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A Mathematical Theory of Correlated Error Accumulation in Quantum Circuits

यह शोध पत्र संचय स्केलिंग पर एक केंद्रीय प्रमेय को सिद्ध करके, स्थिरता और सार्वभौमिकता के परिणाम निकालकर, तथा विश्लेषणात्मक प्रमाणों और मोंटे कार्लो सिमुलेशन दोनों के माध्यम से मॉडल के सांख्यिकीय गुणों और नमूना जटिलता (सैंपल कॉम्प्लेक्सिटी) को मान्य करके, क्वांटम सर्किटों में सहसंबद्ध त्रुटि संचय (कोरिलेटेड एरर एक्युमुलेशन) के लिए एक कठोर बहु-स्तरीय गणितीय ढांचा स्थापित करता है।

मूल लेखक: RamaKrishna Pasupuleti

प्रकाशित 2026-08-11

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CC BY 4.0

मूल लेखक: RamaKrishna Pasupuleti

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम मशीन में छिपी गूँज (The Hidden Echoes in the Quantum Machine)

कल्पना कीजिए कि आप एक भीड़ भरे कमरे में एक गुप्त संदेश भेजने की कोशिश कर रहे हैं। यदि कमरे में हर कोई बेतरतीब ढंग से और स्वतंत्र रूप से फुसफुसा रहा है, तो वह शोर केवल एक स्थिर हिस (hiss) की तरह होता है; आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि चिल्लाने की आपकी दूरी के आधार पर वह आपके संदेश को कितना विकृत करेगा। अधिकांश वैज्ञानिक वर्तमान में क्वांटम कंप्यूटरों के भीतर "शोर" (noise) को इसी तरह देखते हैं: छोटी, स्वतंत्र गलतियों का एक संग्रह जो एक अनुमानित और उबाऊ तरीके से जुड़ती हैं। शोर की जाँच करने की इस विधि को "रैंडमाइज्ड बेंचमार्किंग" (Randomised Benchmarking) कहा जाता है, और यह एक तूफानी समुद्र के औसत तापमान को लेकर मौसम का पूर्वानुमान लगाने जैसा है। यह आपको बताता है कि पानी गीला है, लेकिन यह उन विशाल, समन्वित लहरों को नहीं देख पाता जो एक जहाज को डुबो सकती हैं।

हालाँकि, क्या होगा यदि शोर बिल्कुल भी यादृच्छिक (random) नहीं है? क्या होगा यदि कंप्यूटर के एक हिस्से द्वारा की गई गलतियाँ चुपके से अगले हिस्से की गलतियों से फुसफुसा रही हैं, जिससे एक श्रृंखला अभिक्रिया (chain reaction) बन रही है? क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, इसे "सहसंबंधित त्रुटि" (correlated error) कहा जाता है। यह एक पोखर में गिरने वाली एक अकेली बूंद और अचानक होने वाली एक समन्वित मूसलाधार बारिश के बीच का अंतर है जो पूरी सड़क को जलमग्न कर देती है। इसे समझना इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि जैसे-जैसे क्वांटम कंप्यूटर बड़े होते जा रहे हैं, ये छिपे हुए संबंध उन्हें उन तरीकों से विफल कर सकते हैं जिन्हें हम वर्तमान उपकरणों के साथ नहीं समझ सकते। प्रश्न केवल यह नहीं है कि "मशीन कितनी शोर भरी है?" बल्कि यह है कि "जैसे-जैसे हम मशीन को अधिक जटिल बनाते हैं, शोर कैसे बढ़ता है?"

शोध पत्र की बड़ी खोज: रिपल इफेक्ट (The Paper's Big Discovery: The Ripple Effect)

यह शोध पत्र, जिसका शीर्षक A Mathematical Theory of Correlated Error Accumulation in Quantum Circuits है, क्वांटम कंप्यूटरों के लिए एक नए प्रकार के भूकंपमापी (seismograph) की तरह कार्य करता है। त्रुटियों के औसत "गड़गड़ाहट" को मापने के बजाय, लेखक रामकृष्ण पसुपुलेंटी ने एक गणितीय ढांचा बनाया है जो यह मापता है कि कंप्यूटर के बड़ा होने पर वे त्रुटियाँ कैसे स्केल (scale) होती हैं।

