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Hidden Singularity and Fractal Dimensions for Extended Harper Operators

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि शून्य-माप शासन (zero-measure regime) में विस्तारित हार्पर ऑपरेटरों (extended Harper operators) के स्पेक्ट्रा में परिमित $1/2$ -आयामी हाडॉर्फ माप (Hausdorff measure) होता है और इनका निचला बॉक्स आयाम (lower box dimension) अधिकतम $1/2$ है (समदैशिक क्रांतिक सीमा पर $1/3$ तक सुधर जाता है), जो इन ऑपरेटरों को विशिष्ट सिंगुलर जैकोबी प्रतिनिधियों (singular Jacobi representatives) में मैप करने के लिए यूनिटरी रूपांतरणों के एक परिवार का उपयोग करके किया गया है, जिससे विशिष्ट अंतराल आवरणों (interval covers) का निर्माण संभव होता है जो इन फ्रैक्टल आयाम सीमाओं को प्राप्त करते हैं और उन मामलों को प्रदर्शित करते हैं जहाँ बॉक्स-काउंटिंग आयाम का अस्तित्व विफल हो जाता है।

मूल लेखक: Simon Becker, Svetlana Jitomirskaya, Igor Krasovsky

प्रकाशित 2026-10-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Simon Becker, Svetlana Jitomirskaya, Igor Krasovsky

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम दुनिया में, इलेक्ट्रॉन केवल एक पाइप में बहते पानी की तरह तार के माध्यम से नहीं चलते; वे परमाणुओं के एक ग्रिड, एक सूक्ष्म जाली (लैटिस) के माध्यम से चलते हैं। जब इस ग्रिड के लंबवत एक चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन का पथ उस अदृश्य बल द्वारा मुड़ जाता है, जिससे अनुमत और निषिद्ध ऊर्जा स्तरों का एक जटिल पैटर्न बन जाता है। यह पैटर्न, जिसे स्पेक्ट्रम कहा जाता है, इस बात का मानचित्र है कि इलेक्ट्रॉन कहाँ अस्तित्व में रह सकता है और कहाँ नहीं। दशकों से, भौतिकविदों ने इस व्यवहार के एक विशिष्ट मॉडल का अध्ययन किया है, जिसे हार्पर मॉडल (Harper model) के रूप में जाना जाता है, जो पड़ोसी परमाणुओं के बीच कूदते (hopping) हुए एक इलेक्ट्रॉन का वर्णन करता है। इस मॉडल ने हॉफ़स्टैडर बटरफ्लाई (Hofstadter butterfly) नामक एक आश्चर्यजनक फ्रैक्टल संरचना को प्रकट किया, एक ऐसा आकार जो छोटे और छोटे स्तरों पर खुद को दोहराता है, जो यह संकेत देता है कि इलेक्ट्रॉन का ऊर्जा परिदृश्य एक साधारण रेखा या ठोस ब्लॉक की तुलना में कहीं अधिक जटिल है। हालाँकि, प्रकृति शायद ही कभी केवल निकटतम पड़ोसियों तक सीमित होती है। इलेक्ट्रॉन दूर स्थित परमाणुओं तक भी कूद सकते हैं, जिसे 'नेक्स्ट-नियर-नेबर' हॉपिंग (next-nearest neighbor hopping) नामक घटना के रूप में जाना जाता है। जब इस अतिरिक्त गति को शामिल किया जाता है, तो यह मॉडल 'एक्सटेंडेड हार्पर मॉडल' बन जाता है, जो एक अधिक यथार्थवादी लेकिन हल करने में काफी कठिन पहेली है। प्रश्न जो लंबे समय से बना हुआ है वह केवल यह नहीं है कि इस ऊर्जा मानचित्र का आकार कैसा दिखता है, बल्कि यह है कि यह कितना "मोटा" या "सघन" है। गणित में, इसे आयाम (dimension) द्वारा मापा जाता है। एक ठोस रेखा का आयाम एक होता है, एक सपाट सतह का आयाम दो होता है, लेकिन एक फ्रैक्टल का आयाम इन दोनों के बीच कहीं भी हो सकता है, जैसे कि 1.5, जो एक ऐसी संरचना को दर्शाता है जो एक रेखा से अधिक जटिल है लेकिन एक सतह को नहीं भरती है।

