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The Nim-Sum of a Random Integer Partition

यह शोध पत्र $N$ के पूर्णांक विभाजनों में हारने वाली स्थितियों के अनुपात के प्रथम-क्रम साहस्त्रीय व्यवहार को निर्धारित करता है। यह अनुपात $1/(\sqrt{N}\log N)$ के पैमाने पर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन अपने प्राकृतिक पैमाने द्वारा सामान्यीकृत करने के बाद यह अभिसरित नहीं होता है; इसके बजाय, यह डियाडिक सीमाओं के पास पॉइसन-समता संक्रमण (Poisson-parity transition) के साथ एक डियाडिक आरीनुमा पैटर्न प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Daewon Kim

प्रकाशित 2026-08-28✓ Author reviewed ⓘ

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daewon Kim

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने नहीं लिखा है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि एक खेल पत्थरों के ढेरों के साथ खेला जाता है, जहाँ दो खिलाड़ी बारी-बारी से एक ही ढेर से कोई भी संख्या में पत्थर हटाते हैं। लक्ष्य अंतिम चाल चलने वाला बनना है, या इसके विपरीत, अपने प्रतिद्वंद्वी को ऐसी स्थिति में डालना है जहाँ उसके पास कोई जीतने वाली चाल न बचे। यह 'निम' (Nim) का खेल है, जो रणनीति का एक क्लासिक पहेली है और जिसका एक सदी से अधिक समय से अध्ययन किया जा रहा है। जीतने का रहस्य पत्थरों की कुल संख्या गिनने में नहीं, बल्कि एक विशिष्ट तरीके से ढेरों के आकार को मिलाने में छिपा है, जो बाइनरी (binary) रूप में जोड़ और घटाव के नियम का उपयोग करता है। यदि यह संयोजन शून्य हो जाता है, तो जिस खिलाड़ी की बारी चलती है, वह हारने के लिए नियति है, बशर्ते उसका प्रतिद्वंद्वी पूरी कुशलता से खेले। दशकों से, गणितज्ञों ने किसी विशेष ढेरों की व्यवस्था के लिए इन हारने वाली स्थितियों की पहचान करना जान लिया है। लेकिन एक गहरा, अधिक मायावी प्रश्न बना रहा: यदि आप केवल पत्थरों की एक निश्चित संख्या एकत्र करते हैं और उन्हें यादृच्छिक (random) रूप से ढेरों में विभाजित करते हैं, तो कितनी बार वह यादृच्छिक व्यवस्था एक हारने वाली स्थिति बनेगी?

यह प्रश्न गेम थ्योरी और पूर्णांक विभाजन (integer partitions) के अध्ययन के मिलन बिंदु पर स्थित है। जबकि एक एकल खेल के नियम सटीक और नियत (deterministic) हैं, जब खेल की शुरुआती स्थिति यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है, तो इन खेलों का व्यवहार आश्चर्यजनक रूप से जटिल हो जाता है। एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या पत्थरों की कुल संख्या बढ़ने के साथ, इन हारने वाली स्थितियों की आवृत्ति एक सरल अनंतकालीन पैटर्न (asymptotic pattern) में स्थिर हो सकती है। हालाँकि, हवाई विश्वविद्यालय एट मानाओआ के डेवोन किम का नया कार्य यह प्रकट करता है कि उत्तर एक साधारण स्थिरता से कहीं अधिक जटिल है। जैसे-जैसे पत्थरों की कुल संख्या बढ़ती है, हारने वाली स्थिति मिलने की वास्तविक संभावना शून्य की ओर घटती जाती है। लेकिन यदि हम इस संभावना को इसके स्वाभाविक आधार रेखा (baseline) के सापेक्ष पुनर्गठित (rescale) करें, तो यह एक स्थिर मान पर नहीं रुकती। इसके बजाय, यह एक ऊबड़-खाबड़, दोहराते हुए पैटर्न में दोलन (oscillate) करती है जो वास्तव में स्थिर नहीं होती है, चाहे पत्थरों की संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो जाए।

