Reply to the Comment on "The Axiom of Choice and the No-Signalling Principle"
यह शोध पत्र स्पष्ट करता है कि जबकि चॉइस के स्वयंसिद्ध (Axiom-of-Choice) पर आधारित नियतात्मक रणनीतियाँ स्थिर-इनपुट नो-सिग्नलिंग परिदृश्यों का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं, वे अंततः वैध संभाव्य नो-सिग्नलिंग रणनीतियों के रूप में गठित होने में विफल रहती हैं क्योंकि वे उन मापन योग्यता (measurability) आवश्यकताओं का उल्लंघन करती हैं जो तब आवश्यक होती हैं जब इनपुट को एक प्रायिकता वितरण से नमूना लिया जाता है।
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भौतिकी के उन शांत कोनों में जहाँ कारण और प्रभाव के नियमों का परीक्षण किया जाता है, वैज्ञानिक अक्सर एक सरल प्रश्न पूछते हैं: क्या सूचना प्रकाश से तेज़ यात्रा कर सकती है? 'नो-सिग्नलिंग' (no-signalling) के रूप में ज्ञात मौलिक सिद्धांत के अनुसार, इसका उत्तर स्पष्ट रूप से 'नहीं' है। यह नियम सुनिश्चित करता है कि यदि कोई व्यक्ति यहाँ कोई विकल्प चुनता है, तो वह तुरंत किसी दूरस्थ पर्यवेक्षक की वास्तविकता को नहीं बदल सकता, जिससे ब्रह्मांड का तार्किक क्रम सुरक्षित रहता है। इस नियम की सीमाओं को खोजने के लिए, शोधकर्ता कभी-कभी ऐसी काल्पनिक स्थितियों या खेलों की कल्पना करते हैं जहाँ दो खिलाड़ियों को बिना संवाद किए अपने उत्तरों में समन्वय स्थापित करना होता है। इन परिदृश्यों में, वे ऐसी रणनीतियों का उपयोग कर सकते हैं जो या तो निश्चित और पूर्वानुमेय होती हैं या जिनमें पासे फेंकने (roll of the dice) जैसी प्रक्रिया शामिल होती है। दशकों तक, इन खेलों का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरणों ने निश्चित रणनीतियों और यादृच्छिक (random) रणनीतियों को अलग-अलग श्रेणियों के रूप में माना है, इस धारणा के साथ कि एक निश्चित योजना केवल एक यादृच्छिक योजना का एक विशेष, सरल मामला है।
भौतिकविदों के बीच हाल ही में हुई एक चर्चा ने इस चर्चा के केंद्र में एक सूक्ष्म लेकिन महत्वपूर्ण अंतर को सामने लाया है। यह बहस एक विशिष्ट गणितीय उपकरण पर केंद्रित है जिसे 'चॉइस का सिद्धांत' (Axiom of Choice) कहा जाता है, जो एक शक्तिशाली अवधारणा है जो गणितज्ञों को जटिल, नियत (deterministic) फलन बनाने की अनुमति देती है, भले ही कोई स्पष्ट पैटर्न मौजूद न हो। एक पिछले अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने इस सिद्धांत का उपयोग एक ऐसी रणनीति बनाने के लिए किया जो एक निश्चित, नियत योजना प्रतीत होती थी। हालाँकि, आलोचकों के एक समूह ने तर्क दिया कि यह योजना वास्तव में एक छद्म संभावabilistic (probabilistic) रणनीति थी, जिससे यह संकेत मिला कि मूल अध्ययन ने दोनों प्रकार की योजनाओं के बीच एक गलत रेखा खींची थी। मूल अध्ययन के लेखकों ने अब उत्तर देते हुए स्पष्ट किया है कि आलोचकों ने एक महत्वपूर्ण परिचालन विवरण (operational detail) को अनदेखा कर दिया है। उनका तर्क है कि हालांकि आलोचक एक संकीर्ण, बिंदु-दर-बिंदु अर्थ में गणितीय रूप से सही हैं, वे इस बात को पकड़ने में विफल रहे हैं कि एक वास्तविक भौतिक प्रयोग में, जहाँ इनपुट यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं, यह रणनीति कैसे कार्य करती है।
