Fast Hamiltonian engineering from cut polytope geometry

क्वांटम कंप्यूटर उन समस्याओं को हल करने का वादा करते हैं जो आज की मशीनों के लिए असंभव हैं, लेकिन वे अत्यधिक नाजुक होते हैं। उन्हें उपयोगी बनाने के लिए, वैज्ञानिकों को जटिल क्वांटम प्रणालियों, जैसे कि अणुओं या नई सामग्रियों, के व्यवहार का अनुकरण (सिमुलेशन) करना चाहिए, जिसके लिए एक क्वांटम उपकरण को इस तरह प्रोग्राम करना होता है कि वह उस प्रणाली की तरह व्यवहार करे जिसका वे अध्ययन करना चाहते हैं। यह प्रक्रिया, जिसे हैमिल्टोनियन इंजीनियरिंग (Hamiltonian engineering) कहा जाता है, इसमें एक मूल मशीन को, जो स्वाभाविक रूप से कुछ अंतःक्रियाएं (interactions) करती है, नियंत्रण पल्स (control pulses) की एक श्रृंखला के माध्यम से अपने व्यवहार को बदलकर एक अलग, वांछित अंतःक्रिया की नकल करने के लिए आकार दिया जाता है। चुनौती यह है कि इन नियंत्रण पल्स को निष्पादित करने में समय लगता है, और क्वांटम प्रणाली जितनी अधिक समय तक सक्रिय रहती है, उसके अपने नाजुक क्वांटम अवस्था को शोर (noise) और त्रुटियों के कारण खोने की संभावना उतनी ही अधिक होती है। इसलिए, सबसे महत्वपूर्ण लक्ष्य उन पल्स के सबसे तेज़ संभव अनुक्रम को खोजना है जो वांछित सिमुलेशन को प्राप्त करता है, जिससे मशीन के वातावरण के संपर्क में रहने का समय न्यूनतम हो सके।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने विभिन्न प्रकार की क्वांटम प्रणालियों, जिनमें क्यूबिट्स (qubits), उच्च-आयामी क्वडिट्स (qudits), और फर्मिऑन्स (fermions) शामिल हैं, के लिए इन इष्टतम पल्स अनुक्रमों को खोजने के लिए एक नई, एकीकृत विधि विकसित की है। इस समस्या को उच्च-आयामी स्थान में आकृतियों से जुड़े एक ज्यामितीय पहेली के रूप में मानकर, उन्होंने ऐसे एल्गोरिदम बनाए जो विशेष रूप से सिस्टम और लक्षित सिमुलेशन के अनुरूप नियंत्रण पल्स उत्पन्न करते हैं। उनका दृष्टिकोण लगातार ऐसे समाधान खोजता है जो सैद्धांतिक रूप से सर्वोत्तम संभव समय के लगभग बराबर होते हैं, जो रैंडम अनुमान (random guessing) पर निर्भर पिछले तरीकों से काफी बेहतर प्रदर्शन करते हैं। जटिल मॉडलों पर परीक्षणों में, उनकी तकनीक ने आवश्यक समय को एक ऐसे स्तर तक कम कर दिया जो सिस्टम के आकार के साथ नहीं बढ़ता है, जबकि पुराने तरीके बड़े होने पर धीमे होते गए।

समस्या का मूल यह है कि क्वांटम प्रणालियाँ कैसे परस्पर क्रिया करती हैं। कल्पना कीजिए कि एक क्वांटम उपकरण स्वाभाविक रूप से एक विशिष्ट तरीके से कणों को परस्पर क्रिया करने की अनुमति देता है, लेकिन एक वैज्ञानिक एक अलग प्रकार की अंतःक्रिया का अनुकरण करना चाहता है। इस अंतर को पाटने के लिए, वैज्ञानिक नियंत्रण ऑपरेशनों, या पल्स की परतों को लागू करते हैं, जो सिस्टम की अवस्था को घुमाते हैं। लक्ष्य इन घुमावों (twists) का सही संयोजन खोजना है ताकि सिस्टम प्रभावी रूप से नए नियमों के अनुसार व्यवहार करे। शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि कई महत्वपूर्ण प्रकार के क्वांटम सिस्टम के लिए, प्राकृतिक अंतःक्रियाओं और नियंत्रण पल्स के बीच का संबंध एक सरल नियम का पालन करता है: पल्स केवल एक विशिष्ट चरण परिवर्तन (phase shift) द्वारा अंतःक्रिया को बदलते हैं, जैसे कि किसी डायल को एक विशिष्ट कोण पर घुमाना। इस अवलोकन ने उन्हें जटिल कार्य को पल्स खोजने के ज्यामितीय प्रश्न में बदलने की अनुमति दी।

