Finite-sample nonparametric mean tests: Leave-one-out duality and asymptotic optimality

तकनीकी सारांश: परिमित-नमूना गैर-पैरामीट्रिक माध्य परीक्षण: लीव-वन-आउट द्वैतता और स्पर्शोन्मुख इष्टतमता

समस्या विवरण
यह शोध पत्र गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों के माध्य के लिए परिमित-नमूना वैध परिकल्पना परीक्षण की समस्या को संबोधित करता है। विशेष रूप से, यदि $X_1, \dots, X_n$ अज्ञात वितरण $\mathbb{R}_+$ से i.i.d. अवलोकन हैं जिनका माध्य $\mu$ है, तो लक्ष्य एक-पक्षीय परिकल्पना का परीक्षण करना है:
$$H_0: \mu \le 1 \quad \text{बनाम} \quad H_1: \mu > 1.$$
माध्य के लिए मानक गैर-पैरामीट्रिक अनुमान सामान्यतः बिना वितरण संबंधी प्रतिबंधों के असंभव है, जैसा कि बहादुर और सावेज [1956] द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि सभी परिमित माध्य वाले वितरणों के वर्ग के लिए, कोई भी समान रूप से स्तर-$\alpha$ वाला परीक्षण प्रत्येक विकल्प पर अधिकतम $\alpha$ शक्ति रखता है। यह असंभवता इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि माध्य गैर-मजबूत (non-robust) है; प्रतिकूल दिशा में एक छोटा सा द्रव्यमान (probability mass) माध्य को नाटकीय रूप से बदल सकता है जबकि परिमित-नमूना सांख्यिकीओं पर इसका नगण्य प्रभाव पड़ता है।

लेखक समस्या को गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों ($X_i \ge 0$) तक सीमित करते हैं। हालांकि यह वैध परीक्षणों के निर्माण की अनुमति देता है, मौजूदा उपकरण सीमित हैं। मानक क्रमपरिवर्तन (permutation) और रैंक परीक्षण सीधे लागू नहीं होते हैं। सामान्य सन्निकटन (Normal approximations) और बूटस्ट्रैप विधियाँ केवल स्पर्शोन्मुख वैधता (asymptotic validity) प्रदान करती हैं। एकाग्रता-आधारित विधियाँ (जैसे होफडिंग, बर्नस्टीन) आमतौर पर ज्ञात सीमित समर्थन (bounded support), विचरण नियंत्रण, या मजबूत क्षण धारणाओं (moment assumptions) की आवश्यकता होती हैं, जो अक्सर भारी-पूंछ वाले या अत्यधिक विषम गैर-ऋणात्मक डेटा (जैसे बीमा हानि, प्रति ग्राहक राजस्व) के संदर्भ में उपलब्ध नहीं होती हैं।

कार्यप्रणाली: लीव-वन-आउट डुअल सर्टिफिकेट फ्रेमवर्क
मुख्य कार्यप्रणाली योगदान एक "लीव-वन-आउट डुअल सर्टिफिकेट" ढांचा है। लेखक एक लीव-वन-आउट नल क्लास $\mathcal{P}^n_{loo}$ को परिभाषित करते हैं, जिसमें वे वितरण शामिल हैं जहाँ सशर्त माध्य $E_P[X_i | X_{-i}] \le 1$ लगभग निश्चित रूप से (almost surely) संतुष्ट होता है। यह वर्ग मानक i.i.d. नल से व्यापक है और एक कठोर द्वैत तर्क (duality argument) की अनुमति देता है।

