About P-adic Numbers and Professor Igor Volovich on the Occasion of his 80th Anniversary

In de late jaren 1960 waren natuurkundigen gefascineerd door een wiskundig model dat beschreef hoe subatomaire deeltjes verstrooien en interageren. Dit model, bekend als de Veneziaanse amplitude, bood een manier om de waarschijnlijkheid van deze botsingen te berekenen met behulp van een specifiek type wiskundige functie. Decennialang geloofden onderzoekers dat ze elke mogelijke manier om deze berekeningen op te schrijven hadden uitgeput, denkend dat ze de volledige omvang van de betrokken wiskunde begrepen. Het veld was gericht op het vertrouwde getallensysteem dat we dagelijks gebruiken, de reële getallen, die de continue lijn van de getallenlijn vormen. Er bestond echter een ander, vreemder tak van de wiskunde genaamd p-adische getallen. Deze bevinden zich niet op de standaard getallenlijn; in plaats daarvan zijn ze gebouwd rond priemgetallen, wat een ander soort rekenkunde creëert waarbij afstand wordt gemeten op een manier die volkomen vreemd aan onze intuïtie voelt. Hoewel deze getallen lang een instrument waren voor zuivere wiskundigen, leken ze losgekoppeld van de fysieke wereld van deeltjes en krachten. De vraag bleef: kon dit obscure wiskundige systeem daadwerkelijk het gedrag van het universum beschrijven, of was het slechts een curiositeit zonder fysieke toepassing?

In 1987 stelde professor Igor Volovich een gedurfd nieuw idee voor dat deze kloof overbrugde. Hij ontdekte dat de beroemde vier-deeltjes interactieformule herschreven kon worden met behulp van deze p-adische getallen, wat een versie van de theorie creëerde die wiskundig gezien verschillend was van het origineel. Dit was niet slechts een kleine aanpassing; het was een volledig nieuwe manier om dezelfde fysieke realiteit uit te drukken. Volovich toonde aan dat door de standaard reële getallen te vervangen door p-adische getallen, de complexe formules die de botsingen van deeltjes beschrijven, eenvoudiger werden en een andere, schonere structuur bezaten. Deze ontdekking suggereerde dat het universum mogelijk bestaat uit een oneindige collectie van deze p-adische versies, die, wanneer ze met elkaar vermenigvuldigd worden, de vertrouwde fysica die wij observeren reconstrueren. Het was een openbaring dat het standaardmodel van deeltjesinteracties gezien kon worden als een composiet van vele verschillende wiskundige werelden, elk geregeerd door een ander priemgetal.

Voortbouwend op dit fundament, zetten de auteur van dit artikel, Paul Frampton, en zijn collega Yasuhiro Okada zich in om te begrijpen hoe deze p-adische theorie in de praktijk werkte. Ze besteedden weken aan intensieve studie van de wiskunde om te achterhalen welke regels deze nieuwe soorten deeltjesinteracties zouden beheersen. Ze moesten bepalen hoe deeltjes zouden reizen en hoe ze zouden interageren op verschillende punten. Ze ontdekten dat de regels voor hoe een deeltje beweegt, bekend als de propagator, anders waren dan de standaardregels, en ze identificeerden specifieke factoren die bepaalden hoe deeltjes samenkwamen bij interactiepunten. Deze bevindingen stelden hen in staat om een volledige set instructies op te stellen, vergelijkbaar met een recept voor een fysieke theorie, die gebruikt kon worden om uitkomsten in deze p-adische wereld te berekenen.

De volgende logische stap was om deze regels te vertalen naar een veldentheorie, die beschrijft hoe krachten en deeltjes zich door de ruimte en tijd gedragen. De onderzoekers leidden een effectieve theorie af die een enkel type deeltje beschrijft, een scalair veld, dat door deze p-adische omgeving beweegt. Wat zij vonden was opmerkelijk: de vergelijking die de beweging van dit deeltje beschrijft, bevat een oneindig aantal afgeleiden. In de standaardfysica bevatten vergelijkingen meestal slechts een beperkt aantal afgeleiden, die vertegenwoordigen hoe een grootheid verandert over een korte afstand of tijd. Hier betekende de aanwezigheid van een oneindig aantal afgeleiden dat de theorie niet-lokaal was. Dit houdt in dat het gedrag van het deeltje op één punt afhankelijk was van zijn gedrag overal elders tegelijkertijd, in plaats van alleen van zijn directe buren. Deze niet-lokale aard was een direct gevolg van de p-adische wiskundige structuur en vormde een significante afwijking van de lokale theorieën die de meeste natuurkunde domineren.

De impact van dit werk strekte zich veel verder uit dan de initiële berekening. De niet-lokale veldentheorie ontwikkeld door Frampton en Okada werd een krachtig instrument voor het bestuderen van andere complexe problemen in de fysica. Het werd later gebruikt om de condensatie van instabiele deeltjes te onderzoeken, een proces waarbij een systeem in een stabiele toestand terechtkomt, en vond toepassingen in uiteenlopende gebieden variërend van de fysica van zwarte gaten tot de studie van gecondenseerde materie. De theorie bood een nieuwe wiskundige taal om fenomenen te beschrijven die moeilijk aan te pakken waren met standaardmethoden. Het artikel belicht ook het adelische product, een formule die de resultaten van elk mogelijk priemgetal wiskundig combineert om de standaard reële getalentheorie te reconstrueren, wat duidt op een diepe eenheid tussen deze verschillende wiskundige perspectieven.

Buiten de wiskunde dient het artikel als een persoonlijke reflectie op de menselijke kant van wetenschappelijke ontdekking. Het vertelt over bezoeken aan Moskou tussen 1989 en 1991, waar de auteur samenwerkte met Volovich en zijn vrouw, de natuurkundige Irina Aref'eva. Deze herinneringen schetsen een beeld van een vitale wetenschappelijke gemeenschap die navigeert door een tijd van grote historische verandering. De auteur beschrijft het bezoeken van het Kremlin, het Hermitage Museum, en ontmoetingen met vooraanstaande figuren zoals Ludwig Faddeev. Het narratief raakt ook aan een gespannen moment in februari 1991, toen een pro-democratische demonstratie in Moskou werd omsingeld door gewapende soldaten, een scherpe herinnering aan de politieke turbulentie die naast deze wetenschappelijke doorbraken plaatsvond. Deze persoonlijke anekdotes onderstrepen de collaboratieve geest die het onderzoek dreef, en laten zien hoe ideeën niet alleen werden uitgewisseld in tijdschriften, maar ook bij het drinken van thee in bibliotheken en tijdens wandelingen door een veranderende stad.

Het artikel sluit af met een lijst van het gezamenlijke werk dat voortkwam uit deze samenwerkingen, inclusief studies naar de oorsprong van het universum en de toepassing van p-adische zwaartekracht. Het staat als een eerbetoon aan de achttiende verjaardag van Volovich, ter viering van een carrière die een nieuw venster op de wiskundige fundamenten van de fysica heeft geopend. Het werk toonde aan dat door het universum te bekijken door de lens van p-adische getallen, natuurkundigen eenvoudigere structuren en nieuwe soorten natuurwetten konden ontdekken. Het toonde aan dat het complexe gedrag van de reële wereld begrepen kon worden als een synthese van deze eenvoudigere, op priemgetallen gebaseerde componenten, wat een fris perspectief biedt op de fundamentele aard van de realiteit. Het onderzoek blijft een testament aan de kracht van het verkennen van onconventionele wiskundige paden om diepere waarheden over de fysieke wereld te vinden.