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A Memory-Magic Exchange Law in Streaming Clifford+T Compilation

यह शोध पत्र स्ट्रीमिंग क्लिफोर्ड+टी (Clifford+T) संकलन में शास्त्रीय मेमोरी और कमिटेड मैजिक स्टेट्स के बीच एक मौलिक ट्रेड-ऑफ नियम स्थापित करता है, जो लैटिस ज्योमेट्री (lattice geometry) के माध्यम से विनिमय दर $\alpha$ पर बिना शर्त निचली सीमाएं व्युत्पन्न करता है और यह सिद्ध करता है कि विशिष्ट परिस्थितियों में, $\alpha$ स्पर्शोन्मुख रूप से 3 के करीब पहुंच जाता है, जिसका अर्थ है कि छोड़ी गई मेमोरी का एक बिट लगभग तीन $T$ गेट्स बचाता है।

मूल लेखक: Jinze Yang, Yangyang Li, Xiu-Hao Deng

प्रकाशित 2026-09-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jinze Yang, Yangyang Li, Xiu-Hao Deng

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम कंप्यूटर बनाने की दौड़ में, जो शास्त्रीय मशीनों की पहुंच से परे समस्याओं को हल कर सके, इंजीनियरों को एक मौलिक बाधा का सामना करना पड़ता है। ये मशीनें गणना करने के लिए नाजुक क्वांटम अवस्थाओं (quantum states) पर निर्भर करती हैं, लेकिन उन अवस्थाओं को शोर (noise) के कारण ढहने से बचाने के लिए, उन्हें 'फॉल्ट टॉलरेंस' नामक तकनीक का उपयोग करना चाहिए। यह प्रक्रिया कुछ विशेष प्रकार के रोटेशन (rotations) करने के लिए "मैजिक स्टेट्स" (magic states) नामक एक विशेष, महंगे संसाधन की मांग करती है, जो क्वांटम लॉजिक के बुनियादी कदम हैं। इन मैजिक स्टेट्स को उत्पन्न करना धीमा है और यह कंप्यूटर की एक विशाल क्षमता को उपभोग करता है। सिस्टम के दूसरी ओर, एक क्लासिकल कंट्रोलर निर्देशों के प्रवाह को प्रबंधित करता है, और यह तय करता है कि इन महंगे संसाधनों को कब भेजना है। मुख्य चुनौती समय (timing) की है: यदि कंट्रोलर निर्देशों को भेजने से पहले गणना की पूरी तस्वीर देखने के लिए प्रतीक्षा करता है, तो उसे अपनी मेमोरी में भारी मात्रा में डेटा संग्रहीत करना होगा। यदि वह निर्देश प्राप्त होते ही तुरंत भेज देता है, तो उसे अपने मैजिक स्टेट्स का भंडार खर्च करना पड़ेगा, इससे पहले कि उसे पता चले कि गणना वास्तव में काम करेगी या नहीं। वर्षों से, वैज्ञानिक यह जानना चाहते थे कि क्या मेमोरी और मैजिक के बीच एक व्यापार (trade-off) करने का कोई तरीका है, जिससे एक संसाधन को दूसरे में बदलकर एक अधिक कुशल संतुलन बनाया जा सके।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस व्यापार के सटीक नियमों को मैप किया है, जिससे यह खुलासा हुआ है कि जानकारी को याद न रखने की लागत पहले के अनुमानों की तुलना में कहीं अधिक है। अपने अध्ययन में, उन्होंने क्वांटम निर्देशों के निर्माण की एक विशिष्ट विधि का विश्लेषण किया जहाँ गणना के प्रत्येक भाग को अतिरिक्त सहायक कणों (helper particles) की सहायता के बिना अलग से संभाला जाता है। उन्होंने पाया कि यदि कोई सिस्टम रोटेशन एंगल के बारे में जानकारी के एक हिस्से को भूलने का विकल्प चुनता है, तो उसे उस विस्मृति (forgetfulness) के लिए भुगतान करना होगा, जिसके तहत उसे प्रत्येक विसर्जित किए गए सूचना बिट के लिए कम से कम दो मैजिक स्टेट्स का उपयोग करना होगा; हालांकि यह एक एसिम्प्टोटिक सीमा (asymptotic limit) है; $10^{-10}$ जैसी व्यावहारिक सटीकता पर, कठोर निचला स्तर वास्तव में महत्वपूर्ण योगात्मक पदों (additive terms) के कारण 0.78 कमिटेड टी गेट्स (committed T gates) प्रति बिट के करीब है। यह कोई अस्पष्ट अनुमान नहीं है, बल्कि इन क्वांटम निर्देशों की ज्यामिति से प्राप्त एक सख्त गणितीय नियम है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि यह विनिमय दर इस बात पर निर्भर नहीं करती कि गणना कितनी बड़ी है, जिससे यह स्थापित होता है कि मेमोरी का उपयोग करके मैजिक को बचाने की एक निश्चित सीमा है।

