About P-adic Numbers and Professor Igor Volovich on the Occasion of his 80th Anniversary
यह शोधपत्र प्रोफेसर इगोर वोलोविचच की 80वीं वर्षगांठ का स्मरण करते हुए उनके 1987 के p-adic स्ट्रिंग्स और गैर-स्थानीय क्षेत्र सिद्धांत (non-local field theory) पर कार्य, इन सिद्धांतों के लिए फेनमैन नियमों को स्थापित करने हेतु ओकाडा के साथ लेखक के आगामी सहयोग, और 1989 से 1991 के बीच मॉस्को के दौरों की व्यक्तिगत स्मृतियों को समर्पित है।
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1960 के दशक के अंत में, भौतिकविदों ने एक ऐसे गणितीय मॉडल से मंत्रमुग्ध होकर देखा जो यह वर्णन करता था कि उपपरमाणु कण कैसे बिखरते और परस्पर क्रिया करते हैं। वेनेज़ियानो आयाम (Veneziano amplitude) के रूप में ज्ञात यह मॉडल, एक विशिष्ट प्रकार के गणितीय फलन का उपयोग करके इन टकरावों की प्रायिकता की गणना करने का एक तरीका प्रदान करता था। दशकों तक, शोधकर्ताओं का मानना था कि उन्होंने इन गणनाओं को लिखने के हर संभव तरीके का उपयोग कर लिया है, और उन्हें लगता था कि वे इसमें शामिल गणित के पूर्ण दायरे को समझते हैं। क्षेत्र का ध्यान परिचित संख्या प्रणाली पर केंद्रित था जिसे हम वास्तविक संख्याओं (real numbers) के रूप में उपयोग करते हैं, जो संख्या रेखा की निरंतर रेखा बनाती हैं। हालाँकि, गणित की एक अन्य, अधिक विचित्र शाखा थी जिसे p-adic संख्याओं के रूप में जाना जाता है। ये संख्याएँ मानक संख्या रेखा पर नहीं पाई जाती हैं; इसके बजाय, ये अभाज्य संख्याओं (prime numbers) के इर्द-गिर्द निर्मित होती हैं, जिससे एक अलग प्रकार की अंकगणित का निर्माण होता है जहाँ दूरी को इस तरह मापा जाता है जो हमारी सहज बुद्धि के लिए पूरी तरह से पराया लगता है। जबकि ये संख्याएँ लंबे समय से शुद्ध गणितज्ञों के लिए एक उपकरण रही थीं, वे कणों और बलों की भौतिक दुनिया से विच्छेदित प्रतीत होती थीं। प्रश्न यह बना हुआ था: क्या यह अस्पष्ट गणितीय प्रणाली वास्तव में ब्रह्मांड के व्यवहार का वर्णन कर सकती थी, या यह केवल बिना किसी भौतिक अनुप्रयोग के एक जिज्ञासा मात्र थी?
