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Quantum Leakage Resilience of Shamir Secret Sharing

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि यदि थ्रेशोल्ड दर (threshold rate) लगभग 0.73339 से अधिक हो, तो अनमॉडिफाइड (unmodified) शमीर सीक्रेट शेयरिंग (Shamir secret sharing) प्राइम फील्ड्स पर क्वांटम लोकल लीकेज (quantum local leakage) के विरुद्ध सुरक्षित रहती है, बशर्ते कि लीकेज डिवाइस में सीमित या कोई एंटैंगलमेंट (entanglement) न हो, जबकि यह यह भी प्रदर्शित करता है कि डिवाइसेस के बीच मनमाना एंटैंगलमेंट क्लासिकल लीकेज के साथ भी सुरक्षा को पूरी तरह से भंग कर सकता है।

मूल लेखक: Rishabh Batra, Fuyuki Kitagawa, Ryo Nishimaki, Takashi Yamakawa

प्रकाशित 2026-09-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Rishabh Batra, Fuyuki Kitagawa, Ryo Nishimaki, Takashi Yamakawa

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

डिजिटल युग में, किसी रहस्य की रक्षा करने का अर्थ अक्सर उसे टुकड़ों में विभाजित करना और वे टुकड़े अलग-अलग लोगों को सौंप देना होता है। यह विधि, जिसे 'सीक्रेट शेयरिंग' (रहस्य साझा करना) कहा जाता है, यह सुनिश्चित करती है कि किसी एक व्यक्ति के पास तिजोरी, पासवर्ड या किसी निजी कोड की पूरी कुंजी न हो। इसके बजाय, मूल जानकारी को पुनर्गündित करने के लिए विशिष्ट संख्या में लोगों का एक साथ आना आवश्यक होता है। यह दृष्टिकोण आधुनिक क्रिप्टोग्राफी का एक आधार स्तंभ है, जिसका उपयोग एन्क्रिप्शन कुंजियों और सुरक्षित संचार को प्रबंधित करने के लिए किया जाता है। दशकों से, शोधकर्ता यह अध्ययन कर रहे हैं कि इन प्रणालियों को एक विशिष्ट प्रकार के खतरे के विरुद्ध कैसे मजबूत बनाया जाए: एक ऐसा हमलावर जो पूरे टुकड़ों को चुरा तो नहीं सकता, लेकिन उनके सूक्ष्म अंशों को देख सकता है। इसे 'लीकेज' (रिसाव) कहा जाता है। यदि एक हमलावर प्रत्येक व्यक्ति के हिस्से से सूचना का एक एकल बिट भी पढ़ लेता है, तो वह पूरे रहस्य को जोड़ने में सक्षम हो सकता है। प्रश्न हमेशा से यही रहा है: सिस्टम टूटने से पहले एक हमलावर कितना जान सकता है?

अब, जैसे-जैसे तकनीक क्लासिकल कंप्यूटरों से क्वांटम मशीनों की ओर बढ़ रही है, सूचना के इन सूक्ष्म अंशों की प्रकृति बदल रही है। केवल सूचना के बिट्स के बजाय, एक हमलावर एक क्वांटम बिट, या 'क्यूबिट' निकाल सकता है, जो एक साथ कई संभावनाओं की एक जटिल अवस्था में मौजूद हो सकता है। EPFL और NTT सोशल इंफॉर्मेटिक्स लैबोरेटरीज के शोधकर्ताओं द्वारा किया गया एक नया अध्ययन जांच करता है कि क्या मानक, व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली सीक्रेट शेयरिंग विधि इस नए प्रकार के क्वांटम 'पीकिंग' (झाँकने) के सामने जीवित रह सकती है। उन्होंने पाया कि प्रणाली सुरक्षित रहती है, लेकिन केवल तभी जब रहस्य को अनलॉक करने के लिए आवश्यक लोगों की संख्या पर्याप्त रूप से अधिक हो। विशेष रूप से, यदि रहस्य को पुनर्गündित करने के लिए प्रतिभागियों की कुल संख्या का लगभग सतहत्तर प्रतिशत से अधिक लोगों की आवश्यकता होती है, तो यह योजना तब भी बनी रहती है जब एक हमलावर प्रत्येक प्रतिभागी के हिस्से से एक क्वांटम बिट निकालने का प्रयास करता है। यह सुरक्षा तब भी बनी रहती है जब हमलावर सभी लीक हुए क्वांटम बिट्स को एक साथ मापता है।

