Schatten norms and determinants of linear combinations of matrix tensor powers via virtual representations

क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, वैज्ञानिकों को अक्सर यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी अवस्था मौजूद है, जटिल पदार्थ की अवस्थाओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है। कल्पना कीजिए कि परमाणुओं के दो थोड़े अलग बादलों, या प्रकाश के दो अलग पैटर्न के बीच अंतर करने की कोशिश करना। इसे सटीक रूप से करने के लिए, शोधकर्ताओं को इन प्रणालियों का केवल एक बार नहीं, बल्कि कई बार विश्लेषण करना पड़ता है, जिसमें एक ही अवस्था की कई कॉपियों को एक के ऊपर एक रखा जाता है। यह प्रक्रिया एक ऐसे गणितीय पिंड (object) का निर्माण करती है जो हर नई कॉपी जोड़ने के साथ विस्फोटक रूप से बड़ा होता जाता है। यदि आपके पास एक छोटी प्रणाली है और आप इसे केवल कुछ बार स्टैक करते हैं, तो पूरे हिस्से का वर्णन करने के लिए आवश्यक जानकारी इतनी विशाल हो जाती है कि सबसे शक्तिशाली सुपरकंप्यूटर भी इसे अपनी मेमोरी में नहीं रख सकते। यह क्वांटम सिद्धांतों के परीक्षण और भविष्य की तकनीकों को डिजाइन करने में एक मौलिक बाधा है। दशकों से, गणितज्ञों को यह पता था कि इन विशाल स्टैक्स को कैसे संभालना है जब उन्हें संयोजित करने के लिए केवल एक या दो अलग-अलग प्रकार की वस्तुओं का उपयोग किया जा रहा हो, लेकिन एक तीसरे प्रकार ने हमेशा गणना को अराजकता में डाल दिया, जिससे इसे बिना 'ब्रूट फोर्स' (brute force) के हल करना असंभव सा लगने लगा।

बुडापेस्ट की एक शोध टीम ने अब इस जटिलता के विस्फोट को दरकिनार करने का एक तरीका खोज लिया है, कम से कम एक विशिष्ट आकार की प्रणालियों के लिए। उन्होंने इन विशाल गणितीय स्टैक्स के "आकार" या "भार" की गणना करने के लिए एक नई विधि विकसित की है, भले ही वे तीन अलग-अलग सामग्रियों से बने हों। उनका दृष्टिकोण उस विशाल पिंड को बनाने और फिर उसे मापने का नहीं है। इसके बजाय, यह प्रकृति में पाए जाने वाले एक गहरे 'सिमेट्री' (symmetry - समरूपता) का उपयोग करता है ताकि समस्या को कई छोटे, प्रबंधनीय टुकड़ों में विभाजित किया जा सके। समस्या को इन छोटे ब्लॉकों में पुनर्व्यवस्थित करके, वे पूरे पिंड को स्टोर करने में लगने वाले समय के एक अंश में उत्तर की गणना कर सकते हैं। एक परीक्षण मामले में, जहाँ पूर्ण पिंड को दुनिया के सभी हार्ड ड्राइव में मौजूद स्टोरेज स्पेस से अधिक स्थान की आवश्यकता होती, उनके तरीके ने एक मिनट से भी कम समय में समस्या को हल कर दिया।

