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Exact SU( $N$ ) symmetry resolution of bosonic Hubbard models: general boson-fermion mappings and flat-band singlet-cluster states

यह शोध पत्र बोस-हबर्ड मॉडलों के लिए एक सटीक SU( $N$ ) समरूपता (symmetry) समाधान स्थापित करने के लिए हाउ ड्यूअलिटी (Howe duality) का लाभ उठाता है जो सार्वभौमिक स्पेक्ट्रल गुणों और एक सटीक बोसॉन-फर्मियॉन विभाजन फलन पहचान (partition function identity) को प्रकट करता है, जिससे अनफ्रस्ट्रेटेड प्रणालियों में कलर फेरोमैग्नेटिज्म से लेकर फ्रस्ट्रेटेड लैटिस में सिंगलेट-क्लस्टर अवस्थाओं तक विविध घटनाओं का विश्लेषण संभव हो पाता है।

मूल लेखक: Loïc Herviou

प्रकाशित 2026-10-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Loïc Herviou

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अल्ट्राकोल्ड परमाणुओं की शांत दुनिया में, भौतिकविदों ने क्वांटम कणों के अराजक समूह को एक अत्यधिक व्यवस्थित प्रणाली में बदलने का तरीका खोज निकाला है। कल्पना कीजिए कि लोगों की एक भीड़ है, जिनमें से प्रत्येक ने अलग-अलग रंग की शर्ट पहनी है, जो कमरों के एक ग्रिड के माध्यम से घूम रहे हैं। क्वांटम दुनिया में, ये "रंग" केवल दृश्य लक्षण नहीं हैं बल्कि मौलिक पहचान हैं जो यह निर्धारित करते हैं कि कण आपस में कैसे क्रिया करते हैं। दशकों तक, वैज्ञानिक केवल उन प्रणालियों का अध्ययन कर सके जहाँ ये कण फर्मियॉन (fermions) की तरह व्यवहार करते थे, जो कि पदार्थ का एक प्रकार है जो सख्ती से दो व्यक्तियों को एक ही स्थान पर रहने से रोकता है, ठीक वैसे ही जैसे कोई भी दो लोग एक ही कुर्सी पर नहीं बैठ सकते। यह नियम, जिसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत (Pauli exclusion principle) के रूप में जाना जाता है, इन प्रणालियों की गणितीय गणना को अविश्वसनीय रूप से कठिन बना देता था जब उपलब्ध रंगों की संख्या बढ़ जाती थी। हालाँकि, एक नए सैद्धांतिक नवाचार ने एक अलग प्रकार के क्वांटम पदार्थ को समझने का द्वार खोल दिया है: बोसोन (bosons)। अपने फर्मियोनिक चचेरे भाइयों के विपरीत, बोसोन सामाजिक प्राणी हैं जो खुशी-खुशी एक ही स्थान में जमा हो जाते हैं। जब इन बोसोन में कई अलग-अलग रंग की पहचान होती है, तो वे जटिल प्रणालियाँ बनाते हैं जो पहले गणना के लिए बहुत विशाल थीं, जिससे चरम स्थितियों में इस प्रकार के पदार्थ के व्यवहार के बारे में हमारी समझ में एक अंतर रह गया था।

ग्रेनौबल अल्प्स विश्वविद्यालय के एक शोधकर्ता ने अब इन बहु-रंगीन बोसोन के व्यवहार को सुलझाने के लिए एक सटीक गणितीय विधि विकसित करके इस अंतर को भर दिया है। यह कार्य एक विशिष्ट मॉडल पर केंद्रित है जहाँ कण एक जाली (lattice) पर साइटों के बीच कूदते (hop) हैं, और अपने रंग के आधार पर एक-दूसरे के साथ अंतःक्रिया करते हैं। समूहों के गणित में एक गहरी समरूपता (symmetry) का लाभ उठाते हुए, लेखक ने कई परस्पर क्रिया करने वाले कणों की विशाल, अनियमी समस्या को छोटे, प्रबंधनीय टुकड़ों में तोड़ने का एक तरीका खोजा। यह दृष्टिकोण एक सटीक समाधान की अनुमति देता है, जिसका अर्थ है कि परिणाम अनुमान या अटकलें नहीं हैं, बल्कि प्रणाली के मूलभूत नियमों से प्राप्त निश्चित उत्तर हैं। मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि इन बोसोन के लिए, जिस तरह से वे स्थान में खुद को व्यवस्थित करते हैं, वह बिल्कुल वैसा ही है जैसे वे अपने रंगों को व्यवस्थित करते हैं। यह समरूपता शोधकर्ता को रंगों के एक विशिष्ट विन्यास के लिए समस्या को हल करने की अनुमति देती है और तुरंत अन्य सभी के लिए उत्तर जान लेती है, जिससे एक ऐसी समस्या को, जिसे हल करने में सुपरकंप्यूटर को वर्षों लग सकते थे, कुछ क्षणों में गणना योग्य बना दिया जाता है।

