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Notes on Magnetostatic Interactions in $\mathbb R^3$

यह शोध पत्र $\mathbb{R}^3$ में मैग्नेटोस्टैटिक्स (स्थिर चुंबकत्व) के एक संक्षिप्त निरूपण को प्रस्तुत करता है जो विनिर्मित संबंधों (constitutive relations) के बिना संभावित ऊर्जा को परिभाषित करके और आभासी कार्य सिद्धांत (virtual work principle) को लागू करके एक यांत्रिक बल फलन—जिसमें लोरेन्त्ज़ और केल्विन घनत्व, एक असममित सक्रिय प्रतिबल क्षेत्र (asymmetric active stress field), और एक दबाव पद शामिल है—व्युत्पन्न करता है।

मूल लेखक: Vladimir Gol'dshtein, Wolfgang H. Müller, Reuven Segev

प्रकाशित 2026-09-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Vladimir Gol'dshtein, Wolfgang H. Müller, Reuven Segev

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

चुंबकत्व एक ऐसा बल है जिसका हम दैनिक जीवन में सामना करते हैं, एक रेफ्रिजरेटर के दरवाजे के साधारण 'क्लिक' से लेकर इलेक्ट्रिक मोटरों की जटिल मशीनरी तक। इसके मूल में एक मौलिक प्रश्न निहित है: एक चुंबकीय क्षेत्र वास्तव में उस सामग्री पर कैसे धक्का देता है या उसे खींचता है जिसे वह छूता है? एक सदी से अधिक समय से, भौतिकविदों ने इस परस्पर क्रिया को नियमों के एक समूह का उपयोग करके वर्णित किया है जो विद्युत धाराओं को दो प्रकारों में विभाजित करते हैं: वे जो स्वतंत्र रूप से बहती हैं, जैसे तार में बिजली, और वे जो एक चुंबक की परमाणु संरचना के भीतर बंधी या लॉक होती हैं। चुंबकीय प्रणालियों में ऊर्जा और बलों की गणना करने के लिए यह विभाजन एक मानक तरीका रहा है। हालाँकि, यह पारंपरिक दृष्टिकोण इस बात पर विशिष्ट धारणाओं पर निर्भर करता है कि सामग्रियाँ कैसे व्यवहार करती हैं, ऐसी धारणाएँ जो इस परस्पर क्रिया के मूल यांत्रिकी को समझने के लिए आवश्यक नहीं हो सकती हैं।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस समस्या को देखने के लिए एक नया, सुव्यवस्थित तरीका प्रस्तावित किया है, जो इस परस्पर क्रिया के प्रत्यक्ष विवरण को खोजने के लिए अतिरिक्त धारणाओं को हटा देता है। मुक्त और बद्ध धाराओं को अलग करने के बजाय, वे पूरी प्रणाली को एक एकल, एकीकृत प्रवाह के रूप में देखते हैं। उन गणितीय क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित करके जो इन धाराओं को उत्पन्न करते हैं और चुंबकीय क्षेत्रों को जो वे बनाते हैं, उन्होंने एक चुंबकीय प्रणाली में संचित ऊर्जा के लिए एक नया सूत्र व्युत्पन्न किया है। यह नया दृष्टिकोण प्रकट करता है कि चुंबक पर लगने वाले बल केवल साधारण धक्के और खिंचाव नहीं हैं, बल्कि उनमें एक घुमावदार क्रिया (twisting action) और एक दबाव जैसा प्रभाव भी शामिल है जो पहले छिपे हुए थे या जिन्हें अलग तरह से माना जाता था। उनका कार्य बताता है कि चुंबकों के जटिल व्यवहार को एक सरल, अधिक मौलिक लेंस के माध्यम प्रकार से समझा जा सकता है, जो सामग्री के विशिष्ट गुणों के बजाय स्वयं क्षेत्रों की ज्यामिति (geometry) पर निर्भर करता है।