शोधकर्ताओं ने एक अधिक जटिल परिदृश्य भी तलाशा जहाँ रहस्य के टुकड़ों को रखने वाले उपकरण आपस में, या हमलावर के साथ, एक विशेष क्वांटम संबंध साझा कर सकते हैं जिसे 'एंटैंगलमेंट' (उलझाव) कहा जाता है। एंटैंगलमेंट एक ऐसी घटना है जहाँ कण इस तरह जुड़े होते हैं कि एक की स्थिति दूसरे को तुरंत प्रभावित करती है, चाहे दूरी कितनी भी हो। अध्ययन दर्शाता है कि प्रणाली इस खतरे का सामना कर सकती है, बशर्ते इन कनेक्शनों को साझा करने वाले उपकरणों की संख्या कुल समूह के आकार की तुलना में अपेक्षाकृत कम रहे। हालाँकि, शोधकर्ताओं ने एक कठिन सीमा भी खोजी। यदि एंटैंगलमेंट साझा करने वाले उपकरणों की संख्या बहुत अधिक बढ़ जाती है, तो सिस्टम असुरक्षित हो जाता है। उन्होंने एक विशिष्ट हमले का प्रदर्शन किया जहाँ उपकरणों का एक समूह, एक साझा क्वांटम अवस्था जिसे GHZ स्टेट कहा जाता है, का उपयोग करके प्रत्येक से केवल एक क्लासिकल बिट लीक कर सकता है और फिर भी रहस्य को प्रकट कर सकता है। यह हमला तब भी काम करता है जब उपकरणों का हमलावर के साथ कोई एंटैंगलमेंट नहीं होता, जो यह सिद्ध करता है कि एंटैल्ड समूह का आकार ही महत्वपूर्ण कारक है।

यह कार्य एक गणितीय दृष्टिकोण पर आधारित है जो सीक्रेट शेयरिंग प्रक्रिया को तरंगों के पैटर्न की तरह मानता है। इन तरंगों की परस्पर क्रिया का विश्लेषण करके, शोधकर्ता यह सिद्ध कर सके कि जब तक पुनर्गündित करने की दहलीज (थ्रेशोल्ड) पर्याप्त ऊँची है, तब तक लीक हुई क्वांटम सूचना इतनी बिखरी हुई होगी कि वह उपयोगी नहीं रहेगी। उन्होंने दिखाया कि प्रतिभागियों के एक समूह के लिए, यदि रहस्य को अनलॉक करने के लिए आवश्यक संख्या कुल का लगभग सतहत्तर प्रतिशत है, तो हमलावर के सही अनुमान लगाने की संभावना इतनी कम है कि वह प्रभावी रूप से शून्य है। यह परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सीक्रेट शेयरिंग योजना के उसी अपरिवर्तित संस्करण पर लागू होता है जो आज उपयोग में है, जिसका अर्थ है कि इस स्तर की क्वांटम सुरक्षा प्राप्त करने के लिए मौजूदा प्रोटोकॉल में किसी बदलाव की आवश्यकता नहीं है।

अध्ययन सुरक्षा और खतरे के बीच की सीमा को भी स्पष्ट करता है। जबकि एंटैंगलमेंट साझा करने वाले उपकरणों की कम संख्या सुरक्षित है, शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि यदि पर्याप्त बड़ा समूह इन कनेक्शनों को साझा करता है, तो सुरक्षा ढह जाती है। उन्होंने पाया कि क्लासिकल बिट्स के साथ भी, यदि पर्याप्त उपकरण एंटैंगल्ड हैं, तो वे रहस्य को प्रकट करने के लिए अपने लीक्स (रिसाव) को समन्वित कर सकते हैं। यह सुझाव देता है कि क्वांटम क्षमताओं वाली दुनिया में, सीक्रेट शेयरिंग की सुरक्षा केवल इस पर निर्भर नहीं करती कि कितनी सूचना लीक हो रही है, बल्कि इस पर भी कि सूचना रखने वाले उपकरण आपस में कैसे जुड़े हुए हैं। ये निष्कर्ष उन स्थानों के लिए एक स्पष्ट मानचित्र प्रदान करते हैं जहाँ ये प्रणालियाँ सुरक्षित हैं और जहाँ वे नहीं हैं, जो एक ऐसे भविष्य में सुरक्षित प्रणालियों के निर्माण के लिए मार्गदर्शिका प्रदान करते हैं जहाँ क्वांटम कंप्यूटर वास्तविकता होंगे।

