Finite-state automata for exact matrix product operators of tight-binding Hamiltonians: fractals, quasicrystals, trees and hyperbolic lattices

कल्पना कीजिए कि आप किसी पदार्थ के माध्यम से चलते हुए इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार को समझने की कोशिश कर रहे हैं। सरलतम मॉडलों में, वैज्ञानिक इन इलेक्ट्रॉनों को एक ग्रिड पर एक परमाणु से दूसरे परमाणु तक कूदते हुए देखते हैं, ठीक वैसे ही जैसे कोई यात्री मानचित्र पर शहरों के बीच यात्रा करता है। यह "टाइट-बाइंडिंग" (tight-binding) चित्र बिजली के प्रवाह, ऊष्मा के संचरण और कुछ पदार्थों के चुंबकीय होने के कारणों को समझने के लिए एक मौलिक उपकरण है। दशकों तक, यह मॉडल नियमित, दोहराव वाले पैटर्न पर सबसे अच्छा काम करता रहा, जैसे कि टाइल किए हुए फर्श के सटीक वर्गाकार आकार। लेकिन प्रकृति इतनी व्यवस्थित नहीं होती। इलेक्ट्रॉन उन सामग्रियों के माध्यम से भी यात्रा करते हैं जो अजीब, दोहराव वाले लेकिन कभी भी बिल्कुल एक जैसे न होने वाले पैटर्न वाले होते हैं, या उन आकृतियों के माध्यम से जो हर स्तर पर खुद को दोहराती हैं, जैसे कि एक तटरेखा या एक स्नोफ्लेक (हिमपात का कण)। ये जटिल ज्यामितियाँ—फ्रैक्टल्स, क्वासिक्रिस्टल्स और पेड़ जैसी संरचनाएं—अनोखे इलेक्ट्रॉनिक व्यवहार पैदा करती हैं जिन्हें नियमित ग्रिड नहीं समझा सकते। हालाँकि, इनका अध्ययन करना कंप्यूटरों के लिए एक दुःस्वप्न जैसा रहा है। जैसे-जैसे सिमुलेशन में परमाणुओं की संख्या बढ़ती है, एक इलेक्ट्रॉन के लिए हर संभव पथ का मानचित्र बनाने के लिए आवश्यक मेमोरी तेजी से बढ़ती है, जिससे सबसे शक्तिशाली सुपरकंप्यूटर भी जल्दी ही अभिभूत हो जाते हैं।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस जटिलता पर काबू पाने का एक तरीका खोज लिया है। उन्होंने इन जटिल इलेक्ट्रॉन मानचित्रों का वर्णन करने के लिए एक नया तरीका विकसित किया है, जो कंप्यूटर द्वारा भाषा को संसाधित करने के तरीके से ली गई एक चतुर तकनीक है। परमाणुओं के बीच प्रत्येक संबंध की एक विशाल, विस्तृत सूची को संग्रहीत करने के बजाय, उन्होंने एक संक्षिप्त, नियम-आधारित प्रणाली बनाई है जो सामग्री की पूरी संरचना को बहुत कम डिजिटल स्थान में समाहित करती है। यह प्रणाली उन्हें अरबों परमाणुओं वाली सामग्रियों का अनुकरण करने की अनुमति देती है, जो पहले सटीक गणनाओं के साथ पहुंच पाना असंभव था। इन ऊर्जा स्तरों के विश्लेषण के लिए एक मानक तकनीक के साथ इस नए उपकरण को जोड़कर, वे इन विचित्र जालीदार संरचनाओं (lattices) के इलेक्ट्रॉनिक गुणों की उच्च सटीकता के साथ गणना करने में सक्षम रहे, जिससे यह पता चला कि इलेक्ट्रॉन फ्रैक्टल्स के स्व-समान पैटर्न से लेकर हाइपरबोलिक स्पेस के घुमावदार, अनंत विस्तारों तक के वातावरण में कैसे व्यवहार करते हैं।

