Thouless pumping and Haldane-model topology in a driven extended SSH chain

आधुनिक भौतिकी की दुनिया में, वैज्ञानिकों ने खोजा है कि पदार्थ उन अवस्थाओं में भी मौजूद हो सकता है जो इस बात से परिभाषित नहीं होतीं कि उसके परमाणु कैसे व्यवस्थित हैं, बल्कि इस बात से कि उसके माध्यम से इलेक्ट्रॉनों के घूमने की छिपी हुई ज्यामिति (geometry) क्या है। इन्हें टोपोलॉजिकल फेजेस (topological phases) कहा जाता है। एक कॉफी मग और एक डोनट की कल्पना करें; एक गणितज्ञ के लिए, वे एक ही आकार के हैं क्योंकि आप एक को दूसरे में बिना कोई छेद किए या कोई हिस्सा चिपकाए बिना खींचकर बदल सकते हैं। खिंचाव के बावजूद बरकरार रहने वाले आकार का यह विचार उन अदृश्य पथों पर लागू होता है जिनसे इलेक्ट्रॉन गुजरते हैं। द्वि-आयामी (two-dimensional) सामग्रियों में, यह ज्यामिति एक विशेष प्रकार की विद्युत धारा बनाती है जो बिना किसी प्रतिरोध के किनारों के साथ बहती है, जिसे क्वांटम हॉल प्रभाव (quantum Hall effect) के रूप में जाना जाता है। प्रयोगशाला में इस प्रभाव को बनाने के लिए, शोधकर्ताओं को आमतौर पर जटिल द्वि-आयामी ग्रिड बनाने और मजबूत चुंबकीय क्षेत्र लगाने की आवश्यकता होती है, जिसे नियंत्रित करना कठिन है। हालाँकि, एक चतुर विचार उभरा: यदि आप परमाणुओं की एक एक-आयामी (one-dimensional) श्रृंखला लेते हैं और उसके गुणों को एक सटीक, दोहराते हुए चक्र में हिलाते (wiggle) हैं, तो आप सिस्टम को इस तरह व्यवहार करने के लिए भ्रमित कर सकते हैं जैसे कि वह एक द्वि-आयामी वस्तु हो। 'थौलेस पंपिंग' (Thouless pumping) के रूप में जानी जाने वाली यह प्रक्रिया वैज्ञानिकों को एक सरल, रैखिक सेटअप का उपयोग करके उन्हीं छिपे हुए ज्यामितीय गुणों को मापने की अनुमति देती है।

सिचुआन नॉर्मल यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस अवधारणा को आगे बढ़ाते हुए एक विशिष्ट प्रकार की परमाणु श्रृंखला डिजाइन की है जो एक साधारण एक-आयामी रेखा और हल्डेन मॉडल (Haldane model) की जटिल द्वि-आयामी दुनिया के बीच एक सेतु का कार्य करती है। हल्डेन मॉडल एक प्रसिद्ध सैद्धांतिक ब्लूप्रिंट है जो एक ऐसे पदार्थ का है जो बिना चुंबकीय क्षेत्र के अपने किनारों पर बिजली का संचालन करता है, लेकिन इसे वास्तव में बनाना बहुत कठिन है क्योंकि इसके लिए परमाणुओं के बीच बहुत विशिष्ट, जटिल कनेक्शनों की आवश्यकता होती है। शोधकर्ताओं ने सु-श्रीफर-हेगर (Su-Schrieffer-Heeger) श्रृंखला नामक एक प्रसिद्ध मॉडल के विस्तारित संस्करण का उपयोग करते हुए एक समाधान प्रस्तावित किया। इस सेटअप में, परमाणु जोड़ों में व्यवस्थित होते हैं, और उनके बीच के कनेक्शनों को ट्यून (tune) किया जा सकता है। टीम ने एक अतिरिक्त परत की जटिलता जोड़ी जिससे परमाणु अपने निकटतम पड़ोसियों के ऊपर से कूदकर अगले लोगों से भी जुड़ सकते हैं। इन 'जंप्स' (jumps) की ताकत को एक दोहराते हुए चक्र में समय के साथ सावधानीपूर्वक समायोजित करके, उन्होंने एक ऐसा "पंप" बनाया जो प्रत्येक चक्र के साथ आवेश (charge) को एक क्वांटाइज्ड, या निश्चित मात्रा में स्थानांतरित करता है।

यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, शोधकर्ताओं ने सिस्टम को एक भौतिक परमाणु श्रृंखला के रूप में नहीं, बल्कि एक अमूर्त स्थान (abstract space) में चलते हुए वेक्टरों के एक सेट के रूप में विज़ुअलाइज़ किया। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे वे श्रृंखला के मापदंडों (parameters) को चक्रित करते थे, ये वेक्टर एक बंद लूप (closed loop) बनाते थे। मुख्य खोज यह थी कि इस लूप का आकार और अंतरिक्ष में इसकी गति परिणाम को निर्धारित करती थी। यदि लूप इस अमूर्त स्थान में एक विशिष्ट बिंदु के चारों ओर ठीक एक बार घूमता था, तो सिस्टम आवेश की एक सटीक मात्रा पंप करेगा। यह 'रैपिंग' (wrapping) व्यवहार उस टोपोलिकल गुण का भौतिक संकेत है जिसे वे खोज रहे थे। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि उनके समायोजन के सही पथ को चुनकर, वे सिस्टम को इस बिंदु के चारों ओर घूमने के लिए मजबूर कर सकते हैं, जिससे प्रभावी रूप से एक-आयामी श्रृंखला एक ऐसी मशीन बन जाती है जो क्वांटाइज्ड करंट उत्पन्न करती है। यह करंट रोबस्ट (robust) है, जिसका अर्थ है कि यह तब भी समान रहता है जब सिस्टम थोड़ा विक्षुब्ध होता है, क्योंकि यह लूप की अंतर्निहित ज्यामिति द्वारा संरक्षित है।

टीम ने इस विचार का परीक्षण करने के लिए दो अलग-अलग तरीकों का उपयोग किया कि यह वास्तविक प्रयोगों में कैसे काम करेगा। सबसे पहले, उन्होंने एक परिदृश्य का अनुकरण (simulate) किया जहाँ श्रृंखला कणों से पूरी तरह भरी हुई थी, जैसे पानी का एक भरा हुआ पाइप। इस स्थिति में, उन्होंने करंट के प्रवाह की गणना की और पाया कि उनके समायोजन के एक पूर्ण चक्र के बाद, सिस्टम के आर-पार आवेश की ठीक दो इकाइयाँ स्थानांतरित हुईं। इसने पुष्टि की कि टोपोलॉजिकल गुण वास्तव में मौजूद और मापने योग्य था, जिसमें कुल आवेश अंतर्निहित द्वि-आयामी मॉडल के मूल चेर्न नंबर (Chern number) का दोगुना था। दूसरा, उन्होंने एक व्यावहारिक समस्या को संबोधित किया: कई वास्तविक दुनिया के प्रयोगों में, विशेष रूप से कोल्ड एटम्स (cold atoms) के साथ, पूरी प्रणाली को समान रूप से भरना कठिन होता है। इसे हल करने के लिए, उन्होंने श्रृंखला में एक हल्का झुकाव (tilt) पेश किया, जिसके कारण कणों का एक एकल पैकेट पंपिंग के दौरान आगे-पीछे दोलन (oscillate) करता है। यह दोलन एक स्कैनर की तरह कार्य करता है, जो पैकेट को सिस्टम के पूरे रेंज में फैला देता है। उनके सिमुलेशन ने दिखाया कि केवल इस एकल कण पैकेट के साथ भी, पैकेट का केंद्र निर्धारित चक्रों के बाद एक सटीक, क्वांटाइज्ड दूरी तय करता है। यह दूरी सीधे सिस्टम के टोपोलॉजिकल नंबर से मेल खाती थी, जिससे यह सिद्ध हुआ कि प्रभाव को एक पूरी तरह से भरी हुई बैंड की आवश्यकता के बिना मापा जा सकता है।