शोधकर्ताओं ने केवल सुरक्षा सिद्ध करने पर ही नहीं रोका; उन्होंने उस सटीक बिंदु की भी पहचान की जहाँ यह विफल होती है। उन्होंने गणना की कि एक रैखिक संख्या में एंटैंगल्ड उपकरणों के विरुद्ध सुरक्षित रहने के लिए, थ्रेशोल्ड दर पर्याप्त रूप से उच्च होनी चाहिए। यदि थ्रेशोल्ड बहुत कम है, तो सिस्टम असुरक्षित है। प्रतिभागियों की संख्या जो अनलॉक करने के लिए आवश्यक है और अनुमत एंटैंगलमेंट की मात्रा के बीच का यह संतुलन ही मुख्य निष्कर्ष है। अध्ययन पुष्टि करता है कि जबकि क्वांटम लीकेज एक गंभीर चिंता का विषय है, इसे सही मापदंडों के साथ प्रबंधित किया जा सकता है। परिणाम उन लोगों के लिए एक आश्वस्त करने वाला निष्कर्ष प्रदान करते हैं जो इन क्रिप्टोग्राफिक उपकरणों पर भरोसा करते हैं: परिचित सीक्रेट शेयरिंग विधियाँ लचीली हैं, बशर्ते पुनर्गündित करने के नियम क्वांटम खतरों को दूर रखने के लिए पर्याप्त ऊँचे रखे गए हों।

तकनीकी सारांश: शमीर सीक्रेट शेयरिंग की क्वांटम लीकेज रेजिस्टेंस (Quantum Leakage Resilience)

समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र प्रिम फील्ड $\mathbb{F}_p$ पर मानक, अपरिवर्तित शमीर सीक्रेट शेयरिंग स्कीम की क्वांटम लीकेज रेजिस्टेंस की जांच करता है। जबकि शमीर की स्कीम थ्रेशोल्ड क्रिप्टोग्राफी और सुरक्षित मल्टीपार्टी कंप्यूटेशन में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है, इसके सुरक्षा गारंटी पारंपरिक रूप से यह मानती हैं कि अनधिकृत सेटों को गुप्त (secret) के बारे में कुछ भी पता नहीं चलता है। व्यवहार में, साइड चैनल्स के माध्यम से आंशिक जानकारी (लीकेज) उजागर हो सकती है।

लेखक शास्त्रीय सेटिंग (जहाँ एक विरोधी प्रत्येक शेयर से एक छोटा शास्त्रीय आउटपुट, जैसे कि एक बिट, प्राप्त करता है) से लोकल लीकेज रेजिस्टेंस के अध्ययन को क्वांटम सेटिंग तक विस्तारित करते हैं। इस मॉडल में, प्रत्येक पार्टी का डिवाइस एक शास्त्रीय शेयर प्राप्त करता है और एक विरोधी को एक सिंगल क्वबिट (या कुछ ही क्वबिट्स) आउटपुट करता है, जो संयुक्त मापन (joint measurements) कर सकता है। यह अध्ययन इस बात की भी जांच करता है कि लीकेज डिवाइसेस के बीच, या डिवाइसेस और विरोधी के बीच, पूर्व-साझा एंटैंगलमेंट (pre-shared entanglement) सुरक्षा को कैसे प्रभावित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र दो गुप्त अवस्थाओं (secret states) के बीच भेद करने वाले लाभ (distinguishing advantage) को सीमित करने के लिए फाइनाइट-फील्ड फूरियर विश्लेषण (finite-field Fourier analysis) और मैक्सिमम डिस्टेंस सेपरेबल (MDS) कोड्स के गुणों के संयोजन का उपयोग करता है।