निष्कर्ष बोसोन और फर्मियॉन के बीच एक आश्चर्यजनक द्वैत (duality) को प्रकट करते हैं। अध्ययन दिखाता है कि एक निश्चित संख्या में रंगों वाले बोसोन के तंत्र के ऊर्जा स्तर और व्यवहार फर्मियॉन के तंत्र के समान होते हैं, यदि कोई केवल रंगों की संख्या का चिह्न बदल दे। इसका अर्थ है कि एक बोसोनिक प्रणाली की जटिल भौतिकी को एक फर्मियोनिक प्रणाली के परिणामों को देखकर समझा जा सकता है, बशर्ते कि एक विशिष्ट रूपांतरण लागू किया जाए। यह संबंध केवल एक सैद्धांतिक जिज्ञासा नहीं है; यह वैज्ञानिकों को इन विलक्षण बोसोन के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है जहाँ वे फर्मियॉन की तरह व्यवहार करते हैं, और इसके विपरीत भी। उदाहरण के लिए, उन प्रणालियों में जहाँ कण बिना किसी ज्यामितीय बाधा (geometric frustration) के चलते हैं—जहाँ जाली का लेआउट परस्पर विरोधी अंतःक्रियाओं को मजबूर नहीं करता है—वहाँ 'ग्राउंड स्टेट' (निम्नतम ऊर्जा विन्यास), हमेशा एक "कलर फेरोमैग्नेट" (रंग लौहचुंबकीय) होता है। इस अवस्था में, सभी कण अपने रंगों को एक ही दिशा में संरेखित करते हैं, और एक एकल, विशाल कण की तरह व्यवहार करते हैं जिसकी कोई आंतरिक संरचना नहीं होती। यह पुष्टि करता है कि सरल जाली के लिए, जटिल रंग भौतिकी नए ग्राउंड स्टेट्स नहीं बनाती, बल्कि व्यवस्था की प्रवृत्ति को ही सुदृढ़ करती है।

हालाँकि, कहानी नाटकीय रूप से बदल जाती है जब जाली "फ्रस्ट्रेटेड" (frustrated) होती है, जिसका अर्थ है कि ग्रिड की ज्यामिति सभी कणों के लिए अपनी अंतःक्रियाओं को एक साथ संतुष्ट करना असंभव बना देती है। इन मामलों में, कण केवल अपने रंगों को संरेखित नहीं कर सकते, और प्रणाली एक अलग प्रकार की व्यवस्था खोजती है। शोधकर्ता ने प्रदर्शित किया कि विशिष्ट फ्रस्ट्रेटेड लैटिस, जैसे कि सॉटूथ चेन (sawtooth chain) और कगाम (kagome) जाली पर, बोसोन "सिंगलेट-क्लस्टर स्टेट्स" (singlet-cluster states) बना सकते हैं। ये कणों के ऐसे समूह हैं जो इस तरह से एक साथ जुड़ते हैं कि उनके रंग एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे एक तटस्थ, स्थिर इकाई बनती है। अध्ययन सिद्ध करता है कि ये क्लस्टर एक निश्चित घनत्व तक सटीक ग्राउंड स्टेट बना सकते हैं, जो इन तटस्थ समूहों के क्रिस्टल की तरह कार्य करते हैं। इन क्रिस्टल के बनने की अधिकतम घनत्व उपलब्ध रंगों की संख्या पर निर्भर करती है; उदाहरण के लिए, एक सॉटूथ जाली पर, महत्वपूर्ण घनत्व रंगों की संख्या को शामिल करने वाले एक सरल अनुपात द्वारा निर्धारित होता है। यह फर्मियॉन्स में देखे जाने वाले फ्लैट-बैंड फेरोमैग्नेटिज्म का बोसोनिक समकक्ष है, लेकिन एक मोड़ के साथ: जबकि फर्मियॉन्स बड़े, सममित चुंबकीय अवस्थाएँ बनाते हैं, ये बोसोन सघन, रंग-तटस्थ क्लस्टर बनाते हैं।

