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Evaluation of tortuosity based on an experimental study of a solute diffusion in a porous medium

यह शोध पत्र एक छिद्रयुक्त माध्यम (पोरस मीडियम) के प्रसार टोर्टुओसिटी (डिफ्यूजन टोर्टुओसिटी) पर प्रयोगात्मक निष्कर्ष प्रस्तुत करता है जिसे मोनोसाइज़्ड हार्ड स्फेयर्स द्वारा मॉडल किया गया है, जो यह प्रदर्शित करता है कि पोरोसिटी और स्केलेटन आकार में परिवर्तन कैसे 1.20 से 1.46 तक की टोर्टुओसिटी मानों को प्रभावित करते हैं और इन परिणामों की सैद्धांतिक भविष्यवाणियों एवं मौजूदा साहित्य के साथ तुलना करता है।

मूल लेखक: Denis Polezhaev, Anastasia Teryokhina

प्रकाशित 2026-07-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Denis Polezhaev, Anastasia Teryokhina

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक भीड़भाड़ वाली गैलरी की कल्पना करें जहाँ लोग एक छोर से दूसरे छोर तक जाने की कोशिश कर रहे हैं। यदि गैलरी खाली है, तो वे सीधे निकल जाते हैं। लेकिन यदि आप गैलरी को बॉलिंग बॉल्स के एक विशाल, अराजक ढेर से भर दें, तो लोगों को आगे बढ़ने के लिए टेढ़े-मेढ़े रास्तों से गुजरना पड़ेगा, बचना पड़ेगा और घूमकर जाना पड़ेगा। वे दूसरे छोर तक तो पहुँच जाते हैं, लेकिन इसमें उन्हें बहुत अधिक समय लगता है।

विज्ञान की दुनिया में, इस "टेढ़े-मेढ़े रास्ते" को टोर्टुऑसिटी (tortuosity) कहा जाता है। यह एक माप है कि किसी छिद्रपूर्ण सामग्री (जैसे स्पंज, मिट्टी या चट्टान) के भीतर रास्ता कितना घुमावदार और टेढ़ा-मेढ़ा है। रास्ते में जितने अधिक अवरोध होंगे, टोर्टुऑसिटी उतनी ही अधिक होगी, और चीजें उतनी ही धीमी गति से आगे बढ़ेंगी।

परम स्टेट ह्यूमैनिटेरियन-पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस विचार का उपयोग करने का निर्णय लिया और इसके लिए स्टील की गेंदों से भरे एक विशाल, पारदर्शी "गलियारे" का उपयोग किया। उन्होंने क्या खोजा, यह कैसे किया, और अव्यवस्थित स्थानों में चीजों के चलने के बारे में हमारी समझ के लिए इसका क्या महत्व है, यहाँ बताया गया है।

महान बॉल पिट प्रयोग (The Great Ball Pit Experiment)

इस अध्ययन के लिए, वैज्ञानिकों ने एक लंबा, पतला, आयताकार कांच का बॉक्स बनाया। इसे एक विशाल, ऊर्ध्वाधर मछली के टैंक की तरह समझें, लेकिन यह बहुत संकरा है—केवल लगभग 2 से 4 मिलीमीटर मोटा। उन्होंने इस बॉक्स को हजारों समान स्टील की गेंदों से भर दिया, जिससे एक छिद्रपूर्ण माध्यम (porous medium) का मॉडल तैयार हुआ।

यह देखने के लिए कि चीजें कितनी तेजी से चलती हैं, उन्होंने एक विशेष तकनीक का उपयोग किया। उन्होंने बॉक्स के निचले आधे हिस्से को रोडामिन बी (Rhodamine B) नामक एक चमकते नारंगी रंग के डाई युक्त पानी से भर दिया। ऊपरी आधा हिस्सा सादे, साफ पानी से भरा था। भारी नारंगी पानी को गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे बैठने और साफ पानी के साथ मिलने से रोकने के लिए, उन्होंने नारंगी पानी में थोड़ा नमक मिलाया ताकि वह थोड़ा अधिक सघन (dense) हो जाए।

फिर, उन्होंने एक हरे रंग की लेजर शीट चालू की जिसने बॉक्स के बीच से एक कट लगाया। क्योंकि रोडामिन बी हरे प्रकाश के संपर्क में आने पर नारंगी चमकता है, वैज्ञानिक देख सकते थे कि नारंगी डाई धीरे-धीरे साफ पानी में ऊपर की ओर कैसे बढ़ रही है। इस क्रमिक प्रसार को डिफ्यूजन (diffusion) कहा जाता है।