इसका मूल विचार आश्चर्यजनक रूप से सरल है, भले ही इसके पीछे का गणित भारी हो। लेखक का प्रस्ताव है कि यदि आप एक विशिष्ट प्रकार का क्वांटम सर्किट (एक संचालन की श्रृंखला जो "GHZ स्टेट" नामक एक विशेष अवस्था बनाता है) चलाते हैं, तो त्रुटि की मात्रा केवल एक सीधी रेखा में नहीं बढ़ती। इसके बजाय, यह एक विशिष्ट पावर लॉ (power law) के अनुसार बढ़ती है। इसे इस तरह सोचें: यदि आप एक तालाब में पत्थर गिराते हैं, तो लहरें (ripples) बाहर की ओर फैलती हैं। यदि पानी शांत है, तो लहरें जल्दी खत्म हो जाती हैं। लेकिन यदि पानी में एक अजीब, लंबी स्मृति वाली धारा है, तो लहरें वास्तव में उम्मीद से अधिक मजबूत हो सकती हैं या बहुत दूर तक फैल सकती हैं।

पत्र एक प्रमेय (Correlated Error Accumulation Theorem, या CEAT) सिद्ध करता है जो दो संख्याओं को जोड़ता है:

$\beta$ (बीटा): शोर अपने अतीत को कितनी तेज़ी से "भूलता" है। एक उच्च संख्या का अर्थ है कि शोर जल्दी भूल जाता है (स्वतंत्र त्रुटियाँ)। एक कम संख्या का अर्थ है कि शोर की स्मृति लंबी है (सहसंबंधित त्रुटियाँ)।
$\alpha$ (अल्फा): अधिक क्यूबिट्स (क्वांटम कंप्यूटर के "परमाणु") जोड़ने पर कुल त्रुटि कितनी तेज़ी से बढ़ती है।

पत्र एक सीधा संबंध पाता है: $\alpha = 2 - \beta$ ।

सरल शब्दों में इसका अर्थ यह है कि यदि आप मापते हैं कि त्रुटि कितनी तेज़ी से बढ़ती है ( $\alpha$ ), तो आप तुरंत गणना कर सकते हैं कि शोर की "स्मृति" कितनी लंबी ( $\beta$ ) है। यदि $\alpha$ , 1 से अधिक है, तो यह एक चेतावनी का संकेत है। इसका मतलब है कि त्रुटियाँ केवल जमा नहीं हो रही हैं; वे एक-दूसरे को सुदृढ़ कर रही हैं, जिससे एक "सुपर-लीनियर" आपदा पैदा हो रही है जहाँ सर्किट के आकार में मामूली वृद्धि से गलतियों का एक बड़ा विस्फोट होता है।

यह शोध पत्र क्या खारिज करता है (और क्या नहीं)

यह शोध पत्र इस बात के प्रति बहुत सावधान है कि वह क्या दावा करता है। यह स्पष्ट रूप से इस विचार के विरुद्ध तर्क देता है कि मानक बेंचमार्किंग विधियाँ (जैसे रैंडमाइज्ड बेंचमार्किंग) इन समस्याओं का निदान करने के लिए पर्याप्त हैं। पत्र कहता है कि ये पुरानी विधियाँ "परिणाम को एक स्केलर (scalar) में समेट देती हैं"—वे सब कुछ औसत कर देती हैं और खतरनाक सहसंबंधों को छिपा देती हैं। यदि किसी क्वांटम कंप्यूटर में लंबी दूरी की, सहसंबंधित त्रुटियाँ हैं, तो पुरानी विधियाँ कह सकती हैं कि वह "ठीक" है, जबकि नई विधि "खतरा" चिल्लाएगी।