किम का शोध विशेष रूप से उस मामले पर केंद्रित है जहाँ पत्थरों की कुल संख्या सम (even) है, क्योंकि खेल के नियम इसे असंभव बनाते कि एक विषम (odd) कुल संख्या कभी हारने वाली स्थिति बना सके। अध्ययन में पत्थरों की कुल संख्या बढ़ने के साथ हारने वाली स्थिति की संभावना के व्यवहार का विश्लेषण किया गया है। निष्कर्ष बताते हैं कि पुनर्गठित (normalized) संभावना एक एकल स्थिर मान की ओर नहीं बढ़ती है। इसके बजाय, यह एक आरी के दांतों जैसे (sawtooth) पैटर्न में ऊपर-नीचे होती है, जो वास्तव में तब दोहराती है जब समस्या से जुड़ा प्राकृतिक पैमाना (natural scale) दो की एक घात (power of two) को पार करता है। यदि आप ग्राफ में ढेरों के आकार के विरुद्ध इस पुनर्गठित संभावना को देखते हैं, तो आपको एक रेखा दिखाई देगी जो एक निम्न बिंदु से उच्च बिंदु तक लगातार चढ़ती है, फिर तेजी से नीचे गिरती है, और फिर से चढ़ना शुरू कर देती है। यह चक्र अनिश्चित काल के लिए दोहराता है, जिसका अर्थ है कि पुनर्गठित मान एक विशिष्ट आधार रेखा के एक और दो गुना के बीच कहीं भी हो सकता है, जो पूरी तरह से इस चक्र में आपकी स्थिति पर निर्भर करता है।

इस व्यवहार को चलाने वाला तंत्र खेल के जीतने वाले नियम की बाइनरी प्रकृति में निहित है। जब एक बड़ी संख्या को छोटे भागों में तोड़ा जाता है, तो सबसे छोटे भाग यादृच्छिक स्रोत की तरह कार्य करते हैं जो बाइनरी संख्याओं के निचले बिट्स को बिखेर देते हैं। सबसे बड़े भाग इतने दुर्लभ होते हैं कि वे परिणाम को प्रभावित करने के लिए शायद ही कभी आते हैं। हालाँकि, भाग के आकार की एक विशिष्ट मध्य श्रेणी एक महत्वपूर्ण बाधा (bottleneck) के रूप में कार्य करती है। इस श्रेणी में, भाग इतने बड़े हैं कि वे महत्वपूर्ण हैं, लेकिन इतने बड़े भी नहीं कि वे गायब हो जाएं। इस विशिष्ट श्रेणी में गिरने वाले भागों की संख्या परिणाम को निर्धारित करती है। क्योंकि पत्थरों की कुल संख्या बढ़ने के साथ यह श्रेणी बदलती रहती है, खेल का संतुलन आगे-पीछे झुकता रहता है। जब प्राकृतिक पैमाना दो की एक घात से ठीक नीचे होता है, तो संतुलन एक तरफ झुकता है; जब यह उस सीमा को पार करता है, तो संतुलन बदल जाता है, जिससे संभावना उछल जाती है।

इसे समझने के लिए, आप इस प्रक्रिया की तुलना एक घड़ी से कर सकते है जो हर बार एक निश्चित घंटे पर पहुँचने पर रीसेट होती है, लेकिन घड़ी की सुइयाँ उस गति से चलती हैं जो स्वयं घड़ी के आकार के साथ बदलती है। जैसे-जैसे पत्थरों की कुल संख्या बढ़ती है, भाग की "महत्वपूर्ण श्रेणी" ऊपर की ओर बढ़ती है। हारने वाली स्थिति की संभावना में होने वाला दोलन इस महत्वपूर्ण श्रेणी में भागों की समता (parity) से प्रेरित होता है। क्योंकि भागों का वितरण एक पॉइसन वितरण (Poisson distribution) के समान है, इस महत्वपूर्ण श्रेणी में भागों की सम या विषम संख्या होने की संभावना दोलन करती है। यह दोलन आरी के दांतों जैसा पैटर्न बनाता है। शोध पुष्टि करता है कि जैसे-जैसे पत्थरों की कुल संख्या बढ़ती है, पुनर्गठित संभावना एक एकल संख्या की ओर अभिसरित (converge) नहीं होती है। इसके बजाय, सभी संभावित मानों का सेट जो यह प्राप्त करता है, वह एक विशिष्ट स्केलिंग फैक्टर के एक और दो गुना के बीच के पूरे अंतराल को भर देता है।