टीम ने आगे जाकर यह दिखाया कि यह लागत केवल एक सैद्धांतिक सीमा नहीं बल्कि एक व्यावहारिक वास्तविकता है, बशर्ते कि कुछ गणितीय धारणाएं मान्य हों। क्वांटम निर्देशों की संरचना की जांच करते हुए, उन्होंने पाया कि वास्तविक लागत संभवतः और भी अधिक है, जो प्रत्येक विसर्जित किए गए मेमोरी बिट के लिए तीन मैजिक स्टेट्स के करीब पहुँच जाती है। हालांकि, यह उच्च संख्या अभी तक एक प्रदर्शित वास्तविकता नहीं है, बल्कि यह निर्देशों के वितरण के संबंध में एक अप्रामाणित 'इक्विडिस्ट्रीब्यूशन कंजेक्चर' (equidistribution conjecture) पर आधारित है। यह उच्च संख्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि निर्देश संभावित क्वांटम मूव्स के विशाल स्थान के भीतर एक संकीर्ण पथ (narrow path) तक सीमित हैं। इस पथ पर बने रहने के लिए, बिना पूर्ण गंतव्य जाने, सिस्टम को गणना के प्रारंभ में ही कदमों के एक विशिष्ट अनुक्रम के लिए प्रतिबद्ध होना पड़ता है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि यह प्रतिबद्धता "क्वांटाइज्ड" (quantized) है, जिसका अर्थ है कि आप डेटा के एक बहुत छोटे अंश को याद रखकर केवल कुछ मैजिक स्टेट्स नहीं बचा सकते। इसके बजाय, आपको या तो पूरी जानकारी को याद रखना होगा या रोटेशन की पूरी लागत वहन करनी होगी। यदि आप किसी संख्या के निचले बिट्स को त्यागकर थोड़ी सी मेमोरी बचाने की कोशिश करते हैं, तो सिस्टम आपको पूरे रोटेशन के लिए पूर्ण मूल्य चुकाने के लिए मजबूर कर देता है।

इन निष्कर्षों को सत्यापित करने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक विशाल कम्प्यूटेशनल सर्वेक्षण किया, जिसमें लाखों संभावित क्वांटम निर्देश अनुक्रमों की गिनती की गई ताकि यह देखा जा सके कि कितने एक विशिष्ट त्रुटि मार्जिन के भीतर फिट हो सकते हैं। उन्होंने पाया कि सस्ते, कम लागत वाले निर्देशों की संख्या एक साधारण वॉल्यूम कैलकुलेशन द्वारा सुझाए गए अनुमान से बहुत कम है। यह कमी पुष्टि करती है कि सिस्टम गणित में खामियां ढूंढकर इसमें कोई रास्ता नहीं निकाल सकता। उनके कार्य में यह भी खोजा गया कि क्या सिस्टम निर्देशों के रैंडम मिक्सिंग (random mixing) से जुड़ी एक अलग रणनीति का उपयोग कर सकता है, जो कुछ आधुनिक क्वांटम प्रोटोकॉल में उपयोग की जाने वाली एक तकनीक है। उन्होंने पाया कि हालांकि यह मिक्सिंग सूचना के बहुत निचले बिट्स के लिए लागत को कम कर सकती है, लेकिन यह मौलिक कानून को समाप्त नहीं करती है। सिस्टम अभी भी डेटा के सबसे महत्वपूर्ण बिट्स के लिए भारी कीमत चुकाता है, और समग्र विनिमय दर लगभग समान रहती है, बस एक कारक दो से कम हो जाती है।

भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों के डिजाइन के लिए इस कार्य के निहितार्थ महत्वपूर्ण हैं। यह इंजीनियरों को बताता है कि केवल आंशिक जानकारी संग्रहीत करके चतुर बनने की कोशिश करना एक असफल रणनीति है। सबसे कुशल मार्ग यह है कि या तो गणना पूरी होने तक पूरे निर्देश को मेमोरी में रखा जाए या तुरंत मैजिक स्टेट्स की पूरी लागत वहन की जाए। शोधकर्ताओं ने यह भी दिखाया कि यह नियम निर्देशों के निर्माण के तरीके के प्रति विशिष्ट है; यदि सहायक कणों और बैच लुकअप (batched lookups) का उपयोग करने वाली एक अलग विधि का उपयोग किया जाता है, तो इस नियम को तोड़ा जा सकता है, लेकिन ऐसी विधियों के साथ अपनी जटिलताएं भी आती हैं। हालांकि, मानक दृष्टिकोण के लिए, नियम स्पष्ट है: मेमोरी और मैजिक स्वतंत्र रूप से विनिमable (interchangeable) नहीं हैं। भूलने की कीमत बहुत अधिक है, और इसे टालने का एकमात्र तरीका सब कुछ याद रखना है। यह अंतर्दृष्टि इंजीनियरों को एक ठोस लक्ष्य प्रदान करती है, जो यह दर्शाती है कि क्वांटम कंप्यूटर की दक्षता केवल गेट्स की संख्या से नहीं, बल्कि सूचना को मशीन के प्रति प्रतिबद्ध करने की मौलिक ज्यामिति से सीमित है।

तकनीकी सारांश: स्ट्रीमिंग क्लिफोर्ड+T संकलन में एक मेमोरी-मैजिक विनिमय नियम

समस्या विवरण
यह शोध पत्र दोष-सहिष्णु क्वांटम कंप्यूटिंग (fault-tolerant quantum computing) के संदर्भ में स्ट्रीमिंग संकलन (streaming compilation) के लिए शास्त्रीय मेमोरी (classical memory) और क्वांटम "मैजिक" (गैर-क्लिफोर्ड T गेट्स) के बीच संसाधन व्यापार-ऑफ (resource trade-off) को संबोधित करता है। कई क्वांटम एल्गोरिदम में (जैसे, ट्रोटर स्टेप्स, रैंडमाइज्ड कंपाइलिंग, फेज-पॉलिनॉमियल शेड्यूलिंग), एक लक्षित रोटेशन कोण को कई राउंड में दिए गए "शेयर्स" (shares) के योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। कंपाइलर के पास प्रत्येक शेयर पर एक विकल्प होता है:

मेमोरी: शेयर को तब तक शास्त्रीय मेमोरी में संग्रहीत करें जब तक कि कुल योग ज्ञात न हो जाए, फिर एक एकल रोटेशन का संश्लेषण (synthesize) करें। यह शास्त्रीय बिट्स (स्नैपशॉट आकार) में लागत उत्पन्न करता है।
मैजिक: प्रत्येक शेयर के आगमन पर ही रोटेशन का संश्लेषण और निष्पादन करें। यह अंतिम योग ज्ञात होने से पहले प्रतिबद्ध (committed) T गेट्स (मैजिक स्टेट्स) के रूप में लागत उत्पन्न करता है।

केंद्रीय प्रश्न यह है: छोड़ी गई मेमोरी के बिट्स और आवश्यक प्रतिबद्ध T गेट्स के बीच विनिमय दर $\alpha$ क्या है? विशेष रूप से, यदि एक कंपाइलर एक शेयर को संग्रहीत करने का विकल्प नहीं चुनता है, तो उसे शुद्धता बनाए रखने के लिए कितने T गेट्स को प्रतिबद्ध करना होगा?

