Pseudo entropy from entanglement entropy
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि गैर-लंबवत (nonorthogonal) अवस्थाओं के युग्मों के लिए सूडो एंट्रॉपी (pseudo entropy) के वास्तविक और काल्पनिक भागों को विश्लेषणात्मक निरंतरता (analytic continuation), टेलर श्रृंखला विस्तार (Taylor series expansions) और क्रैमरर-क्रोनिग संबंधों (Kramers-Kronig relations) का उपयोग करके साधारण एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी (entanglement entropy) से व्यवस्थित रूप से व्युत्पन्न किया जा सकता है, जिसके अनुरूप कन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज़ (conformal field theories) और गॉसियन अवस्थाओं (Gaussian states) में विशिष्ट अनुप्रयोग हैं।
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क्वांटम दुनिया में, यह मापने का सबसे मौलिक तरीका कि दो प्रणालियों के हिस्से एक-दूसरे से कितनी गहराई से जुड़े हुए हैं, 'एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी' (entanglement entropy) नामक एक मात्रा है। कल्पना कीजिए कि एक बड़ा क्वांटम सिस्टम, जैसे कि परमाणुओं का एक संग्रह या ऊर्जा का एक क्षेत्र, दो हिस्सों में विभाजित है। यदि वे हिस्से स्वतंत्र हैं, तो एक के बारे में सब कुछ जानना आपको दूसरे के बारे में कुछ नहीं बताता। लेकिन यदि वे एंटैंगल्ड (entangled) हैं, तो एक की अवस्था दूसरी की अवस्था से अटूट रूप से जुड़ी होती है, चाहे वे एक-दूसरे से कितनी भी दूर क्यों न हों। यह संबंध केवल एक गणितीय जिज्ञासा नहीं है; यह इस बात का आधार है कि कैसे क्वांटम सूचना सिद्धांत ब्रह्मांड का वर्णन करता है और, कुछ आधुनिक सिद्धांतों में, कैसे अंतरिक्ष और समय स्वयं क्वांटम डेटा से उत्पन्न हो सकते हैं। दशकों से, भौतिकविद् किसी प्रणाली की एक एकल, स्थिर अवस्था के लिए इस एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी की गणना करने में सक्षम रहे हैं। हालाँकि, 'स्यूडो एंट्रॉपी' (pseudo entropy) नामक एक नई अवधारणा उभरी है, जिसे दो अलग-अलग, गैर-समान क्वांटम अवस्थाओं के बीच संबंध को मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है। परिचित एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी के विपरीत, जो हमेशा एक वास्तविक संख्या (real number) होती है, स्यूडो एंट्रॉपी एक जटिल संख्या (complex number) हो सकती है, जिसमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग होते हैं। यह काल्पनिक घटक रहस्य का एक स्रोत रहा है, कुछ लोगों का सुझाव है कि यह समय की प्रकृति या अंतरिक्ष की ज्यामिति के बारे में सुराग दे सकता है, लेकिन इसकी सीधे गणना करना कठिन साबित हुआ है।
शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस जटिल मात्रा के रहस्यों को खोलने के लिए एक शक्तिशाली विधि विकसित की है। उन्होंने खोजा कि स्यूडो एंट्रॉपी के वास्तविक और काल्पनिक भाग स्वतंत्र रहस्य नहीं हैं, बल्कि वे एक एकल अवस्था की साधारण एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी से गहराई से जुड़े हुए हैं। क्वांटम अवस्था को परिभाषित करने वाले मापदंडों (parameters) को ऐसे चरों (variables) के रूप में मानकर जिन्हें जटिल संख्या प्रणाली में विस्तारित किया जा सकता है, लेखकों ने दिखाया कि 'रिड्यूस्ड ट्रांज़िशन मैट्रिक्स' (reduced transition matrix)—वह गणितीय वस्तु जिसका उपयोग स्यूडो एंट्रॉपी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है—वास्तव में एक विशिष्ट जटिल मान पर मूल्यांकित किया गया साधारण डेंसिटी मैट्रिक्स (density matrix) है। यह मान उन दो अवस्थाओं के मध्य बिंदु और उनके अंतर द्वारा निर्धारित होता है जिनकी तुलना की जा रही है। सार में, दो अलग-अलग अवस्थाओं के बीच के संबंध का जटिल व्यवहार उस तरीके में एनकोडेड है जिस तरह से एक एकल अवस्था की एंटैंगलमेंट उसके परिभाषित मापदंडों के बदलने से बदलती है।
शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि यदि कोई यह जानता है कि इन मापदंडों के फलन (function) के रूप में साधारण एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी कैसे बदलती है, तो वह सीधे जटिल ट्रांज़िशन मैट्रिक्स की गणना किए बिना पूरी स्यूडो एंट्रॉपी प्राप्त कर सकता है। उन्होंने दिखाया कि स्यूडो एंट्रॉपी का वास्तविक भाग साधारण एंट्रॉपी के सम-क्रम (even-order) परिवर्तनों से आता है, जबकि काल्पनिक भाग विषम-क्रम (odd-order) परिवर्तनों से आता है। यह संबंध सरल कणों के संग्रह से लेकर कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज़ (conformal field theories) में जटिल क्षेत्रों तक, विविध प्रणालियों के लिए सत्य है, जो भौतिकी में महत्वपूर्ण घटनाओं (critical phenomena) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मॉडल हैं। उन अवस्थाओं के परिवारों के लिए जहाँ गणितीय गुणांक सुचारू और सुव्यवस्थित होते हैं, लेखकों ने सिद्ध किया कि स्यूडो एंट्रॉपी को एक केंद्रीय बिंदु पर साधारण एंट्रॉपी के डेरिवेटिव्स (derivatives) से पूरी तरह से पुनर्गठित किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि काल्पनिक भाग, जो कभी भ्रम का स्रोत था, वास्तव में इस बात का सीधा परिणाम है कि प्रणाली के विकसित होने पर वास्तविक एंट्रॉपी कैसे वक्र बनाती है और बदलती है।
अध्ययन ने इन निष्कर्षों को कई विशिष्ट भौतिक परिदृश्यों पर लागू किया, जिसमें क्वांटम प्रणालियों में अचानक होने वाले परिवर्तन जिन्हें 'क्वेंचेस' (quenches) कहा जाता है, और कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज़ में थर्मल स्टेट्स शामिल हैं। कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरीज़ के मामले में, शोधकर्ताओं ने क्रेमर-क्रोनिक (Kramers-Kronig) संबंधों के एक सेट का उपयोग करके काल्पनिक भाग को सिस्टम के मौलिक गुणों, जैसे कि इसके सेंट्रल चार्ज (central charge) और बाउंड्री स्टेट्स के व्यवहार से जोड़ा। उन्होंने पाया कि समय के साथ काल्पनिक भाग का कुल "भार" (weight) सीधे सेंट्रल चार्ज के समानुपाती होता है, जो एक ऐसी संख्या है जो सिद्धांत के स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) को दर्शाती है। यह ब्रह्मांड की क्वांटम संरचना के एक मौलिक गुण को मापने का एक ठोस तरीका प्रदान करता है। इसी तरह, हार्मोनिक ऑसिलेटर्स और मुक्त कणों (free particles) के लिए, उन्होंने दिखाया कि दो अवस्थाओं के बीच का ट्रांज़िशन मैट्रिक्स एक जटिल समय (complex time) पर विकसित होने वाले एक साधारण डेंसिटी मैट्रिक्स के रूप में देखा जा सकता है, जो इन मात्राओं की गणना को काफी सरल बना देता है।