कई घंटों तक तस्वीरें लेकर, उन्होंने मापा कि "मिक्सिंग ज़ोन" (दोनों पानी के बीच की धुंधली नारंगी रेखा) कितनी चौड़ी हुई। उन्होंने पाया कि इस ज़ोन की चौड़ाई एक बहुत ही अनुमानित तरीके से बढ़ी: इसकी चौड़ाई का वर्ग (square) समय के साथ रैखिक (linearly) रूप से बढ़ा। इससे वे ठीक से गणना कर सके कि डाई स्टील बॉल के भूलभुलैया के माध्यम से कितनी तेजी से चल रही थी।

टेढ़ा सच (The Twisty Truth)

यहाँ मुख्य खोज यह है: डाई स्टील बॉल की भूलभुलैया के माध्यम से साधारण पानी की तुलना में धीमी गति से चली।

मुक्त पानी में, डाई के अणु एक सीधा रास्ता ले सकते थे। बॉल की भूलभुलैया में, उन्हें स्टील के गोलों से बचकर निकलना पड़ा, जिससे उनका रास्ता लंबा और अधिक घुमावदार हो गया। शोधकर्ताओं ने इस धीमी गति को समझाने के लिए डिफ्यूजन टोर्टुऑसिटी ( $\tau_d$ ) नामक संख्या की गणना की। यह वास्तव में मुक्त पानी बनाम छिद्रपूर्ण भूलभुलैया में डाई के चलने की गति का अनुपात है।

परिणाम: उनके प्रयोगों में, टोर्टुऑसिटी 1.20 से 1.46 के बीच रही।
इसका अर्थ: 1.0 का मान एक सीधा रास्ता होगा। 1.46 का मान यह है कि डाई को उसी स्थान तक पहुँचने के लिए सीधी रेखा की तुलना में लगभग 46% लंबा रास्ता तय करना पड़ा।

पोरोसिटी पहेली (The Porosity Puzzle)

वैज्ञानिक यह देखना चाहते थे कि गेंदों का "कसाव" (tightness) घुमावदार होने के तरीके को कैसे बदलता है। उन्होंने इस कसाव को पोरोसिटी ( $P$ ) कहा, जो मूल रूप से बॉक्स का वह प्रतिशत है जो खाली स्थान (पानी) बनाम ठोस स्टील है।

उन्होंने दो चीजों को बदलकर अलग-अलग मॉडल बनाए:

गेंदों का आकार: उन्होंने 1.98 mm, 3.00 mm, और 3.98 mm व्यास वाली गेंदों का उपयोग किया।
बॉक्स की चौड़ाई: उन्होंने कांच की दीवारों के बीच के अंतर को समायोजित किया।

जब बॉक्स इतना चौड़ा था कि उसमें ठीक एक परत की गेंदें आ सकें (एक "तंग जगह"), तो पोरोसिटी कम थी (लगभग 0.40 से 0.43) और टोर्टुऑसिटी अधिक थी (1.43 से 1.46)। रास्ता बहुत टेढ़ा-मेढ़ा था क्योंकि गेंदें दीवारों और एक-दूसरे से कसकर जुड़ी हुई थीं।

जब उन्होंने बॉक्स को थोड़ा अधिक चौड़ा किया, जिससे गेंदें थोड़ी ढीली होकर बैठ सकें, तो पोरोसिटी बढ़कर 0.55 हो गई, और टोर्टुऑसिटी घटकर 1.20 रह गई। रास्ता कम घुमावदार हो गया क्योंकि प्रवाह के लिए अधिक खुला स्थान उपलब्ध था।

उन्होंने क्या खारिज किया (और क्या नहीं)

शोधकर्ता बहुत सावधानी से यह जांचने में लगे कि क्या गेंदों के आकार से कोई फर्क पड़ता है। उन्होंने छोटी गेंदों (1.98 mm) और बड़ी गेंदों (3.00 mm और 3.98 mm) के प्रयोगों की तुलना की जब गेंदों को उस "तंग जगह" वाली स्थिति में रखा गया था।

उन्होंने पाया कि गेंदों के आकार से कोई फर्क नहीं पड़ता था। चाहे गेंदें छोटी हों या बड़ी, यदि पैकिंग तंग थी, तो टोर्टुऑसिटी समान थी। धीमापन पूरी तरह से गेंदों की व्यवस्था के बारे में था, न कि उनके आकार के बारे में।

