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Evaluation of tortuosity based on an experimental study of a solute diffusion in a porous medium

Cet article présente des résultats expérimentaux sur la tortuosité de diffusion d'un milieu poreux modélisé par des sphères dures de taille unique, démontrant comment les variations de porosité et de forme du squelette influencent les valeurs de tortuosité allant de 1,20 à 1,46 et comparant ces résultats avec les prédictions théoriques et la littérature existante.

Auteurs originaux : Denis Polezhaev, Anastasia Teryokhina

Publié 2026-07-15

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Denis Polezhaev, Anastasia Teryokhina

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez un couloir bondé où des gens essaient de marcher d'un bout à l'autre. Si le couloir est vide, ils traversent en ligne droite. Mais si vous remplissez le couloir avec un énorme tas chaotique de boules de bowling, les gens doivent serpenter, esquiver et prendre des chemins sinueux pour passer. Ils arrivent quand même de l'autre côté, mais cela leur prend beaucoup plus de temps.

Dans le monde de la science, ce « chemin sinueux » est appelé tortuosité. C'est une mesure de la façon dont un chemin tourne et serpente à l'intérieur d'un matériau poreux (comme une éponge, du sol ou de la roche). Plus il y a d'obstacles sur la route, plus la tortuosité est élevée, et plus les choses se déplacent lentement.

Une équipe de chercheurs de l'Université humaniste-pédagogique d'État de Perm a décidé de jouer avec cette idée en utilisant un gigantesque « couloir » transparent rempli de boules d'acier. Voici ce qu'ils ont découvert, comment ils ont procédé et ce que cela signifie pour notre compréhension de la manière dont les choses se déplacent dans les espaces encombrés.

La grande expérience du bac à boules

Pour étudier cela, les scientifiques ont construit une boîte en verre haute et étroite. Imaginez cela comme un gigantesque aquarium vertical, mais très étroit — seulement environ 2 à 4 millimètres d'épaisseur. Ils ont rempli cette boîte de milliers de boules d'acier identiques, créant ainsi un modèle de milieu poreux.

Pour voir à quelle vitesse les choses se déplaçaient, ils ont utilisé un tour de passe-passe spécial. Ils ont rempli la moitié inférieure de la boîte avec de l'eau contenant un colorant orange brillant appelé Rhodamine B. La moitié supérieure était remplie d'eau claire et limpide. Pour éviter que l'eau orange lourde ne s'enfonce et ne se mélange à l'eau claire à cause de la gravité, ils ont ajouté une pincée de sel à l'eau orange pour la rendre légèrement plus dense.

Ensuite, ils ont allumé une feuille de laser vert qui traversait la boîte. Comme la Rhodamine B brille en orange lorsqu'elle est frappée par la lumière verte, les scientifiques pouvaient observer l'eau orange grimper lentement vers l'eau claire. Ce mouvement de montée est appelé diffusion.

En prenant des photos sur de nombreuses heures, ils ont mesuré la largeur de la « zone de mélange » (la ligne orange floue entre les deux eaux). Ils ont constaté que la largeur de cette zone augmentait de manière très prévisible : le carré de la largeur augmentait linéairement avec le temps. Cela leur a permis de calculer exactement la vitesse à laquelle le colorant se déplaçait à travers le labyrinthe de boules d'acier.

La vérité tortueuse

Voici la grande découverte : le colorant se déplaçait plus lentement à travers le labyrinthe de boules d'acier que dans une tasse d'eau pure.

Dans l'eau libre, les molécules de colorant pouvaient prendre une trajectoire directe. Dans le labyrinthe de boules, elles devaient esquiver les sphères d'acier, empruntant un itinéraire plus long et plus sinueux. Les chercheurs ont calculé un nombre appelé tortuosité de diffusion ( $\tau_d$ ) pour décrire ce ralentissement. Il s'agit simplement du rapport entre la vitesse à laquelle le colorant se déplace dans l'eau libre et la vitesse à laquelle il se déplace dans le labyrinthe poreux.

Le résultat : Dans leurs expériences, la tortuosité variait de 1,20 à 1,46.
Ce que cela signifie : Une valeur de 1,0 signifierait un chemin direct. Une valeur de 1,46 signifie que le colorant a dû parcourir un chemin environ 46 % plus long que la ligne droite pour atteindre le même endroit.

Le puzzle de la porosité

Les scientifiques voulaient voir comment la « densité » du tas de boules modifiait la sinuosité. Ils ont appelé cette densité la porosité ( $P$ ), qui est essentiellement le pourcentage de l'espace vide (eau) par rapport au solide (acier).

Ils ont créé différents modèles en changeant deux choses :

La taille des boules : Ils ont utilisé des boules de diamètres de 1,98 mm, 3,00 mm et 3,98 mm.
La largeur de la boîte : Ils ont ajusté l'écart entre les parois de verre.

Lorsque la boîte était juste assez large pour contenir exactement une couche de boules (un « passage serré »), la porosité était faible (environ 0,40 à 0,43) et la tortuosité était élevée (1,43 à 1,46). Le chemin était très sinueux car les boules étaient serrées contre les parois et les unes contre les autres.