यह सिद्ध करने के लिए कि एक सांख्यिकी $T: \mathbb{R}^n_+ \to [0, 1]$ एक वैध p-मान है (अर्थात $P(T(X) \le \alpha) \le \alpha$ सभी $P \in \mathcal{P}^n_{loo}$ के लिए), लेखक व्यवहार्य वितरणों के वर्ग पर एक अनुकूलन समस्या को सूत्रबद्ध करते हैं। वे इसके लैग्रेंजियन द्वैत (Lagrangian dual) का उपयोग करते हैं। गैर-ऋणात्मक लैग्रेंज मल्टीप्लायर्स $\lambda^{(i)}_\alpha$ को पेश करके, वे एक बिंदुवार असमानता स्थिति (जिसे cert कहा जाता है) प्राप्त करते हैं:
$$\alpha + \sum_{i=1}^n \lambda^{(i)}_\alpha(x_{-i})(x_i - 1) \ge \mathbb{1}\{T(x) \le \alpha\} \quad \forall x \in \mathbb{R}^n_+.$$
यदि ऐसी गैर-ऋणात्मक फलन $\lambda^{(i)}_\alpha$ मौजूद हैं, तो दुर्बल द्वैतता (weak duality) गारंटी देती है कि $T$ एक वैध p-मान है। यह दृष्टिकोण वितरणों पर अनंत-आयामी अनुकूलन को बिंदुवार असमानताओं को संतुष्ट करने वाले फलनों को खोजने में बदल देता है।

इस ढांचे का एक प्रमुख विस्तार "डुअल स्विचिंग" सिद्धांत (उपपत्ति 5.1) है। यदि दो p-मान $S$ और $T$ विशिष्ट एकरूपता और क्रम गुणों के साथ डुअल सर्टिफिकेट स्वीकार करते हैं, तो उनका बिंदुवार न्यूनतम $\min\{S, T\}$ भी एक वैध p-मान है। यह विभिन्न परीक्षण रणनीतियों को संयोजित करने की अनुमति देता है ताकि वैधता से समझौता किए बिना शक्ति (power) में सुधार किया जा सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम

1. गैर-पैरामीट्रिक लाइकलीहुड रेश्यो ($T_{nplr}$) का सत्यापन:
   शोध पत्र Wang और Zhao [2003] द्वारा प्रस्तावित सांख्यिकी $T_{nplr}$ की परिमित-नमूना वैधता का कठोर प्रमाण प्रदान करता है। यह सांख्यिकी एक गैर-पैरामीट्रिक लाइकलीहुड रेश्यो के माध्यम से परिभाषित है:
   $$T_{nplr}(x) = \min_{t \in [0,1]} \prod_{i=1}^n (1 - t + t x_i)^{-1}.$$
   जबकि Wang और Zhao ने इसकी वैधता का अनुमान लगाया था, और समवर्ती कार्य द्वारा Ming et al. [2026] ने एक अलग प्रतिनिधित्व के माध्यम से इसे सत्यापित किया गया था, यह शोध पत्र डुअल सर्टिफिकेट ढांचे का उपयोग करके लीव-वन-आउट नल के तहत इसकी वैधता स्थापित करता है।

2. सामान्यीकृत द्विपद p-मान ($T_{bin+}$):
   लेखक एक नई सांख्यिकी $T_{bin+}$ पेश करते हैं, जो सामान्य गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों के लिए क्लॉपर-पियर्सन सटीक द्विपद परीक्षण का विस्तार करती है। इसका निर्माण एक "सबसे खराब स्थिति" (worst-case scenario) पर विचार करके किया जाता है जहाँ अवलोकन $\{0, x_{max}\}$ में मान लेते हैं। सांख्यिकी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
   $$T_{bin+}(x) = \frac{\int_{-1/(x_{max}-1)}^0 \prod_{i \ne j} (1 + s(x_i - 1)) ds}{\int_{-1/(x_{max}-1)}^1 \prod_{i \ne j} (1 + s(x_i - 1)) ds},$$
   जहाँ $j$ वह सूचकांक है कि $x_j = x_{max}$। शोध पत्र सिद्ध करता है कि $T_{bin+}$ $\mathcal{P}^n_{loo}$ के लिए एक वैध p-मान है और उत्पाद फलनों के समाकलों (integrals) के साथ एक कुशल प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

3. संयोजित सांख्यिकी:
   डुअल स्विचिंग सिद्धांत का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि बिंदुवार न्यूनतम $\min\{T_{nplr}, T_{bin+}\}$ एक वैध p-मान है। यह संयुक्त सांख्यिकी अकेले किसी भी घटक की तुलना में अधिक शक्तिशाली है, क्योंकि $T_{nplr}$ कई अवलोकनों में फैले साक्ष्य के प्रति अधिक संवेदनशील है, जबकि $T_{bin+}$ कुछ बड़े आउटलेर्स में केंद्रित साक्ष्य के प्रति अधिक संवेदनशील है।

