Modular Hamiltonian and Typicality of Degenerate States

ब्रह्मांड के शांत कोनों में, एक तारे के ठंडा होने से लेकर एक तार में बिजली के प्रवाह तक, पदार्थ संतुलन की एक अवस्था में स्थिर होने की प्रवृत्ति रखता है जिसे तापीय साम्यावस्था (thermal equilibrium) कहा जाता है। एक सदी से अधिक समय से, भौतिकविदों ने समझा है कि जब कोई प्रणाली इस संतुलन तक पहुँच जाती है, तो इसके कण ऊर्जा वितरण के एक अनुमानित पैटर्न का पालन करते हैं, ठीक वैसे ही जैसे लोगों की एक भीड़ एक कमरे में समान रूप से फैल जाती है। यह व्यवहार इतना विश्वसनीय है कि यह ऊष्मागतिकी (thermodynamics) का आधार बनता है। हालाँकि, एक गहरा प्रश्न लंबे समय से वैज्ञानिकों को परेशान कर रहा है: कैसे एक एकल, अलग-थलग क्वांटम प्रणाली, जो वास्तव में अपना अतीत कभी नहीं भूलती, ऐसा दिखने में सक्षम होती है जैसे कि वह सब कुछ भूल गई हो और इस शांत अवस्था में स्थिर हो गई हो? इसका उत्तर 'आइजनस्टेट टिपिकैलिटी' (eigenstate typicality) नामक एक अवधारणा में निहित है। यह विचार सुझाव देता है कि यदि आप एक बड़े, जटिल क्वांटम सिस्टम के एक छोटे से हिस्से को देखते हैं जो एक विशिष्ट उच्च-ऊर्जा अवस्था में है, तो वह छोटा हिस्सा बिल्कुल वैसा ही व्यवहार करेगा जैसे कि वह एक गर्म, तापीय स्नान (thermal bath) का हिस्सा हो, भले ही पूरा सिस्टम पूरी तरह से अलग-थलग और ठंडा हो। यह ऐसा है जैसे शेष ब्रह्मांड उस छोटे हिस्से के लिए एक हीट बाथ के रूप में कार्य करता है, केवल इसलिए क्योंकि कण एक-दूसरे के साथ उलझे (entangled) हुए हैं। यह घटना क्यों महत्वपूर्ण है कि दुनिया वैसी क्यों दिखती है जैसी वह है, और हाल ही में यह ब्लैक होल के भौतिकी और क्वांटम सूचना के सिद्धांत के बीच एक सेतु बन गई है।

होफ़स्ट्रा यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस घटना पर करीब से नज़र डाली है, विशेष रूप से यह पूछते हुए कि क्या होता है जब खेल के नियमों को थोड़ा बदल दिया जाता है। उन्होंने मुक्त फर्मियॉन्स (free fermions) के एक सिस्टम पर ध्यान केंद्रित किया, जो इलेक्ट्रॉन जैसे कण हैं जो एक-दूसरे को धकेलते या खींचते नहीं हैं। एक मानक परिदृश्य में, यदि आप इन गैर-परस्पर क्रिया करने वाले (non-interacting) कणों की एक एकल, विशिष्ट उच्च-ऊर्जा अवस्था को लेते हैं और उसके एक छोटे से हिस्से का परीक्षण करते हैं, तो उस हिस्से का गणित आश्चर्यजनक रूप से सरल होता है। यह स्वतंत्र कणों के एक संग्रह की तरह व्यवहार करता है, और शेष प्रणाली के बारे में जानकारी इस तरह से एनकोडेड होती है जो एक मानक तापीय वितरण की तरह दिखती है। यह सरलता पहले उल्लेखित "आइजनस्टेट टिपिकैलिटी" की एक पहचान है। हालाँकि, शोधकर्ताओं ने सोचा कि क्या होगा यदि प्रणाली केवल एक एकल अवस्था में नहीं, बल्कि कई अलग-अलग अवस्थाओं के मिश्रण में हो जिनका ऊर्जा स्तर बिल्कुल समान हो। क्वांटम दुनिया में, यह संभव है कि कणों की कई अलग-अलग व्यवस्थाएं हों जो समान कुल ऊर्जा साझा करती हों, जिन्हें अपभ्रष्ट अवस्थाएं (degenerate states) कहा जाता है। जब आप इन अवस्थाओं को मिलाते हैं, तो आप एक नई, अधिक जटिल वास्तविकता बनाते हैं।