गणितज्ञों की एक टीम ने अब इस विस्तारित मॉडल की ज्यामिति को अभूतपूर्व सटीकता के साथ मैप किया है, जिससे यह पता चला है कि ऊर्जा स्पेक्ट्रम न केवल एक फ्रैक्टल है, बल्कि एक विशिष्ट, आश्चर्यजनक रूप से कम मोटाई वाला भी है। उन्होंने एक ऐसे शासन (regime) पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ ऊर्जा स्पेक्ट्रम का कोई क्षेत्रफल नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदुओं का एक ऐसा समूह है जो इतना विरल है कि यदि आप इसकी लंबाई मापने का प्रयास करेंगे, तो आप पाएंगे कि यह शून्य है। यह "जीरो-मेजर" (zero-measure) शासन है, एक रहस्यमय क्षेत्र जहाँ विश्लेषण के मानक तरीके अक्सर विफल हो जाते हैं। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि किसी भी अपरिमेय चुंबकीय फ्लक्स (irrational magnetic flux) के लिए, इस शासन में स्पेक्ट्रम इतना पतला है कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम (Hausdorff dimension) अधिकतम एक-तिहाई (one-half) है। इसे देखने के लिए, कल्पना करें कि एक रेखा को इतनी बार खींचा और मोड़ा गया है कि वह बिंदुओं के बादल में बदल गई है; यह बादल इतना विरल है कि यह एक मानक रेखा की तुलना में कम स्थान घेरता है, फिर भी यह केवल अलग-थलग बिंदुओं का संग्रह नहीं है। टीम ने पाया कि इस बादल का कुल "द्रव्यमान", एक विशिष्ट गणितीय पैमाने के साथ मापा जाए, तो वह परिमित (finite) है। यह परिणाम मापदंडों की एक विस्तृत श्रृंखला में सत्य है, जो पुष्टि करता है कि इलेक्ट्रॉन के पथ की जटिलता पूर्ण द्वि-आयामी आकार में नहीं बदलती है, बल्कि एक बहुत ही पतली, एक-तिहाई-आयामी संरचना तक सीमित रहती है।

यह खोज और भी गहरी हो जाती है जब शोधकर्ताओं ने एक विशेष, सममित मामले का अध्ययन किया जिसे आइसोट्रोपिक क्रिटिकल बाउंड्री (isotropic critical boundary) के रूप में जाना जाता है। यहाँ, इलेक्ट्रॉन की हॉपिंग के नियम इस तरह से पूरी तरह संतुलित हैं जो और भी अधिक चरम शून्यता पैदा करते हैं। इस विशिष्ट परिदृश्य में, स्पेक्ट्रम का आयाम और गिरकर एक-तिहाई (one-third) हो जाता है। इसका अर्थ है कि ऊर्जा मानचित्र और भी विरल है, जो एक ऐसी संरचना जैसा दिखता है जो लगभग अस्तित्व में ही नहीं है। शोधकर्ताओं ने एक नए प्रकार के गणितीय रूपांतरणों को विकसित करके यह उपलब्धि हासिल की। उन्होंने महसूस किया कि इलेक्ट्रॉन की गति का वर्णन करने वाले जटिल समीकरणों को एक सरल, एकल रूप में परिवर्तित किया जा सकता है जहाँ परमाणुओं के बीच के संबंध कुछ बिंदुओं पर लुप्त हो जाते हैं। इन लुप्त होते संबंधों को एक समस्या के रूप में देखने के बजाय, एक विशेषता के रूप में उपयोग करके, वे स्पेक्ट्रम को पूरी तरह से कवर करने वाले ओवरलैपिंग अंतराल (intervals) का निर्माण करने में सक्षम हुए। ये अंतराल अविश्वसनीय रूप से छोटे हैं, और उनका कुल विस्तार तेजी से घटता है जैसे-जैसे गणितीय सन्निकटन (approximation) अधिक सटीक होता जाता है। इस पद्धति ने उन्हें अंतरालों को गिनने और उनके आकार को मापने की अनुमति दी, जिससे आयाम की सख्त ऊपरी सीमाओं को सिद्ध किया जा सका।

