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Simple Modular $S_3$ Models for Lepton Masses and Mixing

यह शोधपत्र बिना दाहिने हाथ के न्यूट्रिनो या अतिरिक्त फ्लेवोन के किफायती मॉड्यूलर $S_3$ लेप्टॉन-फ्लेवर मॉडलों का एक व्यवस्थित वर्गीकरण और बेयसियन विश्लेषण प्रस्तुत करता है, जो 18 व्यवहार्य सामान्य-क्रम (normal-ordering) और 19 व्युत्क्रम-क्रम (inverted-ordering) परिदृश्यों की पहचान करता है जो वर्तमान न्यूट्रिनो डेटा को सफलतापूर्वक फिट करते हैं और साथ ही पूर्ण न्यूट्रिनो द्रव्यमान पैमानों और CP-उल्लंघन चरणों के लिए विशिष्ट, परीक्षण योग्य भविष्यवाणियां प्रदान करते हैं।

मूल लेखक: V. V. Vien, Mayengbam Kishan Singh

प्रकाशित 2026-09-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: V. V. Vien, Mayengbam Kishan Singh

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

ब्रह्मांड कुछ मौलिक कणों के एक छोटे से समूह से बना है, लेकिन ये कण कैसे परस्पर क्रिया करते हैं, इसके नियम भौतिकी के सबसे गहरे रहस्यों में से एक बने हुए हैं। हालांकि वैज्ञानिकों ने पदार्थ के बुनियादी घटकों का मानचित्रण कर लिया है, लेकिन मानक मॉडल (Standard Model) यह समझाने में असमर्थ है कि इन कणों का विशिष्ट द्रव्यमान क्यों है, या वे उन अजीब पैटर्नों में क्यों मिश्रित होते हैं जो प्रयोगों में देखे जाते हैं। एक विशेष रूप से पहेली बनाने वाला मामला न्यूट्रिनो का है, जो कि वे अदृश्य कण हैं जो लगभग बिना किसी सूचना के सब कुछ के माध्यम से गुजर जाते हैं। दशकों तक, भौतिकविदों ने माना था कि ये कण द्रव्यमानहीन थे, लेकिन प्रयोगों ने पुष्टि की है कि उनके पास एक सूक्ष्म, गैर-शून्य द्रव्यमान है और वे यात्रा करते समय अपनी पहचान बदलते रहते हैं, जिसे दोलन (oscillate) कहा जाता है। यह खोज सिद्ध करती है कि मानक मॉडल अधूरा है, फिर भी इन द्रव्यमानों की उत्पत्ति और उनके मिश्रण का विशिष्ट तरीका अज्ञात बना हुआ है। इसे हल करने के लिए, शोधकर्ता अक्सर नई समरूपताओं (symmetries) का प्रस्ताव करते हैं—छिपे हुए नियम जो यह निर्धारित करते हैं कि कण कैसे व्यवहार करते हैं—लेकिन इन समाधानों के लिए अक्सर सिद्धांत में कई नए, अनदेखे कणों को जोड़ने की आवश्यकता होती है, जिससे मॉडल जटिल और परीक्षण के लिए कठिन हो जाते हैं।

भौतिकविदों की एक टीम ने अब एक अलग मार्ग अपनाया है, जिसमें न्यूट्रिनो के व्यवहार को ढेर सारे नए कणों का आविष्कार किए बिना समझाने के लिए 'मॉड्यूलर सिमेट्री' (modular symmetry) नामक एक गणितीय ढांचे का उपयोग किया गया है। बड़ी संख्या में अतिरिक्त क्षेत्रों (fields) पर निर्भर रहने के बजाय, उन्होंने एक विशिष्ट, सरल समरूपता समूह 'S3' का उपयोग किया, जो यह बताता है कि वस्तुओं को कैसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ज्ञात कणों पर इस समरूपता को लागू करके, उन्होंने व्यवस्थित रूप से हर उस तरीके का परीक्षण किया जिससे गणित काम कर सकता था ताकि देखे गए न्यूट्रिनो द्रव्यमान और मिश्रण पैटर्न उत्पन्न किए जा सकें। उनका लक्ष्य इन सिद्धांतों के सबसे सरल, सबसे किफायती संस्करणों को खोजना था जो दुनिया भर के न्यूट्रिनो प्रयोगों से एकत्र किए गए सटीक डेटा से मेल खाते हों। उन्होंने केवल एक समाधान नहीं खोजा; उन्होंने संभावनाओं के पूरे परिदृश्य का मानचित्र बनाया, और यह जांचा कि कौन से विन्यास वर्तमान मापों के कठोर प्रतिबंधों में जीवित रह सकते हैं।

