Nonlocal magic of fermions is bounded by entanglement fluctuations and is logarithmic for free fermions
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि जबकि मुक्त-फर्मिअन अवस्थाएं गॉसियन प्रतिबंधों के तहत व्यापक गैर-स्थानीय जादू (nonlocal magic) रखने वाली प्रतीत होती हैं, उनका वास्तविक गैर-स्थानीय जादू वास्तव में स्थानीय है और एंटैंगलमेंट उतार-चढ़ाव द्वारा लघुगणकीय रूप से सीमित है, क्योंकि सामान्य गैर-गॉसियन यूनिटरीज उन्हें कुशलतापूर्वक फर्मिओनिक बेल युग्मों (fermionic Bell pairs) में परिवर्तित कर सकती हैं।
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क्वांटम कंप्यूटर उन समस्याओं को हल करने का वादा करते हैं जिन्हें हल करने में साधारण मशीनों को हजारों साल लग सकते हैं, लेकिन उन्हें बनाना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। सबसे बड़ी बाधाओं में से एक यह है कि ये मशीनें नाजुक होती हैं; जरा सा भी व्यवधान गणना को खराब कर सकता है। इससे बचने के लिए, वैज्ञानिक एक विशेष प्रकार के त्रुटि सुधार (error correction) का उपयोग करते हैं जो "मैजिक" (जादू) नामक एक संसाधन पर निर्भर करता है। क्वांटम भौतिकी की भाषा में, यह जादू या तंत्र-मंत्र को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि एक विशिष्ट प्रकार की जटिलता को संदर्भित करता है जो एक कंप्यूटर को ऐसे कार्य करने की अनुमति देती है जिन्हें सरल, स्थिर सर्किट नहीं कर सकते। यदि किसी क्वांटम अवस्था में इस संसाधन की कमी है, तो इसे एक मानक लैपटॉप द्वारा आसानी से सिम्युलेट किया जा सकता है। यदि इसमें बहुत अधिक है, तो यह गणना के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बन जाता है, लेकिन साथ ही इसे नियंत्रित करना एक दुःस्वप्न भी है।
मुक्त-फर्मियन अवस्थाओं (free-fermion states) के रूप में जानी जाने वाली क्वांटम अवस्थाओं का एक प्रमुख वर्ग, एक भ्रमित करने वाले मध्य मार्ग में स्थित है। ये अवस्थाएं बिना एक-दूसरे के साथ परस्पर क्रिया (interact) किए चलते हुए कई इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करती हैं, एक ऐसी स्थिति जिसे भौतिक विज्ञानी शास्त्रीय कंप्यूटरों के साथ पूरी तरह से मॉडल कर सकते हैं। फिर भी, जब वैज्ञानिक इन अवस्थाओं को क्यूबिट्स (qubits)—जो सूचना की बुनियादी इकाइयाँ हैं—की भाषा में अनुवादित करते हैं, तो वे इस "मैजिक" की एक विशाल मात्रा ले जाते हुए प्रतीत होते हैं। यह एक पहेली पैदा करता है: यदि ये अवस्थाएं इतनी आसान हैं, तो वे इतनी जटिल क्यों दिखती हैं? उत्तर इस बात में निहित है कि हम उन्हें कैसे देखते हैं। एक क्वांटम प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, और "मैजिक" या तो प्रत्येक भाग के भीतर या उनके बीच के संबंध में संग्रहीत किया जा सकता है। संबंध, जिसे एंटैंगलमेंट (entanglement) कहा जाता है, वही स्थान है जहाँ वास्तव में कठिन-से-सिम्युलेट होने वाला, गैर-स्थानीय (nonlocal) मैजिक निवास करता है।