इनमें से सबसे उल्लेखनीय निष्कर्ष इस आयाम की प्रकृति के बारे में है। जबकि शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि स्पेक्ट्रम इन छोटे आयामों द्वारा सीमित है, उन्होंने यह भी दिखाया कि कुछ प्रकार के चुंबकीय फ्लक्स के लिए, आयाम एक एकल, स्थिर संख्या नहीं है। इन मामलों में, स्पेक्टम देखने के तरीके के आधार पर अलग व्यवहार करता है। यदि आप इसे एक सेट उपकरणों के साथ मापते हैं, तो आप एक-तिहाई आयाम देख सकते हैं, लेकिन दूसरे के साथ, आप इसे पूर्ण एक देख सकते हैं। इसका अर्थ है कि बॉक्स-काउंटिंग डायमेंशन (box-counting dimension), जो किसी आकार के आकार को मापने का एक मानक तरीका है, इन प्रणालियों के लिए अस्तित्व में नहीं है। आकृति इतनी अनियमित है कि वह अपने स्वयं के आकार की एक एकल परिभाषा देने से इनकार करती है। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह चेतावनी देता है कि केवल संख्यात्मक सिमुलेशन या परिमेय सन्निकटन (rational approximations) पर भरोसा न करें, जो एक स्थिर आयाम का सुझाव दे सकते हैं जहाँ वास्तव में कोई अस्तित्व नहीं है। स्पेक्ट्रम एक छिपा हुआ विलक्षणता (singularity) है, एक ऐसी संरचना जो अनंत रूप से जटिल है और एक एकल संख्या द्वारा बांधे जाने से इनकार करती है, जो निरंतर ज्यामितीय तनाव की स्थिति में रहती है।

यह कार्य पुष्टि करता है कि 'नेक्स्ट-नियर-नेबर' हॉपिंग को जोड़ने से इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा परिदृश्य की नाजुक फ्रैक्टल प्रकृति नष्ट नहीं होती है, बल्कि यह उसे और अधिक परिष्कृत करती है। स्पेक्ट्रम एक 'जीरो-मेजर' सेट बना रहता है, एक काल्पनिक संरचना जो कोई स्थान नहीं घेरती है फिर भी इसमें अनंत सूचना समाहित है। शोधकर्ताओं का प्रमाण कठोर है और प्रत्येक अपरिमेय आवृत्ति पर लागू होता है, जो बिना किसी अपवाद के संपूर्ण 'जीरो-मेजर' शासन को कवर करता है। उन्होंने दिखाया है कि इस मॉडल का ब्रह्मांड सख्त ज्यामितीय नियमों द्वारा शासित है, जहाँ आयाम एक-तिहाई (one-half) द्वारा सीमित है, और सबसे सममित मामलों में, एक-तिहाई (one-third) द्वारा। यह क्वांटम लैटिस की ज्यामिति के बारे में एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न का निर्णायक उत्तर प्रदान करता है, यह प्रकट करते हुए कि सबसे जटिल और विस्तारित मॉडलों में भी, इलेक्ट्रॉन का पथ एक उल्लेखनीय पतली और नाजुक अस्तित्व तक सीमित है। निष्कर्ष यह नहीं बताते कि स्पेक्ट्रम एक ठोस वस्तु या एक साधारण रेखा है, बल्कि एक ऐसी गणितीय इकाई है जो अस्तित्व के बिल्कुल किनारे पर रहती है, जो अपनी अत्यधिक विरलता और मापने के प्रति प्रतिरोध से परिभाषित होती है।

तकनीकी सारांश: विस्तारित हार्पर ऑपरेटरों के लिए छिपी हुई विलक्षणता और फ्रैक्टल आयाम