पाउली-फूरियर रिडक्शन (Pauli-Fourier Reduction):
- प्रत्येक शेयर से होने वाले लीकेज को एक डेंसिटी मैट्रिक्स $\rho_i(y_i)$ के रूप में मॉडल किया गया है। लेखक इसे पाउली बेस में विस्तारित करते हैं: $\rho_i(y) = \frac{1}{2}(I + r_{i,X}(y)X + r_{i,Y}(y)Y + r_{i,Z}(y)Z)$ ।
- वे पाउली कोएफिशिएंट फंक्शन्स के फूरियर कोएफिशिएंट्स के वर्ग के परिमाण के आधार पर एक "फूरियर बजट" $W_i(a)$ को परिभाषित करते हैं।
- पार्सेवल की पहचान (Parseval's identity) और पाउली ऑपरेटर्स की ऑर्थोगोनैलिटी का उपयोग करते हुए, डिस्टिंग्विशिंग एडवांटेज को ड्युअल शमीर कोड $C^\perp_0$ पर एक योग द्वारा सीमित किया जाता है:
  $\text{Adv} \leq \sum_{a \in C^\perp_0 \setminus \{0\}} \prod_{i=1}^n \sqrt{W_i(a_i)}$
- यह क्वांटम सुरक्षा समस्या को ड्युअल कोड पर एक वेटेड सम (weighted sum) को नियंत्रित करने में बदल देता है, जो शास्त्रीय लीकेज प्रमाणों के समान है लेकिन कोएफिशिएंट्स की मैट्रिक्स-वैल्यूड प्रकृति के कारण अधिक जटिल है।
एंटैंगलमेंट और ब्लॉक्स को संभालना (Handling Entanglement and Blocks):
- डिस्जॉइंट ब्लॉक्स (Disjoint Blocks): उन डिवाइसेस के लिए जो अलग-अलग ब्लॉक्स के भीतर एंटैंगलमेंट साझा करते हैं (लेकिन ब्लॉक्स के बीच या विरोधी के साथ नहीं), लेखक एक ब्लॉक MDS ब्रैस्कैंप-ली (Brascamp-Lieb) इनइक्वालिटी लागू करते हैं। यह उन्हें ब्लॉक आउटपुट्स के फूरियर कोएफिशिएंट्स के ट्रेस नॉर्म्स के उत्पादों के योग को सीमित करने की अनुमति देता है।
- विरोधी के साथ एंटैंगलमेंट: डिवाइसेस के एक सेट $E$ के लिए जो विरोधी के साथ मनमाना एंटैंगलमेंट साझा करते हैं, लेखक एक रिडक्शन तर्क (reduction argument) का उपयोग करते हैं। वे दिखाते हैं कि यदि विरोधी $E$ के शास्त्रीय शेयर्स को जान लेता है, तो शेष सिस्टम की सुरक्षा $n-r$ पार्टियों और $t-r$ थ्रेशोल्ड वाले अनएंटैंगल्ड शमीर स्कीम में बदल जाती है।
नकारात्मक परिणाम (Attacks):
- शोध पत्र $t$ डिवाइसेस के बीच साझा किए गए GHZ स्टेट का उपयोग करके एक विशिष्ट हमले का निर्माण करता है। अपने शेयर्स पर फेज शिफ्ट लागू करके और X-बेसिस में मापन करके, डिवाइसेस उच्च एडवांटेज के साथ गुप्तों के बीच अंतर कर सकते हैं, भले ही वे केवल एक शास्त्रीय बिट ही आउटपुट करें।

मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

1. अनएंटैंगल्ड क्वांटम लीकेज (Unentangled Quantum Leakage)

लेखक सिद्ध करते हैं कि शमीर सीक्रेट शेयरिंग, जब तक थ्रेशोल्ड रेट $\tau = t/n$ एक विशिष्ट स्थिरांक $\tau^\star \approx 0.73339$ से अधिक हो, अनएंटैंगल्ड लोकल वन-क्वबिट लीकेज के विरुद्ध सुरक्षित है।

परिणाम: यदि $\tau > \tau^\star + \eta$ (एक निश्चित $\eta > 0$ के लिए), तो डिस्टिंग्विशिंग एडवांटेज घातांकीय रूप से छोटा ( $2^{-\Omega(n)}$ ) होता है।
तकनीक: यह ब्लॉक साइज $b=1$ के साथ ब्लॉक MDS ब्रैस्कैंप-ली इनइक्वालिटी का उपयोग करके प्राप्त किया गया है।

2. डिस्जॉइंट एंटैंगल्ड ब्लॉक्स (Disjoint Entangled Blocks)

सुरक्षा को उन परिदृश्यों तक विस्तारित किया गया है जहाँ डिवाइसेस को एक निश्चित अधिकतम आकार $b$ के डिस्जॉइंट ब्लॉक्स में विभाजित किया गया है, जहाँ ब्लॉक के भीतर के डिवाइसेस एंटैंगलमेंट साझा कर सकते हैं और संयुक्त गणना कर सकते हैं, लेकिन ब्लॉक्स एक-दूसरे से और विरोधी से स्वतंत्र हैं।

परिणाम: पर्याप्त उच्च थ्रेशोल्ड रेट $\tau > \tau^\star(b)$ के लिए सुरक्षा बनी रहती है, जहाँ $\tau^\star(b) < 1$ है। जैसे-जैसे ब्लॉक का आकार $b$ बढ़ता है, आवश्यक थ्रेशोल्ड रेट 1 के करीब पहुँच जाता है।
विशिष्टता: शोध पत्र में दी गई तालिका 1 समान ब्लॉक साइज (जैसे, $b=2$ के लिए, $\tau \approx 0.933$ ; $b=3$ के लिए, $\tau \approx 0.987$ ) के लिए पर्याप्त थ्रेशोल्ड सूचीबद्ध करती है।

