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A Search‑Free Foundation Model for Symbolic Regression of Physical Laws

यह शोध पत्र PISR को प्रस्तुत करता है, जो एक सर्च-फ्री फाउंडेशन मॉडल है जो डेटा से व्याख्यात्मक भौतिक नियमों को तेजी से और सटीक रूप से पुनर्प्राप्त करने के लिए एक भौतिकी-सूचित, कंट्रास्टिवली-अलाइन्ड फॉर्मूला-डेटा मैनिफोल्ड और फ्लो मैचिंग का लाभ उठाता है, जो विविध वैज्ञानिक और वास्तविक दुनिया के बेंचमार्क में गति और संरचनात्मक सटीकता दोनों में मौजूदा विधियों से बेहतर प्रदर्शन करता है।

मूल लेखक: Chenxi He, Jingqiu Chen

प्रकाशित 2026-07-28

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Chenxi He, Jingqiu Chen

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके सुराग उंगलियों के निशान या पैरों के निशान नहीं, बल्कि संख्याएँ हैं। विज्ञान की दुनिया में, एक विशेष प्रकार की पहेली है जिसे "सिंबोलिक रिग्रेशन" (symbolic regression) कहा जाता है। लक्ष्य केवल यह अनुमान लगाना नहीं है कि आगे क्या होगा (जैसे कि मौसम का ऐप बारिश का अनुमान लगाता है), बल्कि उस नियम को खोजना है जो बताता है कि ऐसा क्यों होता है। केक के टुकड़ों को चखकर उसकी सटीक रेसिपी खोजने की कोशिश करने जैसा है। आप उस सटीक गणितीय सूत्र को खोजना चाहते हैं—जैसे $E=mc^2$ या गुरुत्वाकर्षण के नियम—जिसका उपयोग प्रकृति कर रही है।

लंबे समय तक, कंप्यूटर इस काम में बहुत खराब रहे हैं। वे डेटा में पैटर्न खोजने में माहिर हैं, लेकिन वे आपको एक "ब्लैक बॉक्स" उत्तर देते हैं: एक जटिल, अपठनीय मशीन जो काम तो करती है लेकिन आपको कहानी नहीं बताती। अन्य तरीके हजारों यादृच्छिक (random) संयोजनों को दीवार पर फेंककर यह देखने की कोशिश करते हैं कि क्या चिपका रहता है, लेकिन यह धीमा, अनाड़ी और अक्सर डेटा के अस्त-व्यस्त होने पर टूट जाता है। बड़ा सवाल जो वैज्ञानिकों ने पूछा है वह यह है: क्या हम एक ऐसा कंप्यूटर बना सकते हैं जो केवल रैंडम अंदाज़ा न लगाए, बल्कि वैज्ञानिक नियमों के आकार को वास्तव में समझ सके ताकि वह उन्हें तेजी से और सही ढंग से खोज सके, यहाँ तक कि शोर-शराबे वाले, वास्तविक दुनिया के डेटा में भी?

यहीं पर PISR (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड सिंबोलिक रिग्रेशन) नामक एक नया आविष्कार आता है। PISR को एक ऐसे जासूस के रूप में न सोचें जो लाइब्रेरी में पागलों की तरह खोज रहा है, बल्कि एक ऐसे मास्टर शेफ के रूप में सोचें जिसने खाना पकाने का पूरा इतिहास याद कर लिया है। PISR के पीछे के शोधकर्ताओं ने महसूस किया कि वास्तविक वैज्ञानिक नियम केवल यादृच्छिक गणित नहीं हैं; वे सभी संभावित समीकरणों के विशाल ब्रह्मांड के भीतर एक विशिष्ट, व्यवस्थित पड़ोस में रहते हैं। वे इस पड़ोस को "फॉर्मूला मैनिफोल्ड" (formula manifold) कहते हैं।