यह अध्ययन केवल हारने वाली स्थितियों तक ही सीमित नहीं है। यह दिखाता है कि प्रत्येक निश्चित लक्षित निम-क्रम (nim-sum) के लिए, घनत्व का प्रथम-क्रम क्षय (first-order decay) समान होता है, और समान सामान्यीकरण (normalization) के बाद, यह उसी द्वैत आरी के दांतों वाले प्रोफाइल (dyadic sawtooth profile) का अनुसरण करता है। यह सुझाव देता है कि खेल की बाइनरी संरचना ढेरों के यादृच्छिक वितरण पर एक स्थायी हस्ताक्षर छोड़ती है, एक ऐसा हस्ताक्षर जो संख्याओं के विशाल आकार के बावजूद खुद को सुचारू होने से रोकता है।

इन सैद्धांतिक भविष्यवाणियों को सत्यापित करने के लिए, लेखक ने बीस हजार तक की प्रत्येक संभावित व्यवस्था के लिए सटीक गणना की। इसके लिए एक परिष्कृत कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण की आवश्यकता थी जिसने इस समस्या को एक विशाल गणना अभ्यास के रूप में माना, जिसमें अरबों संभावित संयोजनों को संभालने के लिए विशेष एल्गोरिदम का उपयोग किया गया, बिना प्रत्येक विभाजन को अलग से गिने। गणनाओं के परिणाम सैद्धांतिक भविष्यवाणियों के साथ उल्लेखनीय सटीकता के साथ मेल खाते हैं, जिससे पुष्टि होती है कि आरी के दांतों वाला पैटर्न वास्तविक है और गणितीय मॉडल का कोई कृत्रिम प्रभाव नहीं है। डेटा ने दिखाया कि पुनर्गठित संभावना ठीक वैसे ही ऊपर-नीचे होती है जैसा कि सिद्धांत ने भविष्यवाणी की थी, जिसमें तीव्र संक्रमण ठीक उसी क्षण होता है जब प्राकृतिक पैमाना दो की एक घात को पार करता है।

शोध इन शिखरों और घाटियों के बीच के संक्रमण की प्रकृति की भी जांच करता है। हालांकि ग्राफ में तीखे, विच्छिन्न (discontinuous) उछाल दिखाई देते हैं, परिमित-आकार विश्लेषण (finite-size analysis) यह संकेत देता है कि ये उछाल वास्तव में एक बहुत छोटे पैमाने पर सुचारू (smoothed out) होते हैं। यह स्मूथिंग उन्हीं सांख्यिकीय नियमों द्वारा नियंत्रित होती है जो यादृच्छिक घटनाओं की समता (parity) का वर्णन करते हैं। जैसे-जैसे पत्थरों की कुल संख्या बढ़ती है, वह विंडो जिसमें यह स्मूथिंग होती है, संकीर्ण होती जाती है, जिससे यह बदलाव एक क्रमिक बदलाव के रूप में दिखाई देता है जो इस बात पर निर्भर करता है कि महत्वपूर्ण श्रेणी में भागों की संख्या सम है या विषम। यह घटना स्पष्ट करती है कि डेटा में पैटर्न इतना ऊबड़-खाबड़ क्यों दिखता है, भले ही अंतर्निहित गणित सुचारू हो।