हालाँकि, उन्हें तब एक समस्या का सामना करना पड़ा जब गेंदें थोड़े ढीले तरीके से पैक की गई थीं (जहाँ गेंदें बॉक्स की विपरीत दीवारों को छू रही थीं)। इन विशिष्ट मामलों में, प्रायोगिक डेटा उन प्रसिद्ध गणितीय सूत्रों से पूरी तरह मेल नहीं खाता था जिनका उपयोग वैज्ञानिक आमतौर पर टोर्टुऑसिटी की भविष्यवाणी करने के लिए करते हैं।

पेपर स्पष्ट रूप से इस विचार के खिलाफ तर्क देता है कि एक एकल, सरल सूत्र (जैसे वीसबर्ग द्वारा प्रस्तावित: $\tau_d = 1 - 0.5\ln P$ ) हर स्थिति में पूरी तरह से काम करता है। जबकि यह सूत्र तंग रूप से पैक की गई गेंदों के लिए बहुत अच्छा काम कर रहा था, यह टीम द्वारा परीक्षण किए गए ढीले अरेंजमेंट में फिट नहीं बैठा। लेखक सुझाव देते हैं कि ढीले पैक में, गेंदों और दीवारों के बीच के अंतराल का आकार एक अलग प्रकार का "ट्रैफिक जाम" पैदा कर सकता है जिसे पुराने सूत्र ध्यान में नहीं रखते।

वे कितने आश्वस्त हैं?

लेखक अपने मापों को लेकर बहुत आश्वस्त हैं। उन्होंने केवल अनुमान नहीं लगाया या कंप्यूटर सिमुलेशन नहीं चलाया; उन्होंने भौतिक रूप से मॉडल बनाए, कैमरे और लेजर के साथ डाई की गति को मापा, और संख्याओं की सीधे गणना की।

सिद्ध: उन्होंने साबित किया कि तंग रूप से पैक की गई गेंदों के लिए, उनके परिणाम पिछले सिद्धांतों और अन्य वैज्ञानिकों के डेटा से मेल खाते हैं।
मापा गया: उन्होंने टोर्टुऑसिटी मानों (जैसे छिद्रपूर्ण माध्यम के लिए 2.89 $\cdot$ 10 $^{-6}$ cm $^2$ /s) और डिफ्यूजन गुणांकों को मापा।
सुझाया गया: वे सुझाव देते हैं कि पोरोसिटी और टोर्टुऑसिटी के बीच का संबंध पहले की तुलना में अधिक जटिल है। उन्होंने एक नया सूत्र ( $\tau_d = 0.83P^{-0.62}$ ) प्रस्तावित किया जो उनके नए डेटा के साथ बेहतर ढंग से फिट बैठता है, लेकिन वे इसे सभी छिद्रपूर्ण सामग्रियों के लिए सार्वभौमिक नियम के बजाय उनके विशिष्ट निष्कर्षों के विवरण के रूप में प्रस्तुत करते हैं।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह अध्ययन एक भूलभुलैया में रास्ता खोजने के मास्टरक्लास की तरह है। यह हमें दिखाता है कि जब आप समान गेंदों को एक साथ दबाते हैं, तो तरल पदार्थ के बहने के लिए रास्ता काफी लंबा और घुमावदार हो जाता है। जितना अधिक कसाव होगा, तरल के लिए गुजरना उतना ही कठिन होगा।

जबकि गेंदों का आकार भूलभुलैया की कठिनाई को नहीं बदलता है, गेंदों की व्यवस्था इसे बदल देती है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि जबकि हमारे पास बहुत तंग भूलभलैया के लिए अच्छे नक्शे हैं, थोड़े ढीले भूलभलैया के नक्शों को थोड़े अपडेट की आवश्यकता हो सकती है। उनके नए माप इस बात की स्पष्ट तस्वीर प्रदान करते हैं कि तरल पदार्थ वास्तव में मिट्टी से लेकर तेल के भंडारों तक, हमारे आसपास की दुनिया के छोटे, घुमावदार सुरंगों के माध्यम से कैसे चलते हैं।

तकनीकी सारांश: एक छिद्रयुक्त माध्यम में विलेय प्रसार के प्रयोगात्मक अध्ययन के आधार पर टोर्टुोसिटी (वक्रता) का मूल्यांकन