टीम ने फर्मीअन्स के एक एक-आयामी लैटिस (one-dimensional lattice) पर सटीक संख्यात्मक सिमुलेशन करके इस मिश्रण की जांच करने का लक्ष्य रखा। उन्होंने एक ऐसा सिस्टम बनाया जहाँ कण एक रेखा में व्यवस्थित थे और फिर दो अलग-अलग ऊर्जा विन्यासों को मिलाकर एक विशिष्ट क्वांटम अवस्था बनाई जो एक ही ऊर्जा स्तर साझा करते थे। इसके बाद उन्होंने गणितीय विवरण की गणना की, जिसे मॉड्यूलर हैमिल्टनियन (modular Hamiltonian) कहा जाता है, जो इस बात का मानचित्र है कि सिस्टम का छोटा हिस्सा शेष भाग से कैसे जुड़ा हुआ है। एक एकल, शुद्ध अवस्था के मामले में, यह मानचित्र सरल है और गैर-परस्पर क्रिया करने वाले कणों का वर्णन करता है। लेकिन जब उन्होंने अपभ्रष्ट अवस्थाओं के मिश्रण को पेश किया, तो परिणाम नाटकीय रूप से बदल गए। जो मानचित्र उन्हें मिला वह अब सरल नहीं था। स्वतंत्र कणों का वर्णन करने के बजाय, नए मानचित्र ने खुलासा किया कि सिस्टम के भीतर के कण आपस में परस्पर क्रिया (interact) करते हुए प्रतीत होते हैं, भले ही पूरे सिस्टम को नियंत्रित करने वाले मौलिक नियम यह कहते हों कि कणों के बीच कोई परस्पर क्रिया नहीं होनी चाहिए।

यह खोज बताती है कि अपभ्रष्ट अवस्थाओं को मिलाने की क्रिया एक प्रकार की प्रभावी परस्पर क्रिया (effective interaction) पेश करती है जो पहले मौजूद नहीं थी। शोधकर्ताओं ने पाया कि सिस्टम का गणितीय विवरण "नॉन-गॉसियन" (non-Gaussian) हो गया, जो तकनीकी रूप से यह कहने का एक तरीका है कि कणों का व्यवहार एक मानक तापीय प्रणाली से अपेक्षित सामान्य, सुचारू वितरण से विचलित हो गया। परिचित मुक्त कणों के नियमों का पालन करने के बजाय, सिस्टम के छोटे हिस्से ने ऐसी सहसंबंधों (correlations) को प्रदर्शित करना शुरू कर दिया जो ऐसे दिखते थे जैसे कण एक-दूसरे को धकेल रहे हों या खींच रहे हों। ये परस्पर क्रियाएं स्थानीय (local) नहीं थीं, जिसका अर्थ है कि वे केवल पड़ोसियों के बीच नहीं हुईं; वे पूरे छोटे हिस्से में फैली हुई थीं, जो दूर स्थित कणों को भी जोड़ रही थीं। शोधकर्ताओं ने बारह साइटों तक के छोटे सिस्टमों पर अपनी गणना चलाकर इसकी पुष्टि की, जहाँ वे कणों के सटीक व्यवहार को ट्रैक कर सकते थे। उन्होंने देखा कि अपभ्रष्ट अवस्थाओं के बीच मिश्रण की एक बहुत छोटी मात्रा भी इन जटिल परस्पर क्रियाओं को ट्रिगर करने के लिए पर्याप्त थी, जिससे सरल, गैर-परस्पर क्रिया वाला चित्र तुरंत टूट गया।