हालाover, पत्र एक सख्त रेखा भी खींचता है कि उसने अभी तक क्या सिद्ध नहीं किया है। यह यह दावा नहीं करता कि उसने इन सहसंबंधों को भौतिकी के मौलिक नियमों (जैसे चिप के भीतर विशिष्ट परमाणु) से निकाला है। इसके बजाय, यह कहता है: "यदि हम यह मान लें कि शोर एक निश्चित तरीके से व्यवहार करता है (जिसे हम Axioms A1–A3 कहते हैं), तो हमारा गणित सिद्ध करता है कि यह स्केलिंग होती है।" पत्र इन सहसंबंधों के भौतिक मूल को एक अलग, भविष्य के प्रोजेक्ट के रूप में छोड़ देता है। यह सहसंबंधों के संचय के गणित को सिद्ध करता है, लेकिन शोर इस तरह क्यों व्यवहार करता है, इसके भौतिक विज्ञान को प्रयोगवादियों द्वारा सत्यापित किए जाने वाले एक खुले प्रश्न के रूप में छोड़ देता है।

महत्वपूर्ण रूप से, इस विशिष्ट शोध पत्र में अपना कोई प्रयोगात्मक डेटा (experimental data) शामिल नहीं है। लेखक स्पष्ट रूप से कहता है कि तालिकाओं और चित्रों में सभी संख्यात्मक परिणाम विश्लेषणात्मक सूत्रों (analytical formulae) से गणना किए गए थे। बाद में उल्लेखित "हार्डवेयर वैलिडेशन" परिणाम—जहाँ इस सिद्धांत का परीक्षण वास्तविक IBM क्वांटम कंप्यूटरों पर किया गया था—एक अलग, साथी प्रयोगात्मक शोध पत्र में रिपोर्ट किए गए हैं। यह दस्तावेज़ कठोर गणितीय सिद्धांत और "सेस्मोग्राफ" का डिज़ाइन प्रदान करता है, जबकि साथी शोध पत्र वास्तविक दुनिया के उपकरणों से वास्तविक रिकॉर्डिंग प्रदान करता है।

प्रमाण: सिमुलेशन और वास्तविक दुनिया के परीक्षण

लेखक गणित में कितने आश्वस्त हैं? वे स्वयं गणित में बहुत आश्वस्त हैं। पत्र कठोर प्रमाणों (Euler–Maclaurin विस्तार जैसे उपकरणों का उपयोग करते हुए) का उपयोग करके यह दिखाने के लिए करता है कि स्केलिंग कानून तब तक सत्य रहता है जब तक कि कोई भी सिस्टम उनके अनुमानों में फिट बैठता है। उन्होंने यह दिखाने के लिए हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन (Monte Carlo trials) भी चलाए कि $\alpha$ को मापने की उनकी विधि काम करती है और सांख्यिकीय रूप से सुदृढ़ है।

असली रोमांच "हार्डवेयर वैलिडेशन" अनुभाग से आता है, जो एक साथी अध्ययन के डेटा को संदर्भित करता है। लेखक ने इस सिद्धांत को लिया और इसका परीक्षण IBM के वास्तविक क्वांटम कंप्यूटरों (विशेष रूप से ibm_fez, ibm_kingston, और ibm_marrakesh उपकरणों) पर किया।

उस साथी डेटा में उन्होंने क्या पाया:

गणित काम करता है: जब उन्होंने परीक्षण किए, तो डेटा पावर-लॉ कर्व में लगभग पूरी तरह से फिट हुआ (97% से अधिक की सांख्यिकीय विश्वास के साथ)।
डायग्नोस्टिक्स काम करते हैं: पद्धति ने सफलतापूर्वक एक "क्रिटिकल" (critical) डिवाइस (ibm_marrakesh) को पहचाना जो असामान्य व्यवहार कर रहा था। 5 जुलाई को, उस डिवाइस ने भारी त्रुटि वृद्धि दर ( $\alpha = 3.78$ ) दिखाई। अगले ही दिन, IBM ने उस डिवाइस पर रखरखाव (maintenance) किया। सुधार के बाद, त्रुटि दर गिर गई, और डिवाइस एक "स्वस्थ" स्थिति में वापस आ गया।
पूर्वानुमान: एक सत्र में, लेखक ने कम त्रुटि वृद्धि दर के आधार पर भविष्यवाणी की कि एक डिवाइस "स्वस्थ" होगा, और ऐसा ही हुआ। दूसरे में, उन्होंने एक "क्रिटिकल" स्थिति की भविष्यवाणी की, और डिवाइस वास्तव में विफल हो रहा था।