समस्या विवरण
टोर्टुोसिटी (Tortuosity) एक मौलिक पैरामीटर है जो छिद्रयुक्त सामग्रियों, जैसे कि अवसादी चट्टानों और मिट्टी की ज्यामिति और परिवहन गुणों को परिभाषित करता है। यद्यपि टोर्टुोसिटी को सरंध्रता (porosity) के साथ सह-संबंधित करने के लिए कई सैद्धांतिक और अर्ध-अनुभवजन्य मॉडल मौजूद हैं, फिर भी महत्वपूर्ण विसंगतियां बनी हुई हैं, विशेष रूप से पोर मॉर्फोलॉजी (छिद्र आकृति विज्ञान) के विशिष्ट प्रभाव के संबंध में। साहित्य में एक उल्लेखनीय कमी छिद्रयुक्त माध्यमों के लिए, विशेष रूप से उच्च-सरंध्रता सीमा ( $P > 0.4$ ) के भीतर, कठोर गोलों (hard spheres) से बने कंकालों के लिए प्रसार टोर्टुोसिटी ( $\tau_d$ ) और सरंध्रता ( $P$ ) के बीच संबंध की जांच करने वाले प्रयोगात्मक डेटा का अभाव है। पिछले अध्ययन अक्सर सरंध्रता को बदलने के लिए विभिन्न व्यास वाले गोलों के मिश्रणों पर निर्भर रहे हैं, जिससे पोर संरचना के विश्लेषण में जटिलता उत्पन्न होने की संभावना रहती है।

कार्यप्रणाली
लेखकों ने मुक्त तरल में एक विलेय के आणविक प्रसार गुणांक ( $D_m$ ) की तुलना एक तरल-संतृप्त छिद्रयुक्त माध्यम के भीतर उसके प्रसार गुणांक ( $D_p$ ) से करके प्रसार टोर्टुोसिटी मापने के लिए एक प्रयोगात्मक तकनीक का उपयोग किया।

प्रयोगात्मक सेटअप: अध्ययन में एक ऊर्ध्वाधर आयताकार सेल (200 मिमी ऊंचाई, 90 मिमी चौड़ाई) का उपयोग किया गया जिसकी परिवर्तनशील मोटाई ( $h$ ) 2.00 से 4.00 मिमी के बीच थी। सेल को $d = 1.98$ , $3.00 $, या$ 3.98$ मिमी व्यास वाले एकसमान आकार के कठोर स्टील के गोलों से भरा गया था।
सरंध्रता नियंत्रण: सेल की मोटाई को गोले के व्यास के सापेक्ष समायोजित करके सरंध्रता को 0.40 और 0.55 के बीच बदला गया। दो पैकिंग विन्यास (configurations) का परीक्षण किया गया:
1. हेक्सागोनल पैकिंग: गोला व्यास सेल की मोटाई के बराबर था ( $h/d \approx 1$ ), जहाँ गोलों ने पार्श्व दीवारों और पड़ोसियों को छुआ, जिससे एक सघन, व्यवस्थित संरचना बनी (मॉडल M1, M5, M6)।
2. परिवर्तनशील मोटाई वाली पैकिंग: सेल की मोटाई गोले के व्यास से अधिक थी ( $h/d > 1$ ), जहाँ गोलों ने केवल एक दीवार को छुआ, जिससे ढीली पैकिंग और उच्च सरंध्रता की अनुमति मिली (मॉडल M2–M4)।
विलेय और मापन: विलायक के रूप में जल का उपयोग किया गया, और विलेय के रूप में रोडामाइन बी (Rhodamine B - फ्लोरोसेंट डाई) का उपयोग किया गया। घनत्व बढ़ाने और संवहनी मिश्रण (convective mixing) को रोकने के लिए निचले रोडामाइन बी समाधान में सोडियम क्लोराइड मिलाया गया।
डेटा अधिग्रहण: एक हरे रंग की लेजर शीट (532 nm) ने सेल को प्रकाशित किया, जिससे रोडामाइन बी उत्तेजित हुआ और नारंगी प्रकाश (610 nm) उत्सर्जित हुआ। एक कैमरे ने नारंगी फिल्टर के साथ फ्लोरोसेंस तीव्रता को रिकॉर्ड किया, जो विलेय सांद्रता के समानुपाती थी।
विश्लेषण: प्रसार क्षेत्र की चौड़ाई ( $\Delta y$ ) को समय के साथ ट्रैक किया गया। $D_p$ को प्रसार क्षेत्र की चौड़ाई के वर्ग और समय के बीच रैखिक संबंध ( $\Delta y^2 \propto 4\pi D_p t$ ) से प्राप्त किया गया। टोर्टुोसिटी की गणना $\tau_d = D_m / D_p$ के रूप में की गई।