इस सफलता का मूल आधार यह है कि शोधकर्ताओं ने सामग्री के आकार के बारे में जानकारी को कैसे व्यवस्थित किया। एक मानक कंप्यूटर सिमुलेशन में, किसी प्रणाली का वर्णन करने के लिए आवश्यक मेमोरी आमतौर पर परमाणुओं की संख्या के सीधे अनुपात में बढ़ती है। यदि आप सामग्री का आकार दोगुना करते हैं, तो आपको आवश्यक मेमोरी भी लगभग दोगुनी हो जाती है। लेकिन यहाँ अध्ययन की गई जटिल आकृतियों के लिए, आवश्यक मेमोरी आमतौर पर इतनी तेजी से बढ़ती है कि एक बड़े सिस्टम का सिमुलेशन के लिए पृथ्वी पर मौजूद कुल स्टोरेज से भी अधिक भंडारण की आवश्यकता होगी। शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि ये विशिष्ट आकृतियाँ—फ्रैक्टल्स, क्वासिक्रिस्टल्स और पेड़—पुनरावर्ती नियमों (recursive rules) का उपयोग करके बनाई जाती हैं। इसका अर्थ है कि पूरी संरचना अपने ही छोटे संस्करणों से बनी है, जो एक व्यवस्थित तरीके से एक साथ रखे गए हैं। उन्होंने इन नियमों को एक सरल मशीन में एनकोड किया, जो एक ट्रैफिक लाइट के समान है जो गुजरने वाली कारों के आधार पर अपनी स्थिति बदलती है, लेकिन इस मामले में, यह मशीन सामग्री के निर्माण के विभिन्न स्तरों के माध्यम से इलेक्ट्रॉन की स्थिति को ट्रैक करती है।

यह मशीन, जिसे लेखक "फाइनाइट-स्टेट ऑटोमेटन" (finite-state automaton) कहते हैं, एक ब्लूप्रिंट के रूप में कार्य करती है। यह प्रत्येक परमाणु की सूची नहीं बनाती। इसके बजाय, इसमें निर्देशों का एक छोटा सेट होता है जो कंप्यूटर को यह बताता है कि संरचना के एक स्तर से दूसरे स्तर पर जाते समय परमाणुओं के बीच के कनेक्शन को कैसे उत्पन्न किया जाए। क्योंकि इन आकृतियों को बनाने के नियम सीमित और दोहराने योग्य हैं, इसलिए मशीन को पूरे सिस्टम का वर्णन करने के लिए एक निश्चित, छोटे आंतरिक स्टेट्स (states) की आवश्यकता होती है, चाहे वह कितनी भी बड़ी क्यों न हो जाए। शोधकर्ताओं ने इस मशीन को एक गणितीय संरचना में अनुवादित किया जिसे "मैट्रिक्स प्रोडक्ट ऑपरेटर" कहा जाता है। सरल शब्दों में, यह इलेक्ट्रॉन की गति के नियमों को छोटे, जुड़े हुए ब्लॉकों की एक श्रृंखला के रूप में लिखने का एक तरीका है। इन ब्लॉकों का आकार केवल आकृति के नियमों की जटिलता पर निर्भर करता है, न कि परमाणुओं की कुल संख्या पर। इसका अर्थ यह है कि भले ही सिमुलेशन में अरबों साइटें हों, कंप्यूटर को हैमिल्टोनियन (Hamiltonian) को वर्णित करने के लिए पर्याप्त डेटा संग्रहीत करने की आवश्यकता होती है, जो वह गणितीय वस्तु है जो यह निर्धारित करती है कि इलेक्ट्रॉन कैसे चलते हैं और परस्पर क्रिया करते हैं।

अपने तरीके का परीक्षण करने के लिए, टीम ने विविध चुनौतीपूर्ण ज्यामितियों पर इसे लागू किया। उन्होंने यह सुनिश्चित करने के लिए कि उनका तरीका सही ढंग से काम करता है, परिचित वर्गाकार और त्रिकोणीय ग्रिडों से शुरुआत की, फिर वे 'सियरपिंस्की कार्पेट' (Sierpiński carpet) पर चले गए, जो एक प्रसिद्ध फ्रैक्टल आकृति है जहाँ एक वर्ग को बार-बार नौ छोटे वर्गों में विभाजित किया जाता है और केंद्र वाले को हटा दिया जाता है। उन्होंने फाइबोनैकी चेन (Fibonacci chain) का भी सिमुलेशन किया, जो परमाणुओं की एक आयामी रेखा है जो एक ऐसे पैटर्न में व्यवस्थित है जो कभी दोहराता नहीं है लेकिन एक सख्त नियम का पालन करता है, और इसका द्वि-आयामी विस्तार भी किया। अंत में, उन्होंने केली ट्री (Cayley trees) पर काम किया, जो शाखाओं वाली संरचनाएं हैं जो एक केंद्रीय बिंदु से बाहर की ओर बढ़ती हैं, और हाइपरबोलिक लैटिस (hyperbolic lattices), जो एक सैडल (saddle) की तरह अंदर की ओर मुड़ी हुई ग्रिड हैं, जो केंद्र से दूर जाने पर कनेक्शनों की संख्या में घातीय वृद्धि की अनुमति देती हैं। प्रत्येक मामले में, पद्धति ने कनेक्शनों की पूरी सूची लिखे बिना ही सिस्टम के नियमों का एक सटीक विवरण प्रस्तुत किया।