शोधकर्ताओं ने चुंबकत्व के बुनियादी निर्माण खंडों, यानी स्थिर चुंबकत्व (magnetostatics - उन चुंबकीय क्षेत्रों का अध्ययन जो समय के साथ नहीं बदलते) की पुनर्कल्पना से शुरुआत की। पारंपरिक दृष्टिकोण में, वैज्ञानिक खाली स्थान में चुंबकीय क्षेत्र से शुरुआत करते हैं और फिर सामग्रियों के प्रभाव को समझाने के लिए जटिलता की एक परत जोड़ते हैं, जिसमें चुंबकत्व (magnetization) नामक एक क्षेत्र पेश किया जाता है जो यह बताता है कि एक सामग्री कैसे प्रतिक्रिया करती है। यह नया दृष्टिकोण उस मध्यवर्ती चरण को पूरी तरह से छोड़ देता है। इसके बजाय, लेखक दो प्राथमिक क्षेत्रों के साथ शुरुआत करते हैं: एक जो चुंबकीय क्षेत्र के अस्तित्व की क्षमता का वर्णन करता है, और दूसरा जो विद्युत धारा के प्रवाह की क्षमता का वर्णन करता है। वे चुंबकीय द्विध्रुवों (magnetic dipoles)—वे सूक्ष्म, परमाणु-स्तर के चुंबक जो एक बड़े चुंबक का निर्माण करते हैं—के वितरण को बद्ध धाराओं के संग्रह के रूप में नहीं, बल्कि एक निरंतर क्षेत्र के रूप में देखते हैं जो बाहरी चुंबकीय वातावरण के साथ सीधे संपर्क करता है।

जो उन्होंने पाया उसे समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि अंतरिक्ष का एक क्षेत्र इन चुंबकीय द्विध्रुवों से भरा हुआ है। शोधकर्ताओं ने एक सरल प्रश्न पूछा: यदि यह क्षेत्र थोड़ा सा हिलता है, तो चुंबकीय क्षेत्र इस पर कितना कार्य (work) करता है? भौतिकी में, इस प्रश्न का उत्तर इस प्रणाली की संभावित ऊर्जा (potential energy) को प्रकट करता है। धाराओं को मुक्त और बद्ध प्रकारों में विभाजित करने वाले मानक नियमों का उपयोग किए बिना इस ऊर्जा की गणना करके, वे एक संक्षिप्त अभिव्यक्ति (expression) तक पहुँचे। यह अभिव्यक्ति दिखाती है कि कुल ऊर्जा इस बात पर निर्भर करती है कि धारा क्षमता क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र उस क्षेत्र के भीतर कैसे ओवरलैप होते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, यह सूत्र क्षेत्र के किसी भी आकार या आकार के लिए काम करता है, और यह तब भी मान्य रहता है जब सामग्री के माध्यम से कोई मुक्त धारा प्रवाहित नहीं हो रही हो, जो केवल इसके चुंबकीय द्विध्रुवों की आंतरिक व्यवस्था पर निर्भर करता है।

इस ऊर्जा सूत्र से, टीम ने उस बल को व्युत्पन्न किया जो चुंबकीय क्षेत्र सामग्री पर लगाता है। जब उन्होंने गणना की कि सामग्री के हिलने पर ऊर्जा कैसे बदलती है, तो उन्होंने पाया कि कुल बल कई विशिष्ट भागों से बना है। पहला भाग परिचित लोरेन्त्ज़ बल (Lorentz force) है, जो चुंबकीय क्षेत्र में धारा ले जाने वाले तार द्वारा महसूस किया जाने वाला मानक धक्का है। दूसरा भाग केल्विन बल (Kelvin force) है, जो यह बताता है कि एक चुंबकीय क्षेत्र चुंबकित सामग्री को कैसे खींचता है। हालाँकि, नए प्रतिरूपण (formulation) ने दो अतिरिक्त घटकों को प्रकट किया जिन्हें अक्सर अनदेखा किया जाता है या माध्यमिक माना जाता है। एक दबाव शब्द (pressure term) है, जो सामग्री पर एक समान दबाव की तरह कार्य करता है, और दूसरा एक जटिल तनाव क्षेत्र (stress field) है। यह तनाव क्षेत्र अद्वितीय है क्योंकि यह पूरी तरह से संतुलित नहीं है; इसमें एक "विषम-सममित" (skew-symmetric) प्रकृति है, जिसका अर्थ है कि यह सामग्री को धकेलने के अलावा एक घुमावदार युग्म या टॉर्क (torque) भी उत्पन्न करता है।