समस्या विवरण
यह शोध पत्र अप्रमेय आवृत्तियों (irrational frequencies) $\alpha$ के लिए विस्तारित हार्पर मॉडल (EHM) के स्पेक्ट्रम, $\Sigma_{\alpha, \lambda}$ के ज्यामितीय गुणों की जांच करता है। EHM एक वर्गाकार जालक (square lattice) में लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में निकटतम और अगले-निकटतम पड़ोसी होपिंग (hopping) वाले इलेक्ट्रॉन का वर्णन करता है, जो $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ द्वारा पैरामीटराइज्ड है। जबकि EHM के स्पेक्ट्रल प्रकार (एब्सोल्यूटली कंटीन्यूअस, सिंगुलर कंटीन्यूअस, प्योर पॉइंट) अच्छी तरह से समझे गए हैं, शून्य-माप शासन (zero-measure regime) में स्पेक्ट्रा के फ्रैक्टल आयाम अभी भी काफी हद तक अनछुए हैं।

शून्य-माप शासन, जिसे $C_0$ द्वारा दर्शाया गया है, पैरामीटर स्पेस में चार अलग-अलग क्षेत्रों से बना है: तीन क्रिटिकल बाउंड्रीज़ ( $L_I, L_{II}, L_{III}$ ) और एक आइसोट्रोपिक इंटीरियर रीजन ( $I_{iso}$ )। इस डोमेन में एक प्राथमिक चुनौती यह है कि लगभग मैथ्यू ऑपरेटर (AMO) के लिए मानक विधियाँ अक्सर विफल हो जाती हैं क्योंकि इसमें गैर-तुच्छ स्व-द्वैत (self-dual) क्षेत्र ( $L_{II}$ ) और उन स्थानों की उपस्थिति होती है जहाँ होपिंग गुणांक शून्य हो जाते हैं। विशेष रूप से, लेखक यह निर्धारित करने का लक्ष्य रखते हैं कि इन स्पेक्ट्रा का हॉसडॉर्फ आयाम ( $\dim_H$ ), लोअर और अपर बॉक्स आयाम ( $\underline{\dim}_B, \overline{\dim}_B$ ), और पैकिंग आयाम ( $\dim_P$ ) क्या है, और यह भी कि क्या बॉक्स-काउंटिंग आयाम अस्तित्व में है।

कार्यप्रणाली
लेखक अपने पिछले कार्य [5] में क्रिटिकल AMO के लिए विकसित 'स्पेक्ट्रल कवर विधि' को EHM के संपूर्ण शून्य-माप शासन के लिए विस्तारित करते हैं। कार्यप्रणाली तीन मुख्य चरणों में आगे बढ़ती है:

सिंगुलर जैकोबी ऑपरेटरों में न्यूनीकरण:
मुख्य तकनीकी नवाचार सिंगुलर जैकोबी ऑपरेटरों के रूप में EHM ऑपरेटरों को स्पेक्ट्रली समतुल्य बनाने के लिए यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन का निर्माण है।
- क्षेत्रों $L_I$ और $L_{III}$ के लिए, मानक ऑब्रे ड्युअलिटी (Aubry duality) या प्रत्यक्ष अवलोकन विलक्षणता (singularity) को प्रकट करता है।
- स्व-द्वैत त्रिकोण $L_{II}$ के लिए, लेखक एक "चिरल-प्रकार" (chiral-type) डायगोनल फेज गेज ट्रांसफॉर्म (लेम्मा 2.3) पेश करते हैं। यह ट्रांसफॉर्म ऑपरेटर $H_{\alpha, \theta, (a, 1, b)}$ को एक सिंगुलर प्रतिनिधि $H_{\alpha, \theta, (r_+, \Lambda, r_-)}$ में मैप करता है जहाँ होपिंग गुणांक एक विशिष्ट बिंदु पर शून्य हो जाता है।
- आइसोट्रोपिक क्षेत्र $I_{сто}$ के लिए, विलक्षणता मूल मॉडल में अंतर्निहित है।
  यह न्यूनीकरण उन तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है जो विशेष रूप से सिंगुलर मैट्रिसेस के लिए डिज़ाइन की गई हैं, जहाँ होपिंग गुणांक $b(x)$ का एक शून्य होता है।
स्पेक्ट्रल कवर निर्माण:
सिंगुलर जैकोबी रूप का उपयोग करते हुए, लेखक ऑपरेटर को आकार $N \in \{q_n, q_{n-1}\}$ के परिमित ब्लॉक्स $B_N(x)$ में विभाजित करते हैं, जहाँ $q_n, \alpha$ के कैनोनिकल कंटीन्यूड फ्रैक्शन एप्रोक्सिमेंट्स के डिनोमिनेटर्स हैं। अनंत ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम छोटे नॉर्म वाले रैंक-2 मैट्रिसेस द्वारा विचलित (perturbed) ब्लॉक्स के स्पेक्ट्रा के यूनियन द्वारा कवर किया जाता है।
- इन स्पेक्ट्रल कवर्स की कुल लंबाई को बांधने के लिए, लेखक विशिष्ट मैट्रिसेस $K(x)$ का निर्माण करते हैं ताकि कम्यूटेटर टर्म $E(x) = \frac{d}{dx}B(x) - [K(x), B(x)]$ का रैंक और नॉर्म सीमित (bounded) रहे।
- सामान्य क्रिटिकल बाउंड्रीज़ ( $L_I, L_{II}, L_{III}$ ) और आइसोट्रोपिक बाउंड्री ( $B_{iso}$ ) के लिए $K$ और $E$ के स्पष्ट निर्माण प्रदान किए गए हैं।
आयाम अनुमान:
निर्मित कवर्स में $O(q_n)$ अंतराल शामिल हैं जिनकी कुल लंबाई $O(q_n^{-\kappa})$ है।
- सामान्य $\lambda \in C_0$ के लिए, कुल लंबाई $O(q_n^{-1})$ के रूप में स्केल करती है, जिसका अर्थ है $\kappa=1$ ।
- आइसोट्रोपिक क्रिटिकल बाउंड्री $B_{iso}$ पर, कुल लंबाई $O(q_n^{-2})$ के रूप में स्केल करती है, जिसका अर्थ है $\kappa=2$ ।
  इन स्केलिंग अनुमानों को प्रोपोज़िशन 3.1 में फीड किया जाता है ताकि हॉसडॉर्फ और बॉक्स आयामों के लिए ऊपरी सीमाएँ प्राप्त की जा सकें।