शोध ने यह भी पता लगाया कि क्या होता है जब तापमान बढ़ाया जाता है या जब प्रणाली छोटी होती है, जैसे कि केवल कुछ साइटों वाली एक रिंग में। इन परिदृश्यों में, कणों की गति करने की इच्छा और उनकी अंतःक्रिया करने की प्रवृत्ति के बीच प्रतिस्पर्धा से चरण परिवर्तन (phase transitions) होते हैं। दो साइटों वाली एक रिंग के लिए, एक अव्यवस्थित अवस्था से एक व्यवस्थित, स्व-ट्रैप्ड (self-trapped) अवस्था में संक्रमण निरंतर है, जिसका अर्थ है कि यह धीरे-धीरे होता है। लेकिन जैसे-जैसे साइटों की संख्या बढ़कर तीन या अधिक हो जाती है, यह संक्रमण अचानक और तीव्र, यानी प्रथम-क्रम (first-order) का जंप बन जाता है। अध्ययन ने विभिन्न कण घनत्वों के लिए उन सटीक तापमानों की गणना की जिस पर ये परिवर्तन होते हैं, यह दिखाते हुए कि बोसोन समान परिस्थितियों में फर्मियॉन्स की तुलना में काफी उच्च तापमान पर व्यवस्थित हो सकते हैं। ये परिणाम इन प्रणालियों के व्यवहार का एक पूर्ण मानचित्र प्रदान करते हैं, जो ग्राउंड स्टेट के परम शून्य से लेकर परिमित तापमान की गर्माहट तक, और सरल रिंगों से लेकर जटिल, फ्रस्ट्रेटेड नेटवर्क तक विस्तृत है।

अंततः, यह कार्य उन प्रयोगात्मक वैज्ञानिकों के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करता है जो अल्ट्राकोल्ड ध्रुवीय अणुओं और क्षारीय-पृथ्वी परमाणुओं का उपयोग करके प्रयोगशाला में इन प्रणालियों को बनाना शुरू कर रहे हैं। इन प्रणालियों के गुणों की गणना करने का एक सटीक तरीका प्रदान करके, यह विधि सिद्धांत और प्रयोग के बीच प्रत्यक्ष तुलना की अनुमति देती है, जिससे इन नए क्वांटम सामग्रियों के व्यवहार को सत्यापित करने में मदद मिलती है। अध्ययन पुष्टि करता है कि जबकि क्वांटम यांत्रिकी के नियम कठोर हैं, जिस तरह से कण खुद को व्यवस्थित कर सकते हैं, वह समृद्ध और विविध है। चाहे वे एक समान फेरोमैग्नेट, तटस्थ क्लस्टरों का क्रिस्टल, या एक अव्यवस्थित तरल का निर्माण करें, परिणाम ज्यामिति, अंतःक्रिया और उपलब्ध रंग अवस्थाओं की संख्या के बीच के तालमेल से निर्धारित होता है। यह स्पष्टता हमें पदार्थ के सबसे चरम और विलक्षण रूपों की मौलिक प्रकृति को समझने के करीब लाती है, जिससे एक सैद्धांतिक पहेली एक हल किए गए समीकरण में बदल जाती है जो अगली पीढ़ी के क्वांटम प्रयोगों का मार्गदर्शन कर सकती है।