1987 में, प्रोफेसर इगोर वोलोविच ने इस अंतर को पाटने वाला एक साहसी नया विचार प्रस्तावित किया। उन्होंने पाया कि प्रसिद्ध चार-कण परस्पर क्रिया सूत्र को इन p-adic संख्याओं का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है, जिससे मूल सिद्धांत का एक गणितीय रूप से भिन्न संस्करण तैयार हुआ। यह केवल एक मामूली समायोजन नहीं था; यह एक ही भौतिक वास्तविकता को व्यक्त करने का एक पूरी तरह से नया तरीका था। वोलोविच ने दिखाया कि मानक वास्तविक संख्याओं के स्थान पर p-adic संख्याओं का उपयोग करके, कण टकरावों का वर्णन करने वाले जटिल सूत्र सरल हो गए और उनमें एक अलग, अधिक स्वच्छ संरचना विकसित हुई। इस खोज ने सुझाव दिया कि ब्रह्मांड इन p-adic संस्करणों के एक अनंत संग्रह से बना हो सकता है, जो एक साथ मिलकर उस परिचित भौतिकी का पुनर्निर्माण करते हैं जिसे हम देखते हैं। यह एक रहस्योद्घाटन था कि कणों की परस्पर क्रिया के मानक मॉडल को कई अलग-अलग गणितीय दुनियाओं के एक सम्मिश्र (composite) के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक अलग अभाज्य संख्या द्वारा शासित होती है।
इस नींव पर काम करते हुए, इस शोध पत्र के लेखक, पॉल फ्रैम्पटन और उनके सहयोगी यासुहिरो ओकाडा ने यह समझने का प्रयास किया कि यह p-adic सिद्धांत व्यवहार में कैसे काम करता है। उन्होंने इन नए प्रकार के कणों की परस्पर क्रिया के नियमों को निर्धारित करने के लिए गणित का गहन अध्ययन करने में कई सप्ताह बिताए। उन्हें यह निर्धारित करने की आवश्यकता थी कि कण कैसे यात्रा करेंगे और विभिन्न बिंदुओं पर वे कैसे परस्पर क्रिया करेंगे। उन्होंने पाया कि कण के चलने के नियम, जिसे प्रोगैगेटर (propagator) कहा जाता है, मानक नियमों से भिन्न थे, और उन्होंने उन विशिष्ट कारकों की पहचान की जो कणों के परस्पर क्रिया बिंदुओं पर जुड़ने को नियंत्रित करते हैं। इन निष्कर्षों ने उन्हें निर्देशों का एक पूर्ण सेट बनाने की अनुमति दी, जो एक भौतिक सिद्धांत के लिए एक रेसिपी (विधि) के समान था, जिसका उपयोग इस p-adic दुनिया में परिणामों की गणना करने के लिए किया जा सकता था।
अगला तार्किक कदम इन नियमों को क्षेत्र सिद्धांत (theory of fields) में अनुवादित करना था, जो यह बताता है कि अंतरिक्ष और समय में बल और कण कैसे व्यवहार करते हैं। शोधकर्ताओं ने एक प्रभावी सिद्धांत व्युत्पन्न किया जिसने एक एकल प्रकार के कण, एक स्केलर क्षेत्र (scalar field) को इस p-adic वातावरण में चलते हुए वर्णित किया। उन्होंने जो पाया वह आश्चर्यजनक था: इस कण की गति का वर्णन करने वाला समीकरण अनंत अवकलजों (derivatives) को समाहित करता है। मानक भौतिकी में, समीकरणों में आमतौर पर केवल कुछ ही अवकलज होते हैं, जो यह दर्शाते हैं कि कोई मात्रा कम दूरी या समय में कैसे बदलती है। यहाँ, अनंत अवकलजों की उपस्थिति का अर्थ था कि सिद्धांत 'नॉन-लोकल' (non-local) था। इसका अर्थ यह है कि एक बिंदु पर कण का व्यवहार अन्य सभी स्थानों पर उसके व्यवहार पर एक साथ निर्भर था, न कि केवल उसके निकटतम पड़ोसियों पर। यह नॉन-लोकल प्रकृति p-adic गणितीय संरचना का सीधा परिणाम थी और इसने उन स्थानीय सिद्धांतों से एक महत्वपूर्ण विचलन का प्रतिनिधित्व किया जो अधिकांश भौतिकी पर हावी हैं।
