Modular Hamiltonian and Typicality of Degenerate States

Negli angoli silenziosi dell'universo, dal raffreddamento di una stella al flusso di elettricità in un filo, la materia tende a stabilizzarsi in uno stato di equilibrio noto come equilibrio termico. Per oltre un secolo, i fisici hanno compreso che quando un sistema raggiunge questo equilibrio, le sue particelle seguono un modello prevedibile di distribuzione dell'energia, molto simile a una folla di persone che si disperde uniformemente in una stanza. Questo comportamento è così affidabile da costituire l'ossatura della termodinamica. Tuttavia, una domanda più profonda ha a lungo tormentato gli scienziati: come fa un singolo sistema quantistico isolato, che non dimentica mai veramente il proprio passato, a sembrare come se avesse dimenticato tutto e si fosse assestato in questo stato di calma? La risposta risiede in un concetto chiamato tipicità degli autostati. Questa idea suggerisce che se si osserva una piccola parte di un grande e complesso sistema quantistico che si trova in un particolare stato ad alta energia, quella piccola parte si comporterà esattamente come se facesse parte di un bagno termico caldo, anche se l'intero sistema è perfettamente isolato e freddo. È come se il resto dell'universo agisse da bagno termico per la piccola parte, semplicemente a causa di come le particelle siano intrecciate tra loro. Questo fenomeno è cruciale per comprendere perché il mondo appaia come appare, e recentemente è diventato un ponte tra la fisica dei buchi neri e la teoria dell'informazione quantistica.

Un team di ricercatori della Hofstra University ha ora esaminato più da vicino questo fenomeno, chiedendosi specificamente cosa accade quando le regole del gioco vengono leggermente alterate. Si sono concentrati su un sistema di fermioni liberi, ovvero particelle come gli elettroni che non si spingono né si attraggono tra loro. In uno scenario standard, se si prende un singolo stato tipico ad alta energia di queste particelle non interagenti e si esamina una piccola sezione di esso, la matematica che descrive quella sezione è sorprendentemente semplice. Essa si comporta come una collezione di particelle indipendenti, e l'informazione sul resto del sistema è codificata in un modo che appare come una distribuzione termica standard. Questa semplicità è un segno distintivo della "tipicità degli autostati" menzionata in precedenza. Tuttavia, i ricercatori si sono chiesti cosa sarebbe successo se il sistema non fosse in un singolo stato, ma fosse invece una miscela di diversi stati che possiedono esattamente la stessa energia. Nel mondo quantistico, è possibile avere molteplici configurazioni distinte di particelle che condividono la stessa energia totale, note come stati degeneri. Quando si mescolano questi stati, si crea una realtà nuova e più complessa.

Il team si è posto l'obiettivo di investigare questa miscela eseguendo simulazioni numeriche precise su un reticolo monodimensionale di fermioni. Hanno costruito un sistema in cui le particelle erano disposte in linea e hanno poi creato uno stato quantistico specifico fondendo due diverse configurazioni di energia che condividevano lo stesso livello energetico. Hanno poi calcolato la descrizione matematica, nota come Hamiltoniana modulare, che funge da mappa di come la piccola sezione del sistema sia connessa con il resto. Nel caso di un singolo stato puro, questa mappa è semplice e descrive particelle non interagenti. Ma quando hanno introdotto la miscela di stati degeneri, i risultati sono cambiati drasticamente. La mappa che hanno trovato non era più semplice. Invece di descrivere particelle indipendenti, la nuova mappa ha rivelato che le particelle all'interno della piccola sezione sembravano interagire tra loro, anche se le leggi fondamentali che governano l'intero sistema stabiliscono che le particelle non dovrebbero interagire affatto.