शोधकर्ताओं ने ज्ञात लेप्टॉन परिवारों (जैसे इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो) को इस S3 समरूपता के नियमों के अनुसार व्यवस्थित करना शुरू किया। उन्होंने कणों के पहले परिवार को एक श्रेणी में और दूसरे तथा तीसरे परिवार को दूसरी श्रेणी में रखा, और फिर गणना की कि ये समूह द्रव्यमान उत्पन्न करने के लिए कैसे परस्पर क्रिया कर सकते हैं। उन्होंने सत्ताईस अलग-अलग गणितीय संरचनाओं, या "टेक्सचरों" (textures) का परीक्षण किया, जो इस सेटअप से उत्पन्न हो सकते थे। प्रत्येक संरचना के लिए, उन्होंने व्यापक कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए ताकि यह देखा जा सके कि परिणाम वास्तविक दुनिया के डेटा, विशेष रूप से न्यूट्रिनो मिश्रण के कोणों और उनके द्रव्यमान के अंतरों से मेल खाते हैं या नहीं। उन्होंने इन मॉडलों का परीक्षण न्यूट्रिनो द्रव्यमान के क्रम के लिए दो प्रतिस्पर्धी परिदृश्यों के विरुद्ध किया: एक "सामान्य" (normal) क्रम जहाँ सबसे हल्का पहले आता है, और एक "उल्टा" (inverted) क्रम जहाँ सबसे भारी पहले आता है।

विश्लेषण से पता चला कि प्रकृति एक साधारण अनुमान की तुलना में कहीं अधिक चयनात्मक है। सत्ताईस संभावनाओं में से, अठारह को सामान्य द्रव्यमान क्रम के लिए व्यवहार्य पाया गया, जबकि उन्नीस ने उलटे क्रम के लिए कार्यक्षमता दिखाई। उल्लेखनीय रूप से, चौदह मॉडल दोनों परिदृश्यों को अपनाने के लिए पर्याप्त लचीले थे, जो यह सुझाव देता है कि अंतर्निहित समरूपता सुदृढ़ है। हालाँकि, चार मॉडलों को पूरी तरह से खारिज कर दिया गया क्योंकि वे किसी भी ज्ञात डेटा के साथ सुसंगत परिणाम उत्पन्न नहीं कर सके, और अन्य केवल एक विशिष्ट क्रम के अनुकूल थे। अध्ययन ने एक विशेष मॉडल, जिसे MIII5 लेबल किया गया है, को सबसे सांख्यिकीय रूप से पसंदीदा विकल्प के रूप में पहचाना, जो सामान्य और उलटे दोनों परिदृश्यों में अच्छा प्रदर्शन करता है। यह मॉडल इस बात का एक प्रमुख उदाहरण है कि कैसे एक सरल, सुरुचिपूर्ण गणितीय नियम अनावश्यक नए कणों के साथ सिद्धांत को जटिल बनाए बिना उप-परमाणु दुनिया के जटिल व्यवहार को पुनरुत्पादित कर सकता है।

केवल डेटा के अनुकूल मॉडल खोजने के अलावा, शोधकर्ताओं ने पाया कि ये सिद्धांत न्यूट्रिनो के पूर्ण द्रव्यमान (absolute mass) के बारे में तीक्ष्ण, परीक्षण योग्य भविष्यवाणियां करते हैं, जो एक ऐसा मान है जिसे अभी तक सीधे मापा नहीं गया है। मॉडल भविष्यवाणी करते हैं कि यदि न्यूट्रिनो का द्रव्यमान सामान्य क्रम का पालन करता है, तो तीन न्यूट्रिनो का कुल द्रव्यमान अपेक्षाकृत कम होगा, जो 59.2 और 112.5 द्रव्यमान इकाइयों के बीच होगा। यदि द्रव्यमान उलटा क्रम है, तो यह काफी अधिक होगा, जिसकी सीमा 99.5 से 120.0 इकाइयों के बीच होगी। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि इसका अर्थ है कि न्यूट्रिनो द्रव्यमान के योग को मापने के लिए डिज़ाइन किए गए भविष्य के प्रयोग निश्चित रूप से बता सकते हैं कि कौन सा क्रम सही है। भविष्यवाणियां बीटा क्षय (beta decay) और न्यूट्रिनलेस डबल-बीटा क्षय (neutrinoless double-beta decay) में न्यूट्रिनो के प्रभावी द्रव्यमान तक भी विस्तृत हैं, जो दो ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिनकी खोज वर्तमान में संवेदनशील डिटेक्टरों द्वारा की जा रही है। मॉडल सुझाव देते हैं कि यदि उलटा क्रम सही है, तो ये क्षय संकेत सामान्य क्रम की तुलना में अधिक मजबूत और पता लगाने में आसान होने चाहिए।