इस विषम-सममित तनाव क्षेत्र की खोज महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक चुंबक की आंतरिक यांत्रिकी को देखने के हमारे तरीके को बदल देती है। कई मानक मॉडलों में, यह माना जाता है कि आंतरिक बल पूरी तरह से संतुलित हैं ताकि वे एक शुद्ध घुमाव (net twist) पैदा न करें। यहाँ, लेखक दिखाते हैं कि धारा क्षमता और चुंबकीय क्षेत्र के बीच की परस्पर क्रिया स्वाभाविक रूप से यांत्रिक युग्मों (mechanical couples) का एक वितरण उत्पन्न करती है। ये सूक्ष्म, आंतरिक टॉर्क हैं जो सामग्री के प्रत्येक बिंदु पर कार्य करते हैं। शोधकर्ता तर्क देते हैं कि यह उनकी गणितीय गणना का परिणाम नहीं है, बल्कि परस्पर क्रिया की एक मौलिक विशेषता है, जो सीधे तौर पर क्षेत्रों को परिभाषित करने के तरीके से उत्पन्न होती है। उन्होंने यह भी पाया कि उनके द्वारा गणना किया गया बल ऊर्जा परिवर्तन के साथ पूरी तरह मेल खाता है, जो इस बात की पुष्टि करता है कि उनका मॉडल ऊर्जा संरक्षण के नियमों के साथ सुसंगत है।

यह शोध द्विध्रुवों (dipoles) के भौतिकी के एक लंबे समय से चले आ रहे पहेली का भी समाधान करता है। जब वैज्ञानिक ऊर्जा विधि का उपयोग करके एक एकल चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाले बल की गणना करते हैं, तो उन्हें अक्सर उस परिणाम से भिन्न परिणाम मिलता है जो वे व्यक्तिगत कणों के बल को जोड़कर प्राप्त करते हैं। इस विसंगति को आमतौर पर "छिपे हुए संवेग" (hidden momentum) नामक एक रहस्यमय अवधारणा पर डाला जाता है, जो यह सुझाव देती है कि इस अंतर की व्याख्या करने के लिए प्रणाली के भीतर कुछ अदृश्य संवेग मौजूद है। इस शोध के लेखक इस परिणाम की व्याख्या करने के लिए छिपे हुए संवेग पर निर्भर नहीं करते हैं। इसके बजाय, उनका व्युत्पन्न दिखाता है कि ऊर्जा विधि से प्राप्त बल ही पूरी प्रणाली के लिए सही है, और स्पष्ट संघर्ष पारंपरिक दृष्टिकोण में व्यक्तिगत कणों को मॉडल करने के तरीके से उत्पन्न होता है। द्विध्रुव को व्यक्तिगत कणों के संग्रह के बजाय एक निरंतर क्षेत्र के रूप में मानकर, यह विसंगति स्वाभाविक रूप से समाप्त हो जाती है।

शोधकर्ता इस बात पर जोर देते हैं कि उनकी विधि को सामग्रियों के व्यवहार के बारे में किसी विशिष्ट नियमों, जिन्हें 'रचनात्मक संबंध' (constitutive relations) कहा जाता है, की आवश्यकता नहीं है। भौतिकी के कई क्षेत्रों में, वैज्ञानिकों को यह मानना पड़ता है कि एक सामग्री क्षेत्र के प्रति कैसे प्रतिक्रिया देगी—उदाहरण के लिए, यह मानना कि एक निश्चित धातु चुंबकीय क्षेत्र बढ़ने के साथ दोगुनी चुंबकीय हो जाएगी। यह नया दृष्टिकोण उन धारणाओं के बिना काम करता है। यह धारा क्षमता और चुंबकीय क्षेत्र को प्राथमिक वस्तुओं के रूप में मानता है, जिससे यह सिद्धांत उन स्थितियों में भी लागू होता है जहाँ सामग्री के गुण अज्ञात या जटिल होते हैं। परिणाम एक ऐसा प्रतिरूपण है जो पारंपरिक वाले की तुलना में सरल और अधिक सामान्य है, जो केवल क्षेत्रों की मौलिक ज्यामिति और आवेश के संरक्षण पर निर्भर करता है।