Lorsqu'ils ont rendu la boîte légèrement plus large, permettant aux boules de s'installer un peu plus librement, la porosité augmentait à 0,55 et la tortuosité tombait à 1,20. Le chemin devenait moins sinueux car il y avait plus d'espace ouvert pour circuler.

Ce qu'ils ont écarté (et ce qu'ils n'ont pas écarté)

Les chercheurs ont été très méticuleux pour vérifier si la taille des boules importait. Ils ont comparé des expériences avec de petites boules (1,98 mm) et de plus grosses boules (3,00 mm et 3,98 mm) lorsqu'elles étaient disposées dans cette configuration de « passage serré ».

Ils ont découvert que la taille des boules n'avait pas d'importance. Que les boules soient petites ou grandes, si l'empilement était serré, la tortuosité était la même. Le ralentissement dépendait uniquement de la disposition des boules, et non de leur taille.

Cependant, ils ont rencontré un problème lorsque les boules étaient empilées de manière un peu plus lâche (là où les boules touchaient les parois opposées de la boîte). Dans ces cas spécifiques, les données expérimentales ne correspondaient pas parfaitement aux formules mathématiques célèbres que les scientifiques utilisent habituellement pour prédire la tortuosité.

L'article argumente explicitement contre l'idée qu'une formule unique et simple (comme celle proposée par Weissberg : $\tau_d = 1 - 0,5\ln P$ ) fonctionne parfaitement dans chaque situation. Si cette formule fonctionnait très bien pour les boules serrées, elle ne correspondait pas tout à fait aux arrangements plus lâches testés par l'équipe. Les auteurs suggèrent que, dans les empilements plus lâches, la forme des interstices entre les boules et les parois pourrait créer un type différent de « embouteillage » que les anciennes formules ne prennent pas en compte.

À quel point sont-ils sûrs ?

Les auteurs sont très confiants dans leurs mesures. Ils n'ont pas simplement fait des suppositions ou des simulations informatiques ; ils ont physiquement construit les modèles, mesuré le mouvement du colorant avec une caméra et un laser, et calculé les chiffres directement.

Prouvé : Ils ont prouvé que pour les sphères étroitement compactées, leurs résultats correspondent aux théories antérieures et aux données d'autres scientifiques.
Mesuré : Ils ont mesuré les valeurs de tortuosité (1,20 à 1,46) et les coefficients de diffusion (comme 2,89 $\cdot$ 10 $^{-6}$ cm $^2$ /s pour le milieu poreux).
Suggéré : Ils suggèrent que la relation entre porosité et tortuosité est plus complexe que ce que l'on pensait pour les empilements plus lâches. Ils proposent une nouvelle formule ( $\tau_d = 0,83P^{-0,62}$ ) qui correspond mieux à leurs nouvelles données, mais ils présentent cela comme une description de leurs résultats spécifiques plutôt que comme une loi universelle pour tous les matériaux poreux.

L'essentiel

Cette étude est comme une leçon magistrale sur la navigation dans un labyrinthe. Elle montre que lorsque vous serrez un groupe de boules identiques, le chemin pour qu'un liquide circule à travers elles devient nettement plus long et plus sinueux. Plus le serrage est fort, plus il est difficile pour le liquide de passer.

Bien que la taille des boules ne change pas la difficulté du labyrinthe, c'est l'arrangement des boules qui compte. Les chercheurs ont montré que si nous avons de bonnes cartes pour les labyrinthes très serrés, les cartes pour les labyrinthes légèrement plus lâches pourraient avoir besoin d'une petite mise à jour. Leurs nouvelles mesures offrent une image plus claire de la façon dont les fluides se déplacent réellement à travers les tunnels minuscules et sinueux du monde qui nous entoure, du sol aux réservoirs de pétrole.

Résumé technique : Évaluation de la tortuosité basée sur une étude expérimentale de la diffusion de solutés dans un milieu poreux

Énoncé du problème
La tortuosité est un paramètre fondamental caractérisant la géométrie et les propriétés de transport des matériaux poreux, tels que les roches sédimentaires et les sols. Bien que de nombreux modèles théoriques et semi-empiriques existent pour corréler la tortuosité à la porosité, des divergences significatives subsistent, particulièrement en ce qui concerne l'influence spécifique de la morphologie des pores. Une lacune notable dans la littérature réside dans l'absence de données expérimentales étudiant la relation entre la tortuosité de diffusion ( $\tau_d$ ) et la porosité ( $P$ ) pour des milieux poreux dont les squelettes sont composés de sphères dures, spécifiquement dans la plage de haute porosité ( $P > 0,4$ ). Les études précédentes reposaient souvent sur des mélanges de sphères de diamètres variables pour modifier la porosité, introduisant potentiellement une complexité dans l'analyse de la structure des pores.

Méthodologie
Les auteurs ont employé une technique expérimentale pour mesurer la tortuosité de diffusion en comparant le coefficient de diffusion moléculaire d'un soluté dans un fluide libre ( $D_m$ ) par rapport à son coefficient de diffusion au sein d'un milieu poreux saturé de fluide ( $D_p$ ).