उन्होंने इस समस्या को एक विशाल, बहु-आयामी स्थान में एक शुरुआती बिंदु से निकलने वाली प्रकाश की किरण के रूप में देखा। लक्षित अंतःक्रिया इस किरण की दिशा निर्धारित करती है। उपलब्ध पल्स द्वारा बनाई जा सकने वाली सभी संभावित अंतःक्रियाओं का समूह एक विशिष्ट ज्यामितिक आकृति बनाता है, जिसे शोधकर्ता 'पॉलीटोप' (polytope) कहते हैं। सबसे तेज़ संभव सिमुलेशन उस बिंदु के अनुरूप होता है जहाँ यह किरण उस आकृति की सतह को पहली बार छूती है। यदि किरण आकृति को जल्दी छू लेती है, तो सिमुलेशन तेज़ होता है; यदि इसे दूर तक जाना पड़ता है, तो सिमुलेशन धीमा होता है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि बड़े सिस्टमों के लिए इस सटीक बिंदु को पूरी तरह से हल करना गणितीय रूप से असंभव है। यह कंप्यूटर विज्ञान की एक ज्ञात कठिनाई है, जिसका अर्थ है कि किसी भी व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, एक पूर्ण उत्तर के बजाय एक बहुत अच्छा सन्निकटन (approximation) ही स्वीकार करना होगा।

इस बाधा को दूर करने के लिए, टीम ने एक चतुर समाधान निकाला। मूल आकृति के चारों ओर स्थित एक चिकनी, सरल आकृति का उपयोग करके, उन्होंने समस्या को सरल बनाया। फिर उन्होंने अपने खोज पथ को मोड़ने के लिए एक गणितीय तकनीक का उपयोग किया ताकि जब वे अंततः इस सरल आकृति से विशिष्ट पल्स चुनें, तो परिणाम ठीक वहीं पहुंचे जहां उन्हें होना चाहिए। यह प्रक्रिया उनके द्वारा "इन्फॉर्म्ड" (informed) पल्स कहलाती है—ऐसे नियंत्रण अनुक्रम जो रैंडम नहीं चुने जाते बल्कि सिस्टम के विशिष्ट विवरणों के आधार पर गणना किए जाते हैं। इन इन्फॉर्म्ड पल्स को फिर अंतिम समय और क्रम निर्धारित करने के लिए एक मानक अनुकूलन उपकरण (optimization tool) में फीड किया जाता है।

शोधकर्ताओं ने तीन अलग-अलग प्रकार के क्वांटम सिस्टम पर इस विधि का परीक्षण किया। सबसे पहले, उन्होंने मानक क्यूबिट सिस्टम को देखा, जो अधिकांश वर्तमान क्वांटम कंप्यूटरों का आधार हैं। उन्होंने अपनी नई विधि की तुलना पल्स के रैंडम सैंपलिंग का उपयोग करने वाली मौजूदा तकनीकों से की। इन परीक्षणों में, उनका इन्फॉर्म्ड दृष्टिकोण लगातार ऐसे समाधान खोजता रहा जो बहुत तेज़ थे, जो अक्सर सैद्धांतिक रूप से सर्वोत्तम समय के कुछ प्रतिशत के भीतर पहुँच जाते थे। इसके विपरीत, पुराने रैंडम तरीकों को अक्सर काफी अधिक समय की आवश्यकता होती थी, विशेष रूप से जब लक्षित सिमुलेशन की जटिलता बढ़ जाती थी।

इसके बाद, उन्होंने क्वडिट्स (qudits) पर इस विधि को लागू किया, जो दो से अधिक अवस्थाओं वाले क्वांटम इकाइयाँ हैं, जो संभावनाओं का एक समृद्ध सेट प्रदान करती हैं। यहाँ चुनौती और भी बड़ी थी क्योंकि अंतःक्रियाओं में जटिल संख्याएँ (complex numbers) शामिल थीं। उनके एल्गोरिदम ने इन जटिलताओं को सफलतापूर्वक संभाला और लगभग इष्टतम पल्स अनुक्रम खोजे। परिणामों ने दिखाया कि उनकी विधि लक्षित संरचना के अनुकूल हो सकती है, जबकि रैंडम विधियाँ तब भी सुधार करने में विफल रहीं जब हार्डवेयर ने सूक्ष्म नियंत्रण की अनुमति दी।

