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Hamiltonian Monte Carlo from $q$ -deformed phase-space mechanics

यह शोध पत्र एक ज्यामितीय रूप से प्रेरित $q$ -विकृत (deformed) हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो ढांचे को प्रस्तुत करता है जो एक मेट्रोपोलिस-समायोजित सैंपलर के निर्माण के लिए जैक्सन-प्रकार के अंतरों (Jackson-type differences) का उपयोग करता है, जो शास्त्रीय HMC के एक सुदृढ़ विकल्प के रूप में कार्य करता है जो डोमेन उल्लंघन और स्केल बेमेल से बचता है और $q \to 1$ होने पर मानक गतिकी की ओर अभिसरित होता है।

मूल लेखक: Xiaomei Yang, Zhiliang Deng

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Xiaomei Yang, Zhiliang Deng

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, धुंधली घाटी में कैंपसाइट स्थापित करने के लिए सबसे अच्छी जगह खोजने की कोशिश कर रहे हैं। आप "स्वीट स्पॉट" (नक्शे के आधार पर सबसे संभावित स्थान) खोजना चाहते हैं, लेकिन इलाका कठिन है। कभी ज़मीन समतल होती है, कभी खड़ी चट्टान, और कभी ज़मीन एक अजीब, खिंचने वाली सामग्री से बनी होती है जो देखने के तरीके के साथ अपना आकार बदल लेती है।

यह वह समस्या है जिसका सामना वैज्ञानिक जटिल गणितीय पहेलियों को हल करने के लिए हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (HMC) नामक एक शक्तिशाली उपकरण का उपयोग करते समय करते हैं। HMC एक बहुत ही समझदार हाइकर (पगडंडी पर चलने वाले) की तरह है जो भौतिकी के नियमों (विशेष रूप से, एक गेंद ढलान से नीचे कैसे लुढ़कती है) का उपयोग करके घाटी का कुशलतापूर्वक पता लगाता है। आमतौर पर, इस हाइकर को ढलान (ग्रेडिएंट) का एक सटीक नक्शा चाहिए होता है ताकि उसे पता चल सके कि किस दिशा में लुढ़कना है। लेकिन क्या होगा यदि आपके पास नक्शा न हो? क्या होगा यदि आपके पास केवल एक 'ब्लैक बॉक्स' हो जो आपको बताता है कि यदि आप एक स्थान पर खड़े हैं तो आपकी ऊँचाई कितनी है, लेकिन यह नहीं बताता कि ढलान कितनी तीव्र है?

इस स्थिति में, हाइकर को ढलान का अनुमान लगाने के लिए एक छोटा सा कदम आगे और पीछे लेना पड़ता है। इसे "फाइनाइट डिफरेंस" (finite difference) कहा जाता है।

समस्या: "एडिटिव" स्टेप ट्रैप (जोड़ संबंधी कदम का जाल)

ढलान का अनुमान लगाने का पारंपरिक तरीका एक निश्चित आकार का कदम (fixed-size step) लेना है। कल्पना कीजिए कि आप हमेशा ठीक 1 मीटर का कदम उठाते हैं, चाहे आप कहीं भी हों।

यदि आप एक विशाल पर्वत (एक बड़ी संख्या) पर हैं, तो 1-मीटर का कदम बहुत छोटा और सुरक्षित है।
लेकिन यदि आप एक नन्ही कंकड़ (एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या) पर हैं, तो 1-मीटर का कदम बहुत बड़ा होगा! आप सीधे दुनिया के किनारे से नीचे गिर सकते हैं, या ऐसी जगह जा सकते हैं जहाँ गणित टूट जाता है (जैसे कि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने की कोशिश करना)।

शोध पत्र दिखाता है कि धनात्मक संख्याओं (जैसे आकार, गति, या सांद्रता जो शून्य या ऋणात्मक नहीं हो सकतीं) से जुड़ी समस्याओं के लिए, यह "निश्चित 1-मीटर कदम" वाली रणनीति एक आपदा है। यह हाइकर को लड़खड़ाने, गिरने और फंसने के लिए मजबूर करती है। लेखकों ने सिमुलेशन चलाकर दिखाया कि जब संख्याएँ छोटी होती हैं, तो यह विधि पूरी तरह से विफल हो जाती है, जिससे स्वीकृति दर (acceptance rates) लगभग शून्य हो जाती है और त्रुटियाँ अत्यधिक बढ़ जाती हैं।