समस्या का मूल यह है कि इन क्वांटम अवस्थाओं को कैसे संयोजित किया जाता है। जब वैज्ञानिक एक प्रणाली की कॉपियों को स्टैक करते हैं, तो वे एक ऐसी चीज़ बना रहे होते हैं जिसे 'टेन्सर पावर' (tensor power) कहा जाता है। यदि आपके पास एक एकल प्रणाली है और आप इसे दस बार स्टैक करते हैं, तो इसका गणितीय विवरण प्रणाली के आकार की दसवीं घात के कारक से बढ़ जाता है। एक प्रणाली के लिए जो पहले से ही बड़ी है, यह संख्या खगोलीय हो जाती है। शोधकर्ता विभिन्न क्वांटम अवस्थाओं के बीच अंतर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एक विशिष्ट प्रकार के माप में रुचि रखते थे, जो क्वांटम परिकल्पना परीक्षण (quantum hypothesis testing) में केंद्रीय कार्य है। इस माप में इन विशाल स्टैक्स को जोड़ना शामिल है, जिनमें से प्रत्येक को एक अलग संख्या द्वारा भारित (weighted) किया गया है। जब दो स्टैक को जोड़ा जाता है, तो गणितज्ञों ने गणना को सरल बनाने के लिए लंबे समय से एक शॉर्टकट जाना है। हालाँकि, जब तीसरा स्टैक पेश किया जाता है, तो वह शॉर्टकट गायब हो जाता है। तीसरे पद को अन्य पदों के संदर्भ में आसानी से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और गणना घातीय वृद्धि (exponential growth) का एक दुःस्वप्न बन जाती है।

इसे हल करने के लिए, लेखकों ने 'रिप्रेजेंटेशन थ्योरी' (representation theory) नामक गणित की एक शाखा की ओर रुख किया, जो इस बात का अध्ययन करती है कि सिमेट्री ग्रुप्स (symmetry groups) स्पेस पर कैसे कार्य करते हैं। उन्होंने 'शूर-वेल द्वैतता' (Schur–Weyl duality) नामक एक सिद्धांत का उपयोग किया, जो यह प्रकट करता है कि विशाल स्टैक की कॉपियां एक एकल अराजक ब्लॉक नहीं हैं, बल्कि छोटे, स्वतंत्र ब्लॉकों का एक संग्रह है जो एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं। इसे एक विशाल पुस्तकालय की तरह समझें जो सूक्ष्म निरीक्षण करने पर छोटे, अलग कमरों का एक संग्रह निकलता है, जिनमें से प्रत्येक में एक विशिष्ट प्रकार की पुस्तक होती है। शोधकर्ताओं ने इन कमरों को बिना कभी उस पुस्तकालय को बनाए बिना पहचानने का एक तरीका खोजा। उन्होंने सिद्ध किया कि इन क्वांटम अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी भी मैट्रिक्स के लिए, विशाल पिंड को एक एकल, निश्चित रूपांतरण (transformation) का उपयोग करके इन छोटे टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि जटिल, उच्च-आयामी समस्या को कई छोटे, निम्न-आयामी समस्याओं के योग में बदला जा सकता है।

यह सफलता तब आई जब उन्होंने इस विभाजन तकनीक को एक अन्य गणितीय पहचान, 'जैकोबी-ट्रुडी फॉर्मूला' (Jacobi–Trudi formula) के साथ जोड़ा। यह फॉर्मूला शोधकर्ताओं को जटिल ब्लॉकों को 'सिमेट्रिक पावर्स' (symmetric powers) से बने सरल ब्लॉकों के अंतर के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है। तीन-बाय-तीन प्रणाली के मामले में, जो इस नई कठिनाई का सबसे छोटा आकार है, प्रत्येक जटिल ब्लॉक को केवल दो स्पष्ट रूप से गणना योग्य पदों के अंतर में बदला जा सकता है। यह न्यूनीकरण सटीक है; यह कोई अनुमान या अंदाज़ा नहीं है। यह एक कठोर गणितीय प्रमाण है कि विशाल पिंड का मान इन छोटे, हस्ताक्षरित (signed) अंतरों के योग के ठीक बराबर है। क्योंकि छोटे ब्लॉक मूल पिंड की तुलना में बहुत छोटे होते हैं, वे कंप्यूटर मेमोरी में आसानी से फिट हो जाते हैं।