अध्ययन ने उन रहस्यमय "फेज" (phases) पर भी प्रकाश डाला जो यह निर्धारित करते हैं कि न्यूट्रिनो अपनी पहचान कैसे बदलते हैं, विशेष रूप से 'डिराक सीपी-उल्लंघन चरण' (Dirac CP-violating phase), जो यह तय करता है कि न्यूट्रिनो और एंटी-न्यूट्रिनो अलग तरह से व्यवहार करते हैं या नहीं। मॉडल इस चरण के लिए विविध मूल्यों की भविष्यवाणी करते हैं, जिनमें से कुछ शून्य के करीब मानों का समर्थन करते हैं और अन्य अधिकतम उल्लंघन की ओर संकेत करते हैं। हालांकि वर्तमान प्रयोगात्मक डेटा अभी इतना सटीक नहीं है कि इन विशिष्ट भविष्यवाणियों को खारिज कर सके, संभावनाओं की यह सीमा भविष्य के प्रयोगों के लिए क्षेत्र को सीमित करती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि मॉडल आम तौर पर उलटे क्रम के लिए उच्च पूर्ण द्रव्यमान पैमाने की भविष्यवाणी करते हैं, जिससे वे ब्रह्मांड के विस्तार के ब्रह्मंडीय अवलोकनों द्वारा अधिक संभावित रूप से बाधित होते हैं और न्यूट्रिनलेस डबल-बीटा क्षय खोजों के लिए अधिक सुलभ होते हैं। इसके विपरीत, सामान्य क्रम वाले मॉडल एक कम द्रव्यमान पैमाने की भविष्यवाणी करते हैं जो वर्तमान ब्रह्मंडीय सीमाओं के भीतर सहजता से बैठता है लेकिन निकट भविष्य में पता लगाने में कठिन हो सकता है।

अंततः, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि एक अत्यधिक किफायती ढांचा, जो एक सरल समरूपता और बिना किसी अतिरिक्त कण के, लेप्टन फ्लेवर के जटिल पैटर्न को सफलतापूर्वक समझा सकता है। शोधकर्ताओं ने एक एकल "विजेता" नहीं पाया जो सब कुछ पूरी तरह से समझा सके, बल्कि योग्य उम्मीदवारों का एक विविध सेट मिला जो सभी वर्तमान डेटा के अनुरूप है। सबसे महत्वपूर्ण परिणाम वह स्पष्ट अंतर है जो ये मॉडल दो संभावित द्रव्यमान क्रमों के बीच खींचते हैं। न्यूट्रिनो द्रव्यमान के कुल योग और न्यूट्रिनलेस डबल-बीटा क्षय संकेतों की शक्ति के लिए विशिष्ट श्रेणियों की भविष्यवाणी करके, ये सिद्धांत अगली पीढ़ी के प्रयोगों के लिए एक ठोस रोडमैप प्रदान करते हैं। जैसे-जैसे डिटेक्टर अधिक संवेदनशील होते जाएंगे और ब्रह्मंडीय डेटा में सुधार होगा, वैज्ञानिक इन विशिष्ट भविष्यवाणियों का परीक्षण करने में सक्षम होंगे, जिससे संभावित रूप से यह पुष्टि होगी कि क्या ब्रह्मांड सामान्य या उलटे पथ का अनुसरण करता है और पदार्थ की मौलिक प्रकृति को समझाने में मॉड्यूलर सिमेट्री की शक्ति को प्रमाणित किया जा सकेगा।