कार्यप्रणाली
लेखक इस समस्या का विश्लेषण एन्सिला-मुक्त (ancilla-free) कोऑर्डिनेटवाइज क्लिफोर्ड+T मॉडल के भीतर करते हैं, जहाँ फेज-पॉलिनॉमियल के प्रत्येक कोऑर्डिनेट को क्रॉस-कोऑर्डिनेट कैंसिलेशन या एन्सिला सहायता के बिना एक सिंगल-क्यूबिट सिंथेसाइज़र द्वारा स्वतंत्र रूप से संश्लेषित किया जाता है।

कार्यप्रणाली सूचना-सैद्धांतिक निचली सीमाओं (information-theoretic lower bounds) को अंकगणितीय ज्यामिति (arithmetic geometry) और स्पेक्ट्रल थ्योरी (spectral theory) के साथ जोड़ती है:

सूचना-सैद्धांतिक निचली सीमाएँ: फानो की असमानता (Fano's inequality) और क्लिफोर्ड+T यूनिटरीज के मात्सुमोतो-अमानो काउंटिंग (Matsumoto–Amano counting) का उपयोग करके, लेखक एक बेसलाइन बाउंड स्थापित करते हैं जो अनुपलब्ध शेयर्स की एंट्रोपी को प्रतिबद्ध किए गए T गेट्स से जोड़ता है।
स्पेक्ट्रल विधि (हेके ऑपरेटर्स): सीमा को परिष्कृत करने के लिए, लेखक एक रोटेशन कोसेट के $\epsilon$ -ट्यूब के भीतर दिए गए T-काउंट $\tau$ वाले क्लिफोर्ड+T वर्ड्स की संख्या गिनते हैं। वे शब्दों के वितरण का अनुमान लगाने के लिए हेके ऑपरेटर्स (Hecke operators) के माध्यम से लुबोट्स्की-फिलिप्स-सारनमन (LPS) एक्सपैंडर ग्राफ के रामानुजन बाउंड (Ramanujan bound) का उपयोग करते हैं। यह त्रुटि पद (error term) में एक "स्क्वायर-रूट बैरियर" प्रदान करता है।
एलिमेंट्री डिटरमिनेंट विधि: इस स्पेक्ट्रल बैरियर को पार करने के लिए, लेखक (बॉम्बिएरी-पीला और हीथ-ब्राउन से प्रेरित) ज्योमेट्री-ऑफ-नंबर्स दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं। वे $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ के वास्तविक एम्बेडिंग्स में लैटिस पॉइंट्स को स्फेयर्स पर लिफ्ट करते हैं। छोटे बॉक्सों में बिंदुओं के एफाइन डिटरमिनेंट्स का विश्लेषण करके और हाइट डाइकोटॉमी (height dichotomies) का उपयोग करके, वे ऑटोमोर्फिक फॉर्म्स पर निर्भर रहे बिना एक कोसेट के पास शब्दों की संख्या पर कड़े बाउंड प्राप्त करते हैं।
संख्यात्मक गणना (Numerical Enumeration): वे अपने सैद्धांतिक काउंटों को मान्य करने, इक्विडिस्ट्रिब्यूशन अनुमानों का परीक्षण करने और ट्यून किए गए ग्रिड पर सटीक संश्लेषण लागत को मापने के लिए $22 $T-काउंट ($ 3.0 \times 10^8$ वर्ड्स) तक के सभी सिंगल-क्यूबिट क्लिफोर्ड+T यूनिटरीज की विस्तृत गणना करते हैं।
विस्तार (Extensions): विश्लेषण को संभावabilistic मिक्सिंग (mixed-unitary channels) और मेजरमेंट-एडेप्टिव प्रोटोकॉल तक विस्तारित किया गया है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि ये तकनीकें विनिमय दर को कैसे बदलती हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