उत्तरी कैरोलिना स्टेट यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं ने अब मुक्त-फर्मियन अवस्थाओं के लिए इस पहेली को सुलझा लिया है। उन्होंने पाया कि इन प्रणालियों में दिखने वाला लगभग सारा मैजिक वास्तव में स्थानीय (local) है, जिसका अर्थ है कि यह प्रणाली के व्यक्तिगत भागों के भीतर फंसा हुआ है और इसे सरल ऑपरेशनों द्वारा हटाया जा सकता है। बचा हुआ थोड़ा सा मैजिक, जो वास्तव में दोनों भागों के बीच साझा किया गया है, पहले की तुलना में बहुत कम है। टीम ने पाया कि यदि आपको किसी भी ऐसे ऑपरेशन का उपयोग करने की अनुमति दी जाती है जो कण भौतिकी के मौलिक नियमों का सम्मान करता है, तो गैर-स्थानीय मैजिक जैसे-जैसे प्रणाली बड़ी होती है, बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है। कणों की संख्या के सीधे अनुपात में बढ़ने के बजाय, यह लॉगरिदमिक (logarithmically) रूप से बढ़ता है। इसका अर्थ यह है कि एक हजार उलझे हुए जोड़ों (entangled pairs) वाली प्रणाली के लिए, गैर-स्थानीय मैजिक एक सौ जोड़ों वाली प्रणाली के लगभग बराबर है, न कि दस गुना बड़ा।
इस खोज की कुंजी क्वांटम सूचना को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीके को समझने में थी। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि एक विशिष्ट प्रकार के स्थानीय ऑपरेशन को लागू करके—एक रोटेशन और उसके बाद संभावित कण विन्यासों (configurations) की पुनर्व्यवस्था—एक जटिल मुक्त-फर्मियन अवस्था को सरल, पूर्णतः उलझे हुए जोड़ों, जिन्हें बेल पेयर्स (Bell pairs) कहा जाता है, के संग्रह में बदला जा सकता है। बेल पेयर्स क्वांटम जुड़ाव का स्वर्ण मानक हैं। अध्ययन ने सिद्ध किया कि जबकि पुराने तरीके, जो ऑपरेशनों के एक संकीर्ण सेट तक सीमित थे, इसमें कुशलतापूर्वक विफल रहे और प्रणाली को अत्यधिक जटिल दिखाते रहे, नया और अधिक लचीला तरीका उच्च सटीकता के साथ सफल होता है। इस रूपांतरण की सफलता दर प्रणाली के आकार के वर्गमूल (square root) के रूप में ही गिरती है, जो कि एक बहुत ही धीमी गिरावट है, जबकि पुराने तरीकों में सफलता दर तेजी से (exponentially) गिर जाती थी।
यह अंतर क्वांटम अवस्था के आंतरिक ऊर्जा स्तरों के सांख्यिकीय प्रसार में निहित है। शोधकर्ताओं ने इस प्रसार को 'एंटैंगलमेंट की क्षमता' (capacity of entanglement) नामक मात्रा का उपयोग करके मापा, जो एक थर्मामीटर की तरह कार्य करता है कि क्वांटम सूचना कितनी उतार-चढ़ाव करती है। उन्होंने पाया कि मुक्त-फर्मियन अवस्थाओं के लिए, यह क्षमता कणों की संख्या के साथ केवल रैखिक (linearly) रूप से बढ़ती है। चूंकि गैर-स्थानीय मैजिक इस क्षमता द्वारा सीमित है, इसलिए मैजिक तेजी से नहीं बढ़ सकता। इसके विपरीत, पुराने, प्रतिबंधित तरीकों ने इस सांख्यिकीय वास्तविकता को अनदेखा किया और माना कि मैजिक बहुत अधिक है। नया, अधिक लचीला तरीका सफलतापूर्वक काम करता है। ये नए निष्कर्ष रसायन विज्ञान और पदार्थ विज्ञान में उपयोग की जाने वाली कई महत्वपूर्ण अवस्थाओं पर लागू होते हैं, जैसे कि सुपरकंडक्टर्स या धातुओं में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार का वर्णन करने वाली अवस्थाएं।
इसके निहितार्थ क्वांटम कंप्यूटिंग के भविष्य के लिए महत्वपूर्ण हैं। चूंकि अधिकांश सामान्य अवस्थाओं का मैजिक स्थानीय है, इसलिए इसे उन क्षेत्रों के भीतर किए गए ऑपरेशनों द्वारा हटाया जा सकता है, जिससे उनके बीच का संबंध बहुत सरल, कम "मैजिकल" हो जाता है। यह सुझाव देता है कि एक फॉल्ट-टोलरेंट क्वांटम कंप्यूटर पर इन अवस्थाओं को तैयार करने की कम्प्यूटेशनल लागत, पहले के अनुमानों की तुलना में बहुत कम है, बशर्ते कि कंप्यूटर आवश्यक पुनर्व्यवस्था (reshuffling) संचालन करने में सक्षम