Pseudo entropy from entanglement entropy

In de kwantumwereld is de meest fundamentele manier om te meten hoe diep twee delen van een systeem met elkaar verbonden zijn, een grootheid genaamd verstrengelingsentropie. Stel je een groot kwantumsysteem voor, zoals een verzameling atomen of een energieveld, dat in twee stukken is gesplitst. Als de stukken werkelijk onafhankelijk zijn, vertelt het weten van alles over het ene stuk je niets over het andere. Maar als ze verstrengeld zijn, is de toestand van het ene onlosmakelijk verbonden met de toestand van het andere, ongeacht hoe ver ze van elkaar verwijderd zijn. Deze verbinding is niet slechts een wiskundige curiositeit; het is het fundament van hoe de kwantuminformatietheorie het universum beschrijft en, in sommige moderne theorieën, hoe ruimte en tijd zelf zouden kunnen voortkomen uit kwantumgegevens. Decennialang hebben natuurkundigen deze verstrengelingsentropie kunnen berekenen voor een enkele, statische toestand van een systeem. Echter, een nieuwer concept genaamd pseudo-entropie is opgekomen, ontworpen om de relatie tussen twee verschillende, niet-identieke kwantumtoestanden te meten. In tegenstelling tot de vertrouwde verstrengelingsentropie, die altijd een reëel getal is, kan pseudo-entropie een complex getal zijn, bezittend zowel een reëel als een imaginair deel. Deze imaginaire component is een bron van mysterie geweest, waarbij sommigen suggereerden dat het aanwijzingen zou kunnen bevatten voor de aard van de tijd of de geometrie van de ruimte, maar het direct berekenen ervan is moeilijk gebleken.

Een team van onderzoekers heeft nu een krachtige methode ontwikkend om de geheimen van deze complexe grootheid te ontsluiten. Ze ontdekten dat de reële en imaginaire delen van pseudo-entropie geen onafhankelijke mysteries zijn, maar diep verbonden zijn met de gewone verstrengelingsentropie van een enkele toestand. Door de parameters die een kwantumtoestand definiëren te behandelen als variabelen die uitgebreid kunnen worden naar het complexe getallensysteem, lieten de auteurs zien dat de gereduceerde transitie-matrix — het wiskundige object dat wordt gebruikt om pseudo-entropie te definiëren — simpelweg de gewone dichtheidsmatrix is, geëvalueerd op een specifieke complexe waarde. Deze waarde wordt bepaald door het middelpunt en het verschil tussen de twee vergeleken toestanden. In essentie is het complexe gedrag van de relatie tussen twee verschillende toestanden gecodeerd in de manier waarop de verstrengeling van een enkele toestand verandert wanneer de definiërende parameters worden verschoven.

De onderzoekers hebben aangetoond dat als men weet hoe de gewone verstrengelingsentropie als functie van deze parameters verandert, men de volledige pseudo-entropie kan afleiden zonder ooit de complexe transitie-matrix direct te hoeven berekenen. Ze toonden aan dat het reële deel van de pseudo-entropie voortkomt uit de veranderingen van even orde van de gewone entropie, terwijl het imaginaire deel voortkomt uit de veranderingen van oneven orde. Deze relatie houdt stand voor een grote verscheidenheid aan systemen, van eenvoudige verzamelingen deeltjes tot complexe velden in scalaire veldentheorieën (conformal field theories), die modellen zijn die gebruikt worden om kritische fenomenen in de fysica te beschrijven. Voor families van toestanden waarbij de wiskundige coëfficiënten glad en goed gedefinieerd zijn, bewezen de auteurs dat de pseudo-entropie volledig gereconstrueerd kan worden uit de afgeleiden van de gewone entropie in een centraal punt. Dit betekent dat het imaginaire deel, dat ooit een bron van verwarring was, eigenlijk een direct gevolg is van hoe de reële verstrengelingsentropie kromt en verschuift terwijl het systeem evolueert.