अंततः, यह कार्य चुंबकीय बलों को समझने के लिए एक स्वच्छ और अधिक सीधा मार्ग प्रदान करता है। यह दिखाता है कि चुंबकों और क्षेत्रों के बीच की जटिल परस्पर क्रिया को एक एकल, एकीकृत ऊर्जा अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो स्वाभाविक रूप से उन बलों, टॉर्क और दबाव को उत्पन्न करती है जिन्हें हम देखते हैं। धाराओं को मुक्त और बद्ध भागों में विभाजित करने की आवश्यकता को हटाकर, लेखकों ने चुंबकत्व के काम करने के तरीके में एक गहरी समरूपता (symmetry) को प्रकट किया है। उनके निष्कर्ष बताते हैं कि चुंबक पर लगने वाले बल केवल साधारण धक्कों का योग नहीं हैं, बल्कि तनाव और घुमाव का एक समृद्ध ताना-बाना है जो स्वयं क्षेत्र का अभिन्न अंग है। यह परिप्रेक्ष्य भौतिकविदों और इंजीनियरों को सूक्ष्म सेंसर से लेकर विशाल बिजली जनरेटर तक, चुंबकीय उपकरणों के अधिक सटीक मॉडल विकसित करने में मदद कर सकता है, क्योंकि यह कार्यरत मौलिक बलों की एक स्पष्ट तस्वीर प्रदान करता है।

तकनीकी सारांश: $\mathbb{R}^3$ में चुंबकस्थैतिक अंतःक्रियाओं पर नोट्स

समस्या विवरण
यह शोधपत्र पदार्थशील निकायों (ponderable bodies) के लिए चुंबकस्थैतिकी (magnetostatics) के निरूपण को बिना किसी संरचनात्मक संबंधों (constitutive relations) पर निर्भर किए, विशेष रूप से मुक्त और बंधित धाराओं (free and bound currents) के विभाजन और "ईथर संबंधों" (जैसे, $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}$ ) के उपयोग से बचते हुए, संबोधित करता है। लेखक एक संकुचित, परिवर्तनिक परिवेश (variational setting) की खोज कर रहे हैं ताकि सदिश विभव क्षेत्र (vector potential field) के अंतर्गत चुंबकीय द्विध्रुव वितरण वाले क्षेत्र के लिए संभावित ऊर्जा को परिभाषित किया जा सके और परिणामी यांत्रिक बल फलन (mechanical force functional) को व्युत्पन्न किया जा सके। यह कार्य एक पूर्व प्रस्तावित इलेक्ट्रोस्टैटिक्स सेटिंग (GMS26) के समानांतर है, लेकिन यह द्वैतता ढांचे (duality framework) को चुंबकस्थैतिकी के अनुकूल बनाता है, जहाँ मौलिक क्षेत्र अदिश विभव के बजाय सदिश विभव $\mathbf{A}$ है।

कार्यप्रणाली
लेखक द्वैता पर आधारित एक परिवर्तनिक दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं, जिसमें क्षेत्रों को परीक्षण क्षेत्रों (test fields) पर कार्य करने वाले रैखिक फलनों (linear functionals) के रूप में माना जाता है।

