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Simple Modular $S_3$ Models for Lepton Masses and Mixing

Este artículo presenta una clasificación sistemática y un análisis bayesiano de modelos modulares económicos de sabor de leptones $S_3$ sin neutrinos de mano derecha ni flavones adicionales, identificando 18 escenarios viables de orden normal y 19 de orden invertido que se ajustan con éxito a los datos actuales de neutrinos mientras ofrecen predicciones distintas y contrastables para las escalas de masa absoluta de los neutrinos y las fases de violación de CP.

Autores originales: V. V. Vien, Mayengbam Kishan Singh

Publicado 2026-09-14

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CC BY 4.0

Autores originales: V. V. Vien, Mayengbam Kishan Singh

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El universo está construido a partir de un pequeño conjunto de partículas fundamentales, pero las reglas que gobiernan cómo interactúan siguen siendo uno de los misterios más profundos de la física. Si bien los científicos han mapeado los ingredientes básicos de la materia, el Modelo Estándar de la física de partículas no puede explicar por qué estas partículas tienen las masas específicas que tienen, ni por qué se mezclan entre sí siguiendo los extraños patrones observados en los experimentos. Un caso particularmente desconcertante involucra a los neutrinos, partículas fantasmales que atraviesan todo casi sin ser percibidas. Durante décadas, los físicos asumieron que estas partículas carecían de masa, pero los experimentos han confirmado que poseen una masa diminuta y no nula, y que oscilan, o cambian su identidad, mientras viajan. Este descubrimiento demuestra que el Modelo Estándar está incompleto, aunque el origen de estas masas y la forma específica en que se mezclan sigue siendo desconocido. Para resolver esto, los investigadores suelen proponer nuevas simetrías —reglas ocultas que dictan cómo se comportan las partículas— pero estas soluciones frecuentemente requieren añadir muchas otras partículas nuevas y no detectadas a la teoría, lo que hace que los modelos sean complicados y difíciles de probar.

Un equipo de físicos ha explorado ahora un camino diferente, utilizando un marco matemático llamado simetría modular para explicar el comportamiento de los neutrinos sin inventar un sinfín de nuevas partículas. En lugar de depender de un gran número de campos adicionales, utilizaron un grupo de simetría específico y simple conocido como S3, que describe cómo se pueden reorganizar los objetos. Al aplicar esta simetría a las partículas conocidas, probaron sistemáticamente todas las formas posibles en que las matemáticas podrían funcionar para generar las masas y los patrones de mezcla de los neutrinos observados. Su objetivo era encontrar las versiones más simples y económicas de estas teorías que aún coincidieran con los precisos datos recolectados de experimentos de neutrinos en todo el mundo. No buscaron solo una solución; mapearon todo el panorama de posibilidades, comprobando qué configuraciones podrían sobrevivir a las rigurosas restricciones de las mediciones actuales.

Los investigadores comenzaron organizando las familias conocidas de leptones —partículas como los electrones y los neutrinos— de acuerdo con las reglas de esta simetría S3. Asignaron la primera familia de partículas a una categoría y la segunda y tercera familias a otra, luego calcularon cómo estos grupos podrían interactuar para producir masa. Examinaron veintisiete estructuras matemáticas distintas, o "texturas", que podrían surgir de este planteamiento. Para cada estructura, realizaron extensas simulaciones por computadora para ver si las predicciones resultantes coincidían con los datos del mundo real, buscando específicamente los ángulos en los que los neutrinos se mezclan y las diferencias en sus masas. Probaron estos modelos contra dos escenarios competitivos sobre cómo se ordenan las masas de los neutrinos: un orden "normal" donde la más ligera es la primera, y un orden "invertido" donde la más pesada es la primera.

El análisis reveló que la naturaleza es mucho más selectiva de lo que una simple conjetura podría sugerir. De las veintisiete posibilidades, dieciocho resultaron viables para el orden de masa normal, mientras que diecinueve funcionaron para el orden invertido. Sorprendentemente, catorce de estos modelos fueron lo suficientemente flexibles como para acomodar ambos escenarios, lo que sugiere que la simetría subyacente es robusta. Sin embargo, cuatro modelos fueron descartados por completo porque no podían producir resultados consistentes con ningún dato conocido, y otros solo eran compatibles con un orden específico. El estudio identificó un modelo particular, etiquetado como MIII5, como la opción estadísticamente más favorecida, con un buen desempeño tanto en el escenario normal como en el invertido. Este modelo sirve como un ejemplo primordial de cómo una regla matemática simple y elegante puede reproducir el complejo comportamiento del mundo subatómico sin necesidad de saturar la teoría con partículas nuevas innecesarias.