De studie paste deze bevindingen toe op verschillende specifieke fysische scenario's, waaronder plotselinge veranderingen in kwantumsystemen, bekend als quenches, en thermische toestanden in scalaire veldentheorieën. In het geval van scalaire veldentheorieën gebruikten de onderzoekers een set wiskundige relaties bekend als Kramers-Kronig-relaties om het imaginaire deel van de pseudo-entropie te verbinden met fundamentele eigenschappen van het systeem, zoals de centrale lading en het gedrag van randtoestanden. Ze vonden dat de totale "massa" van het imaginaire deel over de tijd direct evenredig is aan de centrale lading, een getal dat de hoeveelheid vrijheidsgraden in de theorie karakteriseert. Dit biedt een concrete manier om een fundamentele eigenschap van de kwantumstructuur van het universum te meten door te observeren hoe het imaginaire deel van de pseudo-entropie zich gedraagt. Vergelijkbaar daarmee, voor systemen van harmonische oscillatoren en vrije deeltjes, toonden zij aan dat de transitie-matrix tussen twee toestanden gezien kan worden als een gewone dichtheidsmatrix die evolueert op een complexe tijd, een resultaat dat de berekening van deze grootheden aanzienlijk vereenvoudigt.

De implicaties van dit werk zijn dat het complexe karakter van pseudo-entropie geen exotische anomalie is, maar een natuurlijke uitbreiding van de vertrouwde regels van verstrengeling. De onderzoekers toonden aan dat voor veel systemen de transitie-matrix tussen twee toestanden wiskundig identiek is aan de dichtheidsmatrix van een enkele toestand geëvalueerd op een complexe parameter. Deze identiteit stelt natuurkundigen in staat om de goed begrepen instrumenten van de gewone verstrengelingsentropie te gebruiken om het gedrag van de complexere pseudo-entropie te voorspellen. Het artikel sluit expliciet de mogelijkheid uit dat het imaginaire deel een willekeurige of onverbonden eigenschap is; in plaats daarvan is aangetoond dat het een precieze, berekenbare consequentie is van de onderliggende structuur van het systeem. De auteurs verduidelijkten ook dat hoewel de wiskundige identiteit geldt voor een breed scala aan systemen, het vermogen om de entropie te reconstrueren uit een eenvoudige reeks afgeleiden afhangt van het feit of het systeem dicht genoeg bij een stabiele toestand is waar de wiskundige functies zich glad gedragen.

In de context van boundary-state quenches, waarbij een systeem plotseling wordt verstoord, vonden de auteurs dat het imaginaire deel van de pseudo-entropie op een voorspelbare manier groeit die gerelateerd is aan de verandering in de energie van het systeem en de geometrie van de verstoring. Voor thermische toestanden leidden zij een formule af die het integraal van het imaginaire deel over de tijd verbindt met de centrale lading, wat een nieuwe manier biedt om de fundamentele constanten van een theorie te onderzoeken. De studie behandelde ook het geval van Gaussische toestanden, die gebruikelijk zijn in kwantumoptica en gecondenseerde materie fysica, en toonde aan dat de transitie-matrix voor deze toestanden geconstrueerd kan worden uit een eindig aantal gewone covariantie-metingen. Dit betekent dat men in praktische experimenten mogelijk niet de complexe transitie-matrix direct hoeft te meten, maar in plaats daarvan de matrix kan afleiden uit een reeks standaardmetingen op het systeem.

Het werk concludeert door te suggereren dat deze wiskundige verbindingen diepgaande implicaties kunnen hebben voor ons begrip van de ruimtetijd. Als het ontstaan van tijd en ruimte inderdaad gekoppeld is aan kwantumverstrengeling, dan zou het imaginaire deel van de pseudo-entropie een specifiek aspect van dit ontstaan kunnen vertegenwoordigen dat voorheen ontoegankelijk was. De auteurs stellen voor dat in de gravitationele beschrijving van deze systemen, de complexe parameters die in hun berekeningen worden gebruikt, overeenkomen met een voortzetting van de bulk-geometrie naar een complex domein. Dit suggereert dat de geometrische oppervlakken die worden gebruikt om verstrengeling in zwaartekrachttheorieën te berekenen, ook een complexe uitbreiding kunnen hebben die de relatie tussen verschillende kwantumtoestanden codeert. Hoewel het artikel niet beweert het mysterie van de tijd te hebben opgelost, biedt het een rigoureus wiskundig kader dat het abstracte concept van pseudo-entropie verbindt met de concrete, meetbare eigenschappen van gewone verstrengeling, waardoor een complexe theoretische grootheid wordt omgezet in iets dat afgeleid kan worden uit vertrouwde fysische gegevens.