तकनीकी सारांश: लेप्टॉन द्रव्यमान और मिश्रण के लिए सरल मॉडुलर $S_3$ मॉडल

समस्या विवरण
मानक मॉडल (Standard Model - SM) मौलिक कणों का सफलतापूर्वक वर्णन करता है, लेकिन यह गैर-शून्य न्यूट्रिनो द्रव्यमान और देखे गए लेप्टॉन मिश्रण पैटर्न की व्याख्या करने में विफल रहता है। जबकि गैर-एबेलियन (non-Abelian) असतत फ्लेवर सिमेट्रीज़ (discrete flavor symmetries) इन संरचनाओं को समझाने के लिए एक ढांचा प्रदान करती हैं, पारंपरिक कार्यान्वयन अक्सर विस्तारित स्केलर सेक्टर्स, अतिरिक्त एबेलियन सिमेट्रीज़ या अनेक फ्लेवोन (flavon) क्षेत्रों की आवश्यकता रखते हैं। ये विस्तार स्केलर पोटेंशियल मिनिमाइजेशन (scalar potential minimization) में जटिलताएं पैदा करते हैं और मुक्त मापदंडों (free parameters) की संख्या बढ़ा देते हैं, जिससे भविष्यवाणिय शक्ति (predictive power) कम हो जाती है। मॉडुलर सिमेट्री एक अधिक किफायती विकल्प के रूप में उभरी है जहाँ युकावा कपलिंग्स (Yukawa couplings) को मॉडुलर फॉर्म्स द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिससे अतिरिक्त फ्लेवोन क्षेत्रों की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। हालाँकि, सबसे छोटे गैर-एबेलियन परिमित मॉडुलर समूह, $\Gamma_2 \simeq S_3$ के पिछले अनुप्रयोगों ने आम तौर पर विस्तारित गेज, फर्मियन या स्केलर सेक्टर्स (जैसे कि राइट-हैंडेड न्यूट्रिनो या अतिरिक्त सिमेट्रीज़ पेश करना) पर निर्भरता दिखाई है। इसके अतिरिक्त, पूर्ववर्ती किफायती निर्माण (जैसे कि संदर्भ [74]) व्यापक वर्गीकरण के बजाय न्यूनतावाद (minimality) द्वारा निर्देशित थे, जिससे संभावित रूप से व्यवहार्य वास्तविकताओं (viable realizations) को अनदेखा किया जा सकता था, विशेष रूप से न्यूट्रिनो के इनवर्टेड ऑर्डरिंग (IO) के लिए। संबोधित मुख्य समस्या यह है कि क्या न्यूनतम क्षेत्र सामग्री (field content) के साथ—बिना निरंतर गेज सिमेट्री को बढ़ाए, राइट-हैंडेड न्यूट्रिनो पेश किए बिना, या अतिरिक्त फ्लेवोन क्षेत्र जोड़े बिना—एक व्यवस्थित, व्यापक मॉडुलर $S_3$ मॉडल, नॉर्मल (NO) और इनवर्टेड (IO) दोनों न्यूट्रिनो द्रव्यमान क्रमों (mass orderings) को समाहित कर सकता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक सख्त अर्थव्यवस्था संबंधी बाधाओं के तहत मॉडुलर $S_3$ लेप्टॉन-फ्लेवर मॉडलों का व्यवस्थित वर्गीकरण और फेनोमेनोलॉजिकल विश्लेषण करते हैं:

क्षेत्र सामग्री और असाइनमेंट (Field Content and Assignments): मॉडल केवल SM क्षेत्र सामग्री और मोडुलस $\tau$ का उपयोग करता है। पहले परिवार के लेफ्ट-हैंडेड लेप्टॉन डबलट्स ( $L_1$ ) और राइट-हैंडेड चार्ज्ड लेप्टॉन्स ( $l^c_1$ ) को $S_3$ सिंगलेट्स ($1 $) के रूप में असाइन किया गया है। दूसरा और तीसरा परिवार ($ L_\alpha, l^c_\alpha $) एक$ S_3 $डबलट ($ 2 $) बनाता है। हिग्स डबलट्स$ H_u $और$ H_d$, $S_3$ के अंतर्गत सिंगलेट्स हैं।
मॉडुलर वेट बाधाएं (Modular Weight Constraints): विश्लेषण मॉडुलर वेट को $k \leq 6$ तक सीमित रखता है। $S_3$ मॉडुलर फॉर्म्स (सिंगलेट्स $1, 1'$ और डबलट $2$) की संरचना इनवेरिएंट युकावा कपलिंग्स के लिए विशिष्ट मॉडुलर वेट के योग पर विशिष्ट बाधाएं लगाती है।
मॉडल वर्गीकरण: न्यूट्रिनो क्षेत्र (वेनबर्ग ऑपरेटर) और चार्ज्ड-लेप्टॉन क्षेत्र के लिए वेट बाधाओं को हल करके, लेखक चार अलग-अलग वर्गों के मॉडलों (टाइप I–IV) की पहचान करते हैं (मॉडुलर वेट असाइनमेंट $k_l, k_L, k_r, k_R$ के आधार पर)। इससे 27 असमान मॉडलों (MI1–MIV7) का पूर्ण वर्गीकरण प्राप्त होता है।
फेनोमेनोलॉजिकल विश्लेषण:
- मास मैट्रिसेस (Mass Matrices): प्रत्येक मॉडल के लिए चार्ज्ड-लेप्टॉन ( $M_l$ ) और न्यूट्रिनो ( $M_L$ ) मास मैट्रिसेस के स्पष्ट रूप व्युत्पन्न किए गए हैं, जिनमें जटिल गुणांक (complex coefficients) और मॉडुलर फॉर्म्स $Y(\tau)$ शामिल हैं।
- पैरामीटर स्कैनिंग: पांच अवलोकनों (observables) को फिट करने के लिए मल्टीनेस्ट (Multinest) एल्गोरिदम का उपयोग करके एक बेयसियन विश्लेषण किया जाता है: चार्ज्ड-लेप्टॉन मास रेश्यो ( $m_e/m_\mu, m_\mu/m_\tau$ ), दो मिक्सिंग एंगल्स ( $\sin^2\theta_{12}, \sin^2\theta_{13}$ ), और एक मास-स्क्वेर्ड डिफरेंस ( $\Delta m^2_{21}$ )।
- ऑर्डरिंग टेस्ट: विश्लेषण NO और IO के लिए अलग-अलग आयोजित किया गया है। मॉडलों को बेयसियन एविडेंस ( $\ln Z$ ) और $\chi^2$ मानों के आधार पर रैंक किया गया है।
- भविdtवाणियाँ (Predictions): व्यवहार्य मॉडलों के लिए, डायराक CP फेज ( $\delta_{CP}$ ), मेजरोना फेजेस ( $\alpha_{21}, \alpha_{31}$ ), न्यूट्रिनो द्रव्यमान के योग ( $\sum m_i$ ), प्रभावी इलेक्ट्रॉन-न्यूट्रिनो द्रव्यमान ( $m_\beta$ ), और प्रभावी मेजरोना द्रव्यमान ( $m_{\beta\beta}$ ) के लिए भविष्यवाणियाँ उत्पन्न की जाती हैं।

मुख्य योगदान

व्यापक वर्गीकरण: यह शोध पत्र न्यूनतम क्षेत्र सामग्री (कोई राइट-हैंडेड न्यूट्रो या अतिरिक्त फ्लेवॉन नहीं) और छह तक मॉडुलर वेट के साथ सभी असमान मॉडुलर $S_3$ लेप्टॉन मॉडलों का पहला पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है।
इनवर्टेड ऑर्डरिंग की व्यवहार्यता: पिछले न्यूनतम अध्ययनों के विपरीत, जिसमें कोई व्यवहार्य IO समाधान नहीं मिला था, यह कार्य IO के लिए 19 व्यवहार्य मॉडलों की पहचान करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि IO व्यापक श्रेणी के किफायती मॉडुलर $S_3$ ढांचे के भीतर वर्जित नहीं है।
मॉडल गणना: 27 कुल टेक्सचरों में से, 18 NO के लिए व्यवहार्य हैं, 19 IO के लिए, और 14 दोनों क्रमों को समाहित करते हैं। चार मॉडल केवल NO के लिए विशिष्ट हैं, पांच केवल IO के लिए, और चार दोनों द्वारा वर्जित हैं।
पैरामीटर सहसंबंध विश्लेषण: अध्ययन मजबूत पैरामीटर डिजेनेरेसी (जैसे चार्ज्ड-लेप्टॉन क्षेत्र में $\beta_l$ और $\gamma_l$ के बीच) की पहचान करता है और नोट करता है कि IO मॉडल NO मॉडलों की तुलना में व्यवस्थित रूप से अधिक मल्टी-पैरामीटर डिजेनेरेसी प्रदर्शित करते हैं।