Más allá de simplemente encontrar modelos que se ajusten a los datos, los investigadores descubrieron que estas teorías hacen predicciones agudas y comprobables sobre la masa absoluta de los neutrinos, un valor que aún no ha sido medido directamente. Los modelos predicen que si las masas de los neutrinos siguen el orden normal, la masa total de los tres neutrinos sería relativamente baja, situándose entre 59.2 y 112.5 unidades de masa. Si las masas siguen el orden invertido, la total sería significativamente mayor, oscilando entre 99.5 y 120.0 unidades. Esta diferencia es crucial porque significa que futuros experimentos diseñados para medir la suma de las masas de los neutrinos podrían decirnos definitivamente cuál de los dos órdenes es el correcto. Las predicciones también se extienden a la masa efectiva del neutrino tal como aparece en la desintegración beta y en la desintegración doble beta sin neutrinos, dos procesos que están siendo buscados por detectores sensibles. Los modelos sugieren que, si el orden invertido es el correcto, estas señales de desintegración deberían ser más fuertes y fáciles de detectar que si el orden normal fuera el verdadero.

El estudio también arrojó luz sobre las misteriosas "fases" que gobiernan cómo los neutrinos cambian de identidad, específicamente la fase de violación de CP de Dirac, que determina si los neutrinos y los antineutrinos se comportan de manera diferente. Los modelos predicen una amplia variedad de valores para esta fase, con algunos escenarios favoreciendo valores cercanos a cero y otros apuntando hacia una violación máxima. Aunque los datos experimentales actuales aún no son lo suficientemente precisos como para descartar estas predicciones específicas, el rango de posibilidades estrecha el campo para futuros experimentos. Los investigadores encontraron que los modelos generalmente predicen una escala de masa absoluta más alta para el orden invertido, lo que hace que esos escenarios sean más propensos a ser limitados por las observaciones cosmológicas de la expansión del universo y más accesibles para las búsquedas de desintegración doble beta sin neutrinos. En contraste, los modelos de orden normal predicen una escala de masa más baja que se sitúa cómodamente dentro de los límites cosmológicos actuales, pero que podría ser más difícil de detectar en el futuro cercano.

En última instancia, este trabajo demuestra que un marco altamente económico, que se basa en una simetría simple y sin partículas adicionales, puede explicar exitosamente los intrincados patrones del sabor leptónico. Los investigadores no encontraron un único "ganador" que lo explique todo perfectamente, sino más bien un conjunto diverso de candidatos viables que son consistentes con los datos actuales. El resultado más significativo es la clara distinción que estos modelos trazan entre los dos posibles órdenes de masa. Al predecir rangos específicos para la masa total de los neutrinos y la fuerza de las señales de desintegración doble beta sin neutrinos, estas teorías proporcionan una hoja de ruta concreta para la próxima generación de experimentos. A medida que los detectores se vuelvan más sensibles y los datos cosmológicos mejoren, los científicos podrán probar estas predicciones específicas, validando potencialmente si el universo sigue el camino normal o el invertido y validando el poder de la simetría modular para explicar la naturaleza fundamental de la materia.