एक बार जब नियमों को एनकोड कर दिया गया, तो शोधकर्ताओं ने ऊर्जा स्तरों को निर्धारित करने के लिए "कर्नेल पॉलीनोमियल मेथड" (kernel polynomial method) नामक तकनीक का उपयोग किया। यह दृष्टिकोण उन्हें उपलब्ध ऊर्जा स्तरों और सामग्री में इलेक्ट्रॉन कैसे वितरित होते हैं, यह निर्धारित करने की अनुमति देता है, बिना पूरे सिस्टम को एक साथ हल किए। सियरपिंस्की कार्पेट के लिए, उन्होंने 2,00,000 से अधिक साइटों वाले सिस्टम का सिमुलेशन किया और पाया कि इलेक्ट्रॉन तरंगें पूरी संरचना में फैली हुई रहीं, और कहीं भी एक जगह फंसने के कोई संकेत नहीं मिले। उन्होंने लगभग 2,00,000 साइटों वाले फाइबोनैकी चेन का भी अवलोकन किया और ऊर्जा के उन जटिल पैटर्न को देखा जो क्वासिक्रिस्टल्स के अद्वितीय हैं, जहाँ इलेक्ट्रॉन घनत्व एक जटिल, गैर-दोहराव वाले तरीके से बदलता रहता है। केली ट्री के मामले में, जिसे उन्होंने n = 10 पीढ़ी के 3-केली ट्री के रूप में मॉडल किया था, वे यह मैप करने में सक्षम थे कि सामग्री में विकार (disorder) इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह को कैसे प्रभावित करता है, यह दिखाते हुए कि संरचना की समरूपता तब भी बनी रहती है जब वातावरण अराजक होता है।

इस कार्य का महत्व यह है कि यह उन सामग्रियों की एक विस्तृत श्रेणी के अध्ययन के लिए एक एकीकृत तरीका प्रदान करता है जो पहले सिम्युलेट करने में बहुत कठिन थे। इससे पहले, शोधकर्ताओं को अक्सर अनुमानों पर निर्भर रहना पड़ता था या वे केवल इन प्रणालियों के बहुत छोटे संस्करणों का ही अध्ययन कर पाते थे, जिससे महत्वपूर्ण बड़े-स्तर के व्यवहार छूट सकते थे। इस नए तरीके का उपयोग करके, वे इन जटिल जालीदार संरचनाओं के इलेक्ट्रॉनिक गुणों को उन आकारों पर खोज सकते हैं जो पहले की तुलना में घातीय रूप से बड़े हैं। यह विधि विशेष रूप से शक्तिशाली है क्योंकि यह सटीक है; यह जानकारी को फेंकती नहीं है या सिस्टम के व्यवहार के बारे में अनुमान नहीं लगाती है। यह केवल संरचना के नियमों को लिखने का एक अधिक कुशल तरीका ढूंढती है। यह गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार को खोजने का मार्ग खोलता है, जो कि वैज्ञानिकों के लिए प्रकाश, सर्किट और परमाणुओं की श्रृंखलाओं का उपयोग करके नए प्रकार के क्वांटम सिम्युलेटर बनाने के संदर्भ में तेजी से प्रासंगिक होता जा रहा है।

शोधकर्ताओं ने यह भी नोट किया कि जबकि उनका तरीका उनके द्वारा अध्ययन की गई आकृतियों के लिए पूरी तरह से काम करता है, यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये आकृतियाँ सरल, दोहराव वाले नियमों से बनी हैं। यदि किसी सामग्री की ऐसी संरचना है जो ऐसे स्पष्ट पैटर्न का पालन नहीं करती है, तो यह विशिष्ट दृष्टिकोण उतना प्रभावी नहीं हो सकता है। हालाँकि, पुनरावर्ती रूप से संरचित जालीदार संरचनाओं के विशाल परिवार के लिए, यह विधि एक शक्तिशाली नया दृष्टिकोण प्रदान करती है। यह वैज्ञानिकों को अरबों परमाणुओं वाली सामग्रियों के इलेक्ट्रॉनिक गुणों के बारे में प्रश्न पूछने की अनुमति देता है, जो वास्तविक दुनिया के उपकरणों को समझने और अनुकूलित गुणों वाली नई सामग्रियों को डिजाइन करने के पैमाने के लिए प्रासंगिक है। इन प्रणालियों का सटीक रूप से सिमुलेशन करने की क्षमता यह सुनिश्चित करती है कि कंप्यूटर द्वारा किए गए पूर्वानुमान भौतिकी के नियमों जितने ही विश्वसनीय हैं, जो क्वांटम पदार्थ के क्षेत्र में भविष्य के प्रयोगों और खोजों के लिए एक ठोस आधार प्रदान करते हैं।