Dispositif expérimental : L'étude a utilisé une cellule rectangulaire verticale (200 mm de hauteur, 90 mm de largeur) avec une épaisseur ( $h$ ) variable allant de 2,00 à 4,00 mm. La cellule a été remplie de sphères d'acier dures monosizes de diamètres $d = 1,98$ , $3,00$ ou $3,98$ mm.
Contrôle de la porosité : La porosité a été variée entre 0,40 et 0,55 en ajustant l'épaisseur de la cellule par rapport au diamètre des sphères. Deux configurations de compactage ont été testées :
1. Compactage hexagonal : Le diamètre des sphères est égal à l'épaisseur de la cellule ( $h/d \approx 1$ ), les sphères entrant en contact avec les parois latérales et leurs voisines, créant une structure dense et ordonnée (Modèles M1, M5, M6).
2. Compactage à épaisseur variable : L'épaisseur de la cellule est supérieure au diamètre des sphères ( $h/d > 1$ ), les sphères ne contactant qu'une seule paroi, permettant un compactage plus lâche et une porosité plus élevée (Modèles M2–M4).
Soluté et mesure : L'eau a servi de solvant, la Rhodamine B (colorant fluorescent) de soluté. Du chlorure de sodium a été ajouté à la solution inférieure de Rhodamine B pour augmenter la densité et empêcher le mélange par convection.
Acquisition de données : Une feuille laser verte (532 nm) a illuminé la cellule, excitant la Rhodamine B pour émettre une lumière orange (610 nm). Une caméra équipée d'un filtre orange a enregistré l'intensité de la fluorescence, laquelle est proportionnelle à la concentration du soluté.
Analyse : La largeur de la zone de diffusion ( $\Delta y$ ) a été suivie au cours du temps. Le coefficient de diffusion $D_p$ a été dérivé de la relation linéaire entre le carré de la largeur de la zone de diffusion et le temps ( $\Delta y^2 \propto 4\pi D_p t$ ). La tortuosité a été calculée comme $\tau_d = D_m / D_p$ .

Résultats clés

Coefficients de diffusion : Le coefficient de diffusion moléculaire dans l'eau libre a été établi à $D_m = 4,2 \times 10^{-6}$ cm $^2$ /s. Les coefficients de diffusion effectifs ( $D_p$ ) dans les milieux poreux étaient systématiquement plus bas, variant approximativement de $2,89 \times 10^{-6}$ à $3,5 \times 10^{-6}$ cm $^2$ /s selon le modèle.
Valeurs de tortuosité : La tortuosité de diffusion mesurée ( $\tau_d$ $τ_{d}$ ) variait de 1,20 à 1,46 sur la plage de porosité testée (0,40 à 0,55).
- Les modèles densément compactés (M1, M5, M6 ; $P \approx 0,40-0,43$ ) présentaient une tortuosité plus élevée ( $\tau_d \approx 1,43-1,46$ ).
- Les modèles au compactage plus lâche (M2–M4 ; $P \approx 0,44-0,55$ ) présentaient une tortuosité plus faible ( $\tau_d \approx 1,20-1,37$ ).
Indépendance vis-à-vis de la taille des sphères : L'étude a confirmé que pour une porosité et une configuration de compactage données, le coefficient de diffusion est indépendant du diamètre absolu des sphères.
Comparaison avec la théorie et la littérature :
- Les données expérimentales pour les sphères densément compactées ( $P \approx 0,4$ ) montraient un bon accord avec les prédictions théoriques de Weissberg ( $\tau_d = 1 - 0,5 \ln P$ ) et les données expérimentales antérieures de Currie et Delgado.
- Dans le régime de compactage plus lâche ( $P > 0,4$ ), les nouvelles données divergeaient de la courbe théorique de Weissberg.
- Les auteurs ont ajusté une nouvelle relation empirique de type loi de puissance à leurs données : $\tau_d = 0,83 P^{-0,62}$ .

Signification et affirmations
L'article affirme fournir une nouvelle technique expérimentale pour mesurer la tortuosité de diffusion et combler un manque de données spécifique concernant la relation $\tau_d - P$ dans la plage de haute porosité ( $P > 0,4$ ) pour les squelettes de sphères dures. Les auteurs affirment que leurs résultats :

Valident l'utilisation de la fluorescence induite par laser pour la mesure précise des zones de diffusion dans les milieux poreux.
Démontrent que si les modèles théoriques (comme celui de Weissberg) s'alignent bien avec les données expérimentales dans la limite du compactage dense, ils peuvent nécessiter des ajustements pour les configurations de milieux poreux moins denses.
Confirment que la géométrie de l'espace poreux (spécifiquement l'interaction entre les sphères et les parois de la cellule) influence significativement la tortuosité, même lorsque la porosité est la variable principale.

L'étude conclut que les données obtenues sont cohérentes avec les résultats connus dans la limite du compactage dense, mais souligne la complexité de la prédiction de la tortuosité dans les structures poreuses ordonnées et moins denses, suggérant que la forme des pores et la géométrie locale jouent des rôles critiques aux côtés de la porosité globale.