Resumen Técnico: Modelos Modulares Simples de $S_3$ para Masas y Mezcla de Leptones

Planteamiento del Problema
El Modelo Estándar (SM) describe con éxito las partículas fundamentales, pero no logra explicar las masas no nulas de los neutrinos ni el patrón observado de mezcla de leptones. Aunque las simetrías de sabor discretas no abelianas ofrecen un marco para explicar estas estructuras, las implementaciones tradicionales suelen requerir sectores escalares extendidos, simetrías abelianas adicionales y numerosos campos flavon. Estas extensiones introducen complicaciones en la minimización del potencial escalar y una proliferación de parámetros libres, lo que reduce el poder predictivo. La simetría modular ha surgido como una alternativa económica donde los acoplamientos de Yukawa están determinados por formas modulares, eliminando la necesidad de campos flavon auxiliares. Sin embargo, las aplicaciones anteriores del grupo modular finito no abeliano más pequeño, $\Gamma_2 \simeq S_3$ , a la fluencia de leptones se han basado generalmente en sectores de gauge, fermiónicos o escalares ampliados (por ejemplo, introduciendo neutrinos de mano derecha o simetrías adicionales). Además, las construcciones económicas anteriores (por ejemplo, Ref. [74]) se guiaron por la minimalidad en lugar de una clasificación exhaustiva, lo que podría haber pasado por alto realizaciones viables, particularmente para el ordenamiento invertido (IO) de las masas de neutrinos. El problema central abordado es si una exploración sistemática y exhaustiva de modelos modulares de $S_3$ con un contenido de campos mínimo —sin ampliar la simetría de gauge continua, sin introducir neutrinos de mano derecha o añadir campos flavon extra— puede acomodar tanto el ordenamiento normal (NO) como el invertido (IO) de las masas de neutrinos.

Metodología
Los autores realizan una clasificación sistemática y un análisis fenomenológico de modelos de sabor de leptones modulares $S_3$ bajo estrictas restricciones de economía:

Contenido de Campos y Asignaciones: El modelo utiliza únicamente el contenido de campos del SM más el módulo $\tau$ . La primera familia de dobletes de leptones de mano izquierda ( $L_1$ ) y los leptones cargados de mano derecha ( $l^c_1$ ) se asignan a singletes ($1$) de $S_3$ , mientras que la segunda y tercera familia ( $L_\alpha, l^c_\alpha$ ) forman un doblete ($2$) de $S_3$ . Los dobletes de Higgs $H_u$ y $H_d$ son singletes bajo $S_3$ .
Restricciones de Peso Modular: El análisis restringe los pesos modulares a $k \leq 6$ . La estructura de las formas modulares de $S_3$ (singletes $1, 1'$ y el doblete $2$) dicta restricciones específicas sobre la suma de los pesos modulares para los acoplamientos de Yukawa invariantes.
Clasificación de Modelos: Mediante la resolución de las restricciones de peso para el sector de neutrinos (operador de Weinberg) y el sector de leptones cargados, los autores identifican cuatro clases distintas de modelos (Tipo I–IV) basadas en las asignaciones de peso modular ( $k_l, k_L, k_r, k_R$ ). Esto conduce a una clasificación completa de 27 modelos inequivalentes (MI1–MIV7).
Análisis Fenomenológico:
- Matrices de Masa: Se derivan las formas explícitas de las matrices de masa para leptones cargados ( $M_l$ ) y neutrinos ( $M_L$ ) para cada modelo, las cuales contienen coeficientes complejos y formas modulares $Y(\tau)$ .
- Escaneo de Parámetros: Se realiza un análisis bayesiano utilizando el algoritmo Multinest. Los parámetros libres (acoplamientos de Yukawa y el módulo $\tau$ ) se escanean para ajustar cinco observables: razones de masa de leptones cargados ( $m_e/m_\mu, m_\mu/m_\tau$ ), dos ángulos de mezcla ( $\sin^2\theta_{12}, \sin^2\theta_{13}$ ) y una diferencia de masa al cuadrado ( $\Delta m^2_{21}$ ).
- Pruebas de Ordenamiento: El análisis se realiza por separado para NO e IO. Los modelos se clasifican según la evidencia bayesiana ( $\ln Z$ ) y los valores de $\chi^2$ .
- Predicciones: Para los modelos viables, se generan predicciones para la fase de CP de Dirac ( $\delta_{CP}$ ), las fases de Majorana ( $\alpha_{21}, \alpha_{31}$ ), la suma de las masas de neutrinos ( $\sum m_i$ ), la masa efectiva del electrón-neutrino ( $m_\beta$ ) y la masa efectiva de Majorana ( $m_{\beta\beta}$ ).

