थानिक और संवेग डेरिवेटिव्स को जोड़ता है, जिससे लेखक प्रकाश शंकु (light cone) के पास गैर-समाकलनीय पदों की उपस्थिति के बावजूद अनुमानों को पूर्ण (close) कर पाते हैं।
नल कंडीशन की कमी को संभालना:

मामला $\delta=0$ (व्लासोव-मैक्सवेल प्रकार): लेखक दिखाते हैं कि गैर-अनुनाद प्रकृति (non-resonant nature) वेग की एक शक्ति के नुकसान की अनुमति देती है। विशेषताओं को नल निर्देशांक $u = t - |x|$ द्वारा पैरामीटराइज करके, वे बाहरी क्षेत्र में क्षय का उपयोग करके वेग विशेषताओं को सीमित करते हैं, जिसके लिए केवल घातांकीय संवेग क्षय की आवश्यकता होती है।
मामला $\delta=1$ (आइंस्टीन-व्लासोव प्रकार): बल क्षेत्र में वेग की अतिरिक्त शक्ति से विशेषताओं में बहुपद वृद्धि (polynomial growth) होती है। लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि स्केलर क्षेत्र पर्याप्त रूप से छोटे हैं, तो इस वृद्धि को नियंत्रित किया जा सकता है (उप-घातांकीय), जिससे वैश्विक अस्तित्व संभव होता है। वे यह भी दिखाते हैं कि यदि स्केलर क्षेत्र बड़े हैं, तो यह नियंत्रण विफल हो जाता है, जिससे अस्थिरता आती है।

स्रोत पदों के लिए क्षय अनुमान (Decay Estimates for Source Terms):
एक महत्वपूर्ण तकनीकी बाधा डेरिवेटिव्स को खोए बिना वेव समीकरणों में स्रोत पदों $\rho_I[f]$ के लिए इष्टतम क्षय प्राप्त करना है। लेखक संशोधित प्रकीर्णन गतिकी (लघुगणकीय विस्थापन सहित) के अनुकूल भारित फलनों (weight functions) का उपयोग करके एक सुदृढ़ विधि विकसित करते हैं ताकि संवेग औसत के लिए $t^{-3}$ क्षय प्राप्त किया जा सके, जो बूटस्ट्रैप तर्क (bootstrap argument) को पूर्ण करने के लिए आवश्यक है।

मुख्य योगदान और परिणाम

नल संरचना के बिना वैश्विक अस्तित्व: यह शोध पत्र नल कंडीशन की अनुपस्थिति में लघु प्रारंभिक डेटा के लिए वैश्विक अस्तित्व सिद्ध करता है, बशर्ते कि वितरण फलन संवेग में पर्याप्त तेजी से क्षय ( $\delta=0$ के लिए घातांकीय, $\delta=1$ के लिए थोड़ा सुपर-एक्सपोनेंशियल) करे।
संशोधित प्रकीर्णन गतिकी: लेखक स्थापित करते हैं कि समाधान संशोधित विशेषताओं $x + t\hat{v} + C(v)\log(t)$ के अनुदिश संशोधित प्रकीर्णन प्रदर्शित करते हैं, जबकि स्केलर क्षेत्र $A_I$ रैखिक प्रकीर्णन से गुजरते हैं।
$\delta=1$ के लिए लघुता की आवश्यकता: एक प्रमुख योगदान यह प्रमाण है कि $\delta=1$ के मामले में स्केलर क्षेत्रों पर लघुता की धारणा को हटाया नहीं जा सकता, भले ही डेटा संकुचित रूप से समर्थित हो। लेखक एक प्रति-उदाहरण (प्रपोजिशन 1.8) प्रस्तुत करते हैं जो दिखाता है कि बड़े स्केलर क्षेत्र अस्थिरता (ब्लो-अप या $f$ के $L^1$ मान की अनियंत्रित वृद्धि) की ओर ले जाते हैं।
क्षय दरों की अस्थिरता: शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि $\delta=1$ के लिए, मूल भारित स्थान (weighted function spaces) अनंतस्पर्शी रूप से स्थिर नहीं हैं; कुछ भारों के लिए क्षय का नुकसान अपरिहार्य है (प्रपोजिशन 1.11)।
इष्टतम क्षय अनुमान: लेखक स्केलर क्षेत्रों और उनके डेरिवेटिव्स के लिए तीक्ष्ण (sharp) पॉइंटवाइज क्षय अनुमान प्राप्त करते हैं, जो रैखिक प्रकीर्णन से अपेक्षित दरों से मेल खाते हैं, और यह भी दिखाते हैं कि वितरण फलन प्रकाश शंकु के बाहरी भाग में इष्टतम दरों पर क्षय होता है।