पत्र में एक "Ten-Row Falsification Protocol" भी शामिल है, जो अनिवार्य रूप से दस अलग-अलग परीक्षणों की एक चेकलिस्ट है जो लेखक ने अपने सिद्धांत को गलत साबित करने के लिए बनाई है। यदि इनमें से कोई भी परीक्षण विफल होता है (उदाहरण के लिए, यदि शोर स्थिर नहीं है या पावर-लॉ फिट खराब है), तो पूरा सिद्धांत उस विशिष्ट डिवाइस के लिए ढह जाता है। यह उच्च स्तर की वैज्ञानिक ईमानदारी को दर्शाता है: वे केवल जीत का दावा नहीं कर रहे हैं; वे आपको अपने सिद्धांत को तोड़ने के उपकरण दे रहे हैं यदि वह गलत है।

निष्कर्ष (The Takeaway)

यह शोध पत्र हमें केवल मापने के लिए एक नया नंबर नहीं देता है; यह हमें क्वांटम दुनिया को देखने के लिए एक नया लेंस देता है। यह सुझाव देता है कि क्वांटम कंप्यूटर में त्रुटियाँ कैसे बढ़ती हैं, वह शोर की "स्मृति" के बारे में एक कहानी बताती है। यदि त्रुटियाँ धीरे-धीरे और रैखिक रूप से बढ़ती हैं, तो शोर स्वतंत्र और प्रबंधनीय है। यदि वे विस्फोटक रूप से बढ़ती हैं, तो शोर सहसंबंधित है, और कंप्यूटर मुसीबत में है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि गणितीय सिद्धांत ठोस है और IBM हार्डवेयर पर प्रारंभिक परीक्षण (साथी पत्र में विस्तृत) आशाजनक हैं, पूरी कहानी अभी समाप्त नहीं हुई है। हमें अभी भी यह समझने की आवश्यकता है कि शोर की यह लंबी स्मृति आखिर क्यों है। लेकिन फिलहाल, यह नया "स्केलिंग एक्सपोनेंट" डायग्नोस्टिक एक विफल होते क्वांटम कंप्यूटर को पूरी तरह विफल होने से पहले पहचानने का एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करता है, जो "शोर" की एक अस्पष्ट भावना को एक सटीक, मापने योग्य चेतावनी संकेत में बदल देता है।

तकनीकी सारांश: क्वांटम सर्किट में सहसंबद्ध त्रुटि संचय का एक गणितीय सिद्धांत

समस्या विवरण
मौजूदा क्वांटम बेंचमार्किंग तकनीकें, जैसे कि रैंडमाइज्ड बेंचमार्किंग (RB), सभी सर्किट इंस्टेंस और त्रुटि स्रोतों के डेटा को एकत्रित करके एक औसत त्रुटि दर निकालती हैं। मार्कोवियन धारणाओं के तहत औसत गेट फिडेलिटी (fidelity) का अनुमान लगाने के लिए प्रभावी होने के बावजूद, यह औसत प्रक्रिया शोर की संरचना को एक स्केलर (scalar) में समेट देती है, जिससे RB सहसंबद्ध त्रुटियों (correlated errors) या दीर्घ-परासी निर्भरताओं (long-range dependencies) का पता लगाने में असमर्थ हो जाता है। फलस्वरूप, वर्तमान विधियाँ यह निर्धारित करने में सक्षम नहीं हैं कि इन्फिडेलिटी (infidelity) सर्किट जटिलता (qubit count $n$ ) के साथ कैसे स्केल करती है या शोर की अंतर्निहित सहसंबंध संरचना क्या है। यह सीमा उन उपकरणों के बीच अंतर करने की क्षमता को बाधित करती है जिनमें स्वतंत्र त्रुटियाँ होती हैं और जिनमें दृढ़ सहसंबद्ध, दीर्घ-परासी त्रुटियाँ होती हैं, जो समान RB दरों के बावजूद स्केलिंग व्यवहार में भिन्न हो सकती हैं।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र बिना किसी 'एड हॉक' (ad hoc) धारणा पर निर्भर रहे, सहसंबद्ध त्रुटि संचय को वर्गीकृत करने के लिए एक कठोर, बहु-स्तरीय गणितीय ढांचे का विकास करता है। यह दृष्टिकोण तीन स्पष्ट अभिगृहों (axioms) पर आधारित है:

A1 (स्थिरता/Stationarity): गेट त्रुटियाँ एक शून्य-माध्य (zero-mean), दुर्बल रूप से स्थिर (weakly stationary) प्रक्रिया बनाती हैं।
A2 (नियमित भिन्नता/Regular Variation): गेट त्रुटियों का सहसंबंध फलन $C(k)$ एक पावर लॉ $C(k) \sim L \cdot k^{-\beta}$ के रूप में घटता है (संभावित रूप से एक धीमी रूप से परिवर्तनशील कारक के साथ), जो सम्मणीय ( $\beta > 1$ ) और दीर्घ-परासी निर्भर ( $\beta > 0 < 1$ ) दोनों क्षेत्रों को कवर करता है।
A3 (परटर्बेटिव शासन/Perturbative Regime): संचित चरण विचरण (accumulated phase variance) एक परटर्बेटिव सीमा ( $E[\phi^2] < \pi^2/4$ ) के भीतर रहता है, जो यह सुनिश्चित करता है कि इन्फिडेलिटी 0.5 से नीचे रहे।

मुख्य विश्लेषणात्मक उपकरण सहसंबद्ध त्रुटि संचय प्रमेय (Correlated Error Accumulation Theorem - CEAT) है। लेखक एक संचय ऑपरेटर $T_n(C) = \sum_i \sum_j C(|i-j|)$ को परिभाषित करता है जो $n$ आकार के सर्किट में कुल संचित सहप्रसरण (covariance) का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याओं के यूलर-मैकलॉरिन विस्तार (Euler–Maclaurin expansion) और नियमित भिन्नता (regular variation) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यह शोध पत्र इस ऑपरेटर के स्पर्शोन्मुखी (asymptotic) स्केलिंग को व्युत्पन्न करता है।

डेटा से स्केलिंग घातांक (exponent) का अनुमान लगाने के लिए, ढांचा मॉडल $f(n; \theta) = C_0 n^\alpha + R$ पर नॉन-लीनियर लीस्ट स्क्वायर्स (NLS) अनुमान का उपयोग करता है। इस एस्टीमेटर के सांख्यिकीय गुणों (संगति, स्पर्शोन्मुखी सामान्यता और परिमित-नमूना पूर्वाग्रह) को जेनरिक (1969) और व्हाइट (1980) द्वारा स्थापित शर्तों का उपयोग करके व्युत्पन्न किया गया है। ढांचा विशिष्ट डिवाइस स्वास्थ्य श्रेणियों को वर्गीकृत करने के लिए इष्टतम निर्णय थ्रेशोल्ड निर्धारित करने हेतु बायेस जोखिम (Bayes risk) विश्लेषण का भी उपयोग करता है।