इस कार्य के निहितार्थ यह हैं कि स्यूडो एंट्रॉपी की जटिल प्रकृति एक विचित्र विसंगति नहीं बल्कि परिचित एंटैंगलमेंट के नियमों का एक स्वाभाविक विस्तार है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि कई प्रणालियों के लिए, दो अवस्थाओं के बीच का ट्रांज़िशन मैट्रिक्स एक जटिल पैरामीटर पर मूल्यांकित एक एकल अवस्था के डेंसिटी मैट्रिक्स के गणितीय रूप से समान है। यह पहचान भौतिकविदों को साधारण एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी के अच्छी तरह से समझे गए उपकरणों का उपयोग करके अधिक जटिल स्यूडो एंट्रॉपी के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है। शोध पत्र स्पष्ट रूप से इस विचार को खारिज करता है कि काल्पनिक भाग एक मनमाना या असंबद्ध विशेषता है; इसके बजाय, इसे दिखाया गया है कि यह प्रणाली की अंतर्निहित संरचना का एक सटीक, गणना योग्य परिणाम है। लेखकों ने यह भी स्पष्ट किया कि जबकि यह गणितीय पहचान व्यापक श्रेणी की प्रणालियों के लिए सत्य है, साधारण एंट्रॉपी के सरल डेरिवेटिव्स की श्रृंखला से एंट्रॉपी को पुनर्गठित करने की क्षमता इस बात पर निर्भर करती है कि सिस्टम एक स्थिर अवस्था के पर्याप्त करीब हो जहाँ गणितीय फलन सुचारू रूप से व्यवहार करते हैं।
बाउंड्री-स्टेट क्वेंच (boundary-state quenches) के संदर्भ में, जहाँ एक प्रणाली अचानक बाधित होती है, लेखकों ने पाया कि स्यूडो एंट्रॉपी का काल्पनिक भाग एक अनुमानित तरीके से बढ़ता है जो सिस्टम की ऊर्जा में परिवर्तन और व्यवधान की ज्यामिति से संबंधित है। थर्मल स्टेट्स के लिए, उन्होंने एक सूत्र निकाला जो समय के ऊपर काल्पनिक भाग के इंटीग्रल (integral) को सेंट्रल चार्ज से जोड़ता है, जो एक सिद्धांत के मौलिक स्थिरांकों को जांचने का एक नया तरीका प्रदान करता है। अध्ययन ने गॉसियन स्टेट्स (Gaussian states) के मामले को भी संबोधित किया, जो क्वांटम ऑप्टिक्स और कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स में सामान्य हैं, यह दिखाते हुए कि इन अवस्थाओं के लिए ट्रांज़िशन मैट्रिक्स को सीमित संख्या में साधारण कोवेरिएंस (covariance) मापों से बनाया जा सकता है। इसका अर्थ है कि व्यावहारिक प्रयोगों में, आपको जटिल ट्रांज़िशन मैट्रिक्स को सीधे मापने की आवश्यकता नहीं हो सकती है, बल्कि आप सिस्टम पर मानक मापों की एक श्रृंखला से इसे अनुमानित कर सकते हैं।
कार्य यह निष्कर्ष निकालता है कि ये गणितीय संबंध अंतरिक्ष-समय (spacetime) की हमारी समझ के लिए गहरे निहितार्थ रख सकते हैं। यदि समय और स्थान का उद्भव वास्तव में क्वांटम एंटैंगलमेंट से जुड़ा है, तो स्यूडो एंट्रॉपी का काल्पनिक भाग उस उद्भव के एक विशिष्ट पहलू का प्रतिनिधित्व कर सकता है जो पहले अप्राप्य था। लेखक प्रस्तावित करते हैं कि इन प्रणालियों के गुरुत्वाकर्षण विवरण में, उनके गणनाओं में उपयोग किए गए जटिल पैरामीटर एक जटिल डोमेन में 'बल्क ज्योमेट्री' (bulk geometry) के विस्तार के अनुरूप हैं। यह सुझाव देता है कि एंटैंगलमेंट की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले ज्यामितीय सतहों का एक जटिल विस्तार भी हो सकता है जो विभिन्न क्वांटम अवस्थाओं के बीच के संबंध को एनकोड करता है। हालांकि शोध पत्र यह दावा नहीं करता है कि उसने समय के रहस्य को सुलझा लिया है, लेकिन यह स्यूडो एंट्रॉपी की अमूर्त अवधारणा को साधारण एंट्रॉपी के ठोस, मापने योग्य गुणों से जोड़ने के लिए एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान करता है, जिससे एक जटिल सैद्धांतिक मात्रा को परिचित भौतिक डेटा से व्युत्पन्न किया जा सकता है।
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