अनकंडीशनल लोअर बाउंड (दर 1): पेपर सिद्ध करता है कि प्रत्येक छोड़ी गई मेमोरी बिट के लिए, कम से कम एक प्रतिबद्ध T गेट आवश्यक है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि एक T गेट अधिकतम 1 बिट एंगल इंफॉर्मेशन (मात्सुमोतो-अमानो काउंट) ले जाता है।
दर 2 (स्पेक्ट्रल बाउंड): रामानुजन बाउंड का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि एक रोटेशन कोसेट के पास शब्दों की संख्या $2^{\tau/2}$ के समानुपाती पद द्वारा सीमित है। इसका तात्पर्य है कि एक प्रतिबद्ध शब्द (T-काउंट $\tau$ वाला) अपने कोऑर्डिनेट के बारे में अधिकतम $\tau/2$ बिट्स की जानकारी रखता है। फलस्वरूप, विनिमय दर कम से कम $\alpha \ge 2$ है। यह बाउंड स्पष्ट योगात्मक स्थिरांकों (explicit additive constants) के साथ बिना शर्त लागू होता है।
दर 11/5 और 17/7 (डिटरमिनेंट विधि): स्पेक्ट्रल बाउंड को एलिमेंट्री डिटरमिनेंट विधि से बदलकर, लेखक एरर टर्म के घातांक (exponent) में सुधार करते हैं।
- वे एसिम्प्टोटिक रूप से एक अनकंडीशनल दर $\alpha \ge 11/5 = 2.2$ सिद्ध करते हैं। यह परिणाम थ्योरम 4 पर निर्भर करता है, जो $20/9 L$ तक के T-काउंट के लिए बाउंड स्थापित करता है, लेकिन थ्योरम 5 (दर 11/5) के लिए सुनिश्चित करने हेतु $L \ge 110$ की आवश्यकता है कि T-काउंट सीमा संतुष्ट हो।
- एक हाइट डाइकोटॉमी (हाइपरप्लेन हाइट द्वारा स्फीयर सेक्शन को विभाजित करना) पेश करके, वे एसिम्प्टोटिक दर को $\alpha \ge 17/7 \approx 2.43$ तक बढ़ा देते हैं। यह परिणाम (थ्योरम 7) $17/7 (L+2)$ तक के T-काउंट पर लागू होता है, लेकिन लेखक नोट करते हैं कि निहित स्थिरांक (implied constants) खगोलीय रूप से बड़े हैं, जिससे यह बाउंड व्यावहारिक सटीकता के लिए शून्य (vacuous) हो जाता है; अतः, यह मुख्य रूप से एक एसिम्प्टोटिक दर के रूप में एक कथन है।
दर 3 (अनुमानित और विशिष्ट मामला): लेखक कन्जेक्चर 1 (Conjecture 1) प्रस्तावित करते हैं, जो दावा करता है कि एक कोसेट के पास शब्दों की संख्या वॉल्यूम लॉ $O(2^{\tau} \epsilon^2)$ $O (2^{τ} ϵ^{2})$ का पालन करती है, जिसमें अनंत-क्रम (infinite-order) के शब्दों के लिए एक लीनियर एडिटिव टर्म है। यदि सत्य हुआ, तो यह एक विनिमय दर $\alpha = 1 + \beta = 3$ की ओर संकेत करता है (जहाँ $\beta=2$ $β = 2$ $SU(2)$ $S U (2)$ में रोटेशन कोसेट की को-डायमेंशन है)।
- थ्योरम 11 बिना शर्त सिद्ध करता है कि "रोटेशन-सेगमेंटेड" प्रक्रियाओं के लिए (जहाँ प्रत्येक प्रतिबद्ध सेगमेंट एक क्लिफोर्ड-फ्रेम्ड रोटेशन के करीब है), दर 3 के करीब पहुँच जाती है।
- थ्योरम 8 एक "फ्रैक्शनल पासथ्रू" (fractional passthrough) योजना प्रस्तुत करता है जो 3 की दर के करीब पहुँचती है, बशर्ते कि औसत सिंगल-रोटेशन सिंथेसिस लागत $(3+o(1))L$ हो। $\epsilon = 10^{-10}$ पर संख्यात्मक साक्ष्य $\approx 3.20$ की प्राप्त दर दिखाता है।
कमिटमेंट का क्वांटाइजेशन (Quantization of Commitment): पेपर स्थापित करता है कि मेमोरी को एक कोऑर्डिनेट के भीतर छोटे यूनिट्स में कम नहीं किया जा सकता है। एक "एंट्री फीस" (लगभग $2L$ का न्यूनतम T-काउंट) आवश्यक है ताकि $O(\log L)$ से अधिक बिट्स की जानकारी ले जाई जा सके। इस फीस से नीचे, केवल शब्दों का एक विरल (sparse) सेट उपलब्ध है (T की पावर्स और सस्ते अनंत-क्रम वाले शब्द)।
साइड इंफॉर्मेशन (Side Information): बाउंड्स को कंडीशनल एंट्रोपी का उपयोग करके परिष्कृत किया गया है। यदि कंपाइलर के पास साइड इंफॉर्मेशन (जैसे, रैंडमाइज्ड कंपाइलिंग प्रक्रिया का सीड) है, तो लागत पूर्ण एग्रीगेट साइज ( $m \log K$ ) के बजाय मिसिंग एंट्रोपी ( $\lambda$ बिट्स) पर चार्ज की जाती है।
मॉडल डिपेंडेंस (Model Dependence):
- प्रोबेबिलिस्टिक मिक्सिंग: विनिमय दर को $1/2$ के कारक से रीस्केल करता है (दर $\approx 1.5$ हो जाती है) और पहली $\frac{1}{2}L - O(\log L)$ बिट्स को मुफ्त होने देता है, लेकिन शेष "कोर्स" बिट्स के लिए दर 2 (या कन्जेक्चर के तहत 3) बनी रहती है।
- फेज-ग्रेडिएंट रजिस्टर्स: क्लीन एन्सिला और एक कैटालिटिक फेज-ग्रेडिएंट रजिस्टर का उपयोग करके कोऑर्डिनेट्स के बीच बैचिंग संभव है, जो दर को $O(1/\log \log(1/\epsilon))$ तक कम कर देता है, जिससे कोऑर्डिनेटवाइज सिंथेसिस के लिए निरंतर-दर कानून (constant-rate law) को तोड़ दिया जाता है।