इस कार्य की शायद सबसे महत्वपूर्ण खोज वह सीधा संबंध है जो उन्होंने अपने एक-आयामी श्रृंखला और जटिल द्वि-आयामी हल्डेन मॉडल के बीच स्थापित किया है। अपने पंपिंग चक्र के समय को स्थान के दूसरे आयाम के साथ गणितीय रूप से मैप करके, उन्होंने प्रदर्शित किया कि उनकी सरल श्रृंखला उस कठिन-से-बनाने वाले द्वि-आयामी मॉडल का एक आदर्श विकल्प है। उन्होंने दिखाया कि एक ही नियम जो विदेशी द्वि-आयामी सामग्री को नियंत्रित करते हैं, उनके एक-आयामी पंप पर भी लागू होते हैं, हालांकि एक महत्वपूर्ण स्केलिंग फैक्टर के साथ: क्योंकि सिस्टम की ज्यामिति के कारण एक पूर्ण चक्र के दौरान पैरामीटर स्पेस को दो बार कवर किया जाता है, इसलिए मापा गया आवेश चेर्न नंबर का दोगुना होता है। इसका अर्थ है कि वैज्ञानिक अब हल्डेhan मॉडल के रहस्यमय गुणों का अध्ययन एक बहुत ही सरल, एक-आयामी सेटअप का उपयोग करके कर सकते हैं जो प्रयोगशाला में बनाना और नियंत्रित करना आसान है। शोधकर्ताओं ने पुष्टि की कि उनकी श्रृंखला का "फेज डायग्राम" (phase diagram)—जो यह बताता है कि कौन सी सेटिंग्स कौन से परिणाम देती हैं—हल्डेन मॉडल के साथ बिल्कुल मेल खाता है। उन्होंने पाया कि कनेक्शनों की ताकत और चक्र के समय को बदलकर, वे सिस्टम को कंडक्टिंग (conducting) और नॉन-कंडक्टिंग (non-conducting) अवस्थाओं के बीच स्विच कर सकते हैं, ठीक वैसे ही जैसे द्वि-आयामी संस्करण में किया जाता है।

यह कार्य उच्च-आयामी टोपोलॉजी का पता लगाने के लिए एक व्यावहारिक और सुलभ मार्ग प्रदान करता है। जटिल द्वि-आयामी लैटिस बनाने और चुंबकीय क्षेत्रों के लिए संघर्ष करने के बजाय, शोधकर्ता उसी टोपोलॉजिकल नंबर को पढ़ने के लिए एक संचालित (driven) एक-आयामी श्रृंखला का उपयोग कर सकते हैं। अध्ययन सुझाव देता है कि यह दृष्टिकोण फोटोनिक लैटिस (photonic lattices), जहाँ प्रकाश कांच की संरचनाओं के माध्यम से चलता है, और कोल्ड-एटम सिस्टम, जहाँ परमाणुओं को लेजर द्वारा कैद किया जाता है, जैसे प्लेटफॉर्म के लिए व्यवहार्य है। परमाणुओं या प्रकाश पथों की एक श्रृंखला को हिलाने के सरल कार्य का उपयोग करके, वैज्ञानिक अब पदार्थ के उन गहरे, ज्यामितीय रहस्यों को टटोल सकते हैं जो पहले जटिल द्वि-आयामी ज्यामिति में छिपे हुए थे। विस्तृत सिमुलेशन और सैद्धांतिक मैपिंग से प्राप्त परिणाम, एक नियंत्रित, एक-आयामी वातावरण में इन टोपोलॉजिकल घटनाओं को देखने के लिए एक स्पष्ट ब्लूप्रिंट प्रदान करते हैं।