Using topology to reveal all mutually unbiased bases in dimension six
कॉम्प्लेक्स हैडामार्ड मैट्रिसेस की टोपोलॉजिकल कनेक्टेडनेस और इंटरवल अंकगणित का लाभ उठाते हुए, यह शोध पत्र आयाम छह में सभी परस्पर निष्पक्ष आधारों (म्युचुअली अनबायस्ड बेसिस) को वर्गीकृत करता है, और यह सिद्ध करता है कि ऐसे चार आधारों का कोई सेट अस्तित्व में नहीं है।
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क्वांटम दुनिया में, किसी प्रणाली (सिस्टम) को मापने का तरीका उतना ही मौलिक है जितना कि वह प्रणाली स्वयं है। एक घूमते हुए सिक्के का वर्णन करने की कल्पना करें। यदि आप इसे ऊपर से देखते हैं, तो आपको स्पष्ट रूप से 'हेड्स' या 'टेल्स' दिखाई देता है। यदि आप इसे बगल से देखते हैं, तो आपको गति का एक धुंधलापन दिखाई देता है। क्वांटम भौतिकी में, ये माप के विभिन्न "आधारों" (bases) की तरह हैं। 'म्युचुअली अनबायस्ड बेसिस' (mutually unbiased basis) नामक एक विशेष प्रकार का माप सेटअप यह सुनिश्चित करता है कि यदि आप एक माप के परिणाम के बारे में पूरी तरह से आश्वत हैं, तो आपके पास दूसरे माप के परिणाम के बारे में शून्य जानकारी है। यह दृष्टिकोणों के बीच पूर्ण अज्ञानता की स्थिति है। उन प्रणालियों के लिए जिनमें अवस्थाओं (states) की संख्या एक अभाज्य संख्या (prime number) या एक अभाज्य की घात है, भौतिकविदों को ठीक से पता होता है कि ऐसे कितने पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण अस्तित्व में हो सकते हैं। लेकिन छह अवस्थाओं वाले सिस्टम के लिए, उत्तर तीस वर्षों से अधिक समय से एक जिद्दी रहस्य बना हुआ है।
द दशकों तक, शोधकर्ता जानते थे कि छह-अवस्था वाले सिस्टम में ऐसे तीन दृष्टिकोण कैसे खोजे जाते हैं, लेकिन वे यह सिद्ध नहीं कर सके कि क्या चौथी एक कभी अस्तित्व में हो सकती है। यह प्रश्न क्वांटम सूचना की सीमाओं को समझने के केंद्र में है, जिसके डेटा को सुरक्षित करने और प्रकृति के मौलिक नियमों का परीक्षण करने के तरीकों पर निहितार्थ हैं। हाल ही में, शोधकर्ताओं की एक टीम ने टोपोलॉजी—आकृतियों और स्थानों के अध्ययन—को कठोर कंप्यूटर सत्यापन के साथ संयोजित करने वाले एक नए दृष्टिकोण का उपयोग करके इस मामले को सुलझा लिया। उन्होंने इन मापों को सहारा देने वाले संभावित गणितीय संरचनाओं के संपूर्ण परिदृश्य का मानचित्रण किया और पाया कि यह स्थान हमारी कल्पना से कहीं अधिक सीमित है। उनका कार्य सिद्ध करता है कि छह-अवस्था वाले क्वांटम सिस्टम में, तीन से अधिक 'म्युचुअली अनबायस्ड बेसिस' होना असंभव है।
शोधकर्ताओं ने जटिल हैडामार्ड मैट्रिसेस (complex Hadamard matrices) की भाषा में इन माप दृष्टिकोणों को खोजने की समस्या को अनुवादित करके शुरुआत की। ये संख्याओं के विशेष ग्रिड हैं जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का आकार एक होता है, और कॉलम एक-दूसरे के विरुद्ध पूरी तरह से संतुलित होते हैं। एक नया माप दृष्टिकोण खोजना एक नए मैट्रिक्स को खोजने के समान है जो मौजूदा मैट्रिसेस के साथ पूरी तरह फिट बैठता हो। तीस वर्षों तक, वैज्ञानिकों ने इन मैट्रिसेस की खोज की, उन्होंने उनके कई परिवारों को पाया, लेकिन वे कभी भी आश्वस्त नहीं हो सके कि उन्होंने सभी संभावनाओं को खोज लिया है। कुछ मैट्रिसेस अकेले खड़े प्रतीत होते थे, जबकि अन्य निरंतर परिवारों के रूप में थे जिन्हें एक दूसरे में सुचारू रूप से परिवर्तित किया जा सकता था। प्रश्न यह था कि क्या इनमें से किसी को भी चार के सेट बनाने के लिए विस्तारित किया जा सकता है।