महत्व और दावे
पेपर यह दावा करता है कि इसने स्ट्रीमिंग कंपाइलेशन में मेमोरी-मैजिक विनिमय दर पर पहले कठोर, अनकंडीशनल लोअर बाउंड स्थापित किए हैं जो साधारण "1 बिट प्रति गेट" की सीमा से अधिक हैं।

इसने पहचान किया है कि $\alpha = 2$ स्पेक्ट्रल विधि का प्राकृतिक थ्रेशोल्ड है और $\alpha = 17/7$ वर्तमान एलिमेंट्री ज्योमेट्रिक विधियों की सीमा है।
यह प्रस्तावित करता है कि वास्तविक दर $\alpha = 3$ है, जो एकल रोटेशन के लिए रॉस-सेलिंजर (Ross–Selinger) सिंथेसिस लागत से मेल खाती है, लेकिन नोट करता है कि इसे सिद्ध करने के लिए ज्योमेट्री ऑफ नंबर्स में एक अंतर (gap) को बंद करना होगा (विशेष रूप से, रोटेशन कोसेट के पास लैटिस पॉइंट्स के इक्विडिस्ट्रिब्यूशन कंजक्चर को सिद्ध करना)।
लेखक जोर देते हैं कि "फी" (जानकारी ले जाने की प्रवेश लागत) नियत (deterministic) यूनिटरी मॉडल और सिंथेसिस तंत्र का एक गुण है, न कि सामान्य दोष-सहिष्णु सिंथेसिस का।
परिणाम कोऑर्डिनेटवाइज सिंथेसिस के लिए विशिष्ट हैं; पेपर स्पष्ट रूप से कहता है कि एन्सिला-असिस्टेड सिंथेसिस (जैसे, फेज-ग्रेडिएंट रजिस्टर्स के माध्यम से) इन निरंतर-दर कानूनों को बायपास कर सकता है, जिससे प्राप्त बाउंड्स केवल एन्सिला-मुक्त, कोऑर्डिनेटवाइज मॉडल के लिए विशिष्ट हो जाते हैं।

यह पेपर यह दावा नहीं करता है कि इसने यह सिद्ध कर दिया है कि दर सभी मामलों के लिए ठीक 3 है, न कि यह कोई नई प्रायोगिक प्रोटोकॉल प्रस्तावित करता है। इसके बजाय, यह निर्णयों को स्थगित करने (deferring decisions) की मौलिक सीमाओं को समझने के लिए एक कठोर ढांचा प्रदान करता है और "मेमोरीलेसनेस" (स्मृतिहीनता) की लागत को मैजिक स्टेट खपत के संदर्भ में मापता है।

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