असहमति का मूल कारण यह है कि जब खेल शुरू होता है, तो एक "रणनीति" को कैसे परिभाषित किया जाए। आलोचकों के दृष्टिकोण से, यदि आप किसी खिलाड़ी को दिए गए एक एकल, विशिष्ट इनपुट को देखते हैं, तो 'चॉइस का सिद्धांत' एक एकल, निश्चित आउटपुट उत्पन्न करता है। चूंकि एक एकल परिणाम को सौ प्रतिशत की संभावना के रूप में वर्णित किया जा सकता है, इसलिए वे निष्कर्ष निकालते हैं कि यह रणनीति संभावabilistic है। उत्तर देने वाले लेखकों ने सहमति व्यक्त की कि यदि खेल को एक एकल क्षण पर स्थिर कर दिया जाए, तो यह तर्क सही है। हालाँकि, वे जोर देते हैं कि एक वास्तविक रणनीति को पूरे खेल के प्रवाह का वर्णन करना चाहिए, जो रेफरी द्वारा यादृच्छिक इनपुट चुनने के क्षण से लेकर खिलाड़ी द्वारा उत्तर देने के क्षण तक हो। वास्तविक दुनिया में, रेफरी एक एकल, निश्चित संख्या नहीं चुनता; बल्कि वे शून्य और एक के बीच कहीं भी संख्या चुनने की तरह, संभावनाओं की एक निरंतर श्रेणी में से चुनाव करते हैं।
एक पूर्ण, प्रवाहमयी संदर्भ में एक वैध रणनीति होने के लिए, जिस तरह से यह इनपुट को आउटपुट से जोड़ती है, उसका मापने योग्य (measurable) होना आवश्यक है। इसका अर्थ यह है कि आउटपुट वितरण की इनपुट पर निर्भरता को विशिष्ट गणितीय मानदंडों (बोरेल मेयरेबिलिटी - Borel measurability) को पूरा करना चाहिए जो इस प्रक्रिया को रेफरी के यादृच्छिक विकल्पों पर एकीकृत (integrate) करने की अनुमति दे सके। लेखक बताते हैं कि 'चॉइस के सिद्धांत' का उपयोग करके बनाई गई रणनीति इस नियम को तोड़ती है। जबकि यह प्रत्येक संख्या के लिए एक निश्चित उत्तर देती है जिसे रेफरी चुन सकता है, इन सभी उत्तरों का संग्रह मापने योग्य नहीं है, जो इसे इनपुट के यादृच्छिक चयन के साथ मिलकर एक सुसंगत परिणाम उत्पन्न करने से रोकता है। यह भीड़ की औसत ऊंचाई की गणना करने की कोशिश करने जैसा है जहाँ हर व्यक्ति की ऊंचाई परिभाषित है, लेकिन जिस तरह से वे व्यवस्थित हैं, वह पूरे समूह को मापने को असंभव बना देता है। क्योंकि यह रणनीति इनपुट के यादृच्छिक चयन के साथ मिलकर एक सुसंगत परिणाम उत्पन्न करने में विफल रहती है, इसलिए यह एक वास्तविक संभावabilistic प्रक्रिया होने के परीक्षण में विफल हो जाती है।
लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि उनके मूल कार्य में बनाया गया अंतर मान्य बना हुआ है, लेकिन इसके लिए एक संभावabilistic रणनीति वास्तव में क्या है, इसकी अधिक सटीक परिभाषा की आवश्यकता है। वे स्पष्ट करते हैं कि एक संभावabilistic रणनीति केवल प्रत्येक संभावित इनपुट के लिए संभावनाओं की एक सूची नहीं है; यह एक पूर्ण, मापने योग्य प्रक्रिया है जो तब कार्य करती है जब इनपुट यादृच्छिक रूप से लिए जाते हैं। 'चॉइस का सिद्धांत' वाली रणनीति, हालांकि एक स्थिर अर्थ में गणितीय रूप से सुसंगत है, इस परिचालन अर्थ में एक वैध संभावabilistic रणनीति नहीं है क्योंकि इसमें वास्तविक प्रयोग में कार्य करने के लिए आवश्यक 'मेयरेबिलिटी' (measurability) का अभाव है। यह स्पष्टीकरण भौतिकी के नियमों को नहीं बदलता है, बल्कि उनके वर्णन के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय भाषा को और अधिक सटीक बनाता है, यह सुनिश्चित करता है कि एक निश्चित नियम और एक यादृच्छिक प्रक्रिया के बीच का अंतर इस बात से परिभाषित हो कि वे वास्तविक दुनिया में कैसे व्यवहार करते हैं, न कि केवल इस बात से कि वे कागज पर कैसे दिखते हैं।
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