Contribuciones Clave

Clasificación Exhaustiva: El artículo proporciona la primera clasificación completa de todos los modelos de leptones modulares $S_3$ inequivalentes con contenido de campos mínimo (sin neutrinos de mano derecha ni flavones extra) y pesos modulares hasta seis.
Viabilidad del Ordenamiento Invertido: Contrario a estudios minimalistas previos que no encontraron soluciones IO viables, este trabajo identifica 19 modelos viables para IO, demostrando que el IO no está excluido dentro de la clase más amplia de marcos modulares económicos de $S_3$ .
Conteo de Modelos: De 27 texturas totales, 18 son viables para NO, 19 para IO, y 14 acomodan ambos ordenamientos. Cuatro modelos son exclusivos de NO, cinco de IO, y cuatro son excluidos por ambos.
Análisis de Correlación de Parámetros: El estudio identifica fuertes degeneraciones de parámetros (por ejemplo, entre $\beta_l$ y $\gamma_l$ en el sector de leptones cargados) y observa que los modelos IO exhiben sistemáticamente más degeneración de múltiples parámetros que los modelos NO.

Resultados

Modelos de Mejor Ajuste: El modelo MIII5 emerge como la realización de mayor evidencia tanto para NO como para IO, sirviendo como punto de referencia.
Observables de Masa Absoluta: La distinción más significativa entre NO e IO reside en los observables que sondean la escala de masa absoluta:
- Suma de Masas ( $\sum m_i$ ): Las predicciones para NO oscilan entre $\approx 59$ y $112$ meV, mientras que las de IO oscilan entre $\approx 99$ y $120$ meV.
- Masa Electrónica Efectiva ( $m_\beta$ ): El rango de NO ( $8.9–28.5$ meV) y el de IO ( $48.9–51.4$ meV) están completamente disjuntos en los puntos de mejor ajuste.
- Masa de Majorana Efectiva ( $m_{\beta\beta}$ ): Los modelos NO predicen valores desde $0.5$ hasta $25.6$ meV (con algunos en la región de "embudo" $< 1$ meV), mientras que los modelos IO predicen $15.9–50.3$ meV.
Restricciones Cosmológicas: Todas las mejores soluciones satisfacen el límite de Planck ( $\sum m_i < 120$ meV). Sin embargo, la restricción más estricta basada en DESI ( $\sum m_i < 64$ meV) retendría solo un subconjunto de modelos NO y excluiría todos los modelos IO.
Violación de CP: Los modelos predicen un rango diverso de valores de $\delta_{CP}$ . Para NO, 17 de 18 modelos viables caen dentro del intervalo $3\sigma$ conjunto de T2K–NOvA. Para IO, las predicciones son más variadas, con algunos modelos dentro de los intervalos de análisis global recientes y otros fuera de ellos, reflejando la tensión experimental actual en la determinación de $\delta_{CP}$ para IO.
Espacio del Módulo: Para el modelo de referencia MIII5, los puntos viables en el dominio fundamental de $\tau$ se concentran en el intervalo $1.7 \lesssim \text{Im}(\tau) \lesssim 1.9$ , lo que muestra que las restricciones fenomenológicas restringen la parte imaginaria del módulo con mayor fuerza que la parte real.

Significado
El artículo demuestra que el marco modular $S_3$ , incluso con un contenido de campos extremadamente económico y sin simetrías auxiliares, acomoda un conjunto diverso de realizaciones de fluencia de leptones fenomenológicamente viables. El estudio refuta la noción de que el IO es inherentemente incompatible con los modelos modulares mínimos de $S_3$ . Crucialmente, los autores concluyen que, mientras que los parámetros de oscilación y los ángulos de mezcla muestran un solapamiento sustancial entre las realizaciones de NO e IO, los observables relacionados con la escala de masa absoluta de neutrinos ( $\sum m_i, m_\beta, m_{\beta\beta}$ ) proporcionan la separación más clara entre los dos ordenamientos. En consecuencia, las mejoras futuras en los límites de masa cosmológica, las mediciones del final del espectro de decaimiento beta (por ejemplo, Project 8) y las búsquedas de doble beta sin neutrinos (por ejemplo, CUPID, LEGEND-1000) servirán como los principales discriminadores para probar estos escenarios modulares $S_3$ específicos.

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