समाधान: "q-डीफॉर्म्ड" स्ट्रेची रूलर (खिंचने वाला पैमाना)

लेखक उस कदम को लेने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं। एक निश्चित रूलर के बजाय, वे q-कैलकुलस पर आधारित एक खिंचने वाला, गुणक (multiplicative) रूलर का उपयोग करते हैं।

इसे इस प्रकार सोचें:

पुराना तरीका (Additive): "1 मीटर दाईं ओर बढ़ें।" (छोटे पैमाने पर खतरनाक!)
नया तरीका (q-Jackson): "ऐसी जगह पर जाएँ जो जहाँ आप हैं उससे 5% बड़ी या 5% छोटी है।"

यह नया तरीका, जिसे q-HMC कहा जाता है, इस बात की परवाह नहीं करता कि आप एक विशाल पर्वत पर हैं या एक नन्ही कंकड़ पर। यदि आप एक कंकड़ पर हैं, तो 5% एक बहुत छोटा, सुरक्षित कदम है। यदि आप एक पर्वत पर हैं, तो 5% एक बड़ा, उपयोगी कदम है। यह संख्या के आकार के साथ पूरी तरह से तालमेल बिठा लेता है।

उन्होंने इसे कैसे बनाया

लेखकों ने यह नियम केवल हवा में नहीं बनाया। उन्होंने इसे q-डीफॉर्म्ड फेज-स्पेस मैकेनिक्स की नींव पर बनाया है।

सिद्धांत: उन्होंने "नॉन-कम्यूटेटिव ज्योमेट्री" (एक ऐसी दुनिया जहाँ क्रियाओं का क्रम मायने रखता है, जैसे जूते पहनने से पहले मोज़े पहनना बनाम मोज़े पहनने के बाद जूते पहनना) से जुड़े एक फैंसी गणितीय ढांचे के साथ शुरुआत की। उन्होंने सिद्ध किया कि इस अजीब, खिंचे हुए गणितीय संसार में भी भौतिकी के नियम पूरी तरह से लागू होते हैं। उन्होंने दिखाया कि एक विशेष "सिम्प्लेक्टिक फॉर्म" (स्थान के आकार को मापने का एक तरीका) अपरिवर्तित रहता है, ठीक सामान्य भौतिकी की तरह।
वास्तविकता की जाँच: चूंकि हम वास्तव में उस अजीब गणितीय दुनिया में रह नहीं सकते, इसलिए उन्होंने अपने फैंसी सिद्धांत को जैक्सन डेरिवेटिव्स (Jackson derivatives) का उपयोग करके एक कंप्यूटर-अनुकूल संस्करण में अनुवादित किया। यह केवल एक विशिष्ट प्रकार के "खिंचने वाले" अंतर की गणना का एक फैंसी नाम है।
सुरक्षा जाल: क्योंकि यह नया "खिंचने वाला" कदम हमारे सामान्य संसार में एक पूर्ण भौतिक नियम नहीं है, इसलिए लेखकों ने इसमें एक मेट्रोपोलिस करेक्शन (Metropolis correction) जोड़ा है। इसे एक क्लब के बाउंसर की तरह समझें। हाइकर द्वारा खिंचने वाले रूलर का उपयोग करके कदम उठाने के बाद, बाउंसर जाँच करता है: "क्या आप वास्तव में एक अच्छी जगह पर पहुँचे हैं?" यदि गणित कहता है "नहीं," तो बाउंसर हाइकर को वापस शुरुआत में भेज देता है। यह सुनिश्चित करता है कि विधि सांख्यिकीय रूप से वैध है, भले ही कदम स्वयं एक चतुर सन्निकटन (approximation) हो।

प्रयोग क्या दिखाते हैं

लेखकों ने कई परिदृश्यों में पुराने हाइकर के मुकाबले इस नए हाइकर का परीक्षण किया:

छोटी धनात्मक संख्याएँ: जब लक्षित संख्याएँ बहुत छोटी थीं (जैसे $10^{-3}$ ), तो पुराना "निश्चित स्टेप" वाला हाइकर बुरी तरह विफल रहा, जिसमें त्रुटियाँ नए तरीके की तुलना में 100 गुना अधिक थीं। नया q-HMC हाइकर सहजता से निकल गया।
बड़ी धनात्मक संख्याएँ: जब संख्याएँ बड़ी थीं, तो दोनों विधियों ने ठीक से काम किया। नए तरीके ने कुछ भी खराब नहीं किया; इसने बस पुराने तरीके के बराबर प्रदर्शन किया।
मिश्रित परिदृश्य: उन्होंने छोटी धनात्मक संख्याओं और नियमित हस्ताक्षरित (signed) संख्याओं (जो ऋणात्मक हो सकती हैं) का एक जटिल मिश्रण परीक्षण किया। पुराना तरीका ऐसी स्टेप साइज खोजने में संघर्ष करता था जो दोनों के लिए काम करे। नया q-HMC तरीका इस मिश्रण को स्वाभाविक रूप से संभालता है, धनात्मक संख्याओं को धनात्मक बनाए रखता है और हस्ताक्षरित संख्याओं को सुचारू रूप से आगे बढ़ाता है।
वास्तविक दुनिया की भौतिकी: उन्होंने हीट डिफ्यूजन (एक PDE इनवर्स प्रॉब्लम) से जुड़ी एक जटिल समस्या पर भी इसका परीक्षण किया। यहाँ, नया तरीका एक बहुत ही परिष्कृत भौतिक उपकरण (एडजॉइंट मेथड) के "ब्लैक बॉक्स" संस्करण के रूप में कार्य करता है, जो जटिल भौतिकी समीकरणों की आवश्यकता के बिना लगभग समान परिणाम देता है।

यह पेपर क्या नहीं कहता

यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह पेपर क्या दावा नहीं करता है:

यह हर चीज़ के लिए जादुई समाधान नहीं है। लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि यदि आपके पास पहले से ही एक सटीक नक्शा (एक सटीक ग्रेडिएंट) है, तो आपको अभी भी मानक HMC का उपयोग करना चाहिए। नया तरीका तब है जब आपके पास नक्शा नहीं है और आपको ढलान का अनुमान लगाना पड़ता है।
यह सभी अभिसरण (convergence) समस्याओं को हल करने वाला कोई "ब्रेकथ्रू" नहीं है। पेपर यह सिद्ध करता है कि विधि वैध है (यह आपको गलत उत्तर नहीं देगी) और यह स्थान का पता लगा सकती है (यह फँसेगी नहीं), लेकिन यह दावा नहीं करता कि यह हर स्थिति में अन्य सभी तरीकों की तुलना में तेज़ है।
यह भौतिकी में "एडजॉइंट मेथड" को प्रतिस्थापित नहीं करता है। डिफ्यूजन प्रयोग में, उन्होंने दिखाया कि नया तरीका एडजॉइंट मेथड की नकल अच्छी तरह से करता है, लेकिन वे स्पष्ट करते हैं कि यदि आपके पास वास्तविक एडजॉइंट सॉल्वर है, तो आपको उसी का उपयोग करना चाहिए। q-HMC एक बेहतरीन बैकअप है जब आपके पास केवल एक ब्लैक बॉक्स हो।

निचोड़

पेपर सुझाव देता है कि q-कैलकुलस (एक अजीब, खिंचे हुए भौतिकी के सिद्धांत) से विचार उधार लेकर, हम जटिल, धनात्मक-संख्या वाले परिदृश्यों का पता लगाने के लिए एक बेहतर हाइकर बना सकते हैं। कठोर, निश्चित कदम लेने के बजाय जो आपको किनारे से नीचे गिरा सकते हैं, q-HMC विधि लचीले, सापेक्ष कदम लेती है जो इलाके के साथ बढ़ते और घटते हैं।

अपने सिमुलेशन में, इस दृष्टिकोण ने उन "डोमेन उल्लंघन" (नक्शे से बाहर कदम रखना) और "स्केल मिसमैच" (एक नन्ही कंकड़ के लिए बहुत बड़ा कदम लेना) से बचाव किया जो पुराने तरीकों के लिए समस्या बन रहे थे। यह एक चतुर, ज्यामितीय रूप से प्रेरित तरीका है यह सुनिश्चित करने का कि जब आपका कंप्यूटर कठिन गणितीय समस्याओं को हल करने की कोशिश कर रहा हो, तो वह अपने ही पैरों में न उलझ जाए।

तकनीकी सारांश: $q$ -विकृत प्रावस्था-स्थान यांत्रिकी (phase-space mechanics) से हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (Hamiltonian Monte Carlo)

समस्या विवरण
हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (HMC) संभाव्यता वितरण $\pi(x) \propto \exp[-U(x)]$ से नमूने (sampling) लेने की एक मानक विधि है, जो विस्तारित प्रावस्था-स्थान (extended phase space) में हैमिल्टोनियन गतिकी का अनुकरण करके कार्य करती है। हालाँकि, उन व्यावहारिक "ब्लैक-बॉक्स" परिदृश्यों में जहाँ क्षमता $U(x)$ के विश्लेषणात्मक ग्रेडिएंट (analytical gradients) उपलब्ध नहीं होते, HMC परिमित-अंतर (finite-difference) सन्निकटन पर निर्भर करता है। धनात्मक-पैमाने वाले मापदंडों (जैसे विचरण या डिफ्यूजन गुणांक) पर लागू होने पर मानक योगात्मक परिमित-अंतर (additive finite-difference) विधियों में एक महत्वपूर्ण सीमा की पहचान की गई है। योगात्मक विक्षोभ (perturbations) ( $x \to x \pm h$ ) डोमेन बाधाओं का उल्लंघन कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, सख्ती से धनात्मक चरों के लिए ऋणात्मक मान उत्पन्न करना) या गंभीर पैमाने के बेमेल (scale mismatch) से ग्रस्त हो सकते हैं, जहाँ एक निश्चित स्टेप साइज (step size) छोटे-पैमाने वाले क्षेत्रों के लिए बहुत बड़ा या बड़े-पैमाने वाले क्षेत्रों के लिए बहुत छोटा होता है। इससे बल त्रुटियाँ (force errors) बढ़ जाती हैं, ऊर्जा संरक्षण कम हो जाता है, और मेट्रोपोलिस स्वीकृति दर (Metropolis acceptance rates) गिर जाती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक $q$ -विकृत HMC (q-HMC) ढांचे का प्रस्ताव करते हैं जो $q$ -विकृत प्रावस्था-स्थान यांत्रिकी और गैर-क्रमविनिमेय ज्यामिति (non-commutative geometry) से प्रेरित है। कार्यप्रणाली तीन चरणों में आगे बढ़ती है:

ज्यामितीय सूत्रीकरण (Geometric Formulation):
- एक $q$ -क्रमविनिमेय क्वांटम तल (जहाँ निर्देशांक $\hat{x}$ और संवेग $\hat{p}$ इस प्रकार संतुष्ट करते हैं कि $\hat{p}\hat{x} = q\hat{x}\hat{p}$ ) पर लैग्रेंजियन सूत्रीकरण से शुरू करते हुए, लेखक $q$ -हैमिल्टोनियन समीकरण व्युत्पन्न करते हैं।
- वे $q$ -हैमिल्टोनियन प्रवाह (flow) के तहत $q$ -सिम्पलेक्टिक रूप (symplectic form) की औपचारिक अपरिवर्तनीयता को सिद्ध करते हैं। यह गतिकी के लिए एक ज्यामितीय मूल स्थापित करता है, जो इसे केवल 'एड-हॉक' (ad hoc) परिमित-अंतर संशोधनों से अलग करता है।
- औपचारिक ऑपरेटर-मान वाले गतिकी को जैक्सन डेरिवेटिव्स (Jackson derivatives) का उपयोग करके गणनात्मक रूप से साकार किया जाता है। विशेष रूप से, हैमिल्टोनियन प्रवाह में मानक डेरिवेटिव्स को जैक्सन-प्रकार के परिमित-अंतरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
गणना योग्य यथार्थता (Computable Realization):
- औपचारिक $q$ -डिफरेंशियल ऑपरेटरों को विलीनीकरण (dilation) और जैक्सन डेरिवेटिव ऑपरेटरों के माध्यम से शास्त्रीय यूक्लिडियन चरों में मैप किया जाता है।
- संख्यात्मक कार्यान्वयन के लिए, लेखक एक सममित लॉग-सामान्यीकृत जैक्सन डेरिवेटिव का उपयोग करते हैं। एक चर $x$ के लिए, बल सन्निकटन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
  $D^{\text{sym}}_{\delta, x} f(x) = \frac{f(e^{\delta/2}x) - f(e^{-\delta/2}x)}{\delta x}$
  जहाँ $\delta = |\log q|$ है। यह लॉग-निर्देशांक ( $\log x$ ) में एक केंद्रित परिमित अंतर के अनुरूप है, लेकिन इसे मूल चर ( $x \to e^{\pm \delta/2}x$ ) में गुणात्मक विक्षोभ के माध्यम से लागू किया जाता है।
एल्गोरिदम निर्माण (Algorithm Construction):
- एक मेट्रोपोलिस-समायोजित q-हैमिल्टोनियन सैंपलर का निर्माण किया गया है। प्रस्ताव (proposal) को $q$ -लीपफ्रॉग इंटीग्रेटर (जो जैक्सन बल और वेग के आधार पर स्पष्ट शियर मैप्स से बना है) का उपयोग करके उत्पन्न किया जाता है।
- क्योंकि गणना योग्य यथार्थता साधारण यूक्लिडियन अर्थ में एक कैनोनिकल हैमिल्टोनियन प्रवाह नहीं है, इसलिए यह सुनिश्चित करने के लिए कि संक्रमण कर्नेल (transition kernel) लक्षित वितरण के संबंध में विस्तृत संतुलन (detailed balance) की संतुष्टि करता है, एक मेट्रोपोलिस सुधार लागू किया जाता है।
- लेखक मार्जिनल पोजीशन चेन की अपरिवर्तनीयता (irreducibility) की शर्तों को स्थापित करते हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि सैंपलर लक्षित वितरण के सपोर्ट (support) का अन्वेषण कर सकता है।

प्रमुख योगदान

ज्यामितीय व्युत्पत्ति: लेख $q$ -विकृत हैमिल्टोनियन यांत्रिकी से HMC गतिकी के लिए एक कठोर ज्यामितीय व्युत्पत्ति प्रदान करता है, जो केवल एक अनुमानित संशोधन के बजाय $q$ -सिम्पलेक्टिक रूप की अपरिवर्तनीयता को सिद्ध करता है।
पैमाने-सुसंगत विक्षोभ (Scale-Consistent Perturbation): $q$ -जैक्सन बल एक सापेक्ष (गुणात्मक) विक्षोभ तंत्र के रूप में कार्य करता है। धनात्मक चरों के लिए, यह लॉग-निर्देशांकों में केंद्रित परिमित अंतर के समान है, लेकिन यह लक्षित फलन के स्पष्ट लॉग-पुनः पैरामीट्राइजेशन (log-reparametrization) की आवश्यकता को समाप्त करता है।
वैधता प्रमाण: लेखक सिद्ध करते हैं कि परिणामी मार्कोव संक्रमण विस्तृत संतुलन का पालन करता है और अपरिवर्तनीयता के लिए पर्याप्त शर्तें प्रदान करते हैं, जिससे इस विधि को एक कठोर MCMC सैंपलर के रूप में मान्य किया जाता है।
ब्लैक-बॉक्स प्रयोज्यता: यह विधि विशेष रूप से उन परिदृश्यों के लिए डिज़ाइन की गई है जहाँ क्षमता धनात्मक मापदंडों का एक ब्लैक-बॉक्स फलन है और ग्रेडिएंट उपलब्ध नहीं हैं।

संख्यात्मक परिणाम
लेख सटीक-ग्रेडिएंट HMC, कच्चे योगात्मक परिमित-अंतर HMC, और लॉग-निर्देशांक परिमित-अंतर HMC के विरुद्ध कई बेंचमार्क पर q-HMC का मूल्यांकन करता है:

1D और उच्च-आयामी धनात्मक लक्ष्य: उन मामलों में जिनमें छोटे-पैमाने के धनात्मक चर शामिल हैं (जैसे छोटे माध्य वाले लॉग-नॉर्मल वितरण), कच्चा योगात्मक परिमित-अंतर डोमेन उल्लंघन और बड़ी बल त्रुटियों के कारण विफल हो जाता है। q-HMC उच्च स्वीकृति दरों और कम हैमिल्टोनियन त्रुटियों को बनाए रखता है, और लॉग-निर्देशांक परिमित-अंतर के तुल्य प्रदर्शन करता है।
विचरण-घटक अनुमान (Variance-Component Inference): विचरण घटकों के बेयसियन अनुमान में, जैसे-जैसे आयाम बढ़ता है या स्केल छोटा होता है, कच्चे योगात्मक तरीके काफी खराब प्रदर्शन करते हैं। q-HMC स्थिर रहता है और सटीक-ग्रेडिएंट बेंचमार्क के प्रदर्शन का अनुसरण करता है।
मिश्रित लॉग-ट्रैप लक्ष्य (Mixed Log-Trap Target): एक ऐसे लक्ष्य में जिसमें छोटे धनात्मक और चिन्हित (signed) दोनों चर हैं, जहाँ वैश्विक लॉग-रूपांतरण असंभव है, q-HCMC सीधे मिश्रित निर्देशांकों पर लागू होकर आंशिक-लॉग और स्केल्ड-एडिटिव विधियों से बेहतर प्रदर्शन करता है, और डोमेन उल्लंघन के कारण होने वाले "खराब रिजेक्शन" से बचता है।
PDE-आधारित इनवर्स प्रॉब्लम: एक डिफ्यूजन गुणांक इनवर्स समस्या के लिए, $q$ -जैक्सन बल (गुणात्मक विक्षोभ) सटीक ग्रेडिएंट (एडजॉइंट सेंसिटिविटी मेथड) की सटीकता को कच्चे योगात्मक परिमित-अंतर की तुलना में बहुत अधिक निकटता से पुनरुत्पादित करता है, जो स्केल मिसमैच से ग्रस्त होते हैं।

महत्व और दावे
लेख का दावा है कि इस कार्य का प्राथमिक महत्व $q$ -विकृत हैमिल्टोनियन यांत्रिकी को एक वैध मेट्रोपोलिस-सुधारित सैंपलिंग योजना से जोड़ना है। लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि q-HMC का उद्देश्य सटीक-ग्रेडिएंट HMC या एडजॉइंट-आधारित विधियों को बदलना नहीं है जब विश्लेषणात्मक ग्रेडिएंट उपलब्ध हों।

इसके बजाय, q-HMC का महत्व धनात्मक कार्यात्मक मापदंडों के लिए एक स्केल-सुसंगत ब्लैक-बॉक्स बल सन्निकटन प्रदान करने में निहित है। $q$ -जैक्सन बल गुणात्मक विक्षोभ के माध्यम से स्केल मापदंडों की ज्यामिति को स्वाभाविक रूप से संभालता है, जिससे योगात्मक परिमित-अंतर में निहित डोमेन उल्लंघन और स्केल मिसमैच से बचा जा जा सकता है। यह शोध पत्र इसे उन बेयसियन इनवर्स समस्याओं और सांख्यिकीय शिक्षण कार्यों के लिए एक मजबूत विकल्प के रूप में प्रस्तुत करता है जिनमें बाधित (constrained), मल्टी-स्केल, या मिश्रित-निर्देशांक मापदंड शामिल हैं जहाँ ग्रेडिएंट अप्राप्य हैं।