महत्व और दावे

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह नल कंडीशन के प्रतिबंधात्मक ढांचे से परे सापेक्षिक व्लासोव प्रणालियों की समझ का विस्तार करता है। यह स्थापित करता है कि यदि प्रारंभिक वितरण संवेग में पर्याप्त तेजी से क्षय होता है ( $\delta=0$ के लिए 'स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल' और $\delta=1$ के लिए 'थोड़ा सुपर-एक्सपोनेंशियल'), तो नल संरचना के अभाव में भी वैश्विक स्थिरता प्राप्त की जा सकती है।

लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि उनके परिणाम इस इच्छा से प्रेरित हैं कि नल संरचना वाले व्लासोव-मैक्सवेल या आइंस्टीन-व्लासोव प्रणालियों की तुलना में अधिक सामान्य ढांचों में स्थिरता गुणों की निरंतरता को समझा जा सके। वे इस बात पर जोर देते हैं कि उनके तरीके के लिए बड़े स्केलर क्षेत्रों के मामले में $\delta=0$ के लिए "स्ट्रेच्ड एक्सपोनेंशियल वेलोसिटी डिके" और $\delta=1$ के मामले में छोटे स्केलर क्षेत्रों के लिए "थोड़ा सुपर-एक्सपोनेंशियल" क्षय की आवश्यकता होती है।

महत्वपूर्ण रूप से, वे नोट करते कि संवेग चर (जैसे $\langle v \rangle$ की विशिष्ट घात) पर विशिष्ट क्षय धारणाएं इष्टतम नहीं हो सकती हैं, क्योंकि वे विशेषताओं और कम्यूटेड समीकरणों के नियंत्रण से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। लेखक यह भी अनुमान लगाते हैं कि यदि स्थिरता को कमजोर नॉर्म (weaker norm) में स्थापित किया जाता है, तो कमजोर धारणाएं भी मान्य हो सकती हैं, लेकिन वे ऐसा सिद्ध करने का दावा नहीं करते हैं। इसके अलावा, वे $\delta=1$ के लिए बड़े क्षेत्रों के साथ अस्थिरता के परिणामों पर जोर देते हैं, जो इंगित करता है कि आइंस्टीन-व्लासोव प्रणाली के लिए बड़े विसरित निर्वात स्पेसटाइम (dispersive vacuum spacetimes) के स्थिरता परिणामों का कोई भी विस्तार परिवहन ऑपरेटर की नल संरचना को ध्यान में रखना चाहिए, जब तक कि वितरण संकुचित रूप से समर्थित न हो।

संक्षेप में, यह कार्य नल संरचना के बिना व्लासोव-वेव प्रणालियों के विश्लेषण के लिए एक कठोर ढांचा प्रदान करता है, वैश्विक अस्तित्व के लिए सटीक क्षय आवश्यकताओं की पहचान करता है और उस संशोधित प्रकीर्णन व्यवहार को लक्षणित करता है जो ज्यामितीय निरसन की अनुपस्थिति में रैखिक प्रकीर्णन का स्थान लेता है।

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