Questa scoperta suggerisce che l'atto di mescolare stati degeneri introduca una sorta di interazione effettiva che non era presente in precedenza. I ricercatori hanno scoperto che la descrizione matematica del sistema è diventata "non gaussiana", un modo tecnico per dire che il comportamento delle particelle devia dalla distribuzione standard e fluida attesa di un sistema termico. Invece di seguire le regole familiari delle particelle libere, la piccola sezione del sistema ha iniziato a mostrare correlazioni che facevano apparire come se le particelle si stessero spingendo e tirando a vicenda. Queste interazioni non erano locali, il che significa che non avvenivano solo tra vicini; esse si estendevano attraverso l'intera piccola sezione, collegando particelle lontane tra loro. I ricercatori hanno confermato ciò eseguendo i loro calcoli su piccoli sistemi con fino a dodici siti, dove potevano tracciare il comportamento esatto delle particelle. Hanno osservato che anche una minima quantità di miscelazione tra gli stati degeneri era sufficiente a innescare queste complesse interazioni, causando il immediato crollo del semplice quadro non interagente.

Le implicazioni di questa scoperta vanno oltre i numeri specifici della loro simulazione. I ricercatori propongono che questo effetto possa spiegare come l'informazione sulle condizioni iniziali di un sistema venga preservata mentre esso evolve verso l'equilibrio. In un tipico sistema termico, assumiamo che tutta la memoria di come il sistema è iniziato vada perduta, sostituita da una temperatura uniforme. Tuttavia, se il sistema è una miscela di stati degeneri, i "termini di interazione" che appaiono nella mappa matematica della piccola sezione potrebbero agire come un codice nascosto. Questo codice codificherebbe i dettagli specifici di come il sistema è stato preparato, conservandoli nelle sottili correlazioni tra le particelle. Sebbene queste correlazioni siano troppo complesse per essere misurate direttamente in un esperimento nel mondo reale, la teoria suggerisce che esse siano lì, in attesa di essere decodificate. Ciò sfida la visione tradizionale secondo cui l'equilibrio significa sempre una completa perdita della storia, suggerendo invece che la storia potrebbe essere scritta nella trama stessa delle interazioni tra le particelle, anche in un sistema che appare perfettamente bilanciato.

Lo studio evidenzia anche una tensione tra questa nuova scoperta e il quadro standard di come si comportano i fermioni a basse energie. Nel mondo reale, i fermioni presentano spesso deboli forze repulsive, ma queste forze di solito diventano trascurabili al diminuire dell'energia, lasciando le particelle muoversi liberamente. Il lavoro dei ricercatori suggerisce che, anche in un sistema in cui le particelle sono fondamentalmente libere, il modo in cui scegliamo di descrivere il sistema — specificamente, mescolando diversi stati della stessa energia — può creare l'illusione di forti e complesse interazioni. Questo non significa che le particelle stiano effettivamente collidendo, quanto piuttosto che lo strumento matematico utilizzato per descrivere la piccola sezione del sistema, l'Hamiltoniana modulare, acquisisce termini che sembrano interazioni. Questa distinzione è vitale per comprendere i limiti delle nostre teorie attuali, in particolare in campi come la correzione degli errori quantistici e lo studio dei buchi neri, dove la relazione tra una piccola parte di un sistema e l'intero è centrale nella teoria.

In definitiva, il lavoro serve da promemoria del fatto che il comportamento di un sistema quantistico è profondamente sensibile a come viene preparato. I ricercatori non hanno scoperto una nuova forza della natura, ma piuttosto un nuovo modo in cui le regole della meccanica quantistica possono congiungersi per creare complessità dalla semplicità. Mescolando stati che condividono la stessa energia, hanno dimostrato che il comportamento "tipico" che ci aspettiamo dai sistemi termici non è l'unica possibilità. Il sistema può conservare un'impronta digitale del suo stato iniziale, codificata nelle strane connessioni a lungo raggio tra le sue particelle. Questa scoperta apre una nuova porta per la comprensione di come l'informazione sopravviva in un mondo quantistico, suggerendo che il percorso verso l'equilibrio non è una linea retta dove tutti i dettagli vengono cancellati, ma un paesaggio dove la storia del sistema potrebbe essere nascosta in piena vista, scritta nel linguaggio delle interazioni che appaiono solo quando si guarda abbastanza da vicino.