3. विरोधी एंटैंगलमेंट के साथ लीकेज (Leakage with Adversary Entanglement)

शोध पत्र उस मामले का विश्लेषण करता है जहाँ डिवाइसेस का एक रैखिक हिस्सा ( $r = \delta n$ ) आपस में और विरोधी के साथ मनमाना एंटैंगलमेंट साझा करता है।

परिणाम: सुरक्षा तब बनी रहती है जब "रेसिड्यूअल" (residual) रेट इस प्रकार हो:
$\frac{\tau - \delta}{1 - \delta} > \tau^\star$
इसका तात्पर्य यह है कि एक निश्चित थ्रेशोल्ड रेट $\tau > \tau^\star$ के लिए, सुरक्षा बनी रहती है भले ही डिवाइसेस का एक रैखिक अंश ( $\delta < \frac{\tau - \tau^\star}{1 - \tau^\star}$ ) विरोधी के साथ एंटैंगलमेंट साझा करता हो।

4. नकारात्मक परिणाम: GHZ हमला (Negative Result: GHZ Attack)

लेखक प्रदर्शित करते हैं कि यदि $t$ डिवाइसेस एक GHZ स्टेट साझा करते हैं, तो योजना असुरक्षित हो जाती है, यहाँ तक कि शास्त्रीय (classical) सिंगल-बिट लीकेज के तहत भी।

तंत्र (Mechanism): $t$ डिवाइसेस एक GHZ स्टेट साझा करते हैं। प्रत्येक अपने शेयर के आधार पर एक फेज लागू करता है और X-बेसिस में मापन करता है। परिणामों का गुणनफल $\cos^2(\pi/(2p)) \approx 1 - O(p^{-2})$ के एडवांटेज के साथ गुप्त को प्रकट करता है।
निहितार्थ: इस हमले के लिए विरोधी के साथ किसी एंटैंगलमेंट की आवश्यकता नहीं है, केवल लीकेज डिवाइसेस के बीच आपसी एंटैंगलमेंट की आवश्यकता है। यह स्थापित करता है कि लीकेज डिवाइसेस की वह अधिकतम संख्या जो सुरक्षा बनाए रखते हुए मनमाना एंटैंगलमेंट साझा कर सकती है, $n$ में रैखिक (linear) है, लेकिन इष्टतम अंश अभी भी एक खुला प्रश्न है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र दावा करता है कि यह व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली, अपरिवर्तित शमीर सीक्रेट शेयरिंग स्कीम के लिए क्वांटम लीकेज रेजिस्टेंस के अध्ययन की शुरुआत करता है।

मानक स्कीम्स की मजबूती: परिणाम दिखाते हैं कि मानक शमीर स्कीम नए शेयरिंग एल्गोरिदम या प्रोटोकॉल परिवर्तनों की आवश्यकता के बिना, उच्च थ्रेशोल्ड रेट ( $\approx 0.733$ से ऊपर) के साथ मजबूत सुरक्षा गारंटी बनाए रखती है।
एंटैंगलमेंट की भूमिका: यह कार्य एक महत्वपूर्ण अंतर को रेखांकित करता है: जबकि अनएंटैंगल्ड क्वांटम लीकेज को उच्च थ्रेशोल्ड के साथ प्रबंधित किया जा सकता है, लीकेज डिवाइसेस के बीच मनमाना एंटैंगलमेंट (विशेष रूप से $t$ डिवाइसेस के बीच GHZ स्टेट) शास्त्रीय आउटपुट के तहत भी सुरक्षा को तोड़ सकता है।
इष्टतमता (Optimality): लेखक अपने बाउंड्स की इष्टतमता के संबंध में विनम्र हैं। वे नोट करते कि पर्याप्त थ्रेशोल्ड $\tau^\star \approx 0.733$ ज्ञात शास्त्रीय बाउंड ( $\approx 0.668$ ) से अधिक है और यह सवाल उठाते हैं कि क्या इस अंतर को भरा जा सकता है। इसी तरह, सुरक्षा के अनुकूल एंटैंगल्ड डिवाइसेस का सटीक इष्टतम अंश एक खुले प्रश्न के रूप में छोड़ दिया गया है।

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि क्वांटम लीकेज रेजिस्टेंस मौलिक रूप से लीक्ड आउटपुट्स के आकार और लीकेज डिवाइसेस के पास उपलब्ध एंटैंगलमेंट संरचना दोनों पर निर्भर करता है।