मौलिक वस्तुएं: सिद्धांत सदिश विभव $\mathbf{A}$ और एक "धारा घनत्व विभव" $\mathbf{H}$ को मौलिक वस्तुओं के रूप में मानता है। धारा घनत्व को $\mathbf{j} = \nabla \times \mathbf{H}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मानक उपचारों के विपरीत, $\mathbf{H}$ कुल धारा घनत्व के लिए एक विभव है, न कि केवल मुक्त धाराओं के लिए, और इसमें कोई चुंबकन क्षेत्र $\mathbf{M}$ पेश नहीं किया गया है।
संभावित ऊर्जा की परिभाषा: $\mathbf{H}$ द्वारा निर्दिष्ट द्विध्रुव वितरण की संभावित ऊर्जा $U$ , एक रैखिक फलन $m(\mathbf{A})$ के माध्यम से परिभाषित की जाती है। लेखक प्रस्तावित करते हैं:
$U = -m(\mathbf{A}) = \int_{\Omega} \nabla \cdot (\mathbf{H} \times \mathbf{A}) \, dV$
यह निरूपण $\mathbf{A}$ में रैखिक है, जो इसे स्रोतों में द्विघाती (quadratic) होने वाले स्व-ऊर्जा (self-energy) व्यंजकों से अलग करता है।
बल का व्युत्पत्ति: यांत्रिक बलों को आभासी वेग क्षेत्रों (virtual velocity fields) $\mathbf{w}$ पर कार्य करने वाले रैखिक फलनों के रूप में माना जाता है। लेखक प्रतिपादित करते हैं कि अंतर्निहित द्विध्रुव वितरण के आभासी संचलन के दौरान क्षेत्र द्वारा किया गया आभासी कार्य, संभावित ऊर्जा के ऋणात्मक समय अवकलज के बराबर होता है।
रूपांतरण नियम: बल को व्युत्पन्न करने के लिए, लेखक अंतर्निहित द्विध्रुवों के लिए रूपांतरण नियम स्थापित करते हैं। चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण को वेग क्षेत्र के कर्ल (curl) का नमूना लेने वाले एक फलन के रूप में माना जाता है। यह माना जाता है कि क्षेत्र $\mathbf{H}$ और $\mathbf{j}$ पदार्थ के साथ प्रवाहित (convected) होते हैं, जो रेखा और क्षेत्रफल तत्वों के विशिष्ट रूपांतरण नियमों का पालन करते हैं जो $\mathbf{j} = \nabla \times \mathbf{H}$ संबंध को बनाए रखते हैं।
प्रेरक सादृश्य: खंड 2 और 3 मुख्य परिणामों को बल द्विध्रुवों और चुंबकीय द्विध्रुवों को विविक्त प्रणालियों (जैसे, सापेक्ष वेग वाली आवेश युग्मों) के सीमांत (limits) के रूप में विश्लेषण करके प्रेरित करते हैं, जो बल द्विध्रुव के आघूर्ण और चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण के बीच समानता दर्शाते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