टीम ने इस पद्धति को एक सॉफ्टवेयर पैकेज में लागू किया और पुराने, 'ब्रूट-फोर्स' दृष्टिकोण के विरुद्ध परीक्षण किया। उन्होंने क्वांटम अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए यादृच्छिक (random) तीन-बाय-तीन मैट्रिसेस का उपयोग किया और परिणामों की तुलना की। छोटी संख्या में कॉपियों के लिए, जहाँ दोनों विधियाँ चल सकती थीं, नई विधि ने पुराने तरीके के साथ अत्यधिक उच्च स्तर की सटीकता के साथ परिणाम दिए, जिसमें त्रुटियां इतनी कम थीं कि वे प्रभावी रूप से शून्य थीं। जैसे-जैसे उन्होंने कॉपियों की संख्या बढ़ाई, पुराना तरीका असंभव हो गया। एक ऐसे स्तर पर जहाँ पूर्ण मैट्रिक्स को लगभग 2.4 क्विंटिलियन बाइट्स के स्टोरेज की आवश्यकता होती—जो किसी भी कंप्यूटर में समाने के लिए बहुत अधिक है—नई विधि ने एक मानक कंप्यूटर प्रोसेसर पर लगभग 47 सेकंड में उत्तर की गणना की। नया तरीका जिस सबसे बड़े ब्लॉक को संभालना चाहता था, वह केवल 18,000 गुणा 18,000 का था, जो आधुनिक कंप्यूटरों के लिए एक सामान्य आकार है।

शोधकर्ताओं ने अपने तरीके की स्थिरता की भी जाँच की। चूँकि गणना में एक छोटे परिणाम को प्राप्त करने के लिए दो बड़ी संख्याओं को घटाना शामिल है, इसलिए इस जोखिम से खतरा रहता है कि कंप्यूटर में राउंडिंग एरर (rounding errors) उत्तर को खराब कर सकते हैं। उन्होंने इस संभावित 'कैंसिलेशन' (cancellation) की निगरानी करने का एक तरीका विकसित किया और पुष्टि की कि परीक्षण की गई सीमा के लिए, परिणाम स्थिर और सटीक रहे। उन्होंने नोट किया कि जबकि यह विधि दो या तीन पदों के लिए पूरी तरह काम करती है, यह 'ऑपरेटर नॉर्म' (operator norm) तक विस्तारित नहीं होती है, जो एक अलग प्रकार का माप है जो एक अधिकतम मान खोजने के बजाय एक योग पर निर्भर करता है। यह सीमा उस गणितीय संरचना के कारण है जिसका उन्होंने उपयोग किया है। हालाँकि, इन संयोजनों के 'ट्रेस नॉर्म' (trace norm) और 'डिटरमिनेंट्स' (determinants) की गणना करने के लिए, विधि सटीक और कुशल है।

यह कार्य क्वांटм भौतिकी के एक ऐसे क्षेत्र को तलाशने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण प्रदान करता है जो पहले अप्राप्य था। यह वैज्ञानिकों को कई क्वांटम अवस्थाओं से जुड़ी परिकल्पनाओं को विवरण के उस स्तर के साथ सिम्युलेट और परीक्षण करने की अनुमति देता है जो पहले असंभव था। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह सभी क्वांटम समस्याओं को हल करने वाला कोई जादू का खेल नहीं है, बल्कि एक सटीक गणितीय न्यूनीकरण है जो एक असंभव गणना को एक व्यवहार्य गणना में बदल देता है। अपनी समस्या को उसके मौलिक सममित भागों में अलग करके, उन्होंने भौतिक हार्डवेयर की सीमाओं का सम्मान करते हुए क्वांटम अवस्थाओं की सीमित कॉपियों के अध्ययन के द्वार खोल दिए हैं। कोड और डेटा जिनका उपयोग उनके अध्ययन में किया गया है, दूसरों द्वारा सत्यापन और निर्माण के लिए उपलब्ध है, यह सुनिश्चित करते हुए कि इस नए मार्ग का रास्ता संपूर्ण वैज्ञानिक समुदाय के लिए खुला है।