इस निष्कर्ष के निहितार्थ उनके सिमुलेशन के विशिष्ट नंबरों से कहीं आगे तक जाते हैं। शोधकर्ता प्रस्ताव देते हैं कि यह प्रभाव यह समझाने में मदद कर सकता है कि कैसे किसी प्रणाली की प्रारंभिक स्थितियों के बारे में जानकारी उसके साम्यावस्था की ओर विकसित होते समय संरक्षित रहती है। एक विशिष्ट तापीय प्रणाली में, हम यह मान लेते हैं कि सिस्टम के कैसे शुरू होने की सारी स्मृति खो जाती है, जिसे एक समान तापमान द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। हालाँकि, यदि सिस्टम अपभ्रष्ट अवस्थाओं का एक मिश्रण है, तो छोटे हिस्से के गणितीय मानचित्र में दिखने वाले "इंटरैक्शन टर्म्स" (interaction terms) एक छिपे हुए कोड के रूप में कार्य कर सकते हैं। यह कोड उस विशिष्ट विवरण को एनकोड करेगा कि सिस्टम को कैसे तैयार किया गया था, जो कणों के बीच सूक्ष्म सहसंबंधों में संग्रहीत होगा। हालाँकि ये सहसंबंध वास्तविक दुनिया के प्रयोग में सीधे मापने के लिए बहुत जटिल हैं, सिद्धांत बताता है कि वे वहाँ मौजूद हैं, डिकोड होने की प्रतीक्षा कर रहे हैं। यह साम्यावस्था के पारंपरिक दृष्टिकोण को चुनौती देता है कि साम्यावस्था का अर्थ हमेशा इतिहास का पूर्ण नुकसान होता है, इसके बजाय यह सुझाव देता है कि इतिहास कणों की परस्पर क्रिया के ताने-बाने में लिखा जा सकता है, भले ही वह प्रणाली पूरी तरह से संतुलित दिखाई दे।

यह अध्ययन इस नए निष्कर्ष और निम्न ऊर्जा पर फर्मियॉन्स के व्यवहार के मानक चित्र के बीच एक तनाव को भी उजागर करता है। वास्तविक दुनिया में, फर्मियॉन्स अक्सर कमजोर प्रतिकर्षण बल रखते हैं, लेकिन ये बल आमतौर पर ऊर्जा कम होने पर नगण्य हो जाते हैं, जिससे कण स्वतंत्र रूप से चलते हैं। शोधकर्ताओं का कार्य सुझाव देता है कि भले ही कण मौलिक रूप से मुक्त हों, जिस तरह से हम सिस्टम का वर्णन करते हैं—विशेष रूप से, समान ऊर्जा की विभिन्न अवस्थाओं को मिलाकर—एक मजबूत, जटिल परस्पर क्रिया का भ्रम पैदा कर सकता है। इसका मतलब यह नहीं है कि कण वास्तव में टकरा रहे हैं, बल्कि यह कि सिस्टम के छोटे हिस्से का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला गणितीय उपकरण, मॉड्यूलर हैमिल्टनियन, ऐसे पद प्राप्त करता है जो परस्पर क्रियाओं की तरह दिखते हैं। यह अंतर हमारे वर्तमान सिद्धांतों की सीमाओं को समझने के लिए महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से क्वांटम त्रुटि सुधार (quantum error correction) और ब्लैक होल के अध्ययन जैसे क्षेत्रों में, जहाँ एक छोटे हिस्से और संपूर्ण सिस्टम के बीच का संबंध केंद्रीय सिद्धांत है।

अंततः, यह कार्य एक अनुस्मारक के रूप में कार्य करता है कि एक क्वांटम प्रणाली का व्यवहार इस बात के प्रति गहराई से संवेदनशील होता है कि उसे कैसे तैयार किया गया है। शोधकर्ताओं ने प्रकृति के किसी नए बल की खोज नहीं की, बल्कि यह देखने का एक नया तरीका खोजा है कि कैसे क्वांटम यांत्रिकी के नियम सरलता से जटिलता पैदा करने के लिए मिलकर काम कर सकते हैं। समान ऊर्जा साझा करने वाली अवस्थाओं को मिलाकर, उन्होंने दिखाया कि जो "विशिष्ट" व्यवहार हम तापीय प्रणालियों से अपेक्षा करते हैं, वही एकमात्र संभावना नहीं है। सिस्टम अपने प्रारंभिक अवस्था का एक फिंगरप्रिंट बनाए रख सकता है, जो अपने कणों के बीच अजीब, लंबी दूरी के संबंधों में एनकोड होता है। यह खोज क्वांटम दुनिया में सूचना के जीवित रहने के बारे में समझने के लिए एक नया द्वार खोलती है, यह सुझाव देती है कि साम्यावस्था का मार्ग एक सीधी रेखा नहीं है जहाँ सभी विवरण मिटा दिए जाते हैं, बल्कि एक ऐसा परिदृश्य है जहाँ सिस्टम का इतिहास स्पष्ट रूप से छिपा हुआ है, जो उन परस्पर क्रियाओं की भाषा में लिखा गया है जो केवल तभी दिखाई देते हैं जब हम पर्याप्त बारीकी से देखते हैं।