हो। शोधकर्ताओं ने यह भी नोट किया कि यह परिणाम तब भी सत्य रहता है जब प्रणाली को दो क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है, जब तक कि प्रत्येक क्षेत्र में किए गए ऑपरेशन इस नियम का सम्मान करते हैं कि कणों की कुल संख्या सम (even) या विषम (odd) रहनी चाहिए। यह नियम, जिसे पैरिटी सुपरसिलेक्शन (parity superselection) कहा जाता है, फर्मिओनिक प्रणालियों में एक मौलिक बाधा है, और टीम ने दिखाया कि इसमें अतिरिक्त संसाधनों के रूप में बहुत कम लागत आती है।
हालांकि यह अध्ययन गैर-परस्पर क्रिया करने वाले कणों (non-interacting particles) पर केंद्रित है, लेकिन विकसित किए गए गणितीय उपकरण इतने सामान्य हैं कि वे अधिक जटिल, परस्पर क्रिया करने वाले (interacting) प्रणालियों पर भी लागू हो सकते हैं। शोधकर्ताओं ने अपने विचारों का परीक्षण परस्पर क्रिया करने वाली श्रृंखलाओं के सिम्युलेटेड ग्राउंड स्टेट्स पर किया और पाया कि समान सिद्धांत वहां भी लागू होते हैं, हालांकि सटीक संख्याएं निर्धारित करना कठिन था। उन्होंने यह भी रेखांकित किया कि उनके द्वारा प्रस्तावित पुनर्व्यवस्था (reshuffling) संचालन शक्तिशाली तो हैं, लेकिन उन्हें अभी तक एक भौतिक क्वांटम कंप्यूटर में बनाना आसान नहीं है, क्योंकि उनके लिए ऐसे सर्किट की आवश्यकता होती है जो स्वयं जटिल हैं। फिर भी, यह कार्य एक स्पष्ट मानचित्र प्रदान करता है कि कठिनाई कहाँ निहित है। यह दिखाता है कि क्वांटम अवस्थाओं के एक विशाल वर्ग के लिए, वास्तविक बाधा प्रणाली का आकार नहीं है, बल्कि सूचना के वितरण का विशिष्ट तरीका है। यह समझकर कि गैर-स्थानीय मैजिक एंटैंगलमेंट स्पेक्ट्रम के उतार-चढ़ाव द्वारा सीमित है, वैज्ञानिक बेहतर ढंग से भविष्यवाणी कर सकते हैं कि कौन सी क्वांटम अवस्थाएं संभालना आसान होगा और किन्हें एक पूर्ण क्वांटम मशीन की आवश्यकता होगी।
अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि मुक्त फर्मियन्स का "मैजिक" काफी हद तक एक भ्रम है जो गलत उपकरणों के साथ प्रणाली को देखने से उत्पन्न होता है। जब सामान्य, पैरिटी-सम्मान करने वाले ऑपरेशनों के लेंस से देखा जाता है, तो प्रणाली आश्चर्यजनक रूप से सरल प्रकट होती है। गैर-स्थानीय मैजिक, जो वास्तव में क्वांटम लाभ के लिए मायने रखता है, छोटा है और बहुत धीरे बढ़ता है। यह अंतर्दृष्टि स्पष्ट करती है कि क्या सिम्युलेट करना आसान है और क्या कठिन है, जो भविष्य के क्वांटम एल्गोरिदम के लिए एक अधिक सटीक लक्ष्य प्रदान करती है। यह सुझाव देता है कि जिन अवस्थाओं का हम क्वांटम रसायन विज्ञान सिमुलेशन के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में उपयोग करते हैं, वे उतनी संसाधन-गहन नहीं हैं जितनी वे दिखाई देती थीं, बशर्ते कि हम उन्हें सही ढंग से पुनर्व्यवस्थित करना जानते हों। यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि इसने परस्पर क्रिया करने वाले फर्मियॉन्स की समस्या को हल कर दिया है, लेकिन यह किसी भी अवस्था (चाहे वह इंटरैक्टिंग हो या नहीं) के लिए गैर-स्थानीय मैजिक पर एक सख्त ऊपरी सीमा निर्धारित करता है। यह क्वांटम अवस्थाओं की कठिनाई को मापने का एक नया, मात्रात्मक तरीका प्रदान करता है, जो अस्पष्ट अनुमानों से आगे बढ़कर प्रणाली के मौलिक सांख्यिकी से प्राप्त ठोस सीमाओं तक ले जाता है।
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