अंत में, उन्होंने फर्मिऑनिक सिस्टम (fermionic systems) पर इस दृष्टिकोण का परीक्षण किया, जिनका उपयोग सामग्रियों में इलेक्ट्रॉनों के मॉडल बनाने के लिए किया जाता है। यह एक विशेष रूप से कठिन मामला है क्योंकि इसमें ऐसी अंतःक्रियाएं शामिल हैं जहाँ कण एक ही अवस्था में नहीं रह सकते। उन्होंने 'होफस्टैडर मॉडल' (Hfordstadter model) नामक एक मॉडल का उपयोग किया, जो चुंबकीय क्षेत्र में ग्रिड पर चलते इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करता है। इस परिदृश्य में, उनके और पुराने रैंडम दृष्टिकोण के बीच का अंतर स्पष्ट था। रैंडम विधि को ग्रिड के आकार के साथ रैखिक रूप से बढ़ने वाले सिमुलेशन समय की आवश्यकता थी; जैसे-जैसे ग्रिड बड़ा होता गया, सिमुलेशन का समय भी आनुपातिक रूप से बढ़ता गया। हालाँकि, उनके इन्फॉर्म्ड मेथड ने ऐसे समाधान खोजे जहाँ ग्रिड के आकार के बावजूद समय स्थिर रहा। इसका मतलब है कि सामग्रियों के बड़े पैमाने पर सिमुलेशन के लिए, उनका दृष्टिकोण कई गुना तेज़ हो सकता है, जिससे पहले जो सिमुलेशन अव्यावहारिक थे, वे अचानक व्यवहार्य हो गए।

इन निष्कर्षों का महत्व केवल गति तक ही सीमित नहीं है। क्वांटम सिमुलेशन में, एक प्रणाली कितनी देर चलती है, यह सीधे तौर पर इस बात से जुड़ा होता है कि वह कितना शोर (noise) जमा करती है। एक तेज़ सिमुलेशन का अर्थ है कम शोर और अधिक सटीक परिणाम। इसके अलावा, परस्पर क्रिया करने वाले कणों के सिमुलेशन के संदर्भ में, सिमुलेशन की गति उन अंतःक्रियाओं की शक्ति निर्धारित करती जिन्हें इंजीनियर किया जा सकता है। एक तेज़ विधि वैज्ञानिकों को उन अंतःक्रियाओं का अनुकरण करने की अनुमति देती है जो हार्डवेयर स्वाभाविक रूप से समर्थित नहीं कर सकता, जिससे पदार्थ की नई अवस्थाओं के अध्ययन का मार्ग प्रशस्त होता है। शोधकर्ताओं ने यह भी दिखाया कि उनकी विधि मजबूत है; भले ही नियंत्रण पल्स पूर्ण न हों या उन्हें निष्पादित करने में कुछ समय लगे, एल्गोरिदम अपनी गति के लाभ को खोए बिना त्रुटियों को दबाने के लिए खुद को समायोजित कर सकता है।

क्यूबिट्स, क्वडिट्स और फर्मिऑन्स को एक एकल ज्यामितीय ढांचे के तहत एकीकृत करके, यह कार्य क्वांटम सिम्युलेटर्स की स्वचालित प्रोग्रामिंग के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करता है। यह क्षेत्र को 'ट्रायल-एंड-एरर' या रैंडम अनुमान से हटाकर एक व्यवस्थित, गणितीय रूप से आधारित दृष्टिकोण की ओर ले जाता है। हालांकि यह विधि सन्निकटन (approximations) पर निर्भर करती है क्योंकि पूर्ण समाधान गणनात्मक रूप से पहुंच से बाहर है, परिणाम दर्शाते हैं कि ये सन्निकटन अविश्वसनीय रूप से सटीक हैं। एल्गोरिदम लगातार निकट-इष्टतम (near-optimal) प्रदर्शन प्रदान करते हैं, जो यह सुझाव देते हैं कि जो कुछ भी सिम्युलेट किया जा सकता है उसकी सैद्धांतिक सीमाएं पहले की तुलना में बहुत करीब हैं। यह प्रगति क्वांटम उपकरणों का उपयोग करके रसायन विज्ञान और सामग्री विज्ञान की वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के सपने को वास्तविकता के एक कदम और करीब लाती है।