मुख्य परिणाम

प्रसार गुणांक: मुक्त जल में आणविक प्रसार गुणांक को $D_m = 4.2 \times 10^{-6}$ सेमी $^2$ /सेकंड के रूप में स्थापित किया गया। छिद्रयुक्त माध्यमों में प्रभावी प्रसार गुणांक ( $D_p$ ) मॉडल के आधार पर लगातार कम थे, जो लगभग $2.89 \times 10^{-6}$ से $3.5 \times 10^{-6}$ सेमी $^2$ /सेकंड के बीच रहे।
टोर्टुोसिटी मान: परीक्षण की गई सरंध्रता सीमा (0.40 से 0.55) में मापा गया प्रसार टोर्टुोसिटी ( $\tau_d$ $τ_{d}$ ) 1.20 से 1.46 के बीच भिन्न हुआ।
- सघन रूप से पैक किए गए मॉडल (M1, M5, M6; $P \approx 0.40-0.43$ ) ने उच्च टोर्टुोसिटी ( $\tau_d \approx 1.43-1.46$ ) प्रदर्शित की।
- ढीली पैकिंग वाले मॉडल (M2–M4; $P \approx 0.44-0.55$ ) ने कम टोर्टुोसिटी ( $\tau_d \approx 1.20-1.37$ ) प्रदर्शित की।
गोले के आकार की स्वतंत्रता: अध्ययन ने पुष्टि की कि एक निश्चित सरंध्रता और पैकिंग विन्यास के लिए, प्रसार गुणांक गोले के पूर्ण व्यास से स्वतंत्र है।
सिद्धांत और साहित्य के साथ तुलना:
- सघन रूप से पैक किए गए गोलों ( $P \approx 0.4$ ) के लिए प्रयोगात्मक डेटा ने वीसबर्ग (Weissberg) के सैद्धांतिक अनुमानों ( $\tau_d = 1 - 0.5 \ln P$ ) और करी और डेलगाडो के पिछले प्रयोगात्मक डेटा के साथ अच्छा तालमेल दिखाया।
- ढीली पैकिंग वाले क्षेत्र में ( $P > 0.4$ ), नया डेटा वीसबर्ग के सैद्धांतिक वक्र से विचलित हुआ।
- लेखकों ने अपने डेटा के लिए एक नया अनुभवजन्य पावर-लॉ संबंध फिट किया: $\tau_d = 0.83 P^{-0.62}$ ।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र प्रसार टोर्टुोसिटी को मापने के लिए एक नई प्रयोगात्मक तकनीक प्रदान करने और कठोर-गोला कंकालों के लिए उच्च-सरंध्रता सीमा ( $P > 0.4$ ) में $\tau_d - P$ संबंध के संबंध में विशिष्ट डेटा अंतराल को भरने का दावा करता है। लेखक दावा करते हैं कि उनके परिणाम:

छिद्रयुक्त माध्यमों में प्रसार क्षेत्रों के सटीक मापन के लिए लेजर-प्रेरित फ्लोरोसेंस (laser-induced fluorescence) के उपयोग को मान्य करते हैं।
यह प्रदर्शित करते हैं कि जबकि सैद्धांतिक मॉडल (जैसे वीसबर्ग का मॉडल) क्लोज-पैकिंग की सीमा में प्रयोगात्मक डेटा के साथ संरेखित होते हैं, उन्हें ढीली छिद्रयुक्त मीडिया विन्यासों के लिए समायोजन की आवश्यकता हो सकती है।
पुष्टि करते हैं कि पोर स्पेस की ज्यामिति (विशेष रूप से गोलों और सेल की दीवारों के बीच की परस्पर क्रिया) टोर्टुोसिटी को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है, भले ही सरंध्रता प्राथमिक चर हो।

अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि प्राप्त डेटा क्लोज-पैकिंग की सीमा में ज्ञात परिणामों के अनुरूप हैं, लेकिन कम घनी, व्यवस्थित छिद्रयुक्त संरचनाओं में टोर्टुोसिटी की भविष्यवाणी करने की जटिलता को उजागर करते हैं, जो यह सुझाव देता है कि बल्क सरंध्रता के साथ-साथ पोर आकार और स्थानीय ज्यामिति भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।