इसे हल करने के लिए, टीम ने सभी संभावित मैट्रिसेस के संग्रह को एक एकल, निरंतर आकार के रूप में माना। उन्होंने पाया कि इन मैट्रिसेस में से लगभग सभी, केवल एक बहुत ही विशिष्ट और अलग प्रकार को छोड़कर, एक जुड़ा हुआ स्थान (connected space) बनाते हैं। इसका अर्थ है कि आप इस समूह के भीतर किसी भी एक मैट्रिक्स से दूसरे मैट्रिक्स तक छोटे, निरंतर परिवर्तनों के माध्यम से यात्रा कर सकते हैं, बिना कभी किसी डेड एंड या अंतराल से टकराए। यही जुड़ाव (connectedness) कुंजी था। इसने शोधकर्ताओं को संभावनाओं के विशाल, अनंत स्थान को प्रबंधनीय ओवरलैपिंग क्षेत्रों में विभाजित करने की अनुमति दी, जैसे कि ग्लोब को मानचित्र के सीमित पैच से ढंकना। उन्होंने 2,775 ऐसे पैच बनाए, जिनमें से प्रत्येक एक विशिष्ट गणितीय बीज (seed) पर केंद्रित था, और 'इंटरवल अंकगणित' (interval arithmetic) का उपयोग किया—एक ऐसी विधि जो गणना में होने वाली प्रत्येक संभावित राउंडिंग त्रुटि को ट्रैक करती है—यह सत्यापित करने के लिए कि ये पैच बिना एक भी बिंदु छोड़े पूरे स्थान को कवर करते हैं।
प्रत्येक पैच के भीतर, टीम ने एक विस्तृत खोज की यह देखने के लिए कि क्या चौथा माप दृष्टिकोण मौजूद हो सकता है। उन्होंने उन विशिष्ट गणितीय शर्तों की तलाश की जो तीन आधारों के सेट में चौथा आधार जोड़ने के लिए आवश्यक थीं। उन्होंने प्रत्येक पैच की जांच की जिसे उन्होंने परखा, गणित ने दिखाया कि ऐसा चौथा आधार नहीं बनाया जा सकता था। यह खोज व्यापक थी और पूर्ण निश्चितता सुनिश्चित करने के लिए स्वतंत्र कंप्यूटर प्रोग्रामों द्वारा सत्यापित की गई थी। उन्होंने पाया कि तीन आधारों का प्रत्येक सेट दो ज्ञात प्रकारों में से एक का संबंध रखता है: एक निरंतर परिवार जिसे दो बदलते मापदंडों (parameters) द्वारा वर्णित किया जा सकता है, या एक मानक फूरियर पैटर्न से निर्मित एक एकल, अलग सेट। महत्वपूर्ण रूप से, इनमें से कोई भी प्रकार चार के आधार को शामिल करने के लिए विस्तारित नहीं किया जा सकता है।
परिणाम छह आयामों में सभी संभावित 'म्युअली अनबायस्ड बेसिस' का एक पूर्ण वर्गीकरण है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि अधिकतम संख्या ठीक तीन है। यह एक लंबे समय से चले आ रहे अनुमान की पुष्टि करता है जिसने दशकों तक क्षेत्र को उलझन में डाला था। यह क्वांटम दुनिया में एक आश्चर्यजनक कठोरता को भी प्रकट करता है: जबकि पूरक मापों का एक जोड़ा काफी लचीलापन प्रदान करता है, जिससे एक को दूसरे में सुचारू रूप से विकृत किया जा सकता है, तीसरे माप को जोड़ने से सिस्टम एक बहुत ही विशिष्ट संरचना में लॉक हो जाता है। चौथे को जोड़ना बस असंभव है। यह खोज क्वांटम सूचना सिद्धांत के एक प्रमुख अध्याय को बंद करती है, छह आयाम को उस पहले गैर-प्राइम-पावर आयाम के रूप में स्थापित करती है जहाँ इन मापों की सीमाओं का पूर्ण सेट ज्ञात है। यह दिखाता है कि ब्रह्मांड, अपने सबसे छोटे क्वांटम विवरणों में भी, इस बात पर सख्त सीमाएं रखता है कि हम इसे कितने पूरी तरह से अलग तरीकों से देख सकते हैं।
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