अंततः, यह कार्य निम के खेल में हारने वाली स्थितियों के वितरण का एक पूर्ण विवरण प्रदान करता है जब शुरुआती विन्यास यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यह इन स्थितियों की आवृत्ति के बारे में एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न को हल करता है, यह दिखाते हुए कि वे एक सरल, स्थिर प्रवृत्ति का पालन नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे ढेरों के आकार और खेल की बाइनरी संरचना के बीच एक जटिल परस्पर क्रिया द्वारा शासित होते हैं। निष्कर्ष गणित के एक व्यापक सिद्धांत को उजागर करते हैं: यहाँ तक कि उन प्रणालियों में जो यादृच्छिक और सुचारू प्रतीत होती हैं, गहरे अंकगणितीय संरचनाएं स्थायी, तीखे पैटर्न बना सकती हैं जो औसत निकालने का विरोध करते हैं। खेल की बाइनरी प्रकृति यह सुनिश्चित करती है कि सूचना का एक विशिष्ट ब्लॉक दृश्यमान और प्रभावशाली बना रहे, चाहे सिस्टम कितना भी बड़ा हो जाए, जिससे एक लय बनती है जो संख्याओं के बढ़ने के साथ अनंत काल तक दोहराती रहती है।

तकनीकी सारांश: एक यादृच्छिक पूर्णांक विभाजन का निम-सम (Nim-Sum)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र $N$ कुल टोकन वाले साधारण निम (Nim) पदों के गणनात्मक गुणों की जांच करता है। निम में, एक स्थिति को ढेर (heap) के आकारों के एक मल्टीसेट द्वारा परिभाषित किया जाता है। बूटन के प्रमेय (Bouton's theorem) के अनुसार, एक स्थिति हारने वाली तब होती है जब ढेर के आकारों का बिटवाइज़ एक्सक्लूसिव ओर (XOR) शून्य हो। जब हीपों के क्रम की उपेक्षा की जाती है, तो ये स्थितियाँ $N$ के पूर्णांक विभाजनों (integer partitions) के अनुरूप होती हैं।

मुख्य समस्या $a_N / p(N)$ के अनुपात के अनंत व्यवहार (asymptotic behavior) को निर्धारित करना है, जहाँ $p(N)$ $N$ के कुल विभाजनों की संख्या है, और $a_N$ उन विभाजनों की संख्या है जहाँ भागों का XOR शून्य है। चूँकि यह समता प्रतिबंध (parity restriction) तत्काल स्पष्ट है ( $N$ विषम होने पर $a_N = 0$ होता है क्योंकि योग और XOR दोनों का न्यूनतम महत्वपूर्ण बिट समान होता है), इसलिए सम $N$ के लिए हारने वाली स्थितियों का वितरण एक जटिल व्यवहार प्रदर्शित करता है। सम $N$ के लिए कच्चा घनत्व (raw density) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, जबकि उचित रूप से सामान्यीकृत (normalized) घनत्व एक गैर-अभिसारी दोलन व्यवहार (non-convergent oscillatory behavior) प्रदर्शित करता है जिसे मानक विभाजन अनंत (standard partition asymptotics) नहीं पकड़ पाते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक संयोजन संबंधी अपघटन (combinatorial decomposition), संभावabilistic मॉडलिंग और विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत को संयोजित करने वाला एक बहुआयामी दृष्टिकोण अपनाते हैं:

संयोजन संबंधी अपघटन (Combinatorial Decomposition): शोध पत्र एक विभाजन $\lambda$ को उसके भागों की बहुलता के आधार पर दो घटकों में विभाजित करता है। यदि एक भाग $j$ $c_j$ बार आता है, तो इसे $c_j = 2r_j + \varepsilon_j$ के रूप में लिखा जाता है जहाँ $\varepsilon_j \in \{0, 1\}$ है। सम प्रतियां ( $2r_j$ ) XOR योग में रद्द हो जाती हैं, जिससे केवल "विषम कोर" (distinct parts वाले भाग) बचता है। यह समस्या को विशिष्ट भागों (distinct parts) के XOR के विश्लेषण में बदल देता है।
बोल्ट्ज़मैन सैंपलिंग (Boltzmann Sampling): स्वतंत्रता का लाभ उठाने के लिए, अध्ययन यादृच्छिक आकार वाले बोल्ट्ज़मान मॉडल की ओर स्थानांतरित होता है। इस मॉडल में, विशिष्ट भागों के समावेश के संकेतक स्वतंत्र बरनौली चर (Bernoulli variables) होते हैं। शून्य XOR योग की प्रायिकता का विश्लेषण करने के लिए पूर्णांकों को एक महत्वपूर्ण पैमाने $J$ $J$ के सापेक्ष तीन डायडिक श्रेणियों (dyadic ranges) में विभाजित किया गया है:
- निचला ब्लॉक ( $[1, J)$ ): ये छोटे भाग निचले बाइनरी अंकों को यादृच्छिक (randomize) बनाते हैं, जिससे निचले बिट्स पर लगभग एकसमान वितरण बनता है।
- महत्वपूर्ण ब्लॉक ( $[J, 2J)$ ): इस श्रेणी के प्रत्येक पूर्णांक का समान अग्रणी $J$ -बिट (leading $J$ -bit) होता है। इस ब्लॉक के XOR का अग्रणी बिट तभी शून्य होता है जब इस श्रेणी में चयनित भागों की संख्या सम हो, और इस शर्त के अधीन, निचले ब्लॉक को शेष निचले-बिट अवशेष (lower-bit residue) से मेल खाना चाहिए।
- ऊपरी ब्लॉक ( $[2J, \infty)$ ): ये बड़े भाग दुर्लभ हैं और प्रथम-क्रम पद में नगण्य योगदान देते हैं।
डायडिक पदानुक्रम और वाल्श विश्लेषण (Dyadic Hierarchy and Walsh Analysis): लेखक सटीक परिमित सूत्रों को प्राप्त करने और सन्निकटन को परिष्कृत करने के लिए वाल्श विश्लेषण (Walsh analysis $\mathbb{F}_2$ पर कैरेक्टर ऑर्थोगोनैलिटी) का उपयोग करते हैं। एक पदानुक्रमित सूत्र निर्मित किया गया है जो अधिक ऊपरी बाइनरी अंकों को बनाए रखता है, जिससे बोल्ट्ज़मान प्रायिकता को किसी भी बीजगणितीय क्रम तक निर्धारित किया जा सकता है।
सैडल पॉइंट विश्लेषण (Saddle Point Analysis): बोल्ट्ज़मान मॉडल (यादृच्छिक आकार) से परिणामों को निश्चित-आकार वाले विभाजनों में स्थानांतरित करने के लिए, शोध पत्र जनरेटिंग फंक्शन्स पर सैडल पॉइंट विधियों का उपयोग करता है। यह दो समान सैडल की पहचान करता है (निकट $q = e^{-t_N}$ और $q = -e^{-t_N}$ ) जो हारने वाली स्थितियों के जनरेटिंग फंक्शन की समता के कारण है।
सटीक गणना (Exact Computation): वाल्श सूत्र और चाइनीज रिमाइंडर थ्योरम (CRT) पर आधारित एक सटीक एल्गोरिदम को $N=20,000$ तक $a_N$ की गणना करने के लिए लागू किया गया है। यह अनुमानित सूत्रों को सत्यापित करने और परिमित-आकार सुधारों (finite-size corrections) का विश्लेषण करने के काम आता है।

मुख्य परिणाम
शोध पत्र हारने वाली स्थितियों के घनत्व के प्रथम-क्रम अनंत व्यवहार को स्थापित करता है। मान लीजिए $\tau_N = \pi/\sqrt{6N}$ और $B_N = \log(1/\tau_N)/\tau_N$ है। $J_N$ को गुणात्मक दूरी में $B_N$ के निकटतम पावर ऑफ टू (power of two) के रूप में परिभाषित करें, और $\Lambda_N = e^{-\tau_N J_N}/\tau_N$ को परिभाषित करें।

सम $N$ के लिए, अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{a_N}{p(N)} = \frac{1 + e^{-2\Lambda_N} + o(1)}{J_N}$

प्रमुख निष्कर्षों में शामिल हैं:

गैर-अभिसरण (Non-Convergence): सामान्यीकृत घनत्व $B_N \frac{a_N}{p(N)}$ अभिसरित नहीं होता है, और इसके उप-अनुक्रमिक सीमाओं (subsequential limits) का सेट पूर्ण अंतराल $[1, 2]$ है।
डायडिक सॉटूथ (Dyadic Sawtooth): इसका व्यवहार एक "डायडिक सॉटूथ" पैटर्न का अनुसरण करता है। जैसे-जैसे $N$ बढ़ता है, प्रत्येक बाइनरी चरण (जब $B_N$ पावर्स ऑफ टू को पार करता है) के दौरान मान 1 से 2 तक बढ़ता है और जब पैमाना एक नए पावर ऑफ टू को पार करता है तो वापस 1 पर गिर जाता है।
पॉइसन स्मूथिंग (Poisson Smoothing): डायडिक सीमाओं पर दिखने वाला स्पष्ट विच्छेदन (discontinuity) एक पॉइसन यादृच्छिक चर के समता नियम द्वारा एक घटते पैमाने पर सुचारू (smooth) हो जाता है। विशेष रूप से, यदि $N$ एक ऐसी सीमा की ओर बढ़ता है जहाँ $\tau_N K - \log(1/\tau_N) \to c$ (जहाँ $K$ एक पावर ऑफ टू है), तो सीमा $1 + e^{-2e^{-c}}$ होती है।
सामान्य निम-सम (General Nim-Sums): परिणाम केवल शून्य XOR सम तक सीमित नहीं है। किसी भी निश्चित लक्ष्य निम-सम $x$ के लिए, $N \equiv x \pmod 2$ की समता श्रेणी के साथ $x$ वाले विभाजनों का घनत्व समान प्रथम-क्रम प्रोफाइल का पालन करता है।
सटीक गणनाएँ: शोध पत्र OEIS अनुक्रम A048833 को $N=20,000$ (कुल आकार) तक विस्तारित करता है, जो सटीक डेटा प्रदान करता है जो अनुमानित पैमाने और परिमित-आकार त्रुटियों की संरचना की पुष्टि करता है।

महत्व और दावे
शोध पत्र यह दावा करता है कि यह अनियंत्रित पूर्णांक विभाजनों के लिए हारने वाली निम स्थितियों का पूर्ण प्रथम-क्रम अनंत विवरण प्रदान करता है। इसका महत्व यह प्रकट करने में है कि एक "सुचारू" यादृच्छिक संरचना (पूर्णांक विभाजन) एक तीक्ष्ण अंकगणितीय विशेषता (बाइनरी पैरिटी) को बनाए रखती है, क्योंकि एक एकल महत्वपूर्ण डायडिक ब्लॉक मौजूद है जो निचले बिट्स के यादृच्छिक होने के बाद भी दृश्य रहता है और उच्च बिट्स नगण्य होने के बाद भी बना रहता है।

यह कार्य प्रदर्शित करता है कि हारने वाली स्थितियों का घनत्व $\Theta(1/(\sqrt{N} \log N))$ के क्रम का है लेकिन इसमें एक एकल अनंत स्थिरांक (asymptotic constant) का अभाव है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि डायडिक पदानुक्रम बोल्ट्ज़मान सन्निकटन को किसी भी बीजगणितीय क्रम तक परिष्कृत करता है, जबकि निश्चित-आकार वाले विभाजनों में स्थानांतरण केवल प्रथम-क्रम पर स्थापित किया गया है, जो यह समझाता है कि क्यों परिमित-आकार सुधार महत्वपूर्ण हैं भले ही प्रथम-क्रम प्रमेय मान्य हो। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि गैर-अभिसरण एक संरचनात्मक विशेषता है, न कि सन्निकटन की विफलता, और संक्रमण (transition) एक पॉइसन चर की समता द्वारा शासित होता है।

यह शोध बढ़ते लक्ष्य निम-सम या प्रतिबंधित विभाजनों के लिए सामान्य समस्या को हल करने का दावा नहीं करता है, इसे प्राकृतिक खुले प्रश्नों के रूप में नोट करता है। यह यह भी दावा नहीं करता है कि परिमित-आकार सुधार विश्लेषण एक पूर्ण द्वितीय-क्रम प्रमेय बनता है, क्योंकि यह उच्च डेरिवेटिव के लिए यूनिफॉर्म बाउंड के बजाय औपचारिक विस्तारों (formal expansions) पर निर्भर करता है।

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