4. स्पर्शोन्मुख इष्टतमता (Asymptotic Optimality):
   शोध पत्र i.i.d. नल $\mathcal{P}^n_{iid}$ के तहत दो व्यवस्थाओं में तीक्ष्ण इष्टतमता परिणाम स्थापित करता है:

• जीरो-वन डिटेक्टेबिलिटी: बिना मोमेंट धारणाओं के पूर्ण गैर-पैरामीट्रिक व्यवस्था में, स्क्वेर्ड हेलिंगर दूरी $H^2(Q_n, \mathcal{P}_0)$ पता लगाने की क्षमता (detectability) को निर्धारित करती है। यदि $n H^2 \to \infty$, तो परीक्षण $T_{nplr}$, $T_{bin+}$, और उनका न्यूनतम स्पर्शोन्मुख शक्ति 1 प्राप्त करते हैं। यदि $n H^2 \to 0$, तो कोई भी परीक्षण $\alpha$ से अधिक शक्ति प्राप्त नहीं कर सकता।
• स्थानीय स्पर्शोन्मुख शक्ति: नल के करीब $n^{-1/2}$ दर पर पहुँचने वाले नियमित स्थानीय विकल्पों के तहत, इष्टतम गैर-पैरामीट्रिक शक्ति एक गॉसियन मीन-शिफ्ट प्रयोग के समान होती है। शोध पत्र सिद्ध करता है कि $T_{bin+}$ और $\min\{T_{nplr}, T_{bin+}\}$ इस इष्टतम शक्ति को प्राप्त करते हैं। इसके विपरीत, $T_{nplr}$ को दिखाया गया है कि वह सख्त रूप से रूढ़िवादी (conservative) है और इष्टतम स्थानीय स्पर्शोन्मुख शक्ति प्राप्त करने में विफल रहता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र व्यापक लीव-वन-आउट नल के तहत गैर-पैरामीट्रिक लाइकलीहुड रेश्यो सांख्यिकी $T_{nplr}$ की परिमित-नमूना वैधता के खुले प्रश्न को हल करने का दावा करता है। यह एक नई सांख्यिकी $T_{bin+}$ पेश करता है, जो अनबाउंडेड सपोर्ट के लिए सटीक द्विपद विधियों का विस्तार करके गैर-ऋणात्मक डेटा के लिए गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण में एक अंतर को भरता है।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

• सैद्धांतिक कठोरता: एक एकीकृत डुअल ढांचे को प्रदान करना जो बिना किसी बाउंडेड सपोर्ट या विचरण धारणाओं की आवश्यकता के वैधता सिद्ध करता है, जो कि सांद्रता असमानताओं (concentration inequalities) में मानक हैं लेकिन अक्सर व्यवहार में अवास्तविक होती हैं।
• इष्टतमता: यह प्रदर्शित करना कि जबकि $T_{nplr}$ वैध है, यह स्थानीय स्पर्शोन्मुख व्यवस्थाओं में उप-इष्टतम है, जबकि $T_{bin+}$ गैर-पैरामीट्रिक शक्ति निचली सीमा (power lower bound) प्राप्त करता है।
• व्यावहारिक उपयोगिता: इन सांख्यिकीओं का संयोजन एक ऐसा तरीका प्रदान करता है जो या तो परिमित-नमूना वैध है या स्पर्शोन्मुख रूप से इष्टतम है, जो संख्यात्मक प्रयोगों में मौजूदा विधियों (जैसे CDF-बैंड विधियाँ, बेटिंग-आधारित विधियाँ और एम्पिरिकल बर्नस्टीन बाउंड्स) पर पर्याप्त शक्ति लाभ प्रदान करता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके परिणाम गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों और लीव-वन-आउट नल संरचना के लिए विशिष्ट हैं, जो उनके दृष्टिकोण को अनुक्रमिक बेटिंग विधियों (जैसे वौडी-स्मिथ और रामदास [2024]) से अलग करता है जो एक बड़े अनुक्रमिक नल पर लागू होते हैं लेकिन i.i.d. धारणा के तहत समान परिमित-नमूना शक्ति गुण प्रदान नहीं कर सकते हैं।