इस कार्य का प्रभाव इसके प्रारंभिक गणना से कहीं अधिक विस्तृत था। फ्रैम्पटन और ओकाडा द्वारा विकसित नॉन-लोकल फील्ड थ्योरी जटिल भौतिक समस्याओं के अध्ययन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बन गया। बाद में इसका उपयोग अस्थिर कणों के संघनन (condensation) के अध्ययन के लिए किया गया, एक ऐसी प्रक्रिया जहाँ एक प्रणाली एक स्थिर अवस्था में बस जाती है, और इसे ब्लैक होल की भौतिकी से लेकर संघनित द्रव्य (condensed matter) के अध्ययन तक विविध क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिले। इस सिद्धांत ने उन घटनाओं का वर्णन करने के लिए एक नया गणितीय भाषा प्रदान की जिन्हें मानक विधियों से सुलझाना कठिन था। यह शोध पत्र 'एडेलिक उत्पाद' (adelic product) पर भी प्रकाश डालता है, जो प्रत्येक संभावित अभाज्य संख्या से प्राप्त परिणामों को गणितीय रूप से जोड़कर मानक वास्तविक संख्या सिद्धांत का पुनर्निर्माण करता है, जो इन विभिन्न गणितीय दृष्टिकोणों के बीच एक गहरे एकीकरण का सुझाव देता है।
गणित से परे, यह शोध पत्र वैज्ञानिक खोज के मानवीय पक्ष पर एक व्यक्तिगत प्रतिबिंब के रूप में भी कार्य करता है। यह 1989 और 1991 के बीच मॉस्को के दौरों का वर्णन करता है, जहाँ लेखक ने वोलोविच और उनकी पत्नी, भौतिक विज्ञानी इरा इरेवा के साथ सहयोग किया था। ये स्मृतियाँ एक जीवंत वैज्ञानिक समुदाय की तस्वीर पेश करती हैं जो एक बड़े ऐतिहासिक परिवर्तन के दौर से गुजर रहा था। लेखक क्रेमलिन में दर्शनीय स्थलों की यात्रा, हर्मिटेज संग्रहालय के भ्रमण और लुडविग फेडेव जैसे प्रमुख व्यक्तित्वों से मिलने का वर्णन करते हैं। वृत्तांत फरवरी 1991 के एक तनावपूर्ण क्षण को भी छूता है, जब मॉस्को में एक लोकतंत्र समर्थक प्रदर्शन को सशस्त्र सैनिकों ने घेर लिया था, जो इन वैज्ञानिक सफलताओं के साथ चल रहे राजनीतिक उथल-पुथल का एक कठोर स्मरण था। ये व्यक्तिगत किस्से अनुसंधान को संचालित करने वाली सहयोगात्मक भावना को रेखांकित करते हैं, यह दिखाते हुए कि विचार न केवल जर्नल्स में, बल्कि पुस्तकालयों में चाय पीते समय और बदलते शहर में टहलते समय भी साझा किए गए थे।
यह शोध पत्र उन संयुक्त कार्यों को सूचीबद्ध करते हुए समाप्त होता है जो इन सहयोगों से उत्पन्न हुए, जिसमें ब्रह्मांड की उत्पत्ति और p-adic गुरुत्वाकर्षण के अनुप्रयोग का अध्ययन शामिल है। यह वोलोविच के अस्सीवें जन्मदिन को समर्पित एक श्रद्धांजलि के रूप में खड़ा है, जो एक ऐसे करियर का उत्सव मनाता है जिसने भौतिकी के गणितीय आधारों में एक नई खिड़की खोली। इस कार्य ने प्रदर्शित किया कि ब्रह्istic (ब्रह्मांडीय) दृष्टिकोण से p-adic संख्याओं के लेंस के माध्यम से देखते हुए, भौतिकविद सरल संरचनाओं और भौतिक कानूनों के नए प्रकारों को उजागर कर सकते थे। इसने दिखाया कि वास्तविक दुनिया के जटिल व्यवहार को इन सरल, अभाज्य-आधारित घटकों के संश्लेषण के रूप में समझा जा सकता है, जो वास्तविकता की मौलिक प्रकृति के बारे में एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है। यह शोध भौतिक दुनिया के बारे में गहरे सत्यों को खोजने के लिए अपरंपरागत गणितीय पथों की खोज करने की शक्ति के प्रमाण के रूप में बना हुआ है।
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