प्रमुख योगदान

सहसंबद्ध त्रुटि संचय प्रमेय (CEAT): यह सिद्ध करता है कि $C(k) \sim k^{-\beta}$ $C (k) \sim k^{- β}$ सहसंबंध अनुक्रम के लिए, संचित त्रुटि ऑपरेटर $T_n(C) \sim n^\alpha$ $T_{n} (C) \sim n^{α}$ के रूप में स्केल करता है, जहाँ घातांक $\alpha = \max(1, 2-\beta)$ $α = max (1, 2 - β)$ है।
- यदि $0 < \beta < 1$ (दीर्घ-परासी निर्भरता), तो $\alpha = 2-\beta > 1$ , जो सुपर-लीनियर त्रुटि वृद्धि को दर्शाता है।
- यदि $\beta > 1$ (सम्मणीय सहसंबंध), तो $\alpha = 1$ , जो रैखिक वृद्धि को दर्शाता है।
- सीमावर्ती मामला $\beta=1$ लॉगरिदमिक सुधार ( $n \ln n$ ) देता है।
स्थिरता और सार्वभौमिकता प्रमेय: यह प्रदर्शित करता है कि घातांक $\alpha$ योगात्मक व्यवधानों (additive perturbations) (बशर्ते वे प्राथमिक सहसंबंध की तुलना में तेजी से घटें), गुणात्मक धीमी रूप से परिवर्तनशील कारकों, और परिमित ट्रंकेशन के विरुद्ध सुदृढ़ (robust) है। परिणाम को सार्वभौमिक दिखाया गया है, जो केवल सहसंबंध फलन के नियमित भिन्नता वर्ग पर निर्भर करता है, न कि विशिष्ट भौतिक तंत्र पर।
एस्टिमेटर का सांख्यिकीय लक्षण वर्णन: शोध पत्र सिद्ध करता है कि NLS एस्टीमेटर $\hat{\alpha}$ सुसंगत (consistent) और स्पर्शोन्मुखी रूप से सामान्य (asymptotically normal) है। महत्वपूर्ण रूप से, यह परिमित-नमूना उर्ध्व पूर्वाग्रह (finite-sample upward bias) को मात्रात्मक रूप से निर्धारित करता है, यह दिखाते हुए कि यह $O(n^{\beta-1})$ के रूप में घटता है। यह विशिष्ट अनुमान सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम क्वबिट संख्या ( $N(\beta, \epsilon)$ ) की गणना करने की अनुमति देता है।
GHZ सर्किट के माध्यम से भौतिक संबंध: लेखक स्थापित करते हैं कि GHZ अवस्था तैयारी सर्किट संचयी सहसंबद्ध त्रुटि के लिए एक प्रत्यक्ष प्रोब के रूप में कार्य करते हैं। निर्धारित अभिगृहों के तहत, $n$ -क्विबिट GHZ अवस्था की इन्फिडेलिटी $T_n(C)/4$ के समानुपाती होती है। अल्टरनेटिंग सीरीज़ (alternating series) के माध्यम से एक परटर्बेशन बाउंड $|C_{GHZ} - \phi^2/4| \leq \phi^4/48$ सिद्ध किया गया है, जो इस डायग्नोस्टिक के लिए GHZ सर्किटों के उपयोग को मान्य करता है।
निर्णय-सैद्धांतिक ढांचा: शोध पत्र $n=2\text{--}10$ की रेंज के लिए एक बायेस-इष्टतम थ्रेशोल्ड ( $\alpha^* \approx 1.57$ ) को व्युत्पन्न करता है, जो स्टोकेस्टिक (स्वस्थ) और क्रिटिकल (सहसंबद्ध) शासन के बीच अंतर करता है, यह नोट करते हुए कि परिमित डेटासेट के लिए $\alpha=1$ का स्पर्शोन्मुखी थ्रेशोल्ड उप-इष्टतम है।