तकनीकी सारांश: बोसोनिक हबार्ड मॉडल्स का सटीक SU(N) सममिति समाधान

समस्या विवरण
यह शोध पत्र SU(N)-सममित बोसोनिक हबार्ड मॉडल्स को हल करने की संख्यात्मक चुनौती को संबोधित करता है, विशेष रूप से उन क्षेत्रों में जहाँ हिल्बर्ट स्पेस का आयाम $N^{N_b}$ के रूप में बढ़ता है (जहाँ $N$ फ्लेवर्स की संख्या है और $N_b$ कणों की संख्या है)। यद्यपि SU(N) फर्मियोनिक मॉडल्स को अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्वों (irreps) (जैसे कि सेमी-स्टैंडर्ड यंग टेब्लो) के अनुकूल आधारों का उपयोग करके सफलतापूर्वक हल किया गया है, बोसोनिक प्रणालियाँ मुख्य रूप से एबेलियन U(1) $^N$ उपसमूहों या छोटे-N सन्निकटन तक ही सीमित रही हैं। यह सीमा महत्वपूर्ण है क्योंकि अल्ट्राकोल्ड पोलर मॉलिक्यूल्स और अल्केलाइन-अर्थ-लाइक एटम्स के साथ हालिया प्रयोगात्मक प्रगति ने आकर्षक (attractive) या प्रतिकर्षी (repulsive) अंतःक्रियाओं वाले SU(N) बोसोनिक सिस्टम को प्रयोगात्मक रूप से प्रासंगिक बना दिया है। इन बोसॉन्स के ग्राउंड-स्टेट भौतिकी को समझने में एक प्रमुख सैद्धांतिक अंतराल बना हुआ है, विशेष रूप से उन फ्रस्ट्रेटेड लैटिसों में जहाँ मानक आइजनबर्ग-लीब प्रमेय (जो फेरोमैग्नेटिज्म की भविष्यवाणी करता है) लागू नहीं हो सकता है।

कार्यप्रणाली
लेखक एक्सैक्ट डायगोनलाइजेशन करने के लिए $U(L)$ (कक्षीय डिग्री ऑफ फ्रीडम पर कार्य करने वाले) और $U(N)$ (कलर/फ्लेवर डिग्री ऑफ फ्रीडम पर कार्य करने वाले) समूहों के बीच हाउ द्वैतता (Howeduality) का उपयोग करते हैं।

कलर फैक्टराइजेशन (Color Factorization): $N_b$ बोसॉन्स के हिल्बर्ट स्पेस को टेंसर उत्पादों के प्रत्यक्ष योग में विभाजित किया जाता है: $\mathcal{H}_b = \bigoplus_{|\alpha|=N_b} V^{(L)}_\alpha \otimes V^{(N)}_\alpha$ । महत्वपूर्ण रूप से, बोसॉन्स के लिए, कक्षीय इर्रेप (orbital irrep) $\alpha$ और कलर इर्रेप $\alpha$ समान होते हैं (जबकि फर्मियॉन्स के लिए, वे ट्रांसपोज़ होते हैं)।
आधार निर्माण (Basis Construction): विधि कक्षीय स्थान $V^{(L)}_\alpha$ के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाने के लिए साइट लेबल से भरे सेमी-स्टैंडर्ड यंग टेब्लो (SSYT) का उपयोग करती है। $E_{i,j}$ के हैमिल्टोनियन जनरेटरों की क्रिया इस आधार पर केवल कक्षीय आकार $\alpha$ पर निर्भर करती है, जिससे पूर्ण SU(N) समस्या को प्रत्येक $H_\alpha$ द्वारा मुक्त SU(N) अपभ्रष्टता (degeneracy) वाली छोटी कक्षीय समस्याओं के परिवार में कम किया जा सकता है।
बाधाएं (Constraints): यह ढांचा सॉफ्ट-कोर और हार्ड-कोर बाधाओं (जैसे कि प्रति साइट अधिकतम $n$ बोसॉन्स) को उन टेब्लो को हटाकर स्वाभाविक रूप से समायोजित करता है जहाँ साइट लेबल $n$ से अधिक बार आते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

सामान्य संरचनात्मक परिणाम:
लेखक किसी भी $U(L)$ जनरेटरों से निर्मित किसी भी SU(N)-इनवेरिएंट हैमिल्टोनियन के लिए तीन मौलिक गुणों को व्युत्पन्न करते हैं:

N-स्वतंत्रता (N-Independence): एक विशिष्ट कक्षीय क्षेत्र $\alpha$ के भीतर ऊर्जा स्पेक्ट्रम $N$ से स्वतंत्र होता है (बशर्ते $N \ge \ell(\alpha)$ हो) और कण सांख्यिकी (particle statistics) से स्वतंत्र होता है। केवल कलर अपभ्रष्टता कारक $N$ पर निर्भर करते हैं।
बोसोन-फर्मियन पत्राचार (Boson-Fermion Correspondence): बोसॉन्स और फर्मियॉन्स के स्वीकार्य क्षेत्रों के बीच एक सख्त समावेशन संबंध है। विशेष रूप से, यदि $L \le N$ , तो प्रत्येक फर्मियोनिक क्षेत्र एक बोसोनिक क्षेत्र है; यदि $N_b \le N$ , तो प्रत्येक बोसोनिक क्षेत्र एक फर्मियोनिक क्षेत्र है।
पार्टीशन फंक्शन पहचान: बोसॉन्स ( $Z_b$ ) और फर्मियॉन्स ( $Z_f$ ) के कैनोनिकल पार्टीशन फंक्शन निम्नलिखित सटीक पहचान को संतुष्ट करते हैं: $Z_b(-N) = (-1)^{N_b} Z_f(N)$ । इसका तात्पर्य है कि SU(N)-इनवेरिएंट ऑपरेटर्स के थर्मोडायनामिक औसत $\langle O \rangle_b(-N) = \langle O \rangle_f(N)$ का पालन करते हैं।

कुछ-साइट रिंग्स पर अनुप्रयोग (लार्ज N लिमिट):
निश्चित फिलिंग $\nu = N_b/N$ पर रिंग के आकार $L$ पर आकर्षक बोसॉन्स पर $N \to -N$ पत्राचार को लागू करते हुए:

शून्य तापमान: ग्राउंड स्टेट एक SU(N) फेरोमैग्नेट (सेक्टर $(N_b)$ ) है जिसकी ऊर्जा स्पिनलेस बोसॉन्स के समान है।
परिमित तापमान: पेपर अव्यवस्थित (disordered) और सेल्फ-ट्रैप्ड चरणों के बीच संक्रमण के लिए फेज डायग्राम व्युत्पन्न करता है। $L=2$ के लिए, संक्रमण निरंतर है जिसका क्रिटिकल कपलिंग $\beta_c U N_b = -4/(2+\nu)$ है। $L \ge 3$ के लिए, संक्रमण प्रथम-क्रम (first-order) का हो जाता है। फर्मियॉन्स (Ref. [41]) के परिणाम $\nu = -1$ सेट करके ठीक से प्राप्त किए जाते हैं।

फ्रस्ट्रेटेड होपिंग और फ्लैट-बैंड फिजिक्स:
लेखक उन प्रणालियों की जांच करते हैं जहाँ आइजनबर्ग-लीब प्रमेय लागू नहीं होता (फ्रस्ट्रेटेड होपिंग), विशेष रूप से सॉटूथ चेन (sawtooth chain) और कगाम (kagome) लैटिस।