प्रमुख योगदान और परिणाम

हॉसडॉर्फ आयाम सीमाएँ:
लेखक सिद्ध करते हैं कि प्रत्येक अप्रमेय $\alpha$ और प्रत्येक $\lambda \in C_0$ के लिए:
$\dim_H \Sigma_{\alpha, \lambda} \leq \frac{1}{2}$
इसके अतिरिक्त, $1/2$ -डायमेंशनल हॉसडॉर्फ मेजर (measure) परिमित है। आइसोट्रोपिक क्रिटिकल बाउंड्री $B_{iso}$ पर, यह सीमा सुधरकर निम्न हो जाती है:
$\dim_H \Sigma_{\alpha, \lambda} \leq \frac{1}{3}$
यह परिणाम थौलेस अनुमान (जो मूल रूप से AMO के लिए था) की पुष्टि करता है और बिना किसी अंकगणितीय प्रतिबंध के व्यापक EHM परिवार के लिए इसे मजबूत करता है।
बॉक्स-काउंटिंग आयाम सीमाएँ:
अपर बॉक्स डायमेंशन $\alpha$ के अंकगणितीय गुणों, विशेष रूप से लिउविल एक्सपोनेंट $\tau(\alpha) = \limsup \frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}$ द्वारा सीमित है:
$\overline{\dim}_B \Sigma_{\alpha, \lambda} \leq \frac{\tau(\alpha)}{1 + \tau(\alpha)}$
$B_{iso}$ पर, यह सुधरकर $\frac{\tau(\alpha)}{2 + \tau(\alpha)}$ हो जाता है। लगभग सभी (Lebesgue almost every) $\alpha$ के लिए (जहाँ $\tau(\alpha)=1$ ), ये सीमाएँ क्रमशः $1/2$ और $1/3$ प्रदान करती हैं।
बॉक्स-काउंटिंग आयाम का अस्तित्व न होना:
एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि कमजोर लिउविल आवृत्तियों ( $\beta(\alpha) > 0$ ) और विशिष्ट मापदंडों (जिसमें क्रिटिकल AMO और ट्रायंगुलर मॉडल शामिल हैं) के लिए, लोअर बॉक्स डायमेंशन पैकिंग डायमेंशन से स्पष्ट रूप से कम है:
$\underline{\dim}_B \Sigma_{\alpha, \lambda} \leq \frac{1}{2} < 1 = \dim_P \Sigma_{\alpha, \lambda} = \overline{\dim}_B \Sigma_{\alpha, \lambda}$
परिणामस्वरूप, इन मामलों में बॉक्स-काउंटिंग डायमेंशन (बॉक्स डायमेंशन का सीमा) अस्तित्व में नहीं है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि वे शून्य-माप शासन में EHM के फ्रैक्टल आयामों का वैश्विक और पूर्ण लक्षण वर्णन प्रदान करते हैं। प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में निहित है:

विलक्षणता को पार करना: $L_{II}$ क्षेत्र के लिए "चिरल ट्रांसफॉर्म" विधि को सफलतापूर्वक विस्तारित करना, जो एक छिपी हुई विलक्षणता को "अनलॉक" करती है, जिससे उन ऑपरेटरों पर सिंगुलर जैकोबी तकनीकों का उपयोग संभव हो पाता है जो स्वाभाविक रूप से सिंगुलर नहीं हैं।
अंकगणितीय स्वतंत्रता: यह स्थापित करना कि आयाम सीमाएँ $\alpha$ के अंकगणितीय गुणों को स्पष्ट रूप से ध्यान में रखते हुए प्रत्येक अप्रमेय आवृत्ति के लिए मान्य हैं, न कि केवल लगभग सभी के लिए।
स्केलिंग का परिशोधन: यह प्रदर्शित करना कि आइसोट्रोपिक क्रिटिकल बाउंड्री, जेनेरिक क्रिटिकल बाउंड्रीज़ ( $1/2$ ) की तुलना में एक अलग स्केलिंग व्यवहार प्रदर्शित करती है (जिससे $1/3$ डायमेंशन बाउंड प्राप्त होता है), जिसका कारण होपिंग गुणांक का उच्च-क्रम का शून्य (higher-order zero) है।
आयाम परिभाषाओं का स्पष्टीकरण: इस शासन में हॉसडॉर्फ, पैकिंग और बॉक्स-काउंटिंग डायमेंशनों के बीच के अंतर को उजागर करना, और चेतावनी देना कि संख्यात्मक सन्निकटन (numerical approximations) या परिमेय एप्रोक्सिमेंट्स एक ऐसा डायमेंशन सुझा सकते हैं जो स्पेक्ट्रम के वास्तविक बॉक्स-काउंटिंग डायमेंशन के अनुरूप नहीं है।

लेखक उल्लेख करते हैं कि उनके परिणाम बिना किसी लघुता धारणा (smallness assumptions) या मापदंडों पर प्रतिबंध के प्राप्त किए गए हैं, जो पूरी तरह से मॉडल के संरचनात्मक गुणों और आवृत्ति के अंकगणित पर निर्भर हैं। वे यह भी उल्लेख करते कि समान फ्रैक्टल डायमेंशन परिणाम क्वांटम ग्राफ ग्रेफीन में भी लागू होते हैं, जो इन संबंधित जालक मॉडलों में इन स्पेक्ट्रल ज्यामितीय गुणों की मजबूती का सुझाव देते हैं।

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