परिणाम

सर्वश्रेष्ठ-फिट मॉडल: मॉडल MIII5 दोनों NO और IO के लिए उच्चतम-एविडेंस वाला मॉडल बनकर उभरता है, जो एक बेंचमार्क के रूप में कार्य करता है।
एब्सोल्यूट मास ऑब्जर्वेबल्स: सबसे महत्वपूर्ण अंतर NO और IO के बीच एब्सोल्यूट मास स्केल को प्रोब करने वाले अवलोकनों में है:
- द्रव्यमान का योग ( $\sum m_i$ ): NO भविष्यवाणियाँ $\approx 59$ से $112$ meV के बीच हैं, जबकि IO भविष्यवाणियाँ $\approx 99$ से $120$ meV के बीच हैं।
- प्रभावी इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान ( $m_\beta$ ): NO रेंज ( $8.9–28.5$ meV) और IO रेंज ( $48.9–51.4$ meV) बेस्ट-फिट बिंदुओं पर पूरी तरह से अलग (disjoint) हैं।
- प्रभावी मेजरोना द्रव्यमान ( $m_{\beta\beta}$ ): NO मॉडल $0.5 $से$ 25.6$ meV (कुछ "फनल" क्षेत्र $<1$ meV में) की भविष्यवाणी करते हैं, जबकि IO मॉडल $15.9–50.3$ meV की भविष्यवाणी करते हैं।
कॉस्मोलॉजिकल बाधाएं: सभी बेस्ट-फिट समाधान प्लैंक बाउंड ( $\sum m_i < 120$ meV) को संतुष्ट करते हैं। हालांकि, अधिक सख्त DESI-आधारित बाधा ( $\sum m_i < 64$ meV) केवल NO मॉडलों के एक उपसमूह को रखेगी और सभी IO मॉडलों को बाहर कर देगी।
CP उल्लंघन (CP Violation): मॉडल $\delta_{CP}$ के विविध रेंज की भविष्यवाणी करते हैं। NO के लिए, 17/18 व्यवहार्य मॉडल संयुक्त T2K–NOvA $3\sigma$ अंतराल के भीतर आते हैं। IO के लिए, भविष्यवाणियाँ अधिक विविध हैं, जिनमें से कुछ हालिया ग्लोबल विश्लेषण अंतराल के भीतर हैं और अन्य बाहर हैं, जो $\delta_{CP}$ के निर्धारण के लिए वर्तमान प्रयोगात्मक तनाव (experimental tension) को दर्शाती हैं।
मोडुलस स्पेस: बेंचमार्क मॉडल MIII5 के लिए, $\tau$ के फंडामेंटल डोमेन में व्यवहार्य बिंदु $1.7 \lesssim \text{Im}(\tau) \lesssim 1.9$ के अंतराल में केंद्रित हैं, जो दर्शाता है कि फेनोमेनोलॉजिकल बाधाएं मोडुलस के काल्पनिक भाग को वास्तविक भाग की तुलना में अधिक मजबूती से प्रतिबंधित करती हैं।

महत्व
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि मॉडुलर $S_3$ ढांचा, अत्यंत किफायती क्षेत्र सामग्री और बिना किसी सहायक सिमेट्री के भी, विविध प्रकार के फेनोमेनोलॉजिकल रूप से व्यवहार्य लेप्टॉन-फ्लेवर वास्तविकताओं को समाहित करता है। यह अध्ययन इस धारणा का खंडन करता है कि न्यूनतम मॉडुलर $S_3$ मॉडलों के साथ IO स्वाभाविक रूप से असंगत है। महत्वपूर्ण रूप से, लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि जबकि ऑसिलेशन पैरामीटर्स और मिक्सिंग एंगल्स NO और IO वास्तविकताओं के बीच पर्याप्त ओवरलैप दिखाते हैं, एब्सोल्यूट न्यूट्रिनो-मास स्केल ( $\sum m_i, m_\beta, m_{\beta\beta}$ ) से संबंधित अवलोकन दोनों क्रमों के बीच स्पष्ट अलगाव प्रदान करते हैं। फलस्वरूप, भविष्य के कॉस्मोलॉजिकल मास बाउंड्स, बीटा-डिके एंडपॉइंट मेजरमेंट्स (जैसे प्रोजेक्ट 8), और न्यूट्रिनलेस डबल-बीटा डिके सर्च (जैसे CUPID, LEGEND-1000) में सुधार इन विशिष्ट मॉडुलर $S_3$ परिदृश्यों के परीक्षण के लिए प्राथमिक विभेदक (discriminators) होंगे।

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