फ्लैट-बैंड प्रमेय: $U > 0$ , $N_b \le D_{flat}$ (फ्लैट बैंड की अपभ्रष्टता), और $N_b \le N$ के लिए, यह सिद्ध किया गया है कि ग्राउंड स्टेट एक कलर-एंटीसिमेट्रिक SU(N) सिंगलेट (सेक्टर $(1^{N_b})$ ) है। यह फर्मियॉन्स के लिए फ्लैट-बैंड फेरोमैग्नेटिज्म का बोसोनिक समकक्ष है।
सिंगलेट-क्लस्टर अवस्थाएं: परिमित घनत्व पर, लेखक "सिंगलेट क्लस्टर्स" के उत्पाद के रूप में सटीक ग्राउंड स्टेट्स का निर्माण करते हैं। ये क्लस्टर्स कॉम्पैक्ट लोकलाइज्ड स्टेट्स (CLS) को फ्लैट बैंड में इस तरह पैक करके बनाए जाते हैं कि क्लस्टर्स साझा साइट्स नहीं रखते हैं।
- सॉटूथ चेन (Sawtooth Chain): क्रिटिकल डेंसिटी $\rho_c(N) = N/[2(N+1)]$ तक सटीक सिंगलेट ग्राउंड स्टेट्स मौजूद हैं। इसके ऊपर, ग्राउंड स्टेट डबल ऑक्यूपेंसी को दबाने के लिए एंटीसिमेट्रिक इर्रेप्स को प्राथमिकता देता है।
- कगाम लैटिस (Kagome Lattice): यह समस्या ट्राइएंगुलर लैटिस पर अधिकतम $N$ हेक्सागोन के जुड़े हुए क्लस्टर्स की पैकिंग समस्या में मैप होती है। पेपर $N=1$ से $4 $के लिए क्रिटिकल डेंसिटी के निचले स्तर प्रदान करता है (जैसे,$ \rho_{c,2} \ge 2/15$)।
ऊर्जाओं का प्रतिस्पर्धा: पूर्णांक फिलिंग और स्ट्रोंग कपलिंग पर, सिस्टम एक SU(N) फेरोमैग्नेट (मॉट लिमिट) में वापस आ जाता है। इंटरमीडिएट कपलिंग और नॉन-इंटीजर फिलिंग पर, ग्राउंड स्टेट इंटरमीडिएट इर्रेप्स में स्थित होता है, जो गतिज ऊर्जा (kinetic energy) और अंतःक्रिया ऊर्जा (interaction energy) के बीच प्रतिस्पर्धा का प्रतिनिधित्व करता है।

महत्व और दावे
पेपर दावा करता है कि यह बोसोनिक हबार्ड मॉडल्स की पूर्ण SU(N) सममिति को हल करने के लिए पहला सटीक संख्यात्मक उपकरण प्रदान करता है। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में निहित है:

बोसॉन्स और फर्मियॉन्स को एकीकृत करना: $N \to -N$ पत्राचार के माध्यम से बोसोनिक और फर्मियोनिक स्पेक्ट्रा के बीच एक कठोर "डिक्शनरी" स्थापित करना, जिससे एक सांख्यिकी के परिणामों का उपयोग दूसरी को सूचित करने के लिए किया जा सके।
कंप्यूटेशनल दक्षता: यह प्रदर्शित करना कि मानक U(1) $^N$ दृष्टिकोण की तुलना में (जैसा कि टेबल I में दिखाया गया है, कई ऑर्डर्स से) कलर-सिंगलेट सेक्टर्स के लिए हिल्बर्ट स्पेस आयाम को हल करने से नाटकीय रूप से कमी आती है।
फ्रस्ट्रेटेड सिस्टम में नई भौतिकी: "फ्लैट-बैंड सिंगलेट-क्लस्टर अवस्थाओं" को फर्मियोन्स के फ्लैट-बैंड फेरोमैग्नेटिज्म के बोसोनिक समकक्ष के रूप में पहचानना। पेपर का दावा है कि जबकि फ्रस्ट्रेटेड फ्लैट बैंड स्पिनलेस बोसॉन्स के लिए लोकलाइज्ड क्रिस्टल और फर्मियॉन्स के लिए फेरोमैग्नेटिज्म की ओर ले जाते हैं, SU(N) बोसॉन्स एक विशिष्ट कलर-एंटीसिमेट्रिक सिंगलेट क्लस्टर चरण प्रदर्शित करते हैं।

लेखक नोट करते हैं कि वर्तमान संख्यात्मक परिणाम एक्सैक्ट डायगोनलाइजेशन पद्धति और बोसोनिक हिल्बर्ट स्पेस के अंतर्निहित आकार द्वारा सीमित हैं। पेपर विनम्रतापूर्वक सुझाव देता है कि बड़े एक-आयामी सिस्टम तक पहुँचने के लिए SU(N)-रिजॉल्व्ड डेंसिटी मैट्रिक्स रिनॉर्मलाइजेशन ग्रुप (DMRG) एल्गोरिदम को बोसॉन्स के लिए विस्तारित करना एक आवश्यक अगला कदम है और बड़े फ्रस्ट्रेटेड सिस्टम के लिए टू-डायमेंशनल टेंसर नेटवर्क की आवश्यकता हो सकती है।

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