संकुचित ऊर्जा निरूपण: शोधपत्र एक संभावित ऊर्जा व्यंजक व्युत्पन्न करता है जो एक विचलन पद (divergence term) है, जिससे ऊर्जा को किसी भी उप-क्षेत्र $\Omega$ में स्थानीयकृत करना संभव हो जाता है। विचलन का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:
$U = \int_{\Omega} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A} \, dV - \int_{\Omega} \mathbf{H} \cdot \mathbf{B} \, dV$
जहाँ $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$ है। यह बिना किसी संरचनात्मक नियमों को लागू किए मानक अंतःक्रिया ऊर्जा पदों को पुनः प्राप्त करता है।
यांत्रिक बल फलन: संभावित ऊर्जा का आभासी संचलन के तहत समय के सापेक्ष अवकलन करके, लेखक एक व्यापक यांत्रिक बल फलन $F(\mathbf{w})$ व्युत्पन्न करते हैं:
$F(\mathbf{w}) = -\int_{\Omega} (\mathbf{j} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{w} \, dV - \int_{\Omega} j_k A_{i,k} w_i \, dV - \int_{\Omega} j_j A_i w_{i,j} \, dV - \int_{\Omega} H_i B_j w_{i,j} \, dV + \int_{\Omega} H_j B_{j,k} w_k \, dV + \int_{\Omega} H_j B_j w_{k,k} \, dV$
बल घटकों की पहचान: व्युत्पन्न फलन में कई विशिष्ट भौतिक पद शामिल हैं:
- लोरेंट्ज़ बल (Lorentz Force): पद $-\int (\mathbf{j} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{w}$ मानक लोरेंट्ज़ बल घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है।
- केल्विन बल (Kelvin Force): $\mathbf{H}$ पर $\nabla \mathbf{B}$ के कार्य करने वाला पद चुंबकित माध्यम पर लगाए गए केल्विन बल घनत्व के अनुरूप है।
- सक्रिय प्रतिबल (Active Stress): वेग प्रवणता ( $w_{i,j}$ ) के साथ संकुचित पद सक्रिय प्रतिबल क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन प्रतिबल पदों का विषम-सममित (skew-symmetric) भाग एक यांत्रिक युग्म घनत्व (mechanical couple density) के अनुरूप है।
- दाब (Pressure): वेग क्षेत्र के विचलन ( $w_{k,k}$ ) से संबंधित पद को दबाव पद के रूप में व्याख्यायित किया गया है, विशेष रूप से $H_j B_j$ के अदिश गुणनफल का वेग के विचलन के साथ समाकलन।
सीमा प्रकृति (Boundary Nature): लेखक ध्यान देते हैं कि चूंकि संभावित ऊर्जा एक सीमा फलन (boundary functional) है (विचलन प्रमेय के माध्यम से), इसलिए परिणामी बल फलन भी एक सीमा फलन है। बल अभिव्यक्ति के बल्क पद एक प्रतिबल टेंसर (stress tensor) के रूप में एकत्रित होते हैं जिसका अभिलंब तान (normal traction) सीमा समाकल रूप में प्रकट होता है।

महत्व और दावे
शोधपत्र का दावा है कि यह चुंबकस्थैतिकी का एक "संकुचित निरूपण" प्रदान करता है जो संरचनात्मक संबंधों और धाराओं के विशिष्ट विभाजन से स्वतंत्र है।

सैद्धांतिक निरंतरता: इस निरूपण को एक प्रीमेट्रिक $p$ -फॉर्म ढांचे (GS26 का संदर्भ देते हुए) के $p=1$ मामले के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो यह सुझाव देता है कि व्युत्पन्न व्यंजक विभवों और वितरणों के बीच द्वैतता के परिणाम हैं, न कि $\mathbb{R}^3$ में सदिश कलन (vector calculus) के कृत्रिम प्रभाव।
विसंगतियों का समाधान: लेखक $-\nabla U$ से व्युत्पन्न बलों और घटक कणों पर लोरेंट्ज़ नियम से व्युत्पन्न बलों के बीच ज्ञात विसंगति को "छिपे हुए संवेग" (hidden momentum) के कारण बताते हैं, जो मानक साहित्य (जैक्सन, ज़ैंगविल) के अनुरूप है।
व्यापकता: $\mathbf{M}$ और ईथर संबंधों से बचकर, यह सिद्धांत किसी भी चुंबकीय द्विध्रुव वितरण के लिए लागू होता है जिसे $\mathbf{H}$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, चाहे उस क्षेत्र के भीतर धारा घनत्व शून्य हो या नहीं।
विनम्रता: लेखक इस कार्य को एक "परिवर्तनिक सेटिंग" और "नोट्स" के रूप में फ्रेम करते हैं, जिसका मुख्य जोर बल फलन के व्युत्पत्ति और इस विशिष्ट गणितीय ढांचे के भीतर प्रतिबल और युग्म घनत्वों की पहचान करने पर है, बिना किसी नए प्रयोगात्मक अनुप्रयोगों या इस स्थिर संदर्भ के परे गतिशील विद्युत चुंबकत्व (dynamic electrodynamics) तक सिद्धांत के विस्तार का प्रस्ताव दिए।

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