परिणाम

विश्लेषणात्मक सत्यापन: CEAT को सामान्य पावर-लॉ सहसंबंधों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया गया है। यह दिखाया गया है कि दो-पदों वाला विस्तार $T_n(C) \approx A n^{2-\beta} + B n$ में $n \geq 1000$ के लिए सापेक्ष त्रुटियां $<0.01\%$ हैं।
संख्यात्मक सत्यापन: मोंटे कार्लो सिमुलेशन (2000 परीक्षण) NLS एस्टीमेटर की स्पर्शोन्मुखी सामान्यता और अनुमानित उर्ध्व पूर्वाग्रह की पुष्टि करते हैं। यह दिखाया गया है कि पूर्वाग्रह $\beta=1$ के पास सबसे गंभीर है।
हार्डवेयर सत्यापन संदर्भ: हालांकि इस शोध पत्र में कोई प्रायोगिक डेटा नहीं है, यह एक साथी प्रायोगिक शोध पत्र [6] का संदर्भ देता है जहाँ इस ढांचे को तीन IBM Heron r2 प्रोसेसरों ( $ibm\_fez$ $ibm_f ez$ , $ibm\_kingston$ $ibm_k in g s t o n$ , और $ibm\_marrakesh$ $ibm_ma r r ak es h$ ) के सात सत्रों के डेटा पर लागू किया गया था।
- उस साथी अध्ययन में, पावर-लॉ फिट्स ने सभी सत्रों में $R^2 > 0.97$ दिया।
- उपकरणों ने अलग-अलग शासन प्रदर्शित किए: $ibm\_fez$ और $ibm\_kingston$ ने $\alpha < 1.569$ (स्टोकेस्टिक/स्वस्थ) दिखाया, जबकि $ibm\_marrakesh$ ने एक सत्र में $\alpha = 3.77$ (क्रिटिकल/कोहेरेंट) दिखाया, जो एक आगामी रखरखाव घटना और T2 रिकवरी के साथ सहसंबद्ध था।
- एक भविष्योन्मुखी भविष्यवाणी परीक्षण (Prediction P1) ने $ibm\_fez$ पर शोर स्पेक्ट्रोस्कोपी अनुमानों ( $\mu$ ) के विरुद्ध $\hat{\alpha}$ की तुलना $\alpha = 1+\mu$ संबंध के माध्यम से की। 8/8 सत्रों में, मॉडल को खारिज नहीं किया जा सका, जो उस डिवाइस के लिए एकल-तंत्र (single-mechanism) परिकल्पना का समर्थन करता है।
- $ibm\_marrakesh$ पर एक फाल्सिफिकेशन टेस्ट (भ्रम निवारण परीक्षण) (Prediction P2) ने $Z=7.29$ का टेस्ट सांख्यिकी दिया, जिसने निर्णायक रूप से एकल-तंत्र मॉडल को खारिज कर दिया और बोर्न सन्निकटन (Born approximation) से परे अन्य तंत्रों या कोहेरेंट ZZ कपलिंग की उपस्थिति का संकेत दिया।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह गेट त्रुटियों के सहसंबंध क्षय घातांक (correlation decay exponent) को सर्किट इन्फिडेलिटी के स्केलिंग घातांक से जोड़ने वाला पहला कठोर गणितीय सिद्धांत प्रदान करता है। यह अपने पूर्ववर्ती फेनोमेनोलॉजिकल पावर-लॉ फिटिंग से स्वयं को अलग करता है, जो प्रथम सिद्धांतों से एस्टीमेटर के सांख्यिकीय गुणों को व्युत्पन्न करता है और उन स्थितियों (A1–A3) को स्थापित करता है जिनके तहत यह सिद्धांत लागू होता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह ढांचा सशर्त (conditional) है: गणितीय प्रमेय बिना शर्त सिद्ध हैं, लेकिन विशिष्ट हार्डवेयर पर उनका अनुप्रयोग अभिगृहों की अनुभवजन्य वैधता पर निर्भर करता है। शोध पत्र स्पष्ट रूप से कहता है कि K–R पैरामीट्रिज़ेशन CEAT का एक अनुप्रयोग है, न कि इसका व्युत्पन्न। इसके अतिरिक्त, Axiom A2 को मौलिक बाथ डायनेमिक्स (bath dynamics) के भीतर व्युत्पन्न करने के बजाय माना गया है; इसका व्युत्पन्न एक भविष्य के "लेवल 2" कार्यक्रम के रूप में रेखांकित किया गया है जो ओपन क्वांटम सिस्टम थ्योरी (Nakajima–Zwweiang समीकरण और टौबेरियन प्रमेय) का उपयोग करेगा।

इसका महत्व एक ऐसे डायग्नोस्टिक टूल को प्रदान करने में है जो केवल औसत त्रुटि दर के बजाय शोर तंत्र (noise mechanism) (सहसंबद्ध बनाम स्वतंत्र) को प्रकट करता है। $\alpha$ स्केलिंग घातांक की पहचान करके, यह ढांचा शोधकर्ताओं को उन उपकरणों के बीच अंतर करने की अनुमति देता है जो मानक बेंचमार्किंग के तहत समान दिखाई दे सकते हैं लेकिन मौलिक रूप से भिन्न त्रुटि संचय व्यवहार रखते हैं, जो क्वांटम हार्डवेयर की स्केलेबिलिटी के लिए महत्वपूर्ण है। शोध पत्र निष्कर्ष के रूप में एक "टेन-रो फाल्सिफिकेशन प्रोटोकॉल" प्रस्तुत करता है ताकि इसके अभिगृहीनों का व्यवस्थित रूप से परीक्षण किया जा सके और विफलता मोड की पहचान की जा सके, जो इस सिद्धांत को एक ब्लैक-बॉक्स ह्यूरिस्टिक के बजाय एक परीक्षण योग्य वैज्ञानिक मॉडल के रूप में स्थापित करता है।