हर बार उत्तर खोजने के बजाय, PSR इस "मैप" को सीखता है। यह एक चतुर चाल का उपयोग करता है: यह ज्ञात भौतिकी और गणित के नियमों के एक विशाल संग्रह पर प्रशिक्षण लेता है, यह सीखने के लिए कि एक वास्तविक नियम का "वाइब" या "आकार" कैसा होता है। जब आप इसे नया, अस्त-व्यस्त डेटा (जैसे हवा की अराजक गति या किसी दूर के तारे की कक्षा) देते हैं, तो PISR शून्य से शुरुआत नहीं करता है। यह तुरंत उस डेटा को अपने आंतरिक मानचित्र पर प्रोजेक्ट करता है और पूछता है, "यह क्या जैसा दिखता है?" यह उत्तर खोजने के लिए दो सुपरपावर्स का उपयोग करता है:

फ्लो मैचिंग (Flow Matching): यह डेटा बिंदु को मैप पर निकटतम ज्ञात नियम की ओर धीरे से "बहाता" है, जैसे एक नदी समुद्र की ओर रास्ता खोजती है।
रिट्रीवल (Retrieval): यह उन 4,0{0,000} वास्तविक सूत्रों के पुस्तकालय से तुरंत निकटतम पड़ोसियों को पकड़ लेता है जिनका उसने पहले ही अध्ययन किया है।

परिणाम प्रभावशाली हैं। परीक्षणों में, PSR ने कठिन वास्तविक दुनिया की भौतिकी समस्याओं पर भौतिक नियमों की सही गणितीय संरचना 51.3% बार खोजी, जिसने सभी अन्य तरीकों को पीछे छोड़ दिया। यह अपने सबसे अच्छे प्रतिस्पर्धियों की तुलना में लगभग 2.4 गुना तेज़ भी था। लेकिन असली जादू तब हुआ जब शोधकर्ताओं ने इसका परीक्षण उन चीजों पर किया जो इसने पहले कभी नहीं देखी थीं। PSR ने वित्त, जीव विज्ञान और खगोल विज्ञान जैसे अलग-अलग क्षेत्रों के कच्चे डेटा से प्रसिद्ध नियमों को सफलतापूर्वक पुनः प्राप्त किया, जिसमें जटिल टर्बुलेंस पैटर्न और एक तारे की चमक और उसके तापमान के बीच का संबंध शामिल है।

महत्वपूर्ण रूप से, पेपर यह दर्शाता है कि PISR केवल उत्तरों को रट नहीं रहा है। शोधकर्ताओं ने साबित किया कि कंप्यूटर के "दिमाग" (इसके गणितीय स्थान) में, वास्तविक वैज्ञानिक नियम यादृच्छिक, निरर्थक गणित से स्पष्ट रूप से अलग हैं। यह एक ऐसे कमरे की तरह है जहाँ सभी वास्तविक नियम एक व्यवस्थित घेरे में बैठे हैं, जबकि यादृच्छिक बकवास दूर बिखरी हुई है। क्योंकि PSR जानता है कि यह घेरा मौजूद है, इसलिए यह बकवास को अनदेखा कर सकता है और केवल सार्थक पैटर्न पर ध्यान केंद्रित कर सकता है।

हालाँकि, यह कोई जादुई छड़ी नहीं है जो सब कुछ हल कर दे। पेपर सावधानी से नोट करता है कि PISR "क्लोज्ड-फॉर्म" (closed-form) नियमों के लिए डिज़ाइन किया गया है—वे समीकरण जिन्हें आप कागज के एक टुकड़े पर लिख सकते हैं। यह वर्तमान में उन समीकरणों को उसी तरह से नहीं संभाल सकता जिनमें समय के साथ परिवर्तनशील दरें (जैसे डिफरेंशियल इक्वेशंस) शामिल होती हैं। इसके अलावा, जबकि यह उन नियमों को खोजने में उत्कृष्ट है जो वैज्ञानिक सूत्रों की तरह दिखते हैं, यह उन अमूर्त गणितीय समस्याओं के साथ संघर्ष करता है जो भौतिकी के नियमों का पालन नहीं करते हैं, क्योंकि इसने "ऑफ-मैनिफोल्ड" (off-manifold) संरचनाओं को अनदेखा करना सीख लिया है।

संक्षेप में, PISR "ब्रूट फोर्स सर्चिंग" से "स्मार्ट पैटर्न रिकग्निशन" की ओर एक बदलाव का प्रतिनिधित्व करता है। यह सुझाव देता है कि यदि हम कंप्यूटर को यह समझने के लिए सिखाते हैं कि ब्रह्मांड अपने नियम कैसे लिखता है, तो हम अस्त-व्यस्त डेटा से उन नियमों को पहले की तुलना में बहुत तेज़ी से और अधिक सटीकता से पुनः प्राप्त कर सकते हैं। शोधकर्ताओं ने दिखाया है कि वैज्ञानिक नियम गणितीय स्थान के एक विशेष, संरचित कोने में रहते हैं, और उस कोने को नेविगेट करना सीखकर, हम एक ही, त्वरित दृष्टि के साथ ब्रह्मांड के रहस्यों को फिर से खोज सकते हैं।

तकनीकी सारांश: भौतिक नियमों के प्रतीकात्मक प्रतिगमन (Symbolic Regression) के लिए एक खोज-मुक्त फाउंडेशन मॉडल

1. समस्या विवरण

प्रतीकात्मक प्रतिगमन (Symbolic Regression - SR) का लक्ष्य प्रेक्षित डेटा (observational data) से व्याख्या योग्य, बंद-रूप (closed-form) गणितीय नियमों को पुनः प्राप्त करना है। यद्यपि यह वैज्ञानिक खोज के लिए केंद्रीय है, मौजूदा पद्धतियां सटीकता और गति के बीच एक मौलिक समझौते (trade-off) का सामना करती हैं:

खोज-आधारित पद्धतियां (जैसे जेनेटिक एल्गोरिदम, GPU-समानांतर गणना): ये स्वच्छ, निम्न-आयामी डेटा पर सटीक होती हैं, लेकिन उच्च कम्प्यूटेशनल लागत, वास्तविक दुनिया के शोर वाले डेटा पर भंगुरता (brittleness), और प्रत्येक नए प्रश्न के लिए अभिव्यक्ति के संयोजनात्मक स्थान (combinatorial expression space) को फिर से खोजने की आवश्यकता से ग्रस्त होती हैं।
एंड-टू-एंड डीप लर्निंग पद्धतियां (जैसे ट्रांसफॉर्मर): ये गति तो प्रदान करती हैं लेकिन आमतौर पर SR को एक अनुक्रम अनुवाद (sequence translation) कार्य के रूप में मानती हैं। वे डेटा वितरण को मॉडल करना सीखती हैं न कि सूत्रों के अंतर्निहित स्थान को, जिसके कारण उनमें भौतिक नियमों की संरचना पर स्पष्ट पूर्वग्रह (priors) का अभाव होता है। फलस्वरूप, वे वास्तविक भौतिक खोज के लिए आवश्यक असतत (discrete), गैर-सुचारू (non-smooth) और अति-घातांकीय रूप से बढ़ते अभिव्यक्ति स्थान के साथ संघर्ष करती हैं।

यह शोध पत्र तर्क देता है कि वर्तमान डेटा-संचालित एल्गोरिदम भौतिक संबंधों के बारे में तर्क करने में विफल रहते हैं क्योंकि वे उन सूत्रों के "स्थान" (space of formulas) का मॉडल नहीं बनाते जिन्हें वे भविष्यवाणियां करते हैं।

2. कार्यप्रणाली: PISR (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड सिम्बॉलिक रिग्रेशन)

लेखक PISR का प्रस्ताव करते हैं, जो एक खोज-मुक्त फाउंडेशन मॉडल है जो प्रतीकात्मक प्रतिगमन को एक पूर्व-प्रशिक्षित, कंट्रास्टिवली-अलाइन्ड (contrastively-aligned) फॉर्मूला-डेटा मैनिफोल्ड के भीतर एक जनरेशन समस्या के रूप में पुनर्गठित करता है। मुख्य परिकल्पना यह है कि वास्तविक भौतिक नियम सभी संभावित अभिव्यक्तियों के विशाल स्थान के भीतर एक संरचित, निम्न-जटिलता वाले उप-मैनिफोल्ड (sub-manifold) में स्थित होते हैं, जो आयामी निरंतरता (dimensional consistency) और आवर्ती संरचनात्मक रूपांकनों (compositional motifs) द्वारा आकार लेते हैं।

आर्किटेक्चर और प्रशिक्षण

साझा लेटेंट मैनिफोल्ड (Shared Latent Manifold): PISR दो एनकोडर्स का उपयोग करता है जो एक सममित InfoNCE कंट्रास्टिव ऑब्जेक्टिव (CLIP-शैली) के माध्यम से संरेखित (aligned) हैं:
1. डेटा एनकोडर ( $E_d$ ): एक परम्यूटेशन-इनवेरिएंट एनकोडर (16 सीखे गए सीड टोकन के साथ पूल्ड मल्टी-हेड अटेंशन) जो पॉइंट क्लाउड्स $\{(x_i, y_i)\}$ को एक लेटेंट वेक्टर $z_d$ में मैप करता है।
2. फॉर्मूला एनकोडर ( $E_f$ ): एक ग्राफ न्यूरल एनकोडर जो एक अभिव्यक्ति के एब्स्ट्रैक्ट सिंटैक्स ट्री (AST) को एक लेटेंट वेक्टर $z_f$ में मैप करता है।
- एलाइनमेंट (Alignment): प्रशिक्षण के दौरान, एक सूत्र और उसके द्वारा उत्पन्न डेटा को लेटेंट स्पेस ( $\mathbb{R}^{640}$ ) में निकटतम बिंदुओं की ओर खींचा जाता है, जिससे निकटता एक कार्यात्मक संबंध के प्रॉक्सी के रूप में कार्य करती है।
संरचनात्मक पर्यवेक्षण (Structural Supervision): मॉडल को एक बड़े भौतिकी/गणित कॉर्पस (33.6 मिलियन अभिव्यक्तियाँ) पर प्रशिक्षित किया गया है, जिसे एक भौतिकी ज्ञान ग्राफ के साथ संवर्धित किया गया है। एक संरचनात्मक लॉस टर्म ( $L_{struct}$ ) अभिव्यक्ति संरचना पर एक भौतिकी-सूचित पूर्वग्रह लागू करता है, जो पैरेंट लॉ, पूर्व-शर्तों और डेरिवेशन-DAG किनारों का उपयोग करता है।
मॉडल स्केल: पूरे मॉडल में लगभग 0.4 बिलियन पैरामीटर शामिल हैं, जिसमें एनकोडर्स, एक फ्लो-मैचिंग फील्ड और एक डिकोडर शामिल है।

इन्फरेंस पाइपलाइन (खोज-मुक्त)

PISR प्रति-इंस्टेंस प्रतीकात्मक खोज के बिना एक एकल एम्ोर्टाइज्ड फॉरवर्ड पास में संचालित होता है:

लेटेंट जनरेशन: एक फ्लो-मैचिंग फील्ड (DiT-शैली) डेटा लेटेंट $z_d$ को उम्मीदवार फॉर्मूला लेटेंट्स की ओर ले जाता है।
रिट्रीवल (Retrieval): 400,000 वास्तविक-फॉर्मूला लेटेंट्स की एक लाइब्रेरी इंडेक्स की जाती है। $z_d$ के $k$ -निकटतम पड़ोसियों (k-nearest neighbors) को पुनर्प्राप्त किया जाता है ताकि जनरेट किए गए उम्मीदवारों के लिए एक गैर-पैरामीट्रिक पूरक प्रदान किया जा सके।
कंडीशनड डिकोडिंग: एक ऑटोरिग्रेसिव डिकोडर, डेटा प्रतिनिधित्व पर आधारित होकर, दोनों फ्लो-जनरेटेड और रिट्रीव्ड लेटेंट्स को अभिव्यक्ति कंकालों (expression skeletons - टाइप किए गए टोकन) में रेंडर करता है।
चयन (Selection): उम्मीदवार अभिव्यक्तियों के मुक्त स्थिरांकों (free constants) को नॉनलीनियर लीस्ट स्क्वेयर्स के माध्यम से फिट किया जाता है। उम्मीदवारों को केवल होल्ड-आउट प्रेडिक्टिव एरर द्वारा रैंक किया जाता है (कोई जटिलता दंड लागू नहीं किया जाता है, क्योंकि भौतिक नियम संरचनात्मक रूप से जटिल हो सकते हैं)। शीर्ष प्रदर्शन करने वाली अभिव्यक्ति को वापस किया जाता है।

3. प्रमुख योगदान और निष्कर्ष

फॉर्मूला-मैनिफोल्ड परिकल्पना

शोध पत्र इस बात के अनुभवजन्य प्रमाण प्रदान करता है कि वास्तविक भौतिक सूत्र सीखे गए लेटेंट स्पेस में यादृच्छिक अभिव्यक्तियों से रैखिक रूप से अलग (linearly separable) होते हैं।

पृथक्करणीयता (Separability): एक लीनियर प्रोब वास्तविक भौतिक नियमों को संरचना-मिलान वाली यादृच्छिक अभिव्यक्तियों (ऑपरेटर फ्रीक्वेंसी और लंबाई को नियंत्रित करते हुए) से अलग करने में 94.4% का ROC-AUC प्राप्त करता है।
ज्यामिति (Geometry): वास्तविक नियम एक समृद्ध, विस्तृत संरचना (पार्टिसिपेशन रेशियो 21.5) बनाते हैं जो यादृच्छिक अभिव्यक्तियों (10.5) से भिन्न है, जो इस बात की पुष्टि करती है कि "लॉ रीजन" केवल एक छोटे उपसमुच्चय के बजाय कंपोजिशनल ग्रामर द्वारा परिभाषित है।
आयामी विश्लेषण (Dimensional Analysis): यह पृथक्करणीयता बकिंगम- $\pi$ (Buckingham- $\pi$ ) प्रमेय पर आधारित है, जो वैध नियमों को आयामहीन समूहों (dimensionless groups) तक सीमित करती है, जिससे अधिकांश व्याकरणिक रूप से वैध लेकिन भौतिक रूप से असंभव अभिव्यक्तियों को हटा दिया जाता है।

बेंचमार्क प्रदर्शन

Pyser (PySR), GPU-समानांतर गणना (PSE), डोमेन-विशिष्ट ट्रांसफॉर्मर (PhyE2E), और लेटेंट जनरेटिव SR (GenSR) जैसे चार बेसलाइनों के विरुद्ध PISR का मूल्यांकन किया गया।

रियल-फिजिक्स बेंचमार्क (797 कार्य): PISR ने 51.32% संरचनात्मक सटीकता प्राप्त की, जो अगले सर्वश्रेष्ठ मॉडल (PySR) से 7.66 प्रतिशत अंक अधिक है।
क्रॉस-डोमेन जनरलाइजेशन (270 कार्य): PISR ने 71.11% सटीकता प्राप्त की, जो PySR से 15.93 अंक अधिक है। यह सुझाव देता है कि मॉडल ने केवल भौतिक वितरण को ही नहीं, बल्कि कानून-जैसे सूत्रों की संरचना को सीखा है, जिससे वित्त, अर्थशास्त्र और जीव विज्ञान में स्थानांतरण संभव हुआ।
फिनमैन समीकरण (119 कार्य): PISR ने 39.50% सटीकता प्राप्त की, जो GPU-एनुमेरेशन बेसलाइन से 6.73 अंक अधिक है।
दक्षता (Efficiency): Pिटर (PISR) जेनेटिक प्रोग्रामिंग की तुलना में लगभग 2.4 गुणा तेज़ और GPU एन्यूमरेशन की तुलना में 2.5 गुणा तेज़ है, जिसमें बेसलाइनों के पुनरावृत्ति खोज के बजाय केवल एक सिंगल फॉरवर्ड पास (~12.25s प्रति कार्य) की आवश्यकता होती है।

जटिल नियमों की रिकवरी

PISR ने उन नामित कानूनों को सफलतापूर्वक रिकवर किया जहाँ सभी बेसलाइन विफल रहे, विशेष रूप से उन मामलों में जिनमें शामिल थे:

ट्रांसेंडेंटल फंक्शन्स (Transcendental functions): घातांकीय (exponential) या लघुगणकीय (logarithmic) रूपों की सही पहचान की, जहाँ बेसलाइनों ने बीजगणितीय सरोगेट्स (जैसे नेस्टेड पावर्स या रैशनल एप्रोक्सिमेशन) का उपयोग किया था।
परिवर्तनीय घातांक (Variable exponents): $x^n$ जैसे परिवर्तनीय घातांकों वाले रूपों को रिकवर किया, जहाँ ट्रांसफॉर्मर ने फिक्स्ड एक्सपोनेंट्स का उपयोग किया था।
विशिष्ट डोमेन: टर्बुलेंस डेटा से कोलमोगोरोव टू-थर्ड्स लॉ (Kolmogorov two-thirds law), तारकीय कैटलॉग से स्टेफ़न-बोल्ट्ज़मैन संबंध, और रेनॉल्ड्स-स्ट्रेस क्लोजर (जहाँ शास्त्रीय मॉडल विफल रहे वहां $R^2 \approx 0.99$ प्राप्त किया) को सफलतापूर्वक रिकवर किया।

4. महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि PISR "कानूनों की खोज" से उन्हें एक भौतिकी-सूचित मैनिफोल्ड के भीतर "जनरेट" करने की ओर एक प्रतिमान बदलाव (paradigm shift) का प्रतिनिधित्व करता है।

इंडक्टिव बायस (Inductive Bias): कानून-समान सूत्रों के मैनिफोल्ड में विशेषज्ञता हासिल करके, मॉडल वास्तविक वैज्ञानिक डेटा पर स्टेट-ऑफ-द-आर्ट सटीकता प्राप्त करता है और अमूर्त अभिव्यक्ति स्थानों के "स्ट्रक्चर-फ्री" क्षेत्र से बचता है (जो कि इसके डिज़ाइन की विशेषता है, दोष नहीं)।
सामान्यीकरण (Generalization): मॉडल प्रदर्शित करता है कि एक एकल भौतिकी-प्रशिक्षित फाउंडेशन मॉडल गैर-भौतिक वैज्ञानिक डोमेन (जैसे अर्थशास्त्र, जीव विज्ञान) में सामान्यीकरण कर सकता है क्योंकि इन डोमेन में भी वैज्ञानिक कानूनों का समान "कंपोजिशनल ग्रामर" होता है।
स्केलेबिलिटी (Scalability): खोज-मुक्त आर्किटेक्चर ओपन क्लोजर समस्याओं (जैसे टर्बुलेंस मॉडलिंग) के लिए बड़े पैमाने पर परिकल्पना जनरेशन और सत्यापन को कम्प्यूटेशनल रूप से व्यवहार्य बनाता है, जिससे क्षेत्र ज्ञात कानूनों की रिकवरी से लेकर नए कानूनों के प्रस्ताव की ओर बढ़ता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि मॉडल की सफलता इस परिकल्पना पर टिकी है कि वैज्ञानिक कानून अभिव्यक्ति स्थान के मनमाने तत्व नहीं हैं, बल्कि एक संरचित उप-मैनिफोल्ड में स्थित हैं जो आयामी निरंतरता और भौतिक रूपांकनों द्वारा परिभाषित है। वास्तविक दुनिया के विज्ञान की विशेषता वाले शोर युक्त, आयामी रूप से संरचित डेटा को संभालने के